TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT) ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN Kiến thức giới hạn dãy số giới hạn hàm số sở của hai phép tính đạo hàm tích phân phổ thông trung học Kiến thức vế giới hạn khó người học mà khó người dạy Trong tình hình để cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm Để giúp giăm bớt khó khăn nên soạn đề tài Giải pháp thực máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy số: Quy ước : máy tính biến n nên ta ghi x thay cho n • Gặp số : C  1010 ,C  10 20 … đọc (dấu C) nhân vô cực với C số ( ý lớn 10) 10 ví dụ -5  10 ( đọc âm vô cực ghi   ) • Gặp số C  10 12 đọc ( Chú ý số mũ nhỏ – 10 ) ví dụ: 15  10 12 đọc A Dãy có giới hạn • Ví dụ 1: lim  1n máy ghi :  1x calc x ? nhập 1010   n5 x5 11 Kq : 9.99999995 10 ta đọc Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: (sau mở máy) a(z1)^Q)RQ)+5 Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: r, hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến trình bấm máy) Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY  Ta nhập tiếp: 10^10= Màn hình xuất hiện: Kq : 9.99999995 10 11 ta đọc Vậy lim  1n n5 0 (1) n cos n (1) x cos x • Ví dụ 2: lim nhập calc máy n2 1 x2 1 Math ERROR - Vận dụng định lý Nếu u n  v n với n lim  lim u n  - Ta cần ghi Vậy lim calc x ? nhập 1010   kết 1 10 20 đọc x 1 (1) n cos n 0 n2 1 • Ví dụ 3: lim  1n máy ghi n 1 (1) x calc x ? 100 kq: 3.84430 26 x10 31 2x 1 đọc Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: (sau mở máy) a(z1)^Q)R2^$Q)+1 Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: r, hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: 100= Màn hình xuất hiện: Vậy lim  1x 2x 1 0 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Tìm giới hạn ( 1) n lim 2n   (n  1) lim n2 B.Giới hạn hữu hạn :   1n  lim sin n n5 lim cos 2n n3   1n • Ví dụ 1: lim 2   máy ghi:  n2 n2  calc x ? nhập 1010   kq Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: 2+a(z1)^Q)RQ)+2 Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: r, hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: 10^10= Màn hình xuất hiện:   1n  lim 2   =2 n2  • Ví dụ 2: lim  sin 3n sin 3n   mà lim  lim (-1)=-1  1  1 n 4n n  4n  sin 3n  nên lim   1  1  4n  • Ví dụ lim n  3n  n 1 Cách bấm máy: Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY  Nhập vào máy tính: aQ)^2$p3Q)+5R2Q)^2$p1 Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: r, hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: 10^15= Màn hình xuất hiện: lim n  3n  = 0.5 n 1 Với cách bấm máy tương tự cho ví dụ sau:  2n  4n  3n   2n  4n  3n  máy ghi n  5n  n  5n  calc x ? nhập 1015   Kq – • Ví dụ : lim  2n  4n  3n   2 Vậy lim n  5n  Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY X 1  X  11 1 calc x=100 kq X 2 X 3 2 4 n 1 n   11   Vậy : lim n  n 3 2 4 • Ví dụ 5: máy ghi lim • Ví dụ 6: lim 13  X  15 13.3 n  15 máy ghi calc X ? nhập 100    X  4.5 X n  n 3.19755 x10 17 đọc 13.3 n  15  ( ý dấu nhân không ghi dấu chấm ) Vậy lim n 3.2  4.5 n C Giới hạn vô cực :  n  3n   n  3n  máy ghi 2n 11 2n 11 calc x ? nhập 1015   kq  5 1014 đọc âm vô cực • Ví dụ 1: lim lim  n  3n    2n 11 Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: azQ)^3$p3Q)+5R2Q)d+11 Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: r, hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến trình bấm máy) Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY  Ta nhập tiếp: 10^15= Màn hình xuất hiện: lim  n  3n    2n 11 • Ví dụ : lim 5n  3n  1 máy ghi : 5n  3n  1 calc x ? nhập 1015   kq 5 10 30 (Đọc dương vô cực ) Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: 5Q)dp3Q)+1 Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: r, hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: 10^15= Màn hình xuất hiện: Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Vậy lim  n  3n    2n 11 • Ví dụ 3: lim 3n  5n  n  máy ghi : 3n  5n  n  calc x ? nhập 1015   kq : 1.73205 08  10 30 ( đọc dương vô cực ) Vậy : lim 3n  5n  n    (Nhập tương tự ví dụ 2) *Nếu f n  với f(n) ,g(n) đa thức theo n Ta ý đến số hạng g n  chứa mũ cao n biểu thức f(n) ,g(n)  2n  2n  3n  máy ghi calc x ? nhập 1015 2 3n 3n  14  6.66666667  10 (đọc âm vô cực ) • Ví dụ 1: lim   kq: Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: az2Q)^3R3Q)d Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: r, hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến trình bấm máy) Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY  Ta nhập tiếp: 10^15= Màn hình xuất hiện: Vậy lim  2n  3n    3n  Tương tự cho ví dụ bên • Ví dụ 2: lim n  n  5n  máy ghi n  12 n6 n calc x ? nhập 1015   kq 1 10 30 ( đọc dương vô cực ) Vậy lim n  n  5n    n  12 • Ví dụ 3: lim 3n  2n  máy 3x  calc x ? 100   4065611 x1017 đọc   2x 1 *CHÚ Ý : Gặp a n nhập n = 100 Vậy lim 3n    2n 1 n  4n  3n  n  n  4n  0 lim 3n  n  • Ví dụ : lim Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép máy ghi n2 3n calc x ? nhập 1015   kq :0 Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 2n  3n  2n máy ghi calc x ? nhập 1015 2n 2n  n  • Ví dụ 5: lim   kq: 2 Nếu gặp dạng tổng- hiệu hai cần ý lượng liên hợp rút gọn trước áp dụng dạng   • Ví dụ 1: lim n  n   n ta có n n   Vậy lim n  n   n  n 1  n 1  n  máy 2 • Ví dụ 2: lim  n  n 1  n  calc x ? nhập 1015   kq: n ghi n n   n 1 ta có n   n 1  n   n 1  n Mà lim n   Vậy : lim n   n 1 • Ví dụ 3: lim kq:   máy ghi calc x ? nhập 1015   3n  2n 3n   2n  1  ( hệ số trước n lệch không vậy: lim 3n   2n  cần nhân lượng liên hợp • Ví dụ 4: lim   kq: n2 1  n 1 3n  n2  n calc x ? nhập 1015 3n máy ghi : Bài tập rèn luyện : Tìm giới hạn sau: 4n  n  1 lim (KQ :2)  2n Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép lim 3n   n  2n (KQ: ) Trang 10 TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY lim  n     (KQ:   ) n 1 2n  3n  lim (KQ: -3) n3  n2 lim n  n   4n  (KQ: -1 ) n3   lim 2  3n 3 n  1  4n  (KQ: • Ví dụ 1: lim x  x  10 x  máy viết : 𝑥→2 27 ) 3n  n  lim (KQ: -1) 2.4 n  n B GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM: Lim 𝑓(𝑥) Nếu f x  xác định x0 viết f x  calc ? x0   𝑥→𝑥0 ) lim n  n  n  (KQ: x  x  10 x  f  x0  calc X ?   