LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, người định hướng chọn đề tài tận tình giúp đỡ truyền đạt lại kiến thức quý báu để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, thầy, cô giáo môn Phương trình vi phân-tích phân khoa Toán - Tin trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy, tạo điều kiện tốt cho thời gian học tập trường Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thân gia đình động viên, tạo điều kiện học tập tốt cho Cuối cùng, xin cảm ơn bạn đồng khóa cao học K25 nói chung chuyên ngành Phương trình vi phân-tích phân nói riêng giúp đỡ, động viên suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Tuyết i Mục lục LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN PHẦN MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.2 Lí thuyết nửa nhóm 1.3 Toán tử quạt 1.4 Một số kết bổ trợ Tính giải toàn cục phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn 2.1 Phát biểu toán 2.2 Tính giải địa phương toán tuyến tính 2.3 Tính giải địa phương với phương trình nửa tuyến tính 2.4 Một số ví dụ từ phương trình elliptic 4 12 13 17 17 18 24 34 KẾT LUẬN 42 Tài liệu tham khảo 43 ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn, bảo tận tình TS Nguyễn Thành Anh Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Tuyết MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ xuất phát từ nhiều mô hình lĩnh vực kĩ thuật vật lý Trong phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ hữu hạn nhiều kết tính giải toàn cục phong phú trường hợp vô hạn chưa nghiên cứu kĩ lưỡng Vì vậy, xin chọn đề tài nghiên cứu luận văn là:"Tính giải toàn cục phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính giải toàn cục phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn dựa chủ yếu kết báo [4] Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn +Phạm vi: Nghiên cứu tính giải toàn cục phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn Nhiệm vụ nghiên cứu + Tìm hiểu lý thuyết nửa nhóm + Nghiên cứu tính giải địa phương toán tuyến tính + Nghiên cứu tính giải địa phương với phương trình nửa tuyến tính + Đưa số ví dụ ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Quá trình làm luận văn sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu chủ yếu phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích trình nghiên cứu lí thuyết