TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————————————— NGUYỄN THỊ PHƯỢNG MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT TRONG Rn KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên nghành: Hình học Hà Nội – Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————————————— NGUYỄN THỊ PHƯỢNG MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT TRONG Rn KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên nghành: Hình học Người hướng dẫn khoa học: Th.s Trần Văn Nghị Hà Nội – Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Một số tập lồi đặc biệt Rn ”, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Hình học, thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn Nghị – Giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt trình làm khóa luận để em có kết ngày hôm Mặc dù em có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5, năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Phượng i Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Lời cam đoan Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo Thạc sĩ Trần Văn Nghị Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Một số tập lồi đặc biệt Rn ” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 5, năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Phượng ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Lời nói đầu Chương Tập lồi Chương Một số tập lồi đặc biệt Rn 2.1 Tập affine 2.2 Nón lồi 13 2.3 Nón lùi xa 15 2.4 Nón nửa xác định dương 24 2.5 Tập lồi đa diện 29 2.6 Tập xác định hàm toàn phương lồi 30 2.7 Cung lồi 34 2.8 Tập lồi cực đại 38 2.9 Đồ thị lồi 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Lời nói đầu Lý chọn đề tài Tập lồi đối tượng giải tích lồi, hình học lồi tối ưu lồi Ngoài tập lồi có nhiều ứng dụng thực tế Việc nghiên cứu tập lồi đặc biệt có ý nghĩa quan trọng Có thể nói nghiên cứu tập lồi đề tài thú vị, nhận quan tâm nhà khoa học Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học bổ sung kiến thức cho thân em chọn đề tài: “Một số tập lồi đặc biệt Rn ” để làm đề tài khóa luận Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tập lồi hệ thống số tập lồi đặc biệt Rn Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức tập lồi - Phạm vi nghiên cứu: Tập lồi số tập lồi đặc biệt Rn Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tập lồi số tập lồi đặc biệt Rn Các phương pháp nghiên cứu - Thiết lập nghiên cứu tổng hợp tài liệu liên quan, đặc biệt báo sách viết vấn đề mà khóa luận đề cập tới Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Tập lồi Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt Rn Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Chương Tập lồi Nội dung chương trình bày số định nghĩa ví dụ liên quan đến tập lồi Định nghĩa 1.1 Tập A ∈ Rn gọi tập lồi, (1 − λ) x + λy ∈ A ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1] Chú ý: Theo định nghĩa trên, tập ∅ xem tập lồi Định nghĩa 1.2 Đoạn thẳng nối x1 , x2 tập hợp có dạng [x, y] := {x ∈ A : x = λx1 + (1 − λ) x2 , ≤ λ ≤ 1} Nhận xét 1.1 Cho tập A lồi, ∀x1 , x2 ∈ A, ta có [x1 , x2 ] ⊆ A Định nghĩa 1.3 Tập C ∈ Rn gọi tập affine (1 − λ) x + λy ∈ C ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R, nghĩa là, x, y ∈ C đường thẳng qua x, y nằm C Ví dụ 1.1 Các nửa không gian tập lồi Các tam giác hình tròn mặt phẳng tập lồi Hình cầu đơn vị không gian Banach Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG tập lồi Định lý 1.1 ([5, Theorem 2.1]) Giao họ tập lồi tập lồi Hệ 1.1 Cho bi ∈ Rn βi ∈ R với i ∈ I, I tập số tùy ý Khi tập C = {x ∈ Rn | x, bi ≤ βi , ∀i ∈ I} lồi Chứng minh Đặt Ci = {x ∈ Rn : x, bi ≤ βi } Khi Ci nửa không gian đóng Rn ∅ C = ∩i∈I Ci Nhận xét 1.2 Kết luận hệ dấu “≤” thay “≥”, “>”, “ ⇒ λx ∈ C Theo định nghĩa, ta thấy gốc tọa độ thuộc nón không thuộc nón Tất nhiên, nón không thiết phải tập lồi