TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ——————–o0o——————– BÙI VĂN HOÀN MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC DIOPHANTINE Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đỗ Đức Thái Hà Nội, Tháng - 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Giá trị tuyệt đối Một số khái niệm 1.1 Định nghĩa 1.2 Một số tính chất định lý 1.3 Bao đầy đủ Định lý Artin - Whaples xấp xỉ yếu Định lý Ostrowski 15 Mở rộng trường 30 2.1 Mở rộng không rẽ nhánh 30 2.2 Mở rộng hữu hạn 36 Tài liệu tham khảo 45 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH Đỗ Đức Thái Thầy tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn tới Thầy Cô giáo khoa Toán-Tin, đặc biệt Thầy Cô giáo Bộ môn Hình học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập Khoa Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp K25 Cao học Toán, chuyên ngành Hình học-Tôpô, nhiệt tình giúp đỡ suốt trình học tập Hà nội, ngày tháng năm 2017 Học viên Bùi Văn Hoàn Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Lời nói đầu Trước hết ta phát biểu lại định lý Helly cổ điển Định lý Helly Giả sử C1 , C2 , , Cm (m > n) tập lồi Rn Nếu n + phần tử họ C1 , C2 , , Cm có điểm chung tất Ci (i = 1, 2, , m) có điểm chung m Ci = ∅ có k + (k ≥ n) phần tử Ci1 , , Cik+1 Nói cách khác, i=1 cho Ci1 ∩ Ci2 ∩ ∩ Cik+1 = ∅ Như biết, định lý Helly có vai trò quan trọng Hình học lồi có nhiều ứng dụng toán học Vì vậy, luận văn nhằm tìm hiểu định lý Helly Cụ thể, luận văn gồm hai mục đích là: - Trình bày cách chứng minh sơ cấp định lý Helly không gian Rn Những cách chứng minh tránh sử dụng khái niệm giới hạn hiệu lực cho không gian affine thực n chiều - Trình bày số ứng dụng quan trọng định lý Helly Hình học nói chúng Hình học lồi nói riêng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Đỗ Đức Thái, người hướng dẫn tận tình để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô giáo khoa Toán-Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội toàn thể bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên trình học tập hoàn thành luận văn Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề trình bày luận văn tránh khỏi có sai sót Chúng mong muốn nhận góp ý bảo thầy cô bạn Hà nội, ngày tháng năm 2017 Học viên Bùi Văn Hoàn Chương Giá trị tuyệt đối Một số khái niệm 1.1 Định nghĩa Cho k trường Một giá trị tuyệt đối k hàm số |.| : k → R≥0 từ k vào tập tất số thực không âm thỏa mãn tiên đề (1) - (3) sau đây: (1) |x| ≥ 0, ∀x ∈ k; |x| = x = (2) |xy| = |x||y|, ∀x, y ∈ k (3) |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ k Nhóm |k ∗ | ⊂ R>0 gọi nhóm giá trị |.| Chú ý Thông thường người ta kí hiệu |.