TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————— DƯƠNG THỊ THU HUYỀN ĐẠO HÀM CỦA KHAI TRIỂN TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội, năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN —————– DƯƠNG THỊ THU HUYỀN ĐẠO HÀM CỦA KHAI TRIỂN TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO Hà Nội, năm 2017 LỜI CẢM ƠN Nhân dịp khóa luận hoàn thành em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình hướng dẫn em trình thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Đào tạo, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi trình em học tập nghiên cứu Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận tránh khỏi hạn chế có nhiều thiếu sót định Em xin chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Dương Thị Thu Huyền LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ ĐẠO HÀM CỦA KHAI TRIỂN TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN” hoàn thành nhận thức thân tác giả, không trùng với khóa luận khác Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Dương Thị Thu Huyền Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.2 Một số tập hợp mặt phẳng phức 1.3 Hàm chỉnh hình 1.4 Tích phân phức Khai triển tiệm cận 16 2.1 Một số khái niệm bậc 16 2.2 Dãy tiệm cận 19 2.3 Định nghĩa Poincaré khai triển tiệm cận 19 2.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 21 2.5 Tính chất khai triển tiệm cận 28 Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 3.1 33 Hàm F (u) phụ thuộc tuyến tính giới hạn tích phân 34 e−F Gdu 34 3.1.1 Đánh giá dạng tích phân i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.1.2 3.2 Đánh giá dạng tích phân Dương Thị Thu Huyền e−F uσ Gdu 39 Hàm F (u) phụ thuộc toàn phương giới hạn tích phân 42 3.2.1 Đánh giá dạng tích phân e−F Gdu 42 3.2.2 Đánh giá dạng tích phân e−F uσ Gdu 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 50 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Trong thực tế thường xảy rằng, chuỗi phân kỳ sử dụng cho tính toán giá trị số đại lượng mà theo nghĩa xem “tổng” chuỗi Trường hợp điển hình chuỗi hàm, xấp xỉ số hạng chuỗi thực đem lại hiệu mong muốn Trong hầu hết trường hợp số hạng chuỗi giảm nhanh (khi giá trị độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn nó), số hạng sau bắt đầu tăng trở lại Các chuỗi gọi chuỗi bán hội tụ, việc tính toán giá trị số thường thực số hạng đầu chuỗi Đạo hàm có vai trò quan trọng Toán học, thực tế ngành khoa học khác có liên quan Vật lí, Nhờ đạo hàm mà ta giải khối lượng lớn dạng tập khó mà cách giải bình thường ta làm Thông thường, tập thường liên quan tới tích phân tích phân suy rộng số tích phân đặc biệt có cận vô cực, phương pháp đạo hàm khai triển tiệm cận ta giải chúng Với lí trên, định hướng TS Nguyễn Văn Hào em chọn đề tài “ Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán giải tích Bố cục khóa luận trình bày 03 chương Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền Chương Được giành cho việc trình bày số kiến thức lý thuyết hàm số biến phức Chương Để giới thiệu mục đích khóa luận đạo hàm khai triển tiệm cận số tích phân, chương em giới thiệu số vấn đề lý thuyết tiệm cận Chương Đây phần khóa luận, em trình bày đạo hàm khai triển tiệm cận hai dạng tích phân sau e−F Gdu ∞ e−F uσ Gdu limit Mục tiêu nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu lý thuyết tiệm cận đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân đặc biệt Phạm vi nghiên cứu Đạo hàm khai triển tiệm cận tích phân dạng −F e ∞ Gdu limit e−F uσ Gdu Các phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống hóa số kiến thức lý thuyết xấp xỉ tiệm cận Trình bày đạo hàm khai triển tiện cận hai dạng tích phân nói Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phẳng phức Số phức số có dạng z = x + iy với x, y ∈ R i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, ký hiệu tương ứng x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức kí hiệu C đồng mặt phẳng R2 phép tương ứng C → R2 z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ) Với số phức z = x + iy, ta xác định modul số phức z giá trị |z| = x2 + y Số phức liên hợp số phức z = x + iy kí hiệu xác định z¯ = x − iy Không khó khăn, ta kiểm tra z − z¯ z + z¯ , Imz = Rez = 2i |z|2 = z.¯ z, z¯ = ; với z = z |z| Số phức khác biểu diễn dạng cực z = r.eiθ ; với r > 0, θ ∈ R gọi argument z kí hiệu argz (argument số phức z xác định cách với sai khác bội 2π) Argument số phức z thỏa mãn ≤ argz < 2π gọi argument chính, ký hiệu phz Ta có eiθ = cos θ + i sin θ Bởi eiθ = 1, nên r = |z| θ góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý z = r.eiθ w = s.eiϕ z.w = r.s.ei(θ+ϕ) 1.2 Một số tập hợp mặt phẳng phức Cho z0 ∈ C r > 0, ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r tập hợp Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền G trùng với chuỗi Taylor cần đòi hỏi theo F cách thức áp dụng công thức (3.2) chuỗi hàm Phương pháp ngược dựa định lý đảo Lagrange [xem1, p.127] Giả sử hàm f (u) → ∞; u → hàm u khai triển thành chuỗi lũy thừa theo f công thức ∞ r d du u= r+1 u f u=0 f r+1 , (r + 1)! (3.5) thêm chuỗi lũy thừa hàm biến u ∞ H(u) = H(0) + d du r u f r+1 dH du u=0 f r+1 (r + 1)! (3.6) Áp dụng định lý nghịch đảo tích phân hệ thức (3.6) u H(u) = Gdu Khi đó, lấy vi phân hai vế theo biến f ta G = f ∞ d du r u f r+1 G u=0 fr r! (3.7) Bằng phép lấy tích phân số hạng theo f ta lại biểu thức (3.3) với dạng khác Lr sau Lr = F d du r u f r+1 G (3.8) u=0 Như thế, có tương ứng − biểu thức (3.4) biểu thức (3.8) với giá trị r Khi đó, biểu thức (3.4) (3.8) Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền dẫn đến phép biểu diễn giống Lr = kí hiệu F1 r! 2πi Gdu f r+1 (3.9) phép tích phân theo vòng tròn đủ bé bao quanh điểm f = Còn phương pháp thứ tư phương pháp mở khai triển hầu hết số mũ Giữ lại dạng mũ gốc nó, phần tuyến tính theo F (u) khai triển phần lại theo lũy thừa u ta ∞ e−F Gdu = ∞ (hệ số us Ge−F +F1 u )× e−F1 u us du 0 ∞ = F1−1 e−F0 Us F1s (3.10) Us = s!