Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU MỤC LỤC CHỦ ĐỀ HÌNH NĨN, MẶT NĨN, KHỐI NĨN CHỦ ĐỀ MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ 17 CHỦ ĐỀ MẶT CẦU - HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU 30 Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU CHỦ ĐỀ HÌNH NĨN, MẶT NĨN, KHỐI NĨN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng  Xét đường thẳng d cắt  O khơng vng góc với  (Hình 1) Mặt tròn xoay sinh đường thẳng dnhư quay quanh  gọi mặt nón tròn xoay (hay đơn giản mặt nón)  gọi trục mặt nón d gọi đường sinh mặt nón O gọi đỉnh mặt nón Nếu gọi  góc d  2 gọi góc   đỉnh mặt nón 00  2  1800 Hình nón tròn xoay Cho ΔOIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón tròn xoay(gọi tắt hình nón) (hình 2) Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón Hình tròn tâm I, bán kính r = IM đáy hình nón Cơng thức diện tích thể tích hình nón Cho hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r đường sinh ℓ có: Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l Diện tích đáy (hình tròn): Sd  r Diện tích tồn phần hình tròn: S  Sd  Sxq V  r h Thể tích khối nón: Tính chất Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh→Thiết diện tam giác cân Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vng góc với trục hình nón→giao tuyến đường tròn + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến nhánh hypebol + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến đường parabol B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Gọi l,R,h độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Đẳng thức sau ln 2 1 A l  h  R B   l h R 2 C R  h  l D l  hR Hướng dẫn giải Áp dụng định lý Pitago tam giác S vng SOA ta có 2 SA2  SO2  OA2 hay l  h  R l h Vậy chọn đáp án A O R A Câu Gọi l,R,h độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón (N) Diện tích xung quanh S xq hình nón (N) A S xq   Rl C S xq  2 Rl B S xq   Rh D S xq   R h Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức S xq   Rl Vậy ta chọn đáp án A Câu Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón (N) Diện tích tồn phần Stp hình nón (N) A Stp  Rl  R2 B Stp  2 Rl  2 R C Stp   Rl  2 R D Stp   Rh   R Hướng dẫn giải Stp  Sxq  Sd  Rl  R2 Vậy ta chọn đáp án A Câu Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối nón (N) Thể tích V khối nón (N) A V   R h B V   R h C V   R l D V   R l Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Áp dụng cơng thức V   R h Vậy ta chọn đáp án B Câu Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón A 40 a B 20 a D 12 a C 24 a Hướng dẫn giải S Áp dụng cơng thức Sxq  Rl  4a.5a  20a2 3a Vậy chọn đáp án B O 4a A Câu Cho hình nón có bán kính đáy 3a, chiều cao 4a Thể tích hình nón A 12 a3 C 15 a3 B 36 a3 D 12 a3 Hướng dẫn giải S Áp dụng cơng thức 1 V  R2 h  .9a2 4a  12a3 3 4a Vậy chọn đáp án A O 3a A Câu Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a Diện tích tồn phần hình nón A 38 a B 32 a C 36 a D 30 a Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức Stp  Sxq  Sd  Rl  R2 3a  .4a.5a  .16a2  36a2 Vậy chọn đáp án C O 4a A Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a góc cạnh bên đáy 60 , diện tích xung quanh hình nón đỉnh S đáy hình tròn nội tiếp tam giác ABC A 13a2 12 B a2 13 12 C a2 12 D a2 13 12 Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Áp dụng cơng thức Sxq  Rl S Với A 1 a a R  OH  AH   3 600 l  SH  SO2  OH2   AO.tan 60  a O O C A B H H C B  OH 2 2 a  a 3 a2 a 13   3     a2  3    12     Vậy Sxq   a a 13 a2 13 Vậy chọn đáp án B  12 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a góc mặt bên đáy 60 , diện tích xung quanh hình nón đỉnh S đáy hình tròn nội tiếp tam giác ABC A  a2 B  a2 C  a2 D 5 a Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức S Sxq  Rl A Với 1 a a R  OH  AH   3 O a A C 600 O B H H C B a l  SH  Vậy Sxq OH a 2  cos60 a a a2 Vậy chọn đáp án B   6 Câu 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a góc mặt bên đáy 60 Thể tích khối nón nội tiếp hình chóp là: A a3 36 B a3 72 a3 48 Hướng dẫn giải C D a3 24 Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Hình