Bên cạnh dùng phương pháp đọc, dịch nghiên cứu tài liệu tổng hợp kiến thức để phục vụ cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.2 Lí thuyết nửa nhóm 1.3 Toán tử quạt 1.4 Một số kết bổ trợ Chương 2: Tính giải toàn cục phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn 2.1 Phát biểu toán 2.2 Tính giải địa phương toán tuyến tính 2.3 Tính giải địa phương với phương trình nửa tuyến tính 2.4 Một số ví dụ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm Không gian hàm bị chặn liên tục Giả sử X không gian Banach thực phức với chuẩn , I ⊂ R khoảng (có thể vô hạn) Ta kí hiệu B(I; X) không gian hàm bị chặn I nhận giá trị X; B(I, X) = {f : I → X|f bị chặn X } Không gian B(I, X) trang bị chuẩn sup f B(I;X) = sup f (t) t∈I Kí hiệu C(I; X) không gian hàm liên tục, C m (I; X) (m ∈ N) không gian hàm khả vi m lần, C ∞ (I; X) không gian hàm khả vi vô hạn lần Ta định nghĩa Cb (I; X) = B(I; X) ∩ C(I; X), f C(I;X) = f B(I;X) , Cbm (I; X) = f ∈ C m (I; X), f (k) ∈ Cb (I; X), k = 0, , m , m f Cbm (I;X) f (k) = k=0 B(I;X) Ta kí hiệu C0∞ (I; X) tập C ∞ (I; X) bao gồm hàm có giá compact chứa khoảng I Nếu nhầm lẫn ta kí hiệu f B(X) hay đơn giản f ∞ thay f B(I;X) cho hàm bị chặn f Hơn nữa, X = R hay C ta viết B(I), C(I) thay B(I; X), C(I; X), Không gian hàm liên tục H¨ older Không gian Banach hàm liên tục H¨older C α (I; X), C k+α (I; X), (k ∈ N), α ∈ [0; 1] định nghĩa C α (I; X) = f ∈ Cb (I; X) : [f]C α (I;X) = sup t,s∈I,s 0} f = inf {K > : |f (x)| ≤ K hầu khắp nơi } Không gian Sobolev Mục viết dựa chủ yếu vào tài liệu tham khảo [7] Cho Ω tập mở Rn có biên ∂Ω Định nghĩa 1.1.1 Cho số nguyên m > ≤ p ≤ ∞, không gian Sobolev định nghĩa Wm,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)|Dα u ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m} Wm,p (Ω) tập hợp tất hàm thuộc Lp (Ω) có đạo hàm suy rộng đến m thuộc Lp (Ω) Ta có D(Ω), không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ω, trù mật Lp (Ω) Với ≤ p ≤ ∞, φ ∈ D(Ω) Dα φ = D(Ω), với đa số a Như vậy, D(Ω) ⊂ Wm,p (Ω) ⊂ Lp (Ω), với ≤ p ≤ ∞ Trên Wm,p (Ω) ta trang bị chuẩn m,p,Ω sau: Với ≤ p < ∞, ta định nghĩa 1/p    p α D u Lp (Ω) u m,p,Ω =   0≤|α|≤m Với p = ∞, ta định nghĩa u m,p,Ω = max Dα u 0≤|α|≤m Lp (Ω) Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu Wm,2 (Ω) = H m (Ω), cho u ∈ H m (Ω), u m,Ω = u m,2,Ω Với m = 0, ta