Chủ đề rút gọn biểu thức Có chứa thức bậc hai A.KIN THC C BN x= a 1.Khỏi nim: x l cn bc hai ca s khụng õm a x2 = a Kớ hiu: A A A0 2.iu kin xỏc nh ca biu thc Biu thc xỏc nh A A A2 = A = A A < 3.Hng ng thc cn bc hai : 4.Cỏc phộp bin i cn thc: A.B = A B ( A 0; B ) +) A A = ( A 0; B > ) B B +) A 2B = A B ( B ) +) A = A.B ( A.B 0; B ) B B +) m A m B m = B 0; A B ) ( A B A B +) n A m B n = ( A 0; B 0; A B ) AB A B +) Cỏc dng bi thng gp: - Rỳt gn biu thc s - Rỳt gn biu thc cha ch S dng kt qu rỳt gn : + Tớnh giỏ tr ca biu thc bit giỏ tr ca bin; + Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh ( so sỏnh biu thc vi mt s); + Tỡm giỏ tr nh nht, ln nht ca mt biu thc; + Tỡm giỏ tr nguyờn ca biu thc ng vi cỏc giỏ tr nguyờn ca bin ( ) ( ) B BI TP I.RT GN CC BIU THC S * Mt s chỳ lm dng toỏn Nhn xột biu thc cn Phỏn oỏn phõn tớch nhanh a hng lm cho loi toỏn: + Vn dng cỏc phộp bin i mt cỏch hp lý v thnh tho A2 = A + Phõn tớch cỏc biu thc s, tỡm cỏch a v cỏc s cú cn bc hai ỳng hoc a v hng ng thc + Luụn chỳ ý ti du hiu chia ht thun tin cho vic phõn tớch + Trit s dng cỏc phộp bin i cn thc nh: Nhõn chia hai cn thc bc hai, a tha s vo hay ngoi du cn, kh mu ca cn thc, trc cn thc mu Cỏc vớ d + Vớ d 1: Rỳt gn cỏc biu thc sau: 28 + ) + 84 20 45 + 18 + 72 a/ b/ ( d/ 2 2+ 200 ữ ữ: ( c/ ) + 120 Gii: 20 45 + 18 + 72 a/ = = b/ ( 28 + ) 2.5 32.5 + 32.2 + 2.2 = 5 +9 +6 ( 3) + 84 = + (9 + 6) = 15 2.7 + + 2.21 = = 2.7 21 + + 21 14 + + ( ) 21 = 21 d / 2 = c/ ( 6+ ) 2 1 200 ữ : = + 10 ữ ữ 2 ữ: + ữ.8 = 2 12 + 64 = 54 2+ 120 = + 30 + 2.30 + + 30 30 = 11 = + Vớ d 2: Rỳt gn cỏc biu thc sau: A= a/ Gii: 1 5+ a/ B= b/ 1 = A= 5+ = B= b/ 42 ( ( 42 C= 2 + 2+ 3+ c/ ) ( + 3) 3) ( 3) 5+ 3 = = 53 ( 3) = = ( +1 ( = ) 3 ) = ( ( c/ = = ( ( ( ) ) = = 2 1 + 2+ 3 3 +1 ( ) ) ( ) ( + 1) ( + ) ( + 1) ( + ) +1 + + 3+4 ( )( +1 + 3 ) 2 + 2+ 3+ = C= = ( ) )( +1 ) = ) = 3 ( ( ( 3+2 )( ) +1 + ) = 3( 3 ( 1) ) ) = 3 3 = 3 + Vớ d 3: Chng minh cỏc ng thc sau: 2 a/ c/ Gii: ( ( ) ( + 1+ 2 2 ( ) ( ( 2+ ) ( ) ) ( + 1+ 2 ) 2 =9 b/ + 1+ 2 a/ BVT ta cú : 2 ) ) 2+ + = =8 2 =9 = + + + = = VP Vy ng thc ó c chng minh Bi ngh: Thực phép tính: 1) 4) 125 80 + 605 12 + 27 18 48 30 + 162 + 75 27 7) 10) 