Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY I.Các phím cần dùng Phím CALC (Solve) -Phím CALC máy tính Casio có chức gán giá trị , tính hay máy Ví dụ: Nhập biểu thức X+1 vào máy tính tính giá trị biểu thức với x =1, x=2, x=3 B1: Ấn Alpha (để nhập biến x) +1 B2: Ấn phím CALC máy X? B3: Bấm phím ấn ‘=’ ta thu kết thay x=1 vào biểu thức Kết luận : Như ta thấy máy thay biến X giá trị nên X +1 hiểu 1+1 =2 Đến bạn đọc hiểu công dụng phím CALC thử thay x=2 ,x=3 … chí biểu thức phức tạp để hiểu rõ phím Còn đến phần tính giới hạn II Tìm giới hạn Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 Dạng chứa lũy thừa VD Hình ảnh câu lim dạng lũy thừa: a lim (2)n  4.5n1 2.4n  3.5n 2n  3n  4n3 b lim n n1 n1 3  c lim 2n  3n  4.5n2 2n1  3n2  5n1 Vậy để làm ta phải làm thể ? -Nhập biểu thức vào máy tính -Ta CALC cho x =100 ấn ‘=’ máy cho kết Dạng x -> +  x -> -  VD Hình ảnh câu lim dạng x -> +  x -> -  : a xlim  x2  x  x2 b lim ( x3  2x2  x  4) x x2  x  x x3  2x  lim Vậy để làm ta phải làm thể ? -Nhập biểu thức vào máy tính -Vì x tiến đến âm vô , dương vô số vô lớn vô bé nên ta gán x số vô vô bé phím CALC Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 + Nếu x ->+  , ta bấm CALC nhập 99999999 ( Được hiểu số vô lớn ứng với +  ) + Nếu x ->-  , ta bấm CALC nhập -99999999 (Được hiểu số vô bé ứng với -  ) Lưu ý: Theo kinh nghiệm bạn nên nhập khoảng từ đến số có nhiều trường hợp nhập nhiều số sai kết quả, trường hợp đáp án là nên CALC lại giảm bớt số xuống khoảng đến lần để kiểm tra xem đáp án có không, ta nói kĩ ví dụ Dạng x-> x0 ; x-> x0- ; x-> x0+ VD Hình ảnh câu lim dạng x-> x0 ; x-> x0- ; x-> x0+ : a lim x 3  x2 x 1  b lim x 3 x3  27  x  4x  Vậy để làm ta phải làm thể ? -Nhập biểu thức vào máy tính -Vì x tiến đến số x0 không x = x0 ta CALC x0 +0,000000001 x0 – 0,00000000001 số gần x0 không x0 + Nếu x-> x0, ta bấm CALC nhập x0 +0,00000001 x0 -0,00000001 +Nếu x-> x0+ số lớn x, ta bấm CALC nhập x0 + 0,00000001 +Nếu x-> x0- số nhỏ x, ta bấm CALC nhập x0 - 0,00000001 Lưu ý: Cũng ta nên nhập từ đến số sau dấu phẩy Kết thị -Nếu sau CALC máy kết từ đến chữ số kết Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 cần đối chiếu đáp án khoanh - Nếu sau CALC máy kết dãy số dài kết vô nhìn dấu để biết â hay dương vô VD 9898695869586958 dương vô cùng; -5438938759345 âm vô ,85985445.1034 dương vô cùng,… -Nếu sau CALC máy kết có 10 mũ âm kết VD 32323.10-20=0,000000000000000032323 số rất bé nên III Ví dụ minh họa 3n2  5n  VD1 lim  n2 B1 Nhập biểu thức vào máy tính B2 Bấm CALC nhập 9999999 ấn ‘=’ ta kết -3 VD2 xlim  x2  x  x2 B1 Nhập biểu thức vào máy tính Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa B2 Bấm CALC nhập 9999999999 ấn ‘=’ ta kết -1 VD3 lim ( x3  2x2  x  4) x B1 Nhập biểu thức vào máy tính B2 Bấm CALC nhập 9999999999 ấn ‘=’ ta kết dãy số lớn nên kết dương vô với nói mục kết hiển thị bên VD4 lim x 3  x2 x 1  B1 Nhập biểu thức vào máy tính B2 Bấm CALC nhập 3+0,00000000001 ấn ‘=’ ta kết số sấp sỉ 24 đáp án 24 VD5 xlim  2x  x  x x2 1 B1 Nhập biểu thức vào máy tính Sđt: 01252344751 Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 B2 Bấm CALC nhập -9999999999 ấn ‘=’ ta kết -2 VD6 lim x 1 x2  2x   3x  x3 B1 Nhập biểu thức vào máy tính B2 Bấm CALC nhập 1+0,00000001 