học khơng gian Áp dụng cơng thức Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU S V  R2 h A Với O a 1 a a R  OH  AH   3 h  SO  OH tan 600  A C 600 O B C H H B a 1  a  a a Vậy V  R 2h    Vậy chọn đáp án B   3   72 Câu 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a góc cạnh bên đáy 60 , diện tích xung quanh hình nón đỉnh S đáy hình tròn ngoại tiếp hình chóp A 3a2 B a2 2a2 Hướng dẫn giải D 2a2 C Áp dụng cơng thức Sxq  Rl S a a  Với R  AH  3 l  SA  AH a 2a   cos60 3 Vậy Sxq   600 A a 2a 2a2  3 C a H I B Vậy chọn đáp án C Câu 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp A a2 B a2 a2 Hướng dẫn giải C D a2 2 Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Hình nón ngoại tiếp hình S chóp tứ giác có đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Lúc đó: R  AH  A a l  SA  a D B H C Vậy Sxq   a a2 a  Vậy chọn đáp án D 2 Câu 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao 2a Diện tích xung quanh hình nón đỉnh S đáy hình tròn nội tiếp ABCD A  a 17 B  a 15 C  a 17 D  a 17 Hướng dẫn giải Với R  OH  a S l 2 a a 2a   4a    2   A 2a A 17a a 17   D a O H O B D C B C a a 17 a2 17  Vậy Sxq   2 Vậy chọn đáp án D Câu 14 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón A B 2 a  a2 2 C  a2 D  a2 Hướng dẫn giải S Áp dụng cơng thức Sxq  Rl   a a2 a  2 a B Vậy chọn đáp án A O A Câu 15 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh huyền 2a Thể tích khối nón A  a3 B 2 a 3 C  a D 2 a Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức S 1 a3 V  R2 h  .a2 a  3 B Vậy chọn đáp án A a O A Câu 16 Diện tích tồn phần hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh thiết diện qua trục tam giác A 6 B 12 C 18 D 16 Hướng dẫn giải Đặt cạnh tam giác SAB a S Ta có: 1 1   2  OH2 SO2 OB2 a a 3       2   4 16      a4 2 3a 3a2 a    H B O Vậy Stp  .2.4  .22  12 A Vậy chọn đáp án B Câu 17 Cho hình nón có đường sinh l, góc đường sinh mặt phẳng đáy 300 Diện tích xung quanh hình nón A  3l B  3l 2 C  3l  3l D Hướng dẫn giải S Ta có Sxq  Rl  .l.cos300.l  l2 l 300 Vậy chọn đáp án B O Câu 18 Thể tích V khối nón (N) có chiều cao a độ dài đường sinh a A V   a 3 B V  4 a C V   a 3 D V   a Hướng dẫn giải Ta có: R  5a2  a2  2a 4a3 Vậy V    2a  a  3 S a a Vậy chọn đáp án A O Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Câu 19 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Diện tích thiết diện A a2 2 B C 2a a2 D a2 Hướng dẫn giải Diện tích thiết diện SSCD  SH.CD Ta có: AB  a  R  S a  SO a SO a SH    3 sin 600 a O A a2 CD  2CH  R  OH   SO.tan 300 2  Vậy diện tích SSCD  B 600  D H C a2  a  2  a       1a 2 2a2 Chọn đáp án B a 3 Câu 20 Hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón có khoảng cách đến tâm 12cm Diện tích thiết diện tạo (P) hình nón A 450(cm2 ) B 500(cm2 ) C 600(cm2 ) D 550(cm2 ) Hướng dẫn giải Theo đề: S h  20,R  25,OH  12 Ta có: OH   1 SO   1 H OM OM OH  OM  15  SO  OM  12  20  225 O M D C SM  SO2  OM2  202  152  25 CD  2CM  R2  OH2  252  152  40 1 Vậy SSCD  SM.CD  40.25  500 Chọn đáp án B 2 Câu 21 Khối nón (N) có chiều cao 3a Thiết diện song song cách mặt đáy 64  a Khi đó, thể tích khối nón (N) đoạn a, có diện tích Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 10 Chun đề: Hình học khơng gian  Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU SO SA SA.SE SA2   R  SI   SE SI SO SO Tam giác SAB cân S có SAB  450  Tam giác vng cân S Đặt SA  x , AB  x 2, OA  AB x  3 Trong tam giác vng SOA: SA2  OA2  SO2  x2  6x2 3h2 3h  h2  x2  3h2  R   h Vậy chọn đáp án D Câu 19 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên 2a, mặt bên tạo với đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 4a3 63 B a3 C 63 21 4a3 D 63 21 4a3 21 Hướng dẫn giải Đặt AB  x Gọi O tâm đáy, suy SO   ABC S Gọi M trung điểm đoạn BC, suy BC   SAM  nên góc mặt bên mặt đáy SMA  600 F Gọi F trung điểm cạnh SA, mặt phẳng (SAM), I đường trung tr c SA cắt SO I Ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính A C 60° O R  SI Ta có: AM  x x x , OA  AM  , OM  AM  3 Trong tam giác SAO, ta có: SO2  SA2  AO2  4a2  Trong tam giác SOM, ta có: SO  