13) ( 5+ 18) + 6+4 + ; 2) 2+ + 2+ 3 ; 5) ( + ; 11) 52 ; 25 12 + ( 64 ; ; 19) ) ) ( +1 ; ; + ; + ; 16) ( ) ; 17) 14 24 12 3 20) + +1 + +1 II CC CU HI THNG GP SAU BI TON RT GN Dạng 1: Tớnh giỏ tr biu thc Vớ d1 Cho A = x= Gii Khi Thay x= x x KX x 0; x => tha KX A= vo A ta cú ; 12) 54 192 ; + 10 + + 10 + + 2+ 14) 16 27 75 6) 64 + + +1 3 ; 3) ; 9) + 3+ 15 216 + 33 12 ) 10 + ; 8) ( + ) ( 49 20 ) 6+4 15) ) 10 + 10 + + x= ; Tớnh giỏ tr ca A x= 4 = = 9 x = = : ữ = 2 x 1 ; x x P= Vớ d 2: Cho Gii: Thay P= x = 2 = ( ( ) ( ) Ví dụ3: Cho P= Tớnh giỏ tr ca A vi ) 2 = x>0 ; Tớnh giỏ tr ca P vi vo biu thc a + a +1 a x x P= 2 ĐK = +1 = x = 32 , ta cú: = +1 a 0; a a = 19 ( 3) a = 19 a = 19 = 16 2.4 + = ( = = )( )( (TMĐK) ) 24 + 15 19 + + 24 = = = 3 3 3+ ( ) Do P= Nhng sai lm hay mc ca hc sinh: - Khi thay giỏ tr x cn tớnh khụng i chiu iu kin u bi (TMĐK) - Sau tớnh giỏ tr biu thc mu cũn cha cn thc, khụng trc cn thc mu (Ví dụ2,3) Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P(x) = m (m số) a c = a.d = b.c b d Bớc Sử dụng tính chất để làm mu phơng trình Bớc Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí x x Ví dụ1 :Cho A = x để: (với x x a) A = = Giải: Ta có: 1) Tìm giá trị b) A = c) A x a) A = x x =2 x x = 2( x - 1) x 2= =2 Vậy với x = A =2 a) A= x x = x x -2 x x = 2( =-2 - 1) x x =2 b) A= x x = x + x x =-( =1 -2 x = (TMĐK) x x =2 -2 = - (VN) Vậy giá trị x để A = x x - 1) x =1 x x == x +1 x= (TMĐK) Vậy với x = Ví dụ2: Cho biểu thức: A = P = + ữ x x x ( x > 0; x ) + Tìm x để P ( ) x = x 2005 + + x P = + = ữ x x x x x x ( Bài giải: P + ( ) x ( ) x ( ) ( 5+2 P + x x ( ) 2+ + = x 2005 + + x = 2005 ) (TMĐK ) : x 1 ( x +1 ) x Tim giỏ tr ca x A = HNG DN GII: a) iu kin 0< x A= Vi iu kin ú, ta cú: b) A = x= Vy thỡ thỡ A = x ( x +1 : ) ( x x +1 ) x x 1 = x = x= x ) x x = x 2005 + + x = x 2005 + + Bi 4: Cho biu thc A = a ( = x 2005 + + Vậy x = 2005 ) ữ P= ữ = x x (tha iu kin) Nhng sai lm hay mc ca hc sinh: - Mt s hc sinh sau tỡm c giỏ tr ca x xong khụng kt hp vi iu kin bi ó kt lun - Mt s hc sinh dựng du = bin i x A=( + ): x x x x Bài 1: Cho biểu thức ( x > 0; x 1) a) Rút gọn A b)Tính giá trị A x=3-2 Bài giải: x x A=( + ): =( + ): x x x x