có W0,p (Ω) = Lp (Ω), chuẩn Lp kí hiệu u Lp (Ω) Không gian H m (Ω) có tích vô hướng tự nhiên định nghĩa Dα uDα v, (u, v)m,Ω = |α|≤m Ω với u, v ∈ H m (Ω) Tích vô hướng sinh m,Ω Trong trường hợp Ω = Rn , H m (Rn ) có mô tả khác qua biến đổi Fourier u Chú ý L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) trù mật L2 (Rn ), hàm L2 (Rn ) có biến đổi Fourier thích hợp, định lí Plancherel khẳng định u L2 (Rn ) = u L2 (Rn ) Cho u = H m (Rn ), theo định nghĩa ta có Dα u ∈ L2 (Rn ) với |α| ≤ m Như (Dα u)1 xác định tốt Hơn nữa, ta có (Dα u)1 = (2πi)|α| ξ α u Do đó, ξ α u ∈ L2 (Rn ), với |α| ≤ m Ngược lại, u ∈ L2 (Rn ) cho ξ α u ∈ L2 (Rn ), với |α| ≤ m Dα u ∈ L2 (Rn ), với |α| ≤ m Vì u ∈ H m (Rn ) Bổ đề 1.1.2 Tồn số M1 > M2 > phụ thuộc vào m n cho với ξ ∈ Rn , M1 (1 + |ξ|2 )m ≤ |ξ α |2 ≤ M2 (1 + |ξ|2 )m |α|≤m Từ bổ đề có định nghĩa H m (Rn ) Định nghĩa 1.1.3 m/2 H m (Rn ) = u ∈ L2 (Rn )|(1 + |ξ|2 ) u(ξ) ∈ L2 (Rn ) Kết hợp với chuẩn u2 H m (Rn ) m (1 + |ξ|2 ) |u(ξ)|2 = Rn + + + + Ta có số tính chất: Với m, ≤ p ≤ ∞, Wm,p (Ω) không gian Banach Wm,p (Ω) không gian phản xạ, với ≤ p < ∞ Wm,p (Ω) không gian tách được, với ≤ p < ∞ H m (Ω) không gian Hilbert tách với ≤ p < ∞ Định nghĩa 1.1.4 Cho ≤ p < ∞ , đặt W0m,p (Ω) bao đóng D(Ω) Wm,p (Ω) W0m,p (Ω) không gian đóng Wm,p (Ω) Phần tử W0m,p (Ω) gần giống không gian định chuẩn Wm,p (Ω) hàm thuộc C ∞ (Ω) có giá compact Ω W0m,p (Ω) không gian thực Wm,p (Ω), trừ trường hợp Ω = Rn n Định lý 1.1.5 Cho ≤ p < ∞, W1,p (Rn ) = W1,p (R ) Định lý 1.1.6 Cho ≤ p < ∞, với số nguyên m ≥ n Wm,p (Rn ) = Wm,p (R ) Trường hợp đặc biệt, H m (Rn ) = H0m (Rn ) 1.2 Lí thuyết nửa nhóm Mục viết dựa chủ yếu vào tài liệu tham khảo [1] Giả sử X không gian Banach L (X) không gian ánh xạ tuyến tính bị chặn X Định nghĩa 1.2.1 Ta nói họ toán tử {T(t)}t≥0 nửa nhóm ánh xạ tuyến tính bị chặn X T (t) ∈ L (X) với t ≥ 0, i) T (0) = I, toán tử đồng X; ii) T (t)T (s) = T (t + s), ∀t, s ≥ Nửa nhóm {T(t)}t≥0 gọi C0 -nửa nhóm (hay nửa nhóm liên tục mạnh) lim T (t)x = x, ∀x ∈ X t→0+ Định nghĩa 1.2.2 Giả sử {T(t)}t≥0 C0 -nửa nhóm X Ta định nghĩa toán tử sinh A sau: D(A) = x ∈ X : ∃ lim+ h→0 T (h) − I x∈X h T (h) − I d+ (T (t)x) Ax = lim+ x= |t=0 , ∀x ∈ D(A) h→0 h dt Do đó, v thỏa mãn d dt Dvt vs = ADvt + F (v) + G(t), t ∈ [s, ∞) = 0∈B u nghiệm (2.27) Hơn nữa, (2.28) (2.29) ta có DF (0) = Df (S(−s)ϕ) (2.30) Với ϕ ∈ B mà ϕ(0) ∈ D(A), ta định nghĩa : Xs,ϕ :={u : (−∞, ∞) → X|ut ∈ B, ∀t ≥ s, us = ϕ, u ∈ C([s, ∞), X) ∩ C((s, ∞), D(A)) ∩ C ((s, ∞), X), α u ∞ < ∞; u , Au ∈ C∞ ([s, ∞), X)} α Ys,ϕ := {G ∈ C∞ ([s, ∞), X)|G(s) = ADϕ + f (S(−s)ϕ)(s)} Bởi (2.28) ta dễ dàng thấy v ∈ Xs,0 u ∈ Xs,ϕ Định lý sau suy trực tiếp từ Định lí 2.3.2 F thỏa mãn điều kiện F ∈ C (V (s, 0), Ys,0 ), (DF )(0) < L−1 s,0 −1 , (Fs,ϕ ) với V (s, 0) ⊂ Xs,0 lân cận ∈ Xs,0 Rõ ràng (Fs,ϕ ) viết hình thức khác f ∈ C (V (s, ϕ), Ys,ϕ ) (Df )(S(−s)ϕ) < L−1 s,0 −1 , với V (s, ϕ) ⊂ Xs,ϕ lân cận S(−s)ϕ ∈ Xs,ϕ Định lý 2.3.3 Giả sử điều kiện (H1) (Fs,ϕ ) thỏa mãn (i) Nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) ω = ∈ ρ(A) với ω xác định (1.3) (b) ωA < 30 tồn rs,ϕ > lân cận Ns,ϕ S(−s)ϕ ∈ Xs,ϕ cho g ∈ Ys,ϕ với g − ADϕ − f (S(−s)ϕ) α < rs,ϕ có nghiệm cổ điển u ∈ Ns,ϕ (2.27) Ở Ns,ϕ : = S(−s)ϕ + Ns,0 = {u ∈ Xs,ϕ |u(t) = v(t) + ϕ(t − s), ∀t ∈ R, v ∈ Ns,0 } (ii) Nếu ω > kết tương tự đoạn hữu hạn [s, T ] với T ∈ (s, ∞) tùy ý Đây cách tiếp cận khác phương trình (2.27) Ta xét không gian sau Xs :={u : (−∞, ∞) → X|ut ∈ B, ∀t ≥ s, Dus ∈ D(A), u ∈ C([s, ∞), X) ∩ C((s, ∞), D(A)) ∩ C ((s, ∞), X), u ∞ < ∞; α (Du.) (s) ∈ Xα,∞ , ADus ∈ Xα,∞ , u , Au ∈ C∞ ([s, ∞), X)} (2.31) Ys := Ys ∗ × B ∗ , α Ys ∗ := {g ∈ C∞ ([s, ∞), X)|g(s) ∈ Xα,∞ } , B ∗ := {ϕ ∈ B|Dϕ ∈ D(A), ADϕ ∈ Xα,∞ } (2.32) (2.33) Ta dễ dàng suy bổ đề sau Bổ đề 2.3.4 Xs Ys trang bị hai chuẩn tương ứng u Xs := (Du.) (s) α,∞ + Dus A + u ∞ + u α + Au α 1/2 (2.34) g Ys := g α + ϕ ∞ + Dϕ A không gian Banach Ở A chuẩn A 31 + ADϕ + g(s) α,∞ 1/2 (2.35) Giả sử f : Xs → Ys thỏa mãn điều kiện f ∈ C (V (s), Ys ), (Df )(0) ≤ L−1 s,0 −1 , (Fs ) V (s) ⊂ Xs lân cận ϕ ∈ Xs toàn cục thứ hai (tương ứng địa phương) kết tồn (2.27) phát biểu sau Định lý 2.3.5 Giả sử điều kiện (H1) (Fs ) thỏa mãn (i) Nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) ω = ∈ ρ(A) với ω xác định (1.3), (b) ωA < có rs > lân cận Ns ⊂ Xs cho với (g, ϕ) ∈ Ys với (g − f (0), ϕ) Ys < rs có nghiệm cổ điển u ∈ Ns (2.27) (ii) Nếu ω > kết tương tự đoạn hữu hạn [s, T ] với T ∈ (s, ∞) tùy ý Chứng minh (i) Định nghĩa Ls : Xs → Ys (Ls u)(t) := d Dut − ADut , us , t ≥ s dt Với Ls,0 điều kiện (H2), (2.34), (2.35) với Định lý 2.2.5 bảo đảm toán tử Ls đơn ánh toán tử tuyến tính bị chặn Áp dụng định lý hàm ngược, ta thấy Ls ánh xạ Ys Thật vậy, lấy (g, ϕ) ∈ Ys , xét tích phân t e(t−σ)A g(σ)dσ, t ≥ Dut = Dϕ + s Theo Định lý 2.2.5, u nghiệm cổ điển d Dut = ADut + g(t) dt 32 (2.36) với hàm ϕ ∈ B Trong trường hợp ω = ∈ ϕ(A), ta sử dụng (1.5) (1.7) để tính lại bất đẳng thức (2.11) (2.12) Ta sup t,τ ∈[s,∞),t=τ ≤ ADut − ADuτ |t − τ |α K1,α ADϕ + g(s) α α,∞ + 2M1 M2 + 3M0 + +1 α α(1 − α) < ∞ Hơn nữa, ωA < ta sử dụng (1.7) (1.8) để tính (2.11) (2.12) Ta sup t,τ ∈[s,∞),t=τ ≤ ADut − ADuτ |t − τ |α K1,α ADϕ + g(s) α α,∞ + 2M1, M2, + 3M0, + +1 α α(1 − α) < ∞, với ∈ (0, −ωA ) Trong hai trường hợp, số α chọn độc lập với T Ta thấy Dut ADut có giới hạn t → ∞ Phân tích tích phân (2.36), ta t t (t−σ)A Dut = Dϕ + e e(t−σ)A g(t)dσ, t ≥ [g(σ) − g(t)]dσ + A s s Như vậy, t−s t−s eσA [g(t − σ) − g(t)]dσ + ADut = ADϕ + A AeσA g(t)dσ, với t ≥ Lập luận tương tự đề cập cho thấy ADut → ADϕ − g∞ , (Du.) (t) → ADϕ Dut → Dϕ − A−1 g∞ t → ∞ Như Ls phép đồng phôi tuyến tính từ Xs vào Ys Ta định nghĩa Ns : Xs → Ys Ns u := Ls u + (f (u), 0) Khi giả thiết (Fs ) ngụ ý 33 Ns ∈ C (V (s), Ys ), Ns (0) = (f (0), 0), DNs (0) = Ls DNs (0) − Ls = (Df (0), 0) ≤ L−1 s,0 −1 Theo định lý hàm ngược, khẳng định (i) định lý chứng minh (ii) Giả sử ∈ σ(A) thay [0, ∞) [0, T] với T cố định, < T i,j=1 Ta biết toán tử A định nghĩa Au = A(x, D)u, với miền D(A) := W2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω), toán tử quạt (xem[2], Định lý 4.2.3) tồn ω0 ∈ R cho ρ(A) ⊃ {λ ∈ C|Reλ ≥ ω0 } (xem [2], Định lý 4.4.2(ii)) 34 Ta giải Lp (Ω) toán: ∂ u(t, x) + ∂t t k1 (t − σ)u(σ, x)dσ −∞ t k1 (t − σ)u(σ, x)dσ = A(x, D) u(t, x) + −∞ + k2 (σ, u(t + σ, x)dσ + g(t, x)), (2.37) u(t, x) = 0, t ∈ R, x ∈ ∂Ω (2.38) −∞ với t ∈ R, x ∈ Ω Ở ϕ ∈ Cγ ; k1 hàm khả tích R+ k2 : (−∞, 0]×R → C liên tục khả tích Để nghiên cứu tồn nghiệm hệ (2.37) (2.38) ta giả định k2 hàm khả vi liên tục bậc với biến thứ hai cho tồn hàm không âm ηv ∈ L1 ((−∞, 0]), v = 0, 1, 2, thỏa mãn bất đẳng thức ∂v k2 (σ, u) ≤ cv ηv (σ)(Kv + |u|3−v ), v = 0, 1, 2, 3, v ∂ u (2.39) với σ ≤ u ∈ R; cv > Kv ≥ số ∂ Từ sau ta sử dụng ∂u k2 để kí hiệu đạo hàm riêng k2 biến thứ hai Lấy X = Lp (Ω) tập u : (−∞, ∞) → X xác định u(t)(x) = u(t, x) với x ∈ X Định nghĩa D : B → X t k1 (t − σ)u(σ, )dσ Dut = u(t) + −∞ Đặt f (u)(t) := k2 (σ, u(t + σ))dσ −∞ Khi hệ (2.37)  d  dt Dut u(t)(x)  u(t) (2.38) chuyển đổi thành hệ = ADut + f (u)(t) + g(t) , t ≥ s = , t ∈ R , x ∈ ∂Ω = ϕ(t) , t≤s 35 Định lý 2.4.1 Giả sử điều kiện (2.39) thỏa mãn k1 thỏa mãn (H1) Hệ (2.37) (2.38) thỏa mãn giả thiết Định lý 2.3.2(i) ∈ ρ(A) tương ứng thỏa mãn giả thiết Định lý 2.3.2(ii) ∈ σ(A) Nói cách khác Định lý 2.3.2 ứng dụng cho hệ (2.37) (2.38) với điều kiện (2.39) thỏa mãn Chứng minh Ta chứng minh hai trường hợp lúc Trong phần tiếp theo, c > K ≥ kí hiệu số khác Ta thấy f ánh xạ từ Xs,0 lên Ys,0 , lấy u ∈ Xs,0 tùy ý Từ (2.39) bất đẳng thức H¨older, ta có f (u)(t) p = −∞ k2 (σ, u(t ≤ c0 −∞ η0 (σ)(K0 c(K + u 3∞ ) ≤ + σ)dσ p + |u(t + σ)|3 )dσ p Dễ thấy, f (u) ∞ < ∞ Lấy t ≥ s h > 0, ta có f (u)(t + h) − f (u)(t) p [k2 (σ, u(t + h + σ)) − k2 (σ, u(t + σ))]dσ = −∞ ≤ −∞ ≤ p ∂ k2 (σ, ξ(t, h, σ))u(t + h + σ) − u(t + σ) dσ ∂u p c1 |η1 (σ)| ξ(t, h, σ) −∞ ≤ c(K + u pσ1 u(t + h + σ) − u(t + σ) pσ2 dσ α ∞ )[u]C α ([s,∞),X) h , σ1 σ2 liên hợp H¨older ξ(t, h, σ) = u(t + σ) + τ (t, h, σ)[u(t + h + σ) − u(t + σ)], với < τ (t, h, σ) < Ta thấy f ∈ C (Xs,0 , Ys,0 ) Df (0) = 36 Lấy u, v ∈ Xs,0 đặt ∂ k2 (σ, u(t + σ))v(t + σ)dσ −∞ ∂u ∂ k2 (σ, u(t + σ))v(t + σ)]dσ = [k2 (σ, (u + v)(t + σ)) − k2 (σ, u(t + σ)) − ∂u −∞ ∂2 = (1 − ρ) k2 (σ, u(t + σ) + ρv(t + σ))v (t + σ)dσdρ −∞ ∂u Rv (t) := f (u + v)(t) − f (u)(t) − Do Rv (t) p (1 − ρ) ≤ −∞ 0 ≤c (1 − ρ) ∂2 k2 (σ, u(t + σ) + ρv(t + σ)) ∂u2 c2 |η2 (σ)|( K2 p −∞ + u(t + σ) (1 − ρ)(K + u =c ∞ ≤ c(K + u Vậy Rv Xs,0 ∞ + v +ρ v Xs,0 ) < c(K + u v ∞ )dρ Xs,0 Xs,0 + v p v (t + σ) pτ1 ∞ v Xs,0 ) v Xs,0 , |.|1 kí hiệu chuẩn Rv (t + h) − Rv (t) = I1 + I2, với ∂2 I1 = (1 − ρ) [k (σ, u(t + h + σ) + ρv(t + h + σ)) 2 −∞ ∂u − k2 (σ, u(t + σ) + ρv(t + σ))]v (t + h + σ)dσdρ dσdρ + ρ v(t + σ) p )dσdρ v hàm giá trị vô hướng L1 τ1 , τ2 liên hợp H¨older Ta có : pτ2 ∂2 I2 = (1 − ρ) [k (σ, u(t + σ) + ρv(t + σ)] 2 −∞ ∂u [v (t + h + σ) − v (t + σ)]dσdρ 37 ∞ Như vậy, I1 p ∂3 = (1 − ρ) || k2 (σ, ξ(ρ, t, h, σ)){[u(t + h + σ) − u(t + σ)] −∞ ∂u + ρ[v(t + h + σ) − v(t + σ)]}||pβ1 v (t + h + σ) pβ2 dσdρ ≤c (1 − ρ) |η3 (σ)|K3 ( u(t + h + σ) − u(t + σ) −∞ p + ρ v(t + h + σ) − v(t + σ) p ) v (t + h + σ) p dσdρ α ≤ ch (1 − ρ)( u ≤ chα ( u Xs,0 + v ∞ +ρ v Xs,0 ) v ∞ )dρ Xs,0 v2 ∞ , (2.40) β1 , β2 liên hợp H¨older ξ(ρ, t, h, σ) = u(t + σ) + ρv(t + σ) + γ(ρ, t, h, σ)[u(t + h + σ) + ρv(t + h + σ) − u(t + σ) − v(t + σ)] Mặt khác, I2 p ≤ (1 − ρ) c2 η2 (σ)[K2 + u(t + σ) + ρv(t + σ)] −∞ × [v (t + h + σ) − v (t + σ)] p p dσdρ ≤c (1 − ρ)(K + u(t) p + ρ v(t) p )dρ × [v(t + h) + v(t)][v(t + h) − v(t)] ≤ c(K + u ∞ + v α ≤ ch (K + u ∞ ≤ chα (K + u Xs,0 ∞) + v + p v(t + h) + v(t) ∞ )[v]C α ([s,∞),X) v Xs,0 ) v 2X , s,0 v pr1 v(t + h) − v(t) pr2 ∞ (2.41) r1 , r2 liên hợp H¨older Theo (2.40) (2.41) tồn hàm dương ψ phụ thuộc vào u cho h−α Rv (t + h) − Rv (t) 38 p ≤ ψ(u) v Xs,0 Do đó, Rv Ys,0 ≤ ψ(u) v Xs,0 Ta thấy với u ∈ Xs,0 , ánh xạ ∂ k2 (σ, u( + σ))v( + σ)dσ −∞ ∂u v→ toán tử tuyến tính bị chặn từ Xs,0 vào Ys,0 Với t ≥ s h > ∂ k2 (σ, u(t + σ))v(t + σ)dσ ∂u −∞ ≤ −∞ ∂ k2 (σ, u(t + σ)) ∂u ≤ c(K + u ≤ ψ1 (u) v Xs,0 Xs,0 ) v p v(t + σ) pλ2 dσ pλ1 Xs,0 hα −∞ ≤ −∞ + −∞ ∂ ∂ k2 (σ, u(t + h + σ))v(t + h + σ) − k2 (σ, u(t + σ))v(t + σ) dσ ∂u ∂u u(t + h + σ) − u(t + σ) ∂ k (σ, ξ(t, h)) v(t + h + σ) dσ ∂u2 hα p ∂2 v(t + h + σ) − v(t + σ) k (σ, u(t + h) ∂u2 hα ≤ c(K + u ≤ ψ2 (u) v Xs,0 Xs,0 + u Xs,0 ) v dσ p Xs,0 Định lý 2.4.2 Giả sử điều kiện (2.39) thỏa mãn, k1 thỏa mãn (H1) −1 |η1 |1 ϕ 2∞ ≤ L−1 hệ (2.37) thỏa mãn giả thiết Định s,0 lý 2.3.3(i) Ω bị chặn tương ứng thỏa mãn giả thiết Định lý 2.3.3(ii) Ω không bị chặn Chứng minh Ta chứng minh miền bị chặn không bị chặn lúc 39 p Ta Fs,ϕ thỏa mãn Theo Định lý 2.4.1, ta có (Df )(u)v = ∂ k2 (σ, u( + σ))v( + σ)dσ −∞ ∂u (2.42) Bởi (2.30) (2.42) ta dễ dàng thấy với v ∈ Xs DF (0)v = ∂ k2 (σ, ϕ( − s + σ))v( + σ)dσ −∞ ∂u Do (2.39) DF (0) ≤ |η1 |1 ϕ −1 điều kiện |η1 |1 ϕ 2∞ ≤ L−1 s,0 ∞ Vậy (Fs,ϕ ) thỏa mãn với Với α > 0, ta định nghĩa −α (−A) ∞ := Γ(α) tα−1 T (t)dt, với hàm Euler Γ định nghĩa ∞ e−θt tθ−1 dt Γ(θ) = Tập D(−A)α = R((−A)−α ) (−A)α = ((−A)−α )−1 , đó, kí hiệu R((−A)−α ) miền giá trị (−A)−α Vậy D(−Aα ) ⊂ Xα,∞ (xem.[2], Mệnh đề 2.2.15) Nếu ta thay Xα,∞ D(−Aα ) định nghĩa (2.31)-(2.33) Định lý 2.2.6 Định lý 2.3.5 Ta giả sử k2 (σ, u(t + σ)) = η(σ)k(u(t)), (2.43) với σ ∈ (−∞, 0] t ≥ s ; η hàm khả tích (−∞, 0] k hàm liên tục bị chặn R cho u ∈ D((−A)1+α ) ⇒ k(u) ∈ D((−A)α ) Một ví dụ cụ thể với (2.44) cho f (u) = cos(u) Rõ ràng u (t) = (I − Ka )−1 40 d Dut , ∀t ≥ s dt (2.44) Nếu u ∈ Xs d Dut |t=s ∈ D((−A)α ) dt hay u (s) − (da ∗ u)(s) ∈ D((−A)α ) (2.45) Vì (AKa u)(t) = (Ka Au)(t) nên u(t) ∈ D(A), điều hàm ý u (s) = (I − Ka )−1 d Dut |t=s ∈ D((−A)α ) dt (2.46) Tương tự Dus ∈ D(A) ⇒ u(s) ∈ D(A) (2.47) ADus ∈ D((−A)α ) ⇒ Au(s) ∈ D((−A)α ) (2.48) Dễ thấy u(s) ∈ D((−A)1+α ) Vì f (u)(s) = k2 (σ, u(s + σ))dσ −∞ = η(σ)k(u(s))dσ −∞ = |η|1 k(u(s)) ∈ D((−A)α ) Như vậy, u ∈ Xs f (u) ∈ Ys từ kéo theo định lý sau Định lý 2.4.3 Giả sử điều kiện (2.43) (2.44) thỏa mãn Nếu k1 thỏa mãn (H1) kết Định lý 2.3.5 áp dụng cho hệ (2.37) (2.38) với điều kiện không gian Xα,∞ (2.31) − (2.33) thay D(−Aα ) 41 KẾT LUẬN Luận văn tập trung nghiên cứu:"Tính giải toàn cục phương trình Parabolic Voltera nửa tuyến tính với trễ vô hạn." Để thực thành công nhiệm vụ nghiên cứu giải vấn đề : + Thiết lập số giả thiết đưa kết bổ trợ + Nghiên cứu tính giải địa phương toán tuyến tính + Nghiên cứu tính giải địa phương với phương trình nửa tuyến tính + Đưa số ví dụ ứng dụng Với phạm vi thời gian kiến thức có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu xót Kính mong thầy, cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Trần Đình Kế (2016), Nửa nhóm toán tử tuyến tính ứng dụng, Nxb Đại học Sư phạm Tiếng Anh [2] A Lunardi, Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems, Birkh¨a ser Verlag, 1995 [3] B K Driver, Analysis Tools with Applications, Springer Verlag, 2003 [4] Hsiang Liu, Sy-Ming Guu, Chin-Tzong Pang(2016), "Global existence for a semi-linear Volterra parabolic equation and neutral system with infinite delay", Applied Mathematical Modelling, pp 1-24 [5] J K Hale, K R Meyer, Class of functional equations of neutral type, Mem.Am.Math.soc., 76, 1967 [6] M Adimy, H Bouzahir, K Ezzinbi, Existence and stability for some partial neutral functional diferential equations with infinite delay, J Math Anal Appl 294(2004) 438-461 43 [7] R.A Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975 [8] Y Hino, S Murakami, T Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, Springer Verlag, 1991 44 ... là: "Tính giải toàn cục phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính giải toàn cục phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn. .. Chương 2: Tính giải toàn cục phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn 2.1 Phát biểu toán 2.2 Tính giải địa phương toán tuyến tính 2.3 Tính giải địa phương với phương trình nửa... cứu + Đối tượng: Phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn +Phạm vi: Nghiên cứu tính giải toàn cục phương trình Parabolic Volterra nửa tuyến tính với trễ vô hạn Nhiệm vụ nghiên