· hệ số us Ge−F (u)+F0 +F1 u Us tương đương với Lr , phân bố bậc đơn F1s giản theo lũy thừa ngược F1 Theo cách áp dụng này, số hạng Tổng tổng quát đánh giá cách xác rõ ràng Fv = d du v F (u) , G0 = limit d du v G(u) , lim it ∞ −F e limit Gdu = F1−1 e−F0 Lr (3.11) Thế L0 = G0 Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền L1 = −F1−2 {G0 F2 − G1 F1 } L2 = −F1−4 {G0 (3F22 − F1 F3 ) − 3G1 F1 F2 + G2 F12 } L3 = −F1−6 {G0 (15F23 − 10F1 F2 F3 + F12 F4 ) − G1 F1 (15F22 − 4F1 F3 +6G2 F12 F2 − G3 F13 } L4 = F1−8 {G0 (105F14 − 105F1 F23 F2 + 10F12 F32 + 15F12 F2 F4 − F13 F5 ) −5G1 F1 (21F23 − 12F1 F2 F3 + F12 F4 ) + 5G2 F12 (9F22 − 2F1 F3 ) −10G3 F13 } L5 = −F1−10 {G0 (945F25 − 1260F1 F23 F3 + 280F12 F2 F32 + 210F12 F22 F4 −35F13 F3 F4 − 21F13 F2 F5 + F14 F6 ) − G1 F1 (945F24 −840F1 F22 F3 + 70F12 F32 + 105F12 F2 F4 − 6F13 F5 ) +15G2 F12 (28F23 − 14F1 F2 F3 + F12 F4 ) −5G3 F13 (21F22 − 4F1 F3 ) + 15G4 F14 F2 − G5 F15 } L6 = F1−12 {G0 (10395F26 − 17325F1 F24 F3 + 6300F12 F23 F32 + 3150F12 F23 F4 −280F13 F33 − 1260F13 F2 F3 F4 − 378F13 F22 F5 + 35F14 F42 + 56F14 F3 F +28F14 F2 F6 −F15 F7 )−7G1 F1 (1485F25 −1800F1 F23 F3 +360F12 F2 F32 +270F12 F22 F4 − 40F31 F3 F4 − 24F31 F2 F5 + F14 F6 ) + 7G2 F12 (675F24 −540F1 F22 F3 + 40F12 F32 + 60F12 F2 F4 − 3F13 F5 ) −35G3 F13 (36F23 − 16F1 F2 F3 + F12 F4 ) + 35G4 F14 (6F22 − F1 F3 −21G5 F15 F2 + G6 F16 } L7 = F1−14 {0 (135135F27 − 270270F1 F25 F3 + 138600F12 F23 F32 −15400F13 F2 F33 +51975F12 F24 F4 −34650F13 F22 F3 F4 +2100F14 F32 F4 +1575F14 F2 F42 − 6930F13 F23 F5 − 36F15 F2 F7 + F16 F8 ) −G1 F1 (135135F26 − 207900F1 F24 F3 + 69300F12 F22 F32 − 2800F13 F33 +34650F12 F23 F4 − 12600F13 F2 F3 F4 + 315F14 F42 −3780F13 F22 F5 + 504F14 F3 F5 + 252F14 F2 F6 − 8F15 F7 ) Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền +14G2 F12 (4455F25 − 4950F1 F23 F3 + 900F12 F2 F32 + 675F12 F22 F4 −54F13 F2 F5 + 2F14 F6 ) − 7G3 F13 (2475F24 − 1800F1 F22 F3 +120F12 F32 + 180F12 F2 F4 − 8F13 F5 ) + 70G4 F14 (45F23 −18F1 F2 F3 + F12 F4 ) − 14G5 F15 (27F22 − 4F1 F3 ) + 28G6 F16 F2 −G7 F17 } Việc tính toán số hạng cao không khó khăn, mà trợ giúp trình thực phương pháp 3.1.2 Đánh giá dạng tích phân e−F uσ Gdu Đến nay, người ta giải với giả thiết biến thiên chậm tích phân khai triển thành chuỗi lũy thừa gốc lũy thừa u số nguyên dương Chuỗi tiệm cận tương ứng cho tích phân tổng quát sau ∞ e−F uσ Gdu; với σ > −1 G(u) hàm khai triển gốc nói với lũy thừa nguyên dương theo u Để đánh giá tích phân này, trước tiên hình dung việc đánh giá phác qua tích phân đơn giản e−F Gdu phương pháp thứ tư Bằng việc giữ hàm e−F0 e−F1 u dạng mũ khai triển phần lại theo lũy thừa tăng theo biến u Bỏ qua nhân tử e−F0 , dạng tích phân điển hình ∞ e−F1 u un du = n! F11+n Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền Tương tự ta có ∞ e−F1 u uσ+n du = (σ + n)! F11+σ+n Do đó, khai triển tích phân e−F Gdu = F1−1 e−F0 limit ∞ Lr trở thành ∞ −F σ e u Gdu = σ!F1−1−σ e−F0 L(σ) r (3.12) 0 (σ + n)! Điều n F1 σ!n!F1n (σ) Lr cải biến thành Lr cách thay này, tương thích với biểu diễn tích phân Lr(σ) = (σ F11+σ + r)! σ! 2πi uσ Gdu f σ+r+1 (3.13) Một số giá trị cho sau (σ) L0 = G0 (σ) L1 = − (σ + 1)F1−2 {(σ + 2)G0 F2 − 2G1 F1 } (σ) L2 = (σ + 1)(σ + 2)F1−4 {(σ + 3)G0 [3(σ + 4)F22 − 4F1 F3 ] 24 −12(σ + 3)G1 F1 F2 + 12G2 F12 } (σ) L3 = − (σ + 1)(σ + 2)(σ + 3)F1−6 {(σ + 4)G0 [(σ + 5)(σ + 6)F23 48 Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền −4(σ + 5)F1 F F3 + 2F12 F4 ] − 2(σ + 4)G1 F [3(σ + 5)F22 − 4F1 F3 ] +12(σ + 4)G2 F12 F2 − 8G3 F13 } (σ) L4 = (σ + 1)(σ + 2)(σ + 3)(σ + 4)F1−8 {(σ + 5)G0 [15(σ + 6) 5760 ×(σ + 7)(σ + 8)F24 − 120(σ + 6) × (σ + 7)F1 F22 F3 + 80(σ + 6)F12 F32 +120(σ +6)F12 F2 F4 −48F13 F5 ]−120(σ +5)G1 F1 [(σ +6)(σ +7)F23 −4(σ + 6)F1 F2 F3 + 2F12 F4 ] + 120(σ + 5)G2 F12 [3(σ + 6)F22 − 4F1 F3 ] −480(σ + 5)G3 F13 F2 + 240G4 F14 } (σ) L5 = − (σ + 1)(σ + 2)(σ + 3)(σ + 4)(σ + 5)F1−10 {(σ + 6) 11520 ×G0 [3(σ+7)(σ+8)(σ+9)(σ+10)F52 −40(σ+7)(σ+8)(σ+9)F1 F23 F3 +80(σ+7)(σ+8)F12 F2 F32 +60(σ+6)(σ+7)F12 F22 F4 −80(σ+7)F13 F3 F4 −48(σ+7)F13 F2 F5 +16F14 F6 ]−2(σ+6)G1 F1 [15(σ+7)(σ+8)(σ+9)F24 −120(σ+7)(σ+8)F1 F22 F3 + 80(σ+7)F12 F32 + 120(σ + 6)G2 F12 ×[(σ+7)(σ+8)F23 −4(σ+7)F1 F2 F3 +2F12 F4 ]−80(σ+6)G3 F13 [3(σ+7) ×F22 − 4F1 F3 ] + 240(σ + 6)G4 F14 F2 − 96G5 F15 } (σ) L6 = (σ + 1) (σ + 6)F1−12 {(σ + 7)G0 [63(σ + 8) (σ + 12)F26 2903040 −1260(σ+8) (σ+11)F1 F24 F3 +5040(σ+8)(σ+9)(σ+10)F12 F22 F32 +2520(σ + 8)(σ + 9)(σ + 10)F12 F23 F4 − 2240(σ + 8)(σ + 9)F12 F33 −10080(σ + 8)(σ + 9)F13 F2 F3 F4 − 3024(σ + 8)(σ + 9)F13 F22 F5 +2520(σ + 8)F14 F42 + 4032(σ + 8)F14 F3 F5 + 2016(σ + 8)F14 F2 F6 Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền −576F15 F7 − 252(σ + 7)G1 F1 [3(σ + 8) (σ + 11)F25 − 40(σ + 8) ×(σ + 9)(σ + 10)F1 F23 F3 + 80(σ + 8)(σ + 9)F12 F2 F32 +60(σ + 8)(σ + 9)F12 F22 F4 − 80(σ + 8)F13 F3 F4 − 48(σ + 8)F13 F2 F5 +16F14 F6 ] + 252(σ + 7)G2 F12 [15(σ + 8)(σ + 9)(σ + 10)F24 −120(σ + 8)(σ + 9)F1 F22 F3 + 80(σ + 8)F12 F32 + 120(σ + 8)F12 F2 F4 −48F13 F5 ]−10080(σ +7)G3 F13 [(σ +8)(σ +9)F23 −4(σ +8)F1 F2 F3 +2F12 F4 ] + 5040(σ + 7)G4 F14 [3(σ + 8)F22 − 4F1 F3 ] −12096(σ + 7)G5 F15 F2 + 4032G6 F16 } 3.2 Hàm F (u) phụ thuộc toàn phương giới hạn tích phân 3.2.1 e−F Gdu Đánh giá dạng tích phân Ở đây, giả thiết tích phân quy đến dạng chuẩn với cận lấy tích phân u = cho F − F0 → F2 u2 ; u → F tăng ổn định đến ∞ tới giới hạn tích phân Quy trình giải dạng tích phân tiến hành tương tự tích phân cách đưa phép đổi biến sau f = (F − F0 ) F2 2 u; F2 > Tích phân cần đánh giá viết sau −F0 e −f e −F0 ∞ Gdu =e e−f G f df Khi F2 > đường cong mặt phẳng u dĩ nhiên giống đường cong mặt phẳng f qua miền phân bố điểm kỳ dị, Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền nghĩa đường cong xuất phát từ điểm u = chạy dọc theo trục thực dương 1 Trường hợp F2 < 0, việc thay F22 ≡ −i(−F2 ) công thức ta nhận kết Bời điều tương ứng với f = −i(F0 − F ) 2 − F2 (−iu), Khi đó, đường cong lấy tích phân chạy từ điểm giới hạn góc phần tư thứ mặt phẳng G Chuỗi Taylor hàm khai triển lũy thừa theo biến f giống f biểu thức (3.11) lấy tích phân theo số hạng ta √ ∞ e f df = f2 r 1 r− != 2 2r+1 πr! r ! (3.14) Cuối ta nhận kết ∞ e −F π 2F2 Gdu = ∞ e −F0 Qr , (3.15) (3.16) 0 Qr = F2 r ! d 2f du r G f u=0 G hàm khai triển công f thức (3.16) dẫn đến cách biểu diễn khác Qr sau Theo phương pháp nghịch đảo Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền F2 r ! Qr = d 2du r u f r+1 G (3.17) u=0 Dưới dạng tích phân đường hai biểu thức (3.16) (3.17) dẫn đến biểu diễn sau F2 2π Qr = 1 r− ! 2 2πi Gdu f r+1 (3.18) Trong công thức (3.15) chuỗi tiệm cận nhận thực không hội tụ miền lấy tích phân chuyển sang hình tròn hội tụ chuỗi lũy thừa theo biến khai triển Taylor phương pháp nghịch đảo Lagrange Cũng trường hợp tuyến tính, số hạng tổng quát đánh giá cách xác rõ ràng Chúng ta đưa số hạng đầu khai triển tiệm cận Fv = d du v F (u) , F1 = 0, Gv = limit e −F Gdu = limit π 2F2 d du v G(u) , limit ∞ −F0 e Qr (3.19) Thế Q0 = G0 √ Q1 = − √ {G0 F3 − 3G1 F2 } πF22 Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền G0 (5F32 − 3F2 F4 ) − 12G1 F2 F3 + 12G2 F22 24F2 √ √ {G0 (40F33 − 45F2 F3 F4 + 9F22 F5 ) − 45G1 F2 Q3 = − 135 π Q2 = ×(2F32 − F2 F4 ) + 90G2 F22 F3 − 45G3 F23 } Q4 = {G0 (385F34 − 630F2 F32 F4 + 105F22 F42 + 168F22 F3 F5 1152F2 −24F23 F6 ) − 24G1 F2 (35F33 − 35F2 F3 F4 + 6F22 F5 ) + 120G2 F22 (7F32 −3F2 F4 ) − 480G3 F23 F3 + 144G4 F24 } √ − 2 2 Q5 = √ 152 {G0 (1960F3 −4200F2 F3 F4 +1575F2 F3 F4 +1260F2 F3 F5 2835 πF2 −378F23 F4 F5 −252F23 F3 F6 +27F24 F7 )−21G1 F2 (200F34 −300F2 F32 F4 +45F22 F42 + 72F22 F3 F5 − 9F23 F6 ) + 21G2 F22 (200F33 − 180F2 F3 F4 +27F22 F5 ) − 315G3 F23 (8F32 − 3F2 F4 ) + 945G4 F24 F3 − 189G5 F25 } Q6 = {G0 (425425F36 − 1126125F2 F34 F4 + 675675F22 F32 F42 414720F2 −51975F23 F43 + 360360F22 F33 F5 − 249480F23 F3 F4 F5 + 13608F24 F52 −83160F23 F32 F6 + 22680F24 F4 F6 + 12960F24 F3 F7 − 1080F25 F8 ) −180G1 F2 (5005F35 − 10010F2 F33 F4 + 3465F22 F3 F42 + 2772F22 F32 F5 −756F23 F4 F5 − 504F23 F3 F42 + 48F24 F7 ) + 1260G2 F22 (715F34 −990F2 F32 F4 +135F22 F42 +216F22 F3 F5 −24F23 F6 )−10080G3 F23 (55F33 −45F2 F3 F4 +6F22 F5 )+756000G4 F24 (3F32 −F F4 )−60480G5 F25 F3 Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền +8640G6 F26 } 3.2.2 e−F uσ Gdu Đánh giá dạng tích phân e−F Gdu đánh giá Chúng ta hình dung tích phân cách giữ lại thừa số dạng e−F0 e− F2 u khai triển phần lại tích phân theo lũy thừa u Một tích phân điển hình theo cách ta biết ∞ 1 n− ! 2 2 n− 2 e− F2 u un du = F22 n+ 12 Do đó, công thức lũy thừa u biểu tích phân đồng với lũy thừa F2 xuất khai triển cuối Trong khai triển theo đòi hỏi chúng ta, tích phân thay ∞ 1 1 σ+ n− ! 