x x x( x 1) a) ( x )2 + x (x + 2)( x 1) x + A= = = x ( x 1) x ( x 1) x b Khi x= 3-2 A= 32 + ( 1) = = ( 1) 52 = ( (TMĐK) 52 )( ) =1+ +1 P= + ữ: x +1 x +1 x Bài 2: Cho biểu thức a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = 0; x Bài giải: a) ĐKXĐ x P= ( P= )( x ( ( + x x +1 + = x + ( x 1) x + x +1 ) )( x + 1) ( x +2 ( )= x 1) x +1 x +2 = x b) x = 13 x = 168 ( ) = x +2 x ) ( ) x +2 =5 x x + = x (TMĐK) x+4 x + 3x 19 x : + + ữ x x + 16 x x x2 4x P= Bi :Cho biu thc: a) Rỳt gn P b) Tớnh giỏ tr ca P ti x = 4+2 42 Gii: a) KX: P= x x( x 4) x x+ 19 x + + x x2 4x x x x( x + 3) x 16 + x + 19 x x( x + 3) x( x 4) x2 : = = ữ ữ x( x 4) ( x 4) ( x 4) x + x x = 4+ 42 = b) ( ) ( +1 P= Thay x=2 TMĐK vo P ta cú + x x Bi 4: Cho biu thc A = ) = +1 2 = 24 : x 1 ( x +1 ) x ( ) = ( TMĐK) c M=2- a Vy Max M = * Vớ d 3: Cho biu thc a=0 a +1 M = + ữ: a a a +1 a a vi a >0 v a a/ Rỳt gn biu thc M b/ So sỏnh giỏ tr ca M vi Gii: a/ = kx: a >0 v a 1 a +1 = ( M = + ữ: a a a +1 a a 1+ a a a ( ) M = b/ Ta cú ( ) ( ( ) a a )( ) + a a 1+ a a = = a +1 a a a +1 a a = ( )( ) ): ) a 1 , vỡ a > => a >0 a a a ( a +1 => a >0 nờn Vy M < * Vớ d 4: Cho biu thc x x+ P = x x x 2 x x x a/ Tỡm iu kin P cú ngha b/ Rỳt gn biu thc P c/ Tớnh giỏ tr ca P vi Gii: x = 32 a 0 b/ kx : P = x >0 x ( x x + x x x )( x3 ) x + x 2 x ( x 3) ( ) ( )( ) ) x + x x + x ( x x x+ ) x ( x + x ( x 3) x + x x = ( ) ( ) x x x x x = = ( ( ) ( ( ) ) x + x ( x 3) x + x x x x x +1 x3 ) x1 = ( x + x x c/ Thay x = 2 = ( ) ( ) x ( 1) x ) = x P= vo biu thc x x x , ta cú: x x+ ) P= ( ( ) ) 2 = 2 = +1 = = +1 * Vớ d 5: Cho biu thc A= 2x x + 11 x x + 3 x x2 vi x a/ Rỳt gn biu thc A b/ Tỡm x A < c/ Tỡm x nguyờn A nguyờn Gii: a/ kx: A= = = x 2x x + 11 x 2x x +1 11 x = + x + 3 x x x + x ( x + 3)( x 3) x( x 3) + ( x + 1)( x + 3) ( 11 x ) x x + x + 3x + x + + 11 x = ( x + 3)( x 3) ( x + 3)( x 3) 3x + x x ( x + 3) 3x = = ( x + 3)( x 3) ( x + 3)( x 3) x A= b/ Ta cú 3x x3 , A < tc l 3x 3x 3x 2( x 3) , y > a/ Rỳt gn A; b/ Bit xy = 16 Tỡm cỏc giỏ tr ca x, y A cú giỏ tr nh nht, tỡm giỏ tr ú Gii: a/ kx : x > , y > 1 A = + + + y x + y x x : y x+ y x + y = + : xy xy x + y ( x3 + y x + x y + y x y + xy )( ) x + y x