TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Liên ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI LŨY THỪA TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Liên Đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận số dạng tích phân Chun ngành: Giải tích KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào định hướng chọn đề tài tận tình bảo giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo mơn Giải tích nói riêng, thầy giáo giảng dạy khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội nói chung tạo điều kiện thuận lợi trình em học tập nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để em hồn thành khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận khơng thể tránh khỏi hạn chế cịn có nhiều thiếu sót định Em xin chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp q thầy để khóa luận hồn thành Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Liên Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, Khóa luận tốt nghiệp chun ngành Tốn giải tích với đề tài “ ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI LŨY THỪA TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN” hồn thành nhận thức thân tác giả, khơng trùng với Khóa luận khác Trong q trình nghiên cứu thực Khóa luận, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Liên Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.2 Một số tập hợp mặt phẳng phức 1.3 Hàm chỉnh hình 1.4 Chuỗi lũy thừa 1.5 Tích phân phức 12 Khai triển tiệm cận 20 2.1 Một số khái niệm bậc 20 2.2 Dãy tiệm cận 22 2.3 Khái niệm Poincarés khai triển tiệm cận 22 2.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 24 2.5 2.4.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa tiệm cận 24 2.4.2 Các phép toán với chuỗi lũy thừa tiệm cận 25 Tính chất khai triển tiệm cận 30 2.5.1 Tính 30 2.5.2 Tính khơng 31 2.5.3 Tính trội nhỏ 31 2.5.4 Tính hệ số 32 2.5.5 Các phép toán đại số 32 2.5.6 Tích phân chuỗi lũy thừa tiệm cận 33 2.5.7 Tính khả vi 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận số dạng tích phân 35 3.1 Tính hàm giai thừa khuyết 37 3.2 Tính hàm tích phân dạng mũ 38 3.3 Tính hàm siêu bội suy biến 39 3.4 Tính hàm tựa Bessel 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Mở đầu Lý chọn đề tài Trong thực tế thường xảy rằng, chuỗi phân kỳ sử dụng cho tính tốn giá trị số đại lượng mà theo nghĩa xem “tổng” chuỗi Trường hợp điển hình chuỗi hàm, xấp xỉ số hạng chuỗi thực đem lại hiệu mong muốn Trong hầu hết trường hợp số hạng chuỗi giảm nhanh (khi biến số độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn nó), số hạng sau bắt đầu tăng trở lại Các chuỗi gọi chuỗi bán hội tụ, việc tính tốn giá trị số thường thực số hạng đầu chuỗi Giải tích tiệm cận hình thành từ sớm, hình thành từ cơng trình tính toán L Euler Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận xây dựng cách hệ thống T J Stieltjes H Poincaré Một hướng nghiên cứu gọi lý thuyết chuỗi tiệm cận Trong người ta nghiên cứu chuỗi mà biểu diễn dãy hàm tiệm cận Thường dãy hàm biểu diễn