| giá trị tuyệt đối, song dùng kí hiệu chữ v; ω, Nếu xét điều kiện sau: Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn (3’) |x + y| ≤ M ax(|x|, |y|), ∀x, y ∈ k rõ ràng (3’) ⇒ (3), hàm |.| : k → R≥0 thỏa mãn điều kiện (1), (2) (3’) giá trị tuyệt đối gọi giá trị tuyệt đối không Acsimet, nghĩa giá trị tuyệt đối không thỏa mãn tiên đề sau Asimet (Arkhimedes - APXIMH∆HΣ): (A) Nếu C số thực dương tùy ý tồn số tự nhiên n cho |n.1| > C Ví dụ Cho k = Q (tương ứng k = R, C) trường số hữu tỷ (tương ứng số thực, phức) Khi giá trị tuyệt đối thông thường k (hay chuẩn số phức, k = C) giá trị tuyệt đối (Asimet, thỏa mãn tiên đề A) Giả sử giá trị tuyệt đối |.| : k → R≥0 thỏa mãn điều kiện |x| = với x ∈ k ∗ := k\ {0} Khi giá trị tuyệt đối |.| gọi giá trị tuyệt đối tầm thường giá trị tuyệt đối xác định trường Rõ ràng giá trị tuyệt đối không Acsimet Ví dụ Cho k = Q, p số nguyên tố Với x ∈ Q tùy ý, ta viết x = pα r/s cách với α, r, s ∈ Z, r/s tối giản (p, rs) = Ta kí hiệu vp (x) := α định nghĩa chuẩn p-adic x |x|p := (1/p)vp (x) = (1/p)α Khi |.|p giá trị tuyệt đối không ácsimét Q Ta kí hiệu |.|∞ giá trị tuyệt đối thông thường Q, R Luận văn thạc sĩ 1.2 Bùi Văn Hoàn Một số tính chất định lý Mệnh đề sau cho ta số tính chất đơn giản giá trị tuyệt đối, mà chứng minh đọc tập lý thuyết giá trị tuyệt đối Mệnh đề 1.2.1 Cho |.| giá trị tuyệt đối trường k Khi ta có: 1) |1| = | − 1| = 1; 2) |x| = | − x| với x ∈ k; 3) |x−1 | = |x|−1 , với x ∈ k ∗ ; 4) ||x| − |y|| ≤ |x − y|, với x; y ∈ k; 5) Hàm số d(x; y) := |x − y|, với x, y ∈ k, xác định mêtric k; 6) Trường hữu hạn có giá trị tuyệt đối giá trị tuyệt đối tầm thường Định nghĩa 1.2.2 Giả sử |.| giá trị tuyệt đối k Mêtric d mệnh đề xác định tôpô k, gọi tôpô xác định giá trị tuyệt đối |.| Trên tập k ta xét tôpô cảm sinh kí hiệu Bα (x) (tương ứng Ba (x)) hình cầu mở (tương ứng đóng) tâm x bán kính a > Định nghĩa 1.2.3 Hai giá trị tuyệt đối |.| |.| k gọi tương đương tôpô mà chúng xác định k tương đương Khi ta viết |.| ∼ |.| Luận văn thạc sĩ Định nghĩa 1.2.4 Chuỗi Bùi Văn Hoàn 1≤i≤∞ xn với phần tử xn ∈ k gọi hội tụ với a ∈ k dãy tổng riêng Sn → a theo tôpô xác định giá trị tuyệt đối |.| Mệnh đề 1.2.5 Cho k trường với giá trị tuyệt đối |.| Khi đó, với tôpô xác định giá trị tuyệt đối |.|, k trường tôpô, tức phép toán đại số (x; y) → x + y, (x; y) → x.y (x, y ∈ k), x → x−1 (x ∈ k ∗ ) liên tục tôpô cho (trên k × k ta trang bị tôpô tích thông thường) Ngoài ra, ánh xạ x → |x| từ k → R≥0 liên tục Chứng minh Ta chứng minh ánh xạ f : (x; y) → x + y liên tục Cho x; y hai phần tử tùy ý k cho T lân cận mở x + y, với B := Bc (x + y) ⊂ T Xét lân cận mở tương ứng x; y U := Bc/2 (x); V := Bc/2 (y) Kí hiệu U +V := f (U ×V ) = {u + v| u ∈ U, v ∈ V } Rõ ràng, x + y ∈ U + V , với u ∈ U ; v ∈ V , ta có |u + v − x − y| = |(u − x) + (v − y)| ≤ |u − x| + |v − y| < c/2 + c/2 = c, nên u + v ∈ B, hay U + V ⊂ B ⊂ T Do phép toán + liên tục Các khẳng định lại chứng minh tương tự Hệ 1.2.6 Nếu k0 ⊂ k trường con, hạn chế giá trị tuyệt đối |.