xy + y + xy xy ( x+ y ) ( x+ y ) ( x + y = + : xy xy ( = b/ Ta cú x+ y xy ) xy ( x + y ) xy x+ ) y ( x + y) x+ y = x+ xy x+ xy y x + y x A= y y Do ú xy xy = x+ 16 16 xy y xy =1 ( vỡ xy = 16 ) Vy A = x= y x = y = xy = 16 *Mt s chỳ ý gii cỏc bi toỏn rỳt gn tng hp (õy l dng toỏn c bn v cú tớnh tng hp cao) Bc 1: iu kin biu thc cú ngha (cn thc xỏc nh, mu khỏc khụng nu bi toỏn cha cho) Bc 2: Phõn tớch cỏc mu thnh nhõn t (ỏp dng thnh tho cỏc phộp bin i cn thc) + p dng quy tc i du mt cỏch hp lý lm xut hin nhõn t chung + Thng xuyờn ý xem mu ny cú l bi hoc c ca mu khỏc khụng Bc 3: Tin hnh quy ng rỳt gn, kt hp vi iu kin ca bi kt lun Bc 4: Lm cỏc cõu hi ph theo yờu cu ca bi toỏn + Tuõn th nghiờm ngt cỏc phộp bin i phng trỡnh, bt phng trỡnh + Kt hp cht ch vi iu kin ca bi toỏn nhn nghim, loi nghim v kt lun Bi t luyn: Bi 1: Cho biu thc : P= a a 10 a a 25 a +5 a Tỡn KX v rỳt gn P b Tớnh giỏ tr ca P khi: a = 36 c Tỡm giỏ tr ca a P < 1/3 Bi Cho A = x x + x2 2x + ữ ữ x x + x + a Rỳt gn A b CMR nu < x < thỡ A > c Tớnh A x =3+2 d Tỡm GTLN A x Bi 3: Cho biu thc: M = x +3 + x +1 x 11 x x a, Rỳt gn biu thc A 42 b, Tỡm giỏ tr ca M x = vi x , x c, Tỡm cỏc giỏ tr ca x N giỏ tr ca M l s t nhiờn Bi 4: Cho biu thc : x x + P = : x x x x a) Rỳt gn P b) Tớnh giỏ tr ca P vi x = 25 c) Tỡm cỏc giỏ tr ca x P > x d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc Q = P tri nguyờn Bi 5: Cho biu thc: P = a x x : + x x x Tỡm KX v rỳt gn P b Tỡm cỏc giỏ tr ca x P = c Tỡm GTNN ca P Bi : Cho biu thc : A = 1 : a a a) Rỳt gn A b) Tớnh giỏ tr ca A bit a = + c) Tỡm giỏ tr ca a A > ( )( a a ) ( x 1) nhn cỏc giỏ Bi7: Cho biu thc D = a+ b a + b + + ab ab : a + b + 2ab + ab a) Tỡm iu kin ca x D xỏc nh Rỳt gn D b) Tớnh giỏ tr ca D vi a = c) Tỡm giỏ tr ln nht ca D Bi 8: Cho biu thc: x 1 x A= x + ữ ữ: x x x+ x ữ a, Rỳt gn biu thc A b, Tớnh giỏ tr ca A ti x = c, Tỡm cỏc giỏ tr ca x tha món: Bi 9: Cho biu thc: x A = x + x 2+ x x Q = + : ữ ữ ữ x x 2ữ x 2 x a, Rỳt gn Q x= b, Tớnh giỏ tr ca Q ti c, Tỡm m cú x tha món: Bi 10: Xột biu thc: a, Rỳt gn P Q = mx x 2mx + x+3 x +2 x+ x 1 P = : ữ ữ ữ x x +1 x ( x + 2)( x 1) x +1 P b, Tỡm x HD gii v ỏp s s bi t luyn Bi 1: Cho biu thc : P= a a 10 a a 25 a +5 a)KX : a ; a a a +5 Rỳt gn P = b) a = 36 c) P < a =6 P= 11 a < 100 Bi Cho A = a) Rỳt gn b) Nu < x < thỡ c) x =3+2 d) maxA = x A> ( + 1).