OM.tan 600  Từ suy ra: M B x2 x x2 x2 7x2 4a 21  4a2    4a2  x  12 SI SF SA 2a2 a   SI    Ta có SFI ∽ SOA , suy ra: SA SO 2SO 2a 21 21 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp V  4a3 R  63 21 Vậy chọn đáp án C Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 44 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD  600 cạnh bên SA  SB  SD , BSD  900 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SBCD A a B a a C D a Hướng dẫn giải Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thoi ABCD S Theo ta có tam giác ABD tam giác cạnh a  BD  a a a, SO  2 Mà tam giác SBD vng S nên SB  SD  I Gọi H hình chiếu S mặt phẳng đáy H tâm A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ( cạnh bên SA  SB  SD ) D H O K B C Ta có SH  SO2  OH2  6 a, SC  SH2  HC2  a Gọi K tâm tam giác BCD K trung điểm HC, trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD qua K song song với SH nên trung tr c HC cắt SC I Ta có I trung điểm SC nên IS  IC , I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện a Vậy chọn đáp án B SBCD Bán kính mặt cầu R  SC  Câu 21 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 450 Một mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) A tiếp xúc với cạnh bên BS kéo dài H Gọi    mặt phẳng qua tâm I mặt cầu trung điểm đường cao BD đáy Bán kính mặt cầu A R  C R   a 2  a 2    B a 2  D R    a 2  Hướng dẫn giải Gọi R bán kính mặt cầu H Ta có: IA   ABC , BS  IH, IA  IH  R Gọi O tâm đó, hạ S I K 45° A O Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 D M C B Page 45 Chun đề: Hình học khơng gian IK  SO SBO  450  SO  OB  IA  OK  R; IK  OA  SK  SO  IA  Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU a a Tứ giác IAOK hình chữ nhật nên , SB  3 a 3 a R ; HS  BH  BS  BA  BS  a  a Vì IH2  HS2  IK2  SK2 nên suy   2 a 2       a a a R2   a   R  Ta tìm R                  Vậy chọn đáp án C Câu 22 Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  a, BAC  1200 , CAD  600 , DAB  900 Xác định bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện A a 1  B a  1   C 2a D 1  2a  1   Hướng dẫn giải Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC, ta có: BC2  AB2  AC2  2AB.AC.cos1200  3a2 A  BC  3a 120° 60° Tam giác ACD nên CD  a Vì ABD vng cân A nên BC  2a Ta có: BC2  CD2  3a2  BC2  BCD vng D Gọi H trung điểm BC AH  BC B D H a BC a AH  AB.sin 300  ; DH   2 2 2  AH  DH  a  AD  AH  HD C Do AH   BCD  nên AH đường cao tứ diện ABCD a3 Thể tích tứ diện: V  AH.SBCD  12 Diện tích tồn phần tứ diện:  S  SABC  SABD  SBCD 1     a2 Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 46 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Gọi r bán kính mặt cầu nội tiếp, ta có: r  3V 2a   S 1    Vậy chọn đáp án D Câu 23 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a ASB   Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp là: A C a sin      sin  cos  2  B a cos    sin  cos 2 D a cos      sin  cos  2  a sin    sin  cos 2 Hướng dẫn giải Ta có tâm I mặt cầu nội tiếp thuộc đường thẳng SH S ọi M trung điểm AB, ta có AB   SHM  M N O ọi I chân đường phân giác D góc SMH  I  SH  I A M H Ta có I tâm mặt cầu nội tiếp hình C B chóp Bán kính r  IH Để tính bán kính r ta tính theo hai cách sau: Cách D a vào tính chất đường phân giác, ta có: IS MS SH MS  MH SH.MH     IH  ; IH MH IH MH MS  MH a  a SM  cot , MH  2 Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là: r  IH  a cos      sin  cos  2  Vậy chọn đáp án C Cách D a vào cơng thức r  3V S a3 cos  Thể tích khối chóp: V  SH.SABCD   3.2sin Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 47 Chun đề: Hình học khơng gian  S  4SSAB  SABCD Bán kính r  Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU    a2  sin  cos  2  SM.AB  a2    sin 3V a cos   S     sin  cos  2  Lưu ý: Cho hình chóp tích V diện tích tồn phần S Trong hình chóp nội tiếp 3V hình cầu có bán kính r Chứng minh rằng: r  S Giải Gọi O tâm hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABCDE S Hình cầu tiếp xúc với mặt đáy tất mặt bên Vẽ OF, O , OH … OK vng góc với mặt đáy mặt bên Ta có: OF  OG  OH   OK  r Vậy, thể tích hình