| lên k0 với tôpô cảm sinh, k0 trường tôpô k Chứng minh Hiển nhiên Định nghĩa 1.2.7 Cho |.| giá trị tuyệt đối trường k, L/k mở rộng trường với giá trị tuyệt đối |.| Ta nói |.| mở rộng |.| Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn lên L (và |.| hạn chế |.| lên k) với x ∈ k, ta có |x| = |x| Ví dụ Giá trị tuyệt đối thông thường R mở rộng giá trị tuyệt đối Q Ví dụ Chuẩn số phức |z| := √ a2 + b2 , z = a + bi, giá trị tuyệt đối C mở rộng giá trị tuyệt đối R Định nghĩa 1.2.8 Cho (k, |.|), (k , |.| ) hai trường với giá trị tuyệt đối tương ứng |.|, |.| , k k đẳng cấu tôpô tồn đẳng cấu trường ϕ:k k cho |ϕ(x)| = |x|, với x ∈ k Mệnh đề 1.2.9 Một đẳng cấu trường ϕ : k k chuyển giá trị tuyệt đối |.| k lên giá trị tuyệt đối |.| k , xác định đẳng cấu tôpô k k Chứng minh Với x ∈ k , ta định nghĩa |x | := |ϕ−1 (x )| Dễ dàng kiểm tra |.| giá trị tuyệt đối k , lúc hiển nhiên k k đẳng cấu tôpô Ví dụ Giả sử K trường với giá trị tuyệt đối |.| f : k → K phép nhúng (hay đồng cấu không tầm thường) trường Khi k f (k), f −1 : f (k) → k chuyển giá trị tuyệt đối hạn chế |.| lên f (k) thành giá trị tuyệt đối k Định nghĩa 1.2.10 Vành nguyên thủy trường k vành k sinh Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn có nghĩa (ω(E ∗ ) : v(K ∗ )) = Nếu ω thác triển v rẽ phân nhánh ta nói v không rẽ nhánh Mục tiêu phần nghiên cứu mở rộng không rẽ nhánh K đầy Tuy nhiên, tốt hết, ta nên bắt đầu với giả thiết yếu Trong suốt phần lại mục này, ta giả sử mở rộng đại số E K tồn vành định giá E o Do giả thiết, ta biết φ phận khác K có hạn chế ϕ K φ ϕ tương đương, nghĩa tồn tự đẳng cấu σ K đến K thỏa mãn φ = σ ϕ Nếu f (X) đa thức K[X], hệ số hữu hạn tác động ϕ ta đặt f ϕ đa thức thu việc tác động ϕ vào hệ số Giả sử f có hệ số số hạng bậc cao (hệ số dẫn đầu) hệ số f nguyên o Nếu α (X − αi ) f (X) = i=1 phân tích K f ϕ (x) = α (X − ϕαi ) i=1 phân tích f ϕ bao đóng đại số K Nếu f (X) đa thức E [X] đa thức f oE [X] có bậc với f , với hệ số số hạng bậc cao f vậy, 31 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn thỏa mãn f ϕ = f gọi kéo lùi từ f đến E Rõ ràng luôn kéo lùi đa thức Chú ý liên quan đến phân tích f ϕ từ K lên bao đóng đại số K Giả thiết liên quan đến tính mở rộng vành định giá sinh kết sau đây: Mệnh đề 2.1.1 Cho f đa thức o[X] cho f bất khả quy K[X] có hệ số dẫn đầu (hệ số số hạng bậc cao nhất) Khi f ϕ lũy thừa