dạng tích phân, chuỗi lũy thừa dạng nghiệm phương trình vi phân Các tốn đạo hàm có vai trị quan trọng Tốn học, thực tế ngành khoa học khác có liên quan Vật lý, Kĩ thuật, Sinh học, Công nghệ thông tin, Ở phát sinh tốn gắn với việc tìm đạo hàm hàm số đặc biệt.Bằng phương pháp tìm chuỗi lũy thừa tiệm cận hàm số ta đạo hàm chúng cách dễ dàng Với lí , định hướng người hướng dẫn em chọn đề tài “ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI LŨY THỪA TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN” để hồn thành khóa luận tốt nghiệp chun ngành Tốn giải tích Bố cục Luận văn trình bày 03 chương Chương "Một số kiến thức chuẩn bị" dành cho việc trình bày số kiến thức lý thuyết hàm số biến phức biến Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Chương "Khai triển tiệm cận".Để trình bày nội dung khóa luận đạo hàm số chuỗi lũy thừa tiệm cận, chương em giới thiệu số kiến thức lý thuyết khai triển tiệm cận Chương "Đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận số dạng tích phân".Đây phần khóa luận, em trình bày tốn xử lý hai dạng tích phân ∞ −u σ e u A u du x ∞ u (e ∓ 1)−1 uσ A u du x phương pháp đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu lý thuyết tiệm cận đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận số dạng tích phân đặc biệt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận tích phân dạng ∞ −u σ e u A u du x ∞ u (e ∓ 1)−1 uσ A u du x Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu,tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống hóa kiến thức lý thuyết xấp xỉ tiệm cận Trình bày đạo hàm chuỗi lũy thừa tiện cận số dạng tích phân đặc biệt Khóa luận hồn thành Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội vào tháng năm 2017 hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phẳng phức Số phức số có dạng z = x + iy với x, y ∈ R i2 = −1 i đơn vị ảo mà i2 = −1.Ta gọi x phần thực y phần ảo, ký hiệu tương ứng x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức ký hiệu C đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C → R2 z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thơng thường phép tốn tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ) Với số phức z = x + iy , ta xác định modul số phức z giá trị |z| = x2 + y Số phức liên hợp số phức z = x + iy ky hiệu va xac đinh bơiz¯ = x − iy Khơng khó khăn, ta kiểm tra Rez = z + z¯ z − z¯ z¯ , Imz = |z|2 = z.¯ z , = ; với z = 2i z |z| Số phức khác biểu diễn dạng cực z = r.eiθ ; với r > 0, θ ∈ R gọi argument số phức z ký hiệu argz (argument số phức z xác định cách với sai khác bội 2π ) Argument sô phưc z thỏa mãn ≤ argz < 2π gọi argument ký hiệu phz Ta có eiθ = cosθ + i sin θ Bởi eiθ = nên r = |z| θ góc hợp chiều dương trục nửa đường thẳng xuất phát từ gốc toa độ qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý z = r.eiθ w = s.eiϕ z.w = r.s.ei(θ+ϕ) 1.2 Một số tập hợp mặt phẳng phức Cho z0 ∈ C r > , ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r tập hợp Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} a