10,00000001 ấn ‘=’ ta kết -2 -Đến ta đối chiếu đáp án với phân số đề cho cách đổi phân số số thập phân biến dãy số 0,777778 thành phân số cách: -Nhập phần nguyên trước , bấm dấu sau ấn phím Alpha phím nhập chu kì tuần hoàn dãy số ấn phím ‘=’ Vậy ta đổi số thập phân 0,77777778 thành 7/9 đáp án 7/9 (2)n  4.5n1 VD7 lim 2.4n  3.5n Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 B1 Nhập biểu thức vào máy tính B2 Bấm CALC nhập 100 bấm ‘=’ ta thu kết 6,6666666 B3 Nhập phần nguyên trước số -6 , bấm dấu sau ấn phím Alpha phím nhập chu kì tuần hoàn dãy số -6 ấn phím ‘=’ Vậy kết cuối 20 2n  3n  4n3 VD8 lim n n1 n1 3  B1 Nhập biểu thức vào máy tính B2 Bấm CALC nhập 100 ấn ‘=’ ta thu kết -256 2n  3n  4.5n2 VD9 lim n1 n2 n1 3 5 Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 B1 Nhập biểu thức vào máy tính B2 Bấm CALC nhập 100 ấn ‘=’ ta thu kết 20 VD10 lim x( 2)  3x  x2 B1 Trước tiên ta phải nhập giá trị tuyệt vào máy cách ấn phím Shift B2 Nhập biểu thức vào máy tính B3 Bấm CALC nhập 2+0,00000001 ( x >2) ta kết 2x  3x  VD11 lim x1 x3  x  x  Cách B1 Nhập biểu thức vào máy tính Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 B2 Bấm CALC nhập 1+0,00000001 ta kết 1/2 Cách : Quy tắc l'Hôpital -Dạng chung quy tắc l'Hôpital bao gồm nhiều trường hợp khác Giả sử c L số thuộc tập số thực mở rộng (tức bao gồm tập số thực hai giá trị dương vô âm vô cùng) Nếu lim f ( x)  lim g ( x) lim f ( x)   lim g ( x)   x c Và giả sử lim xc Thì lim x c x c x c x c f '( x) L g '( x) f ( x) L g ( x) 2x  3x  4x  Ta có lim = lim  x1 x  x  x  x 1 x  x  -Ứng dụng qui tắc ta nhẩm nhanh nhiều câu vài giây nhiên định lý áp dụng cho dạng vô định ;  áp dụng cho  dạng khác không cho kết VD lim x2 x3  x  x  x2  3x  Cách B1 Nhập biểu thức vào máy tính Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa B2 Bấm CALC nhập 2+0,00000001 ta kết 14 Cách Ta có lim x2 x3  x  x  3x2  x  3.22  2.2  lim  14 = x2 = 2.2  x2  3x  2x  x3  4x  4x  VD lim x3 x2  3x Cách B1 Nhập biểu thức vào máy tính B2 Bấm CALC nhập 3+0,00000001 ta kết 7/3 Cách Ta có lim x3 VD lim1 x 3x2  8x  3.32  8.3  x3  4x  4x  lim   = x3 2x  x2  3x 2.3  3 8x  6x  5x  Cách B1 Nhập biểu thức vào máy tính B2 Sđt: 01252344751 Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 B2 Bấm CALC nhập 0,5+0,00000001 ta kết Cách 2 1 24   24x 1 = 2 6 Ta có lim1 8x lim1  x 12x  x 6x  5x  12  2 VD11 Tính tổng S=     -Nhìn câu nhiều bạn nhận cấp số nhân lùi vô hạn u việc tính tổng dễ dàng nhờ vào công thức Sn  nhiên không nhớ 1 q công thức ta tính tổng dãy số nhờ vào máy tính bỏ túi -Chúng ta dùng phím Shift ấn máy tổng xích ma dùng cho việc tính tổng -Muốn tính tổng trước tiên ta phải tìm số hạng tổng quát dãy số 1 1 số hạng tổng quát     ta thấy dãy số có công bội 2n -Sau có số hạng tổng quát ta bắt đầu tính tổng B1 Nhập số hạng tổng quát vào ô Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 B2 Nhập vào ô x= giá trị khởi đầu x 10  B3 Nhập vào ô lại giá trị cuối n, n lớn nên ta mặc định coi 100 B4 Ấn ‘=’ đợi lúc ta thu kết -Nhờ có công cụ xích ma ta dễ dàng tính tổng dãy số mà không cần dùng công thức, nhiên việc quan trọng ta phải tìm số hạng tổng quát dãy số, ứng dụng thành thạo ta dễ dàng tính tổng tính lim Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 