đa thức bất khả quy K [X] Chứng minh Giả sử f ϕ = g h g ; h nguyên tố có bậc ≥ Giả sử ta có phân tích nhân tử hóa ϕα1 nghiệm g , ϕα2 nghiệm h Tồn đẳng cấu σ K(α1 ) K cho σα1 = α2 f bất khả quy thác triển σ đến K Do ϕσα1 = ϕα2 với ϕ Nhưng ϕσ ≡ σ K phải liên hợp với ϕ nghĩa tồn đẳng cấu σ K K cho ϕσ = σ ϕ ta có σ ϕα1 = ϕα2 Mâu thuẫn chứng tỏ g h nguyên tố f ϕ lũy thừa đa thức bất khả quy Mục đích thiết lập song ánh tương ứng mở rộng biết K mở rộng tách K Ta nói mở rộng hữu hạn E K không rẽ nhánh thỏa mãn tính chất sau: 32 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Trường thặng dư E tách K Ta có [E : K] = [E : K ] Một cách khác để xây dựng điều kiện là: Mệnh đề 2.1.2 Cho E mở rộng hữu hạn K ϕ0 vị trí tắc K Cho [E : K] = r Khi E không rẽ nhánh K ϕ0 có n mở rộng phân biệt đến vị trí E (trong bao đóng đại số cho K ) trường hợp này, có xác n Chứng minh Bởi tính nhất, tất mở rộng ϕ0 đến E liên hợp số liên hợp bậc tách E K Do [E : K ] ≤ [E : K] nên khẳng định suy Ta để ý E không rẽ nhánh K số rẽ nhánh Trong trường hợp quan tâm lớn nhất, đặc trưng Mệnh đề 2.1.3 Giả sử K đầy với định giá rời rạc Khi đó, mở rộng hữu hạn E K không rẽ nhánh E tách K số phân nhánh Chứng minh Mệnh đề suy từ mệnh đề Một mở rộng đại số K không rẽ nhánh mở rộng hữu hạn không rẽ nhánh Ta có tiêu chuẩn đại số cho không rẽ nhánh Mệnh đề 2.1.4 Cho E hữu hạn K Nếu E không rẽ nhánh, cho α ∈ E cho E = K (α ) cho α ∈ E cho ϕα = α Khi 33 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn E = K(α) đa thức bất khả quy f (X) α K thỏa mãn f ϕ bất khả quy Ngược lại, K = K(α) với α số nguyên thỏa mãn đa thức f (X) o[X] có hệ số dẫn đầu f ϕ nghiệm bội E không rẽ nhánh K E = K (ϕα) Chứng minh Đầu tiên giả sử E không rẽ nhánh Cho f (X) đa thức bất khả quy α K , α phần tử E cho ϕα = α , f (X) đa thức bất khả quy α K Khi α nguyên o α nghiệm f ϕ , f | f ϕ Mặt khác, deg f = [E : K ] = [E : K] ≥ deg f Vì f = f ϕ Ngược lại, α thỏa mãn điều kiện mệnh đề ta giả sử mà không tính tổng quát đa thức bất khả quy g(X) cho g ϕ nghiệm bội, g| f Ta áp dụng mệnh đề để kết luận g ϕ bất khả quy Sử dụng bất đẳng thức: [K (ϕα) : K ] ≤ [E : K ] ≤ [E : K] Ta thấy đẳng thức phải xảy hai chỗ E = K (ϕα) Tiếp theo ta đưa dạng hình thức cho mở rộng không rẽ nhánh phép toán đa dạng Mệnh đề 2.1.5 Cho E mở rộng hữu hạn K Nếu E ⊃ F ⊃ K E không rẽ nhánh K E không rẽ nhánh F F không rẽ nhánh K Nếu E không rẽ nhánh K K1 mở rộng hữu hạn K EK1 không rẽ nhánh K1 34 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Nếu E1 E2 không rẽ nhánh hữu hạn K E1 E2 Chứng minh Khẳng định suy từ bất đẳng thức [E : K ] ≤ [E : K]; [E : F ] ≤ [E : F ]; [F : K ] ≤ [F : K] với tính chất nhân tháp