48 Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: Q)^3$+5Q)d+10Q) Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: r, hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: 2= Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 11 TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Màn hình xuất hiện: Vậy lim x2 x  x  10 x   48 Tương tự cho ví dụ • Ví dụ 2: lim x1 x  5x     f 1 x2 CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH: 2.1 Dạng f x  Khi tìm lim x x0 mà f x0   g x0   g x  • Ví dụ : lim x2 x2  x  3x  máy ghi x2  calc X ? nhập x  3x  2,000001 ( lớn tí ti ) máy 3,999997 làm tròn đọc hay nhập x= 1,999999999 ( nhỏ tí ti )   Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: aQdp4RQ)dp3Q)+2 Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: r, hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến trình bấm máy) Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 12 TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY  Ta nhập tiếp: 2.000001= Màn hình xuất hiện: Vậy lim x2 x2  4 x  3x  Tương tự cho ví dụ x  3x  x  3x  máy ghi calc X ? x  4x  x  4x  x  3x  1  Nhập 0,9999999   Vậy lim x1 x  4x  x  x  72 x  x  72 • Ví dụ 5: lim x3 máy ghi calc X ? nhập x  2x  x  2x  • Ví dụ 4: lim x1 3,0000001 kq :25,50000069 đọc 25,5 nhập 2,9999999 kq : 25,49999993 đọc 25,5 x  x  72 51  Vậy lim x3 2 x  2x     • Ví dụ 6: lim x1     calc X ? nhập  máy ghi   x 1 x 1  x 1 x 1 1 1,000000001   KQ :   • Ví dụ : lim x1  máy ghi  calc X ? nhập     1 x 1 x  1 x 1 x  1,000000001   -1 KQ: -1 Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 13 TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY x4  a4 x4  a4 máy ghi calc xa xa chọn a = x  kq: chọn a =1 x  kq :4=  13 chọn a = x  kq:32=  chọn a = x  kq :108 =  33 x4  a4  4a Vậy lim xa xa • Ví dụ 8: lim xa Nhận xét nầy thực phép chia giải tự luận nhẹ ! Bảng chia Hoc ne Hệ số 0  a4 x a a a2 a3 lim x a x  a x  ax2  a x  a   lim 2.2 DẠNG: xa xa x   ax2  a x  a  4a f x   Thường gặp x   dạng không chứa bậc g x   chẳn tính giới hạn dãy Chỉ khác n thay x, x   nhập  1010 3x  x  3 máy ghi calc X ? 10 20 KQ: 2  2x  2x  • Ví dụ 1: lim x 3x  x   2x3  2x  • Ví dụ 2: lim x x  3x  x  3x  máy ghi: calc X ?  1010 KQ:    x3  2x   x3  2x  x  3x  x  3x  máy ghi: calc X ? 1010 KQ: 3  x  2x   x  2x  • Ví dụ 3: lim x   10 20   (đọc trừ vô cực ) • Ví dụ : lim x x  3x  x máy ghi 3x  Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép x  3x  x calc X ?  10 20 KQ : 3x  Trang 14 TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 4x  2x    x • Ví dụ 5: lim X  TH1: lim X  TH2: lim X  x  3x  x 4x  2x    x x  3x  x 4x  2x    x x  3x  x CALC X ? 10 20 (trong căn) KQ: CALC X ?  10 20 KQ: • Ví dụ 6: lim X  ( x  x   x) dạng     Máy ghi x 1 x2  x 1  x CALC X? 10 20 KQ • Ví dụ 7: lim X  ( x  x   x) Khi dạng     nên không cần nhân lượng liên hợp Máy ghi : ( x  x   x) CALC  10 20 KQ  10 20 đọc   Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 15 ... 26 x10 31 2x 1 đọc Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: (sau mở máy) a(z1)^Q)R2^$Q)+1 Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Màn hình xuất hiện:  Sau nhập:... dụ 1: lim 2   máy ghi:  n2 n2  calc x ? nhập 1010   kq Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: 2+a(z1)^Q)RQ)+2... 1015 3n máy ghi : Bài tập rèn luyện : Tìm giới hạn sau: 4n  n  1 lim (KQ :2)  2n Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép lim 3n   n  2n (KQ: ) Trang 10 TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY lim