chóp S.ABCDE tổng thể tích hình chóp có chung đỉnh O có đáy đáy hình chóp lớn mặt bên Ta có: I G H O E D M F C J A VO.ABCDE  VO.SBC  VO.SCD   VO.SAB  VS.ABCDE 1 1 S ABCDE r  SSBC r  S SCD r   S SAB r  V 3 3   S ABCDE  SSBC  SSCD   S SAB   V r 3V  S  V  r  S  B Câu 24 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO  cạnh đáy tam giác ABC Điểm M, N trung điểm cạnh AB, AC tương ứng Bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp S.AMN A  2  B  2  C D 2 2 Hướng dẫn giải Ta có MN đường trung bình tam giác nên: S 1 3 SAMN  SABC  AB2  4 Thể tích hình chóp S.AMN: V  SO.SAMN  A C M O N B Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 48 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.AMN Ta có:  S  SAMN  SSAN  SSAM  SSMN  3V Mà V  r  S  r   S  2  14  Vậy chọn đáp án A Câu 25 Cho tứ diện ABCD, biết AB  BC  AC  BD  a, AD  b, hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vng góc với Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b A 4a2 B 3a2  b2 a2 C 3a2  b2 4 D 3a2  b2 4a 3a  b2 Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm CD, ta có BI  CD (vì tam giác B BCD cân B)  BCD   ACD theo giao tuyến CD, BI   BCD  a BI  CD J O  BI   ACD  Hai tam giác vng AIB DIB có cạnh góc vng chung BI, BA  BD  AI  ID  AI  IC  ID  b A D a CD I C  Tam giác ACD vng A Ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD BI   ACD  , suy BI trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Trong mp(BCD), đường trung tr c BD cắt BI O, ta có: OB  OD (vì O đường trung trực BD)  OA  OC  OD (vì O  BI)  OA  OB  OC  OD  O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính mặt cầu R  OB Ta có BJO ∽ BID (J trung điểm BD)  OB BJ DB.BJ BD2 a2   OB     DB BI BI 2BI AB2  AI a2  CD  a2      Tam giác ACD vng A  CD2  AC2  AD2  a2  b2  OB  a2 a  b2 a2   a2 3a  b2 0  b  a  Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 49 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU a2 Vậy R  3a  b2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: S  4R  0  b  a  4a 3a  b2 Vậy chọn đáp án A Câu 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C, SA  SB  a , ASB   mặt bên SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABC) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC a A R  sin a B R   2 sin  a C R  cos D R   a cos  Hướng dẫn giải S S I I O C α O B H A H B A ọi H trung điểm AB  H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (vì tam giác ABC vng C) SH  AB (vì tam giác SAB cân S)  SAB   ABC theo giao tuyến AB, SH   SAB SH  AB  SH   ABC   SH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mp(SAB), đường trung tr c SA cắt SH O, ta có: OS  OA (vì O đường trung trực SA)  OA  OB  OC (vì O  SH)  O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính mặt cầu R  OS  OA  (O c ng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB) Tam giác SAH vng H  SH  SA.cos ASH  a cos SIO ∽ SHA   SO  a2  2a cos  SO SI SA.SI SA2   SO   (I trung điểm SA) SA SH SH 2SH  a  2cos Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 50 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R  a  cos Vậy chọn đáp án C Cách hác Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC c ng bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Theo định lí cosin, ta có: AB2  SA2  SB2  2SA.SB.cos   2a 1  cos    4a sin AB AB Theo định lí sin, ta có:  2R  R   sin  2sin   2a sin    2.2sin cos 2 a  2cos  Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a , AD   SAB   ABCD 2a , SA  SB  a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD A 4a B 4 a C 3 a D 3a Hướng dẫn giải Vì tam giác SAB cân S  SAB   ABCD nên gọi H S trung điểm AB SH   ABCD  ọi O tâm hình chữ nhật ABCD O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD đường thẳng  qua O song song với SH ọi I G A D H trọng tâm tam giác SAB O Vì HO   SAB nên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác B C SAB đường thẳng qua song song với HO, cắt  I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD Tứ giác HOI hình chữ nhật Ta có GH  SH  a AC2 a2   Nên IA  IO  OA  GH  12 2 a2  a2 a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD R  IA nên thể tích khối cầu 4 V  R  a Vậy chọn đáp án B 3 Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 51 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Câu 28 Cho tứ diện SABC có cạnh SA   ABC  , hai mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc   với Biết SB  a , BSC  450 , ASB      900 Bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC A a B 2a C 3a D 4a Hướng dẫn giải  SBC   SAB Theo giả thiết, ta có  ABC   SAB (vì S SA   ABC  ) α Mà BC giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (SBC) nên BC   SAB  A  BC  SB  SAC  SBC  900 C  A B mặt cầu đường kính SC Do mặt cầu ngoại tiếp SABC có tâm trung điểm SC bán kính R B SC Tam giác SBC vng cân B (vì SB  BC BSC  450 )  SC  SB  a 2  2a Vậy bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC R  SC a Vậy chọn đáp án A Câu 29 Trong mặt phẳng    cho hình vng ABCD có cạnh a Trên đường thẳng Ax vng góc với    ta lấy điểm S tùy ý, d ng mặt phẳng    qua A vng góc với đường thẳng SC Mặt phẳng    cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Diên tích mặt cầu ngoại tiếp đa diện ABCDB’C’D’ A 4a B a C 2a D 3a Hướng dẫn giải Ta có: BC  AB   BC   SAB   BC  AB' (1) BC  SA  Ta lại có AB'  SC x S (2) C' Từ (1) (2) suy ra: AB'   SBC   AB'  B'C B' Chứng minh tương t ta có AD'  D'C A Vậy ABC  AB'C  AC'C  AD'C  ADC  900  Năm điểm B, B’, C’, D’, D nằm mặt cầu đường D' D O B C kính AC Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 52 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU  Bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ nằm mặt cầu đường kính AC ọi R bán kính mặt cầu, ta có: R  AC a  2 a  Diện tích mặt cầu là: S  4R  4    2a Vậy chọn đáp án C     Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC ABC tam giác cạnh a, SA  a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A a B C a a 2 a D Giải Theo giả thiết, ta có: S SB  SC  BC  AC  AB  a SA  a SA2  AB2  SB2  2 SA  AC  SC M  Tam giác SAB vng B tam giác SAC vng C  MB  MC  A C SA  MA  MS B SA  MA  MS  MS  MA  MB  MC  M tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính mặt cầu R SA a  Vậy chọn đáp án B 2 Câu 31 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SH  3a cạnh đáy a Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp A  37 a 12 B  37 a 12 C 1  37 a 12 D 2  37 a 12 Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức giải nhanh: r  Ta được: R  a.3a a   3a   a2  xh x  4h  x với h  3a, x  a 1  37 a Vậy chọn đáp án C 12 Cơng thức giải nhanh: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SH  h cạnh đáy x Lúc bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tính theo cơng thức: r xh x  4h2  x2 Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 53 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Chứng minh ọi H tâm hình vng cạnh x, SH = h ọi I S trung điểm BC Trong SHI phân giác SIH SH O, từ O kẻ OK  SI , ta có OK  (SBC), OH = OK nên O cách mặt đáy K O D mặt bên (SBC) C I H Tương t O c ng cách mặt bên lại B A Vậy O tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp OH  OK  r Ta có: OH IH OH IH IH.SH     OH  OS IS OS IS  IH SI  IH Trong SHI có: SI2  SH2  HI2  h2  Vậy : r  OH  x h x  4h2  x2 2  x2 x2  SI  h2   4h2  x2 4 xh x  4h2  x2 Câu 32 Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA  1, SB  2, SC  ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 14 B 14 C 14 D 14 Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức giải nhanh R  Ta tìm R  a2  b2  c2  a  b2  c2 2 2 14 2 3  Vậy chọn đáp án A 2 Cơng thức giải nhanh: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: R   a2  b2  c2  a  b2  c2 S   a2  b2  c2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp:  Thể tích khối cầu ngoại tiếp: V  (a2  b2  c2 ) a2  b2  c2 Chứng minh Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 54 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU ọi I trung điểm AB Kẻ  vng góc với C mp(SAB) I D ng mp trung tr c SC cắt  O  OC = OS (1) I tâm đường c tròn ngoại tiếp  SAB (vì  SAB vng S)  OA = OB = OS (2) O Từ (1) (2)  OA = OB = OC = OS S b B Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) a 2 2  SC   AB  a b c R  OI2  AI2            a2  b2  c2 S  4    A    (a2  b2  c2 ) ;    a2  b2  c2 V        (a2  b2  c2 ) a2  b2  c2   Câu 33 Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác có cạnh đáy , cạnh bên Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ A 19 273 15 B 71 273 35 C 92 273 53 D 91 273 54 Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức giải nhanh: V  V  4a2  3b2     18  với a  b  ta được: 2 91 273      5   54  18  Vậy chọn đáp án D Cơng thức tính nhanh: Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên b Bán kính mặt cầu ngoại tiếp Thể tích mặt cầu ngoại tiếp 2 R  4a  3b V  4a2  3b2     18  A C O A1 B b I A' C' O' a A1' B' Chứng minh Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 55 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Gọi O O’ tâm ∆ABC ∆A’B’C’ OO’ trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ∆A’B’C’ ọi I trung điểm OO’ IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Bán kính mặt cầu R = IA Tam giác vng AOI có: AO = AA  a  a ; OI  OO'  AA'  b 3 2 2 2 ⇒ AI2  OA2  OI2  a  b  7a ⇒ AI  a 12 3 3 V  R3   a 7  a .28  7a  21.a 3 3 72 18 54 2 2 AI2  4a  3b  AI  4a  3b  R 12 V  R3   3 8.3 3 (4a2  3b2 )  3 (4a2  3b2 )   4a2  3b2     18 18  Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 56 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Để sử dụng file word, q thầy vui lòng đóng góp chút inh phí để tạo động lực cho tác giả đời chun đề hác hay STT TÊN TÀI LIỆU GIÁ KĨ THUẬT GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC_123 MÃ SỐ 60K SO PHUC_123 50K HHKG_KDD 110 K HHKG_TTKC 70K HHKG_TTLT 110 K HHKG_NTC 130 K HHKG_KC 50K HHKG_GOC Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 1-6} CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang} Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 7-11} CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHĨP {59 Trang} Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 12-21} CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 Trang} Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 22-26} CHỦ ĐỀ 456_NĨN TRỤ CẦU {56 Trang} Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 27-36} CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang} Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 37-49} CHỦ ĐỀ 8_GĨC {21 Trang} Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 50-54} CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VÀ CÁC 80k KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang} HHKG_CT Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 55-63} Hướng dẫn tốn Q thầy tốn cho qua ngân hàng Sau chuyển khoản, g i tài liệu cho q thầy Nếu ngày mà thầy chưa nhận vui lòng gọi điện tr c tiếp cho Thầy cư SĐT: 01234332133 NGÂN HÀNG TÊN TÀI KHOẢN TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ SỐ TÀI KHOẢN 4010205025243 0161000381524 55110000232924 CHI NHÁNH THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ Nội dung: Họ tên_email_ma tai liệu Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 57 Chun đề: Hình học khơng gian Chủ đề 456: NĨN-TRỤ-CẦU Ví dụ: Nguyễn Thị B_nguyenthib@gmail.com_HHKG_TTKC Lưu ý: Thầy đọc kỹ file PDF trước mua, tài liệu mua dùng với mục đích cá nhân, hơng bán lại chia sẻ cho người khác CHÚC Q THẦY CƠ DẠY TỐT VÀ THÀNH CƠNG TRONG SỰ NGHIỆP TRỒNG NGƯỜI Ths Trần Đình Cư Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 58 .. .Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU MỤC LỤC CHỦ ĐỀ HÌNH NÓN, MẶT NÓN, KHỐI NÓN CHỦ ĐỀ MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ 17 CHỦ ĐỀ MẶT CẦU - HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU... đáp án D Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 16 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU CHỦ ĐỀ MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ A KIẾN... đáp án D Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 29 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU CHỦ ĐỀ MẶT CẦU - HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU A KIẾN