Thực chất khẳng định (1) xảy "không rẽ nhánh" thay "một mở rộng tách hữu hạn" Khẳng định (2) hệ trực tiếp tiêu chuẩn mệnh đề 10 Khẳng định (3) suy từ (1) (2) Kí hiệu ϕE ảnh ϕ vành định giá oE , E mở rộng hữu hạn K Mệnh đề 2.1.6 Ánh xạ E → ϕE cho ta song ánh từ mở rộng không rẽ nhánh hữu hạn K đến mở rộng tách hữu hạn K = ϕK Chứng minh Ta vừa chứng minh mệnh đề 10 mở rộng tách hữu hạn K coi ảnh ϕE E không rẽ nhánh Ta phải chứng minh tính Nếu E1 ⊂ E2 không rẽ nhánh rõ ràng ϕE1 ⊂ ϕE2 Do đó, đủ để chứng minh E1 ; E2 hai mở rộng không rẽ nhánh K ϕ(E1 E2 ) = ϕE1 ϕE2 Để làm điều này, ta viết E1 = K(α1 ); E2 = K(α2 ) α1 ; α2 thỏa mãn tính chất mệnh đề 10 Khi E1 E2 = K(α1 α2 ) để ý E1 , α2 thỏa mãn đa thức f (X) cho f ϕ nghiệm bội Do (E1 E2 ) = E1 (ϕα1 ) = K (ϕα1 , ϕα2 ) 35 Luận văn thạc sĩ 2.2 Bùi Văn Hoàn Mở rộng hữu hạn Trong suốt mục này, ta giả sử K trường có giá trị tuyệt đối không tầm thường v Ta mong muốn mô tả cách mở rộng giá trị tuyệt đối đến mở rộng hữu hạn K Nếu ta đặt Kv trường đầy đủ, ta biết v thác triển đến Kv bao đóng đại số Kv Nếu E mở rộng hữu hạn K chí mở rộng đại số ta thác triển v đến E việc nhúng E vào Kv đẳng cấu K lấy hạn chế giá trị tuyệt đối cảm sinh E Ta chứng minh mở rộng v theo cách Mệnh đề 2.2.1 Cho E mở rộng hữu hạn K Cho ω giá trị tuyệt đối E thác triển từ v Eω trường đầy đủ Kω bao đóng K Eω đồng với E Eω Thì Eω = EKω (trường phức hợp) Chứng minh Ta để ý Kω trường đầy đủ K trường phức hợp EKω đại số Kω đầy mệnh đề 3- Chương Vì E ⊂ EKω nên E trù mật Eω = EKω Nếu ta bắt đầu với nhúng σ : E → Kv (luôn giả sử K) theo mệnh đề 3, σE.Kv đầy Do đó, cách xây dựng cách xây dựng mệnh đề chất giống nhau, sai khác đẳng cấu Tiếp theo, ta lấy phép nhúng điểm Bây giờ, ta phải xác định hai phép nhúng 36 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn cho ta giá trị tuyệt đối E Cho hai nhúng σ, τ : E → K v , ta nói chúng liên hợp Kv tồn tự đẳng cấu λ Kv Kv thỏa mãn σ = λτ Thực tế, λ xác định tác động lên τ E τ E.Kv Mệnh đề 2.2.2 Cho E mở rộng đại số K Hai nhúng σ, τ : E → Kv sinh giá trị tuyệt đối E chúng liên hợp Kv Chứng minh Giả sử chúng liên hợp Kv Thì tính mở rộng giá trị tuyệt đối từ Kv đến Kv đảm bảo giá trị tuyệt đối hạn chế E Ngược lại , chúng đưa giá trị tuyệt đối E Cho λ : τ E → σE đẳng cấu K Ta chứng minh λ thác triển thành đẳng cấu τ E.Kv lên σE.Kv Kv Do τ E trù mật τ E.Kv ; x ∈ τ E.Kv viết x = lim τ xn với xn ∈ E Trong giá trị tuyệt đối hạn chế σ τ E trùng nhau, điều kéo theo dãy λτ xn = σxn hội tụ đến phần tử σE.Kv , kí hiệu phần tử λx Rõ ràng λx độc lập với dãy τ xn ánh xạ λ : τ E.Kv → σE.Kv đẳng cấu, chúng cố định Kv Theo hai mệnh đề trước, ω mở rộng v đến mở rộng hữu hạn