Đĩa đóng tâm z0 bán kính r tập hợp Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} Biên đĩa đóng mở đường tròn D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} Đĩa có tâm z0 = bán kính gọi đĩa đơn vị, kí hiệu D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} Cho tập Ω ⊂ C điểm z0 ∈ Ω gọi điểm Ω tồn r > cho Dr (z0 ) ⊂ Ω Phần Ω kí hiệu intΩ gồm tất điểm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên ∞ cn z n f (z) = n=−∞ hội tụ |z| ≥ R1 , cn = f (z) dz 2πi Γ z n+1 Γ đường tròn |z| = R với R > R1 Từ f (z) tiến tới a0 z → ∞, nên bị chặn Do đó, tồn số M cho |f (z)| ≤ M |z| ≥ a Khi n > ta có |cn | ≤ M Rn Nhưng R coi đủ lớn Vì cn = n > chuỗi ∞ f (z) = c−n z −n n=0 hội tụ |z| ≥ R1 Thế ∞ f (z) ∼ an z −n n=0 z → ∞, a0 = lim f (z) = c0 z→∞ a1 = lim {f (z) − a0 } z→∞ a2 = lim z→∞ f (z) − a0 − a1 z = c−1 z = c−2 z2 trường hợp tổng quát an = c−n Vì khai triển chuỗi lũy thừa f (z) hội tụ 2.5 2.5.1 Tính chất khai triển tiệm cận Tính Cho dãy tiệm cận {φn (x)} , dãy khai triển tiệm cận f (x) nhất, nghĩa an xác định sau a1 = lim x→x0 30 f (x) φ1 (x) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên a2 = lim x→x0 f (x) − a1 φ1 (x) φ2 (x) N −1 f (x) − aN = lim φN (x) x→x0 2.5.2 an φn (x) n=1 Tính khơng Với hàm f (x) có nhiều khai triển tiệm cận khác Chẳng hạn x → 0, tan x ∼ x + x3 + x5 + · · · 15 ∼ sin x + (sin x)3 + (sin x)5 + · · · 2.5.3 Tính trội nhỏ Một khai triển tiệm cận khai triển nhiều hàm Chẳng hạn, x → x0 ∞ an (x − x0 )n f (x) ∼ n=0 − f (x) + e (x − x0 ) ∼ ∞ an (x − x0 )n n=0 − x → x0 e (x − x0 ) = o (x − x0 )n x → x0 với n Thực tế ∞ an (x − x0 )n tiệm cận x → x0 hàm khác f (x) n=0 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên hàm g(x) x → x0 nhanh lũy thừa x − x0 Một hàm g(x) gọi trội nhỏ chuỗi lũy thừa tiệm cận, chuỗi lũy thừa tiệm cận g(x) ∞ · (x − x0 )n g(x) ∼ n=0 Vì khai triển tiệm cận tiệm cận lớp hàm, chúng khác hàm trội nhỏ Chẳng hạn, hàm e−x trội nhỏ so với chuỗi tiệm cận có dạng ∞ an x−n n=0 x → +∞ f (x) có khai triển tiệm cận f (x) + e−x vậy, nghĩa f (x) có khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận sai khác hàm mũ nhỏ 2.5.4 Tính hệ số Nếu ta viết ∞ ∞ n bn · (x − x0 )n an · (x − x0 ) ∼ n=0 (2.1) n=0 nói đến lớp hàm ∞ an · (x − x0 )n n=0 ∞ bn · (x − x0 )n n=0 tiệm cận x → x0 , chúng Hơn tính khai triển tiệm cận nghĩa an = bn với n, nghĩa hệ số luỹ thừa x − x0 (2.1) 2.5.5 Các phép toán đại số Giả sử ∞ f (x) ∼ ∞ an φn (x) g(x) ∼ n=0 bn φn (x) n=0 x → x0 ∞ αf (x) + βg(x) ∼ (an + bn ) · φn (x) n=0 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên với α β số Khai triển tiệm cận nhân chia miễn dãy khai triển tiệm cận đủ lớn Nói riêng với chuỗi luỹ thừa tiệm cận, φn (x) = (x − x0 )n , phép tốn thực sau ∞ f (x) · g(x) ∼ cn (x − x0 )n n=0 với b0 = 0, d0 = a0 b0 ∞ f (x) ∼ dn (x − x0 )n g(x) n=0 n−1 với dn = an − dm bn−m b0 m=0 2.5.6 Tích phân chuỗi lũy thừa tiệm cận Một chuỗi luỹ thừa tiệm cận lấy tích phân số hạng (nếu f (x) khả tích gần x = x0 ) Vì vậy, ∞ an (x − x0 )n f (x) ∼ n=0 x → x0 x ∞ f (t)dt ∼ x0 2.5.7 an (x − x0 )n+1 n + n=0 Tính khả vi Trong trường hợp tổng quát, khai triển tiệm cận lấy đạo hàm số hạng Bài tốn với tính khả vi liên quan đến tính trội nhỏ Ví dụ, hai hàm −   2  f (x) g(x) = f (x) + e (x − x0 ) sin e (x − x0 )  khác hàm trội nhỏ chúng có chuỗi luỹ thừa tiệm cận x → x0 Tuy nhiên f (x) 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên   2 g (x) = f (x) − 2(x − x0 )−3 cos e (x − x0 )   +2(x − x0 − −3 ) e (x − x0 )   2 sin e (x − x0 )   khơng có chuỗi luỹ thừa tiệm cận x → x0 Tuy nhiên f (x) tồn tại, khả tích x → x0 ∞ an (x − x0 )n f (x) ∼ n=0 Đặc biệt, f (x) giải tích miền đạo hàm số hạng khai triển tiệm cận f (x) - nhắc lại hàm số thực f (x) gọi giải tích x = x0 biểu diễn chuỗi luỹ thừa x − x0 với bán kính hội tụ khác khơng Ví dụ 1 ∼ + +··· x−1 x x x → +∞, dễ dàng chuỗi có hội tụ x > giải x−1 tích x > 1, (x − 1) ∼ + +··· x x x → +∞ (Cả hai chuỗi khai triển Taylor hàm tương ứng) 34 Chương Đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận số dạng tích phân Trong chương này, em giới thiệu phương pháp theo cách gọi đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận để tính hai tích phân sau ∞ −u σ e u A u du x ∞ u (e ∓ 1)−1 uσ A u du x Hai dạng tích phân có đặc điểm hàm dấu tích phân tích hai nhân tử Nhân tử thứ biến thiên nhanh tính xác tích phân nó, cịn nhân tử thứ hai A có khai triển chuỗi Taylor u x biến thiên chậm ∞ ar ur A(u) = (3.1) r=0 hội tụ đĩa có bán kính đủ nhỏ Trường hợp thường gặp từ việc giải số toán thuộc lĩnh vực vật lý dẫn đến biểu diễn tích phân loại Laplace sau ∞ e−u uσ A với σ > −1 Ở e−u A u x u du; x (3.2) giảm nhanh mũ u đủ lớn với giá trị phx Trong trường hợp này, thay công thức (3.1) vào (3.2) lấy tích 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên phân phần ta ∞ u du = u A x ∞ −u σ e r=0 (r + σ)!ar xr (3.3) Tương tự thế, ta nhận khai triển sau (0+ ) i 2π −u e ∞ ∞ u (−u) A du = x σ r=0 (−1)r ar (−r − σ − 1)!xr (3.4) ∞ (r + σ)!a r (−σ − 1)!σ! r=0 xr = Vấn đề xử lý phần dư chuỗi sau số hữu hạn số hạng, ta cần đến khái niệm khai triển tiệm cận hoàn chỉnh theo nghĩa Poincaré - Watson để tìm chuỗi Taylor A(u) Kết tham khảo tài liệu [2] Mở rộng phương pháp tới nhân tử có biến thiên nhanh khác thực theo cách trực tiếp Chúng ta giới thiệu thêm số dạng khác ∞ u (e − 1) u du = u A x ∞ u (e + 1) ∞ u u A du = x e (e − 1) ∞ u e (e + 1) ∞ u u A du = x ∞ (r + σ)!tr+σ+1 r=0 (r + σ)!ζ(r + σ) r=0 u u A du = x ∞ u [p, x]!u A du = x (r + σ)!tr+σ r=0 ar xr ar xr ∞ −2 σ ar xr (r + σ + 1)−1 (r + σ + p + 1)! r=0 36 (3.5) (3.6) ar xr ∞ σ r=0 −2 σ u u (r + σ)!