( ) = 2 x x +3 Bi 3: Cho biu thc: M = + x +1 x 11 x x x x a, Rỳt gn M = ( x ; x 9) 42 b) x = = Khi ú M = x c) M = = 3+ x 3 x x x + P = : x x x x Bi 4: Cho biu thc: a) KX : x > x => M l s t nhiờn x = 0; 16; 36; 144 x x b) Rỳt gn : P = x c) P > Cú x > x x > ( x > v x ) >0 x Vy x >0 x-1 > x > ( TMK) d) Q = + x Cú Q nhn giỏ tr nguyờn x nhn giỏ tr nguyờn ( vi x va x ) Do x x suy - x ( ) ( x ) (2) { ; 2} -1 Ta xét trờng hợp sau : + Vi + Vi + Vi x x x - = -1 suy x= ( t/m) - = suy x = ( t/m) - = suy x = ( t/m) Bi 5: Cho biu thc: P = x x x + x : x a) KX : x ; x P= x +1 Rỳt gn b) P = P= c) x =1 x +1 x +1 x +1 (loi) = x +1 Bi : Cho biu thc : A = KX: a>0; a 1; a nờn minP = x = 1 : a a ( )( a a ) a a a)Rỳt gn: A= 3 b)a= 7+ c)A> = 2+ a a a > - Rỳt gn D = 2+ Vy D = = ( Vi a> 0; a 1; a 4) = D= a+ b a + b + + ab ab a a +1 2( + = ( + 1) a = + 1 2+2 32 = +1 3 c) p dng bt ng thc Cụ-Si ta cú a a +1 D Bi 8: 3( + ) a b ab a) K ca D l: b) a = A= a> 16 Bi 8: Cho biu thc: 3 Vy max D = : a + b + 2ab + ab ( ) x 1 x ( x 1) x + A= x + ữ= ữ: x x x+ x ữ x ( x 1) a, ( x 1) ( x + 1) = x ( x 1) ( = x +1 A= 16 b, Vi x = 9, ta cú ) x xA = x +3 c, Ta cú: t t = x ; t > 0; t ( (x > 0; x 1) ) x +1 = x + , ta cú t 4t = Phng trỡnh cú nghim: t2 = + (tm) => t1 = 6; t2 = + x = 10 + Bi 9: x 2+ x x Q = + : ữ ữ ữ x x ữ x 2 x = x x ( x 2) = x 1(x > 0; x 4) x (2 x ) x= 5 Q= = 2 a, b, c, x = mx x 2mx + 1(1) cú nghim x > 0; x mx x 2mx x + = (1) mt 2mt + = 0; t = x > 0, t ... = ( 1) 52 = ( (TMĐK) 52 )( ) =1+ +1 P= + ữ: x +1 x +1 x Bài 2: Cho biểu thức a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = 0; x Bài giải: a) ĐKXĐ x P= ( P= )(... KX A= vo A ta cú ; 12) 54 192 ; + 10 + + 10 + + 2+ 14) 16 27 75 6) 64 + + +1 3 ; 3) ; 9) + 3+ 15 216 + 33 12 ) 10 + ; 8) ( + ) ( 49 20 ) 6+4 15) ) 10 + 10 + + x= ; Tớnh giỏ tr ca A x= 4 =... kin bi ó kt lun - Mt s hc sinh dựng du = bin i x A=( + ): x x x x Bài 1: Cho biểu thức ( x > 0; x 1) a) Rút gọn A b)Tính giá trị A x=3-2 Bài giải: x x A=( + ): =( + ): x x x x x x x( x 1)