E K ta đồng Eω với mở rộng phức EKv E Kv Nếu N = [E : K] hữu hạn ta gọi 37 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Nω = [Eω : Kv ] bậc địa phương Rõ ràng w|v [Ew : Kv ] ≤ [E : K] Mệnh đề 2.2.3 Cho E mở rộng tách hữu hạn K, có bậc N N= Nω u/v Chứng minh Ta viết E = K(α), α phần tử đơn f (X) đa thức bất khả quy α K Thì Kv ta có phân tích f (X) = f1 (X) fr (X) thành nhân tử bất khả quy fi (X) Chúng có bội giả thiết tách Nhúng E đến Kv tương ứng biến α thành nghiệm fi Hai nhúng liên liên hợp chúng biến α thành nghiệm đa thức fi Còn trường hợp thú vị với đặc số p mà biểu thức mệnh đề thỏa mãn mà không cần giả thiết tách Đó trường hợp đáng ý định giá rời rạc tạo thành đa tạp đơn giản có đối chiều đa tạp đại số Với điều kiện đủ mà biểu thức thỏa mãn, dẫn đến trường hợp đặc biệt vừa đề cập bạn đọc xem trang [3] Với v giá trị tuyệt đối K cho với mở rộng hữu hạn E K, ta có [E : K] = [Ew : Kv ] u/v ta nói, v xác định tốt Giả sử có tháp mở rộng hữu hạn L ⊃ E ⊃ K Nếu ω nhận giá trị 38 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn giá trị tuyệt đối E thác triển v u nhận giá trị tuyệt đối L thác triển v Nếu u|ω Lu ⊃ Eω Do đó, có: [Lu : Eω ][Eω : Kv ] [Lu : Kv ] = ω|v u|ω u|v = [Eω : Kv ] ω|v ≤ [Lu : Eω ] u|ω [Eω : Kv ][L : E] ω|v ≤ [E : K][L : E] Từ ta thấy v xác định tốt E hữu hạn K, ω thác triển v E ω xác định tốt (Ta có đẳng thức chỗ) Cho E mở rộng hữu hạn K Cho pr bậc không tách Ta nhắc lại chuẩn phần tử α ∈ K cho công thức: r NKE (α) σαp σ Trong σ rộng tất đẳng cấu phân biệt E K (đến bao đóng đại số cho) Nếu ω giá trị tuyệt đối thác triển v E, chuẩn từ Eω đến Kv gọi chuẩn địa phương Thay tích thành tổng, ta nhận vết vết địa phương Ta kí hiệu vết T r Mệnh đề 2.2.4 Cho E mở rộng hữu hạn K giả sử v 39 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn xác định tốt, α ∈ E thì: NKEvω (α) NKE (α) = ω|v Eω T rK (α) v E T rK (α) = ω|v Chứng minh Giả sử E = K(α) f (X) đa thức bất khả quy α K Nếu ta phân tích f (X) thành thành phần bất khả quy Kv f (X) = f1 (X) fr (X), fi (X) bất khả quy fi phân biệt Vì theo giả thiết ta có v xác định tốt Chuẩn NKE (α) (−1)deg f lần số hạng f , tương tự cho fi Trong số hạng f tích số hạng fi ta khẳng định đầu mệnh đề Khẳng định sau suy cách xem xét hệ số số hạng (thứ hai từ lên) giáp chót f fi Nếu E = K(α), ta sử dụng tính bắc cầu chuẩn vết Phần dành cho bạn đọc Định lý 2.2.5 Cho K có v giá trị tuyệt đối xác định tốt Cho E mở rộng hữu hạn K, α ∈ E Đặt Nω = [Eω : Kv ], với ω giá trị tuyệt đối E thác triển v Khi đó: E ω |α|N ω = |NK (α)|v ω|v 40 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Ta kết thúc phần với số ý định giá bậc thặng dư số phân nhánh phần giống