ζ(r + σ + 1) −1 σ u ∞ −1 σ (3.7) (3.8) ar xr (3.9) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ∞ Kp (u)uσ A Nguyễn Thị Liên u du x ∞ σ−1 =2 r=0 1 ar (r + σ + p − 1) ! (r + σ − p − 1) ! , r 2 x (3.10) tr = (1 − 21−r )ζ(1 − 21−r ) Kp (u) hàm Bessel loại ba Sử dụng phương pháp số hàm số quan trọng, ta tìm đạo hàm chúng Từ nhiều tốn đặt Tốn học lĩnh vực thực tế khác giải cách đơn giản Dưới số kết cụ thể 3.1 Tính hàm giai thừa khuyết Hàm giai thừa khuyết (hay hàm giai thừa khơng hồn chỉnh) định nghĩa dạng biểu diễn tích phân x e−t dt; p > −1, [p, x]! = (3.11) phép đổi biến ta viết tích phân dạng x tức = ∞ − ∞ , x ∞ e−t dt = p! − (p, x)! [p, x]! = (3.12) x Để đưa công thức dạng cần xét đến, đặt t = x + u Khi đó, ta nhận ∞ p −x e−u + [p, x]! = x e u x p du (3.13) (Trong tích phân ta cần lưu ý rằng: điểm rẽ nhánh kỳ dị cực điểm đường lấy tích phân |phx| = π Bởi A(u) = (1 + u)p = p! ∞ ur , r=0 r!(−r + p)! nên đại lượng liên quan công thức (3.3) xác định sau 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên σ = 0, ar = p! r! (−r + p)! Do đó, hàm giai thừa khơng hoàn chỉnh trở thành ∞ p −x [p, x]! = p!x e r=0 = (−r + p)!xr (3.14) xp e−x ∞ (r − p − 1)! ; |phx| < π (−p − 1)! r=0 (−x)r Bằng cách đặt σ = −p − khai triển hàm (1 + u)−1 để nhận hệ số khai triển Taylor ar = (−1)r Trở lại công thức [1, formula 11 − p.59] ta nhận ∞ xp e−x [p, x]! = (−p − 1)! u−p−1 e−u du ; u 1+ x (3.15) với p < 0, |phx| = π Áp dụng công thức (3.3) ta nhận công thức (3.14) Như ta dễ dàng tính đạo hàm hàm giai thừa khuyết theo biến x là: xp−1 e−x (p − − x) (−p − 1)! 3.2 ∞ r=0 r.(r − p − 1)! (−x)r Tính hàm tích phân dạng mũ Hàm tích phân mũ hàm thường định nghĩa tích phân dạng ∞ u−1 e−u du −Ei(−x) = (3.16) x Theo xác định hàm cơng thức (3.12) hàm giai thừa có dạng [ − 1, x]! Từ công thức (3.14) chuỗi lũy thừa tiệm cận viết sau ∞ −Ei(−x) = x −1 −x e r=0 38 r! ; (−x)r |phx| < π (3.17) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Đạo hàm hàm tích phân dạng mũ theo biến x là: −x−2 (2 + x)e−x 3.3 ∞ r.r! r r=0 (−x) Tính hàm siêu bội suy biến Hàm siêu bội suy biến dạng tích phân cho phương trình F (a, c, x) = x (c − 1)!xa−c ex (a − 1)!(c − a − 1)! v c−a−1 + a−1 v (−x) e−v dv (3.18) Cũng theo cách mục trước tách tích phân thành tổng hai tích phân ∞ − ∞ x Trong tích phân thứ hai, dùng phép đổi biến v = x + u ta viết nhân tử sau dạng  v 1+ (−x) a−1 u (−x) = a−1 eiπa    −iπa  x1−a ua−1 ; = − e  cos πa với giá trị phase xác định < phx < π, > phx > −π, phx = Như ta nhận kết  F (a, c, x) = eiπa    (c − 1)! −a (c − 1)! a−c x −iπa  x e ψ(−a, c, −x) +  e   (c − a − 1)! x ψ(a, c, x), (a − 1)! cos πa (3.19) với < phx < π, > phx > −π, phx = ψ(a, c, x) = (a − 1)! ∞ ua−1 + u x 39 c−a−1 e−u du, |phx| < π (3.20) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Thay σ = a − (3.3) ý khai triển biểu thức (1 + u)c−a−1 có hệ số ar = (c − a − 1)! r! (−r + c − a − 1)! Điều đó, cho ta ψ(a, c, x) = (a − 1)!(a − c)! ∞ r=0 (r + a − 1)!(r + a − c)! r!(−x)r (3.21) Đạo hàm hàm siêu bội suy biến theo biến x là: ∞ r(r + a − 1)!(r + a − c)! (a − 1)!(a − c)! r=0 r!(−x)r+1 3.4 Tính hàm tựa Bessel Hàm tựa Bessel ký hiệu Ip (x) dạng đặc biệt hàm Bessel, đề xuất F Bessel D Bernoulli dạng nghiệm y(x) phương trình vi phân Bessel λ2 dy d2 y + x + (λ2 − v )y = dx dx Ở v số thực phức xác định cấp hàm Giống hàm Bessel thông thường, hàm tựa Bessel xuất số toán từ lĩnh vực vật lý kỹ thuật Đặc biệt hóa kết phần ta có p!Ip (x) = x p e±x F p + , 2p + 1, ∓2x (3.22) Từ đó, ta nhận khai triển tiệm cận hàm tựa Bessel sau   sin πp − i cos πp   x   −x  Ip (x) = (2πx)−  e ψp (−x) −  sin πp + i cos πp  e ψp (x) ,    sin πp 40  (3.23) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên với < phx < π, > phx > −π, phx = ψp (x) = ψ−p (x) = ψ p + , 2p + 1, 2x ∞ 1 r=0 ! −p − ! p− 2 = (3.24) r+p− 1 ! r−p− ! 