chứa dãy số cấp số nhân cấp số cộng hay dãy số VD Tỉnh tổng 1+ 0,9  (0,9)  (0,9)  B1 Tìm số hạng tổng quát dãy số -Ta thấy qui luật số hạng sau nhân thêm lần 0,9 số hạng tổng quát 0,9n B2 Nhập số hạng tổng quát vào ô B3 Cho x chạy từ x=0 (vì x0=1) đến 100 ta qui ước bên ta thu kết 9,999 tương đương kết 10   32   3n VD lim   42   4n Phương pháp: - Thứ có dãy tổng ta phải bấm lần xích ma - Thứ hai dãy số đa cho số hạng tổng 4n 3n nên ta cần điền số hạng tổng quát vào xĩhs ma cho x chạy từ x=0 đến 100 B1 nhập biểu thức Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 B2 cho x chạy từ đến 100 ấn ‘=’ ta thu kết (Có thể 1-2 phút) Kết thu dãy số với mũ âm 3,608.10-13 tương đương 0.00000000000003608 số nhỏ nên đáp án VD lim  1 1       n(n  1)   1.2 2.3 3.4 Phương pháp: -Ta thấy dãy số cho số hạng tổng quát toán trở nên dễ dàng hơn, ta cần nhập số hạng tổng quát vào xích ma cho x chạy từ (vì n=1 thay vào số hạng tông quát ta số hạng đâu tiên) 1.2 dến 100 B1 Nhập biểu thức B2 Cho x chạy từ đến 100 ấn ‘=’ ta kết 0.99 tương đương kết *Lưu ý: Đối với tính tổng xích ma bạn cho n lớn đáp án xác lớn máy tính lâu bị tràn hình IV Bài tập áp dụng Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Bài 1: Tìm giới hạn dãy số sau Sđt: 01252344751 Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 Bài Tính giới hạn dãy số sau Câu Cho dãy số (un) với un= 2n n5 n.3 B A C D -1 Câu Gía trị lim ( n2 -2n-1) bằng: B + A 111 111 000  Câu Giá trị lim  D -1 2n3  n  n4 bằng: n2 (2n2  1) B + A -1 C -  C  D Câu Giá trị lim ( n2  2n   n  ) bằng: A B.1 Câu Gía trị lim A C.2 D.3 4n1  5n  : 6n  5n B C , D Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 32n2  4.2n Câu Giá trị lim n1 n bằng: 4 A B C -1 D Câu Giá trị lim 4n  5n : 4n2  3n4 B - A 15 C  D 2n  4sin3 n Câu Giá trị lim bằng: 3n  B A C +  Câu Giá trị lim   32   3n :   42  4n B A D C D Câu 10 Đặt S=         Giá trị S : 3 3 B A C 3 D Bài Tìm giới hạn hàm số sau Câu Gía trị lim x 2 4  15 A 2x  3x   bằng: x3 B C x3  3x  Câu Gía trị lim : x1 x2 1 D Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa B A Sđt: 01252344751 C D ( x2  5x  6)( x3 1) Câu Giá trị lim bằng: x2  x2 B A Câu Gía trị xlim  Câu Gía trị xlim 2 A  A   D -  D 13 16 2x   x  16  x B  48 48 Câu Gía trị lim x 3 C + C 13 Câu Gía trị lim x 4 3x  x   2x  x2 B D 3x3  3x  bằng: 4x  x2 B A A 5 C  C 49 D x3  27 bằng:  x  4x  B C D.-57 2x  11x  Câu Gía trị lim bằng: x 5 4x   x A B C D -16 Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Câu Gía trị lim x 1 x2  2x   3x  x3 A Câu `10 Gía trị xlim  A Sđt: 01252344751 B  C D C -2 D -3 x2  x  x2 B -1 Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Sđt: 01252344751 ... với tính tổng xích ma bạn cho n lớn đáp án xác lớn máy tính lâu bị tràn hình IV Bài tập áp dụng Phạm Minh Đức - H/s THPT Đống Đa Bài 1: Tìm giới hạn dãy số sau Sđt: 01252344751 Phạm Minh Đức -. .. Dạng x-> x0 ; x-> x 0- ; x-> x0+ VD Hình ảnh câu lim dạng x-> x0 ; x-> x 0- ; x-> x0+ : a lim x 3  x2 x 1  b lim x 3 x3  27  x  4x  Vậy để làm ta phải làm thể ? -Nhập biểu thức vào máy tính. .. 5n1 Vậy để làm ta phải làm thể ? -Nhập biểu thức vào máy tính -Ta CALC cho x =100 ấn ‘=’ máy cho kết Dạng x -> +  x -> -  VD Hình ảnh câu lim dạng x -> +  x -> -  : a xlim  x2  x  x2 b