qua trường đầy đủ Điều đặc biệt hữu ích gặp định giá rời rạc Giả sử K trường với định giá không tầm thường v, vành định ˆ trường đầy đủ K, giá tương ứng o ideal cực đại m Cho K ˆo; m ˆ bao đóng o m K Ta có |x| = |y| ˆ m |x + y| = max(|x|, |y|), ta thấy ˆo vành định giá K, ˆ ideal cực đại ˆo ∩ K = o; m ˆ ∩ K = m Do ta có đẳng cấu tắc: o/m ∈ ˆo/m ˆ Nếu E mở rộng hữu hạn K oE ; mE vành định giá, ideal cực đại E nằm o; m ta kí hiệu ∧ cho đầy đủ ta có biểu đồ sau giao hoán tắc sau: oE /mE ≈✲ ˆoE /m ˆE ✻ o/m ✻ ≈ ✲ ˆo/m ˆ Các mũi tên hướng thẳng lên trở thành bao hàm Do mở rộng trường thặng dư nghiên cứu trường K cho trường đầy đủ ˆ y ∈ K cho |y−x| < |x| Tương tự ta có số phân nhánh Nếu x ∈ K |y − x + x| = |y| ánh xạ bao hàm 41 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn ˆ ∗) v(K ∗ ) → v(K đẳng cấu (nhóm giá trị giống nhau) Nếu E mở rộng hữu hạn K, ta có biểu đồ giao hoán: ω(E ∗ ) ≈✲ ✻ v(K ∗ ) ω(Eˆ ∗ ) ✻ ≈✲ ˆ ∗) v(K ω định giá thác triển v đến E Các mũi tên hướng thẳng lên bao hàm Đo số phân nhánh nghiên cứu cách địa phương trường đầy đủ Mệnh đề 2.2.6 Cho v định giá rời rạc xác định tốt K, E mở rộng hữu hạn K Với mở rộng ω v đến E đặt: eω = (ω(E ∗ ) : v(K ∗ )) dω = [oω /mω : ov /mv ] tương ứng số phân nhánh bậc thặng dư Khi eω dω = [E : K] ω/v Nếu E Galois K eω = e; dω = d, ∀ω [E : K] = edr Trong r số mở rộng v đến E 42 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Chứng minh Khẳng định đầu suy từ giả thiết mệnh đề chương I Nếu E Galois K, ta biết lấy hai mở rộng ω1 ; ω2 v tồn tự đẳng cấu σ E K thỏa mãn ω1 = ω2 σ Tính đối xứng kéo theo khẳng định thứ Chú ý lịch sử: Lý thuyết giá trị tuyệt đối lý thuyết cổ điển Tuy nhiên, đưa mà cần phần sau Người đọc muốn tìm hiểu đầy đủ tham khảo: "Commutative Algebra" Bourbaki "Algebraic Numbers and Algebraic Functions" Artin Tuy nhiên cách tiếp cận chủ yếu bị ảnh hưởng Artin Hơn nữa, có nhiều trường hợp đặc biệt định lý mà ta biết (Định lý thặng dư Trung Hoa) biến đổi lại cách đầy đủ cho giá trị tuyệt đối tổng quát Artin - Whaples [2] 43 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn KẾT LUẬN Luận văn trình bày chi tiết vấn đề sau: Giá trị tuyệt đối Một số khái niệm Mở rộng trường 44 Tài liệu tham khảo [1] Serge Lang, Diophantine Geometry New York, 1961 [2] Đỗ Đức Thái-Phạm Việt Đức-Phạm Hoàng Hà, Cơ sở hình học hình học sơ cấp Nhà xuất Đại học Cần Thơ, 2013 [3] M Berger, Geometry 1,2, Springer - 2009 [4] R Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer - 2000 [5] M Rabin, A note on Helly’s theorem, Pacific J Math (1955), 363-366 [6] Wolfgang Weil, A Course on Convex Geometry, University of Karlsruhe 2002/2003, revised version 2004/2005 45