2 2 σ+ n− 2 e− F2 u uσ+n du = F22 σ+ 12 n+ 12 Do đó, khai triển tích phân −F e 1 Gdu = − ! 2 F2 −F0 ∞ e Qr trở thành e−F uσ Gdu = 1 σ− ! 2 F2 1 σ+ ∞ −F0 Q(σ) r e Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân (3.20) 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền √ (σ) Qr cải biến thành Qr việc thay 1 2n π F2 1 σ+ n− ! 2 1 n σ− !F22 2 Điều phù hợp với biểu diễn tích phân Q(σ) r = F2 1 σ+ 1 σ+ r− 2 1 2πi σ− 2 uσ Gdu f σ+r+1 (3.21) Một số giá trị cho sau (σ) Q0 = G0 (σ) Q1 (σ) Q2 (σ) Q3 σ ! =− {(σ + 2)G0 F3 − 6G1 F2 } √ 1 σ− !F2 2 (σ + 1) = (σ + 3)G0 [(σ + 5)F32 − 3F2 F4 ] − 12(σ + 3)G1 F2 F3 + 36G2 F22 72F2 σ+1 ! =− {(σ + 4)G0 [5(σ + 6)(σ + 8)F33 √ 1 1620 σ− !F22 2 −45(σ + 6)F2 F3 F4 + 54F22 F5 ] − 90(σ + 4)G1 F2 [(σ + 6)F32 − 3F2 F4 ] +540(σ + 4)G2 F22 F3 − 1080G3 F23 } (σ) Q4 = (σ + 1)(σ + 3) {(σ + 5)G0 [5(σ + 7)(σ + 9)(σ + 11)F34 155520F26 −90(σ + 7)(σ + 9)F2 F32 F4 + 135(σ + 7)F22 F42 + 216(σ + 7)F22 F3 F5 −216F22 F6 ] − 24(σ + 5)G1 F2 [5(σ + 7)(σ + 9)F33 − 45(σ + 7)F2 F3 F4 Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền +54F22 F5 ] + 1080(σ + 5)G2 F22 [(σ + 7)F32 − 3F2 F4 ] −4320(σ + 5)G3 F23 F3 + 6480G4 F24 } (σ) Q5 =− 2σ +2 ! 15 √ 1 σ− !F2 816480 2 {(σ + 6)G0 [7(σ + 8) (σ + 14)F35 −210(σ + 8)(σ + 10)(σ + 12)F2 F33 F4 + 945(σ + 8)(σ + 10)F22 F3 F42 +756(σ + 8)(σ + 10)F22 F32 F5 − 2268(σ + 8)F23 F4 F5 ×(σ + 10)(σ + 12)F34 − 90(σ + 8)(σ + 10)F2 F32 F4 + 135(σ + 8)F22 F42 +216(σ+8)F22 F3 F5 −216F23 F6 ]+504(σ+6)G2 F22 [5(σ+8)(σ+10)F33 −45(σ+8)F2 F3 F4 +54F22 F5 ]−15120(σ+6)G3 F23 [(σ+8)F32 −3F2 F4 ] +45360(σ + 6)G4 F24 F3 − 54432G5 F25 } Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền KẾT LUẬN Khóa luận giải số vấn đề sau Trình bày số kiến thức lý thuyết hàm biến số phức Trình bày số kiến thức lý thuyết tiệm cận khái niệm về: khái niệm bậc so sánh; dãy tiệm cận; chuỗi tiệm cận tính chất chuỗi tiệm cận Trình bày phương pháp đạo hàm khai triển tiệm cận hai tích phân e limit −F ∞ Gdu e−F uσ Gdu hai trường hợp hàm F (u) phụ thuộc tuyến tính phụ thuộc toàn phương giới hạn tích phân Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dương Thị Thu Huyền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R B Dingle (1973), Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation, London [2] K Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 50 ... hóa số kiến thức lý thuyết xấp xỉ tiệm cận Trình bày đạo hàm khai triển tiện cận hai dạng tích phân nói Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức... bày đạo hàm khai triển tiệm cận hai dạng tích phân sau e−F Gdu ∞ e−F uσ Gdu limit Mục tiêu nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu lý thuyết tiệm cận đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân đặc... 21 2.5 Tính chất khai triển tiệm cận 28 Đạo hàm khai triển tiệm cận số dạng tích phân 3.1 33 Hàm F (u) phụ thuộc tuyến tính giới hạn tích phân