2 r!(−2x)r Cũng để thu khai triển tiệm cận này, người ta biểu diễn dạng tích phân hàm Bessel loại ba sau ∞ e−x cosh ω cosh pωdω; Rex > Kp (x) = (3.25) Trong tích phân này, đặt cosh ω = + 2u2 ; với u = sinh ω ta nhận Kp (x) = 2e−x −1 ∞ −2xu2 cosh(2psinh u) e du; Rex −1 cosh(sinh u) > Thay khai triển chuỗi Taylor cosh(2psinh−1 u) cosh(sinh−1 u) − = p− ! 1 ! −p − ! 2 ∞ r+p− r=0 1 r ! r−p− !(−u2 ) 2 r! − ! (3.26) vào tích phân lấy tích phân số hạng chuỗi hàm, ta nhận khai triển tiệm cận tích phân sau Kp (x) = (π/2x) e−x ψp (x); |phx| < π 41 (3.27) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Đạo hàm hàm siêu bội suy biến theo biến x là:     sin πp − i cos πp  −x    −2 −2  x  e ψp (x) + − (2π) (x) e ψp (−x) −  sin πp + i cos πp    sin πp   sin πp − i cos πp   x   −x  (2πx)−  e (ψp (−x) − ψ p (−x))  sin πp + i cos πp  e (ψp (x) − ψ p (x))    sin πp với ψp (x) = p− ∞ 1 r=0 ! −p − ! 2 42 1 ! r−p− ! 2 r!(−2)r x)r+1 r r+p−  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Kết luận Khóa luận giải vấn đề sau Trình bày số kiến thức lý thuyết hàm số biến số phức như: số phức mặt phẳng phức; tích phân phức số định lý tích phân phức Trình bày số kiến thức lý thuyết tiệm cận khái niệm về: so sánh bậc hàm; dãy tiệm cận; chuỗi tiệm cận tính chất chuỗi tiệm cận Sử dụng phương pháp tích phân phần để thu xấp xỉ tiệm cận số tích phân đặc biệt Đây phương pháp đơn giản để thu tiệm cận tích phân, để đưa khái quát phương pháp phức tạp việc đánh giá sai số xấp xỉ hạn chế Chúng minh họa phương pháp số ví dụ cụ thể Trình bày phương pháp đạo hàm chuỗi lũy thừa tích phân dạng ∞ −u σ e u A u du x ∞ u (e 43 ∓ 1)−1 uσ A u du x Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Tài liệu tham khảo [1] R B Dingle (1973), Asymptotic Expansions: Their Derivation and Inter- pretation, London [2] G N Watson (1918), The harmonic functions associated with the parabolic cylinder, Proceedings of the London Mathematical Society 17, 116-148 (Partly anticipated by E W Barnes (1906) Phil Trans CCVI 406, p 106) 44 ... đạo hàm hàm số đặc biệt.Bằng phương pháp tìm chuỗi lũy thừa tiệm cận hàm số ta đạo hàm chúng cách dễ dàng Với lí , định hướng người hướng dẫn em chọn đề tài “ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI LŨY THỪA TIỆM CẬN... đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu lý thuyết tiệm cận đạo hàm chuỗi lũy thừa tiệm cận số dạng tích phân đặc biệt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đạo hàm. .. 1.1 Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần đĩa hội tụ Đạo hàm chuỗi lũy thừa chuỗi lũy thừa thu cách lấy đạo hàm số hạng Một hàm f (z) xác định tập mở Ω gọi giải tích (hoặc có khai ∞ triển chuỗi lũy thừa)