Ví dụ 1.2 Ta có C = {x ∈ R : x = 0} nón không lồi Một nón gọi nón nhọn không chứa đường thẳng Khi đó, ta nói đỉnh nón Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Ví dụ 1.3 (a) Rn+ = {x ∈ Rn : x ≥ 0} nón lồi (b) Nón Loentz Ln = {x ∈ Rn : x ≥ x21 + · · · + x2n−1 } nón lồi Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Định nghĩa 2.9 Hàm f gọi thường domf = ∅ f (x) > −∞ (∀x ∈ D) Định nghĩa 2.10 Hàm f gọi lồi D eipf tập lồi X × R hàm f gọi lõm D −f hàm lồi D Định lý 2.17 Giả sử D tập lồi không gian X, hàm f : D −→ (−∞, +∞] Khi đó, hàm f lồi D f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) (∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ D) Định lý 2.18 Giả sử fα hàm lồi X, µ ∈ [−∞, +∞] Khi tập mức {x : f (x) < µ} {x : f (x) ≤ µ} lồi Hệ 2.15 Giả sử fα hàm lồi X, λα ∈ Rn (∀α ∈ I), I tập số Khi đó, tập A = {x ∈ X : fα (x) ≤ λα , α ∈ I} tập lồi Định nghĩa 2.11 Hàm f xác định X gọi dương , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ (0, +∞), f (λx) = λf (x) Định nghĩa 2.12 Hàm f gọi đóng eipf đóng X × R 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Định lý 2.19 Hàm f đóng tất tập mức có dạng {x : f (x) ≤ α} f đóng Tính liên tục hàm lồi Định lý 2.20 Giả sử f hàm lồi thường X Khi đó, khẳng định sau tương đương: (a) f bị chặn lân cận x; (b) f liên tục x; (c) int (epif ) = ∅; (d) int (domf ) = ∅ f liên tục int (domf ) Đồng thời, int (epif ) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int (domf ) , f (x) ≤ µ} Định nghĩa 2.13 (a) Hàm f gọi nửa liên tục x ∈ X với f (x) < ∞ với > 0, tồn lân cận U x cho f (x) − ≤ f (y) (∀y ∈ U ) (b) Nếu f (x) = +∞ f gọi nửa liên tục x, với N > 0, tồn lân cận mở U x cho f (y) ≥ N, (∀y ∈ U ) (c) Hàm f gọi nửa liên tục dưới, f nửa liên tục x ∈ X Ở ta giả sử X không gian lồi địa phương f : X −→ R ∪ {±∞} Định lý 2.21 Giả sử f hàm lồi thường Rn Khi f liên tục ri (domf ) 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Đạo hàm theo phương Giả sử f hàm xác định không gian lồi địa phương Hausdorff X, |f (x) | < +∞ Định nghĩa 2.14 Đạo hàm f theo phương d x, kí hiệu f (x; d) định nghĩa sau f (x; d) := lim λ↓0 f (x + λd) − f (x) λ giới hạn tồn (có thể hữu hạn ±∞) Dưới vi phân Giả sử f hàm lồi X Định nghĩa 2.15 Phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ gọi gradient hàm f x f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x , (∀x ∈ X) Định nghĩa 2.16 Tập tất gradient f x đượi gọi vi phân f x, kí hiệu ∂f (x), tức ∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x , (∀x ∈ X)} Định nghĩa 2.17 Hàm f gọi khả vi phân x, ∂f (x) = ∅ Định lý 2.22 Cho hàm toàn phương f (x) = xT Ax + bT x + c với A ∈ Rn×n , b ∈ Rn , c ∈ R 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Nếu ma trận A nửa xác định dương f hàm lồi Định nghĩa 2.18 Tập hợp M = {x ∈ Rn×n : fi (x) = xT Ai x + bTi x + ci ≤ 0} với Ai ∈ Rn×n , bi ∈ Rn , ci ∈ R, i = 1, 2, , m gọi tập xác định hàm toàn phương Nhận xét 2.3 (a) Nếu Ai nửa xác định dương, i = 1, 2, , m M tập xác định hàm toàn phương lồi, M tập lồi (b) Nếu Ai = 0, i = 1, 2, , m M trở thành tập lồi đa diện 2.7 Cung lồi Định nghĩa 2.19 Cung ảnh khoảng đơn vị R qua ánh xạ liên tục − Cung lồi mặt phẳng L2 cung chứa biên tập lồi L2 Tương đương cung lồi L2 cung chứa biên bao nón Tập liên kết đóng (chính thường không thường) giới hạn tập mặt phẳng lồi gọi đường cong lồi (nó cung) Định nghĩa 2.20 Xét ba điểm không cộng tuyến xi (i = 1, 2, 3) mặt phẳng L2 Ba đường thẳng L (xi , xj ) xác định x1 , x2 , x3 i = j i, j = 1, xác định nửa không gian mở Giả sử Hk nửa không gian mở giới hạn L (xi , xj ) không chứa điểm xk , i = k, j = k, i = j 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Ba đường thẳng L (xi , xj ) chia L2 thành phần sau : ∆ ≡ conv (x1 ∪ x2 ∪ x3 ) (2.3) Vi = Hj ∩ Hk , i = k, j = k, i = j (2.4) Wij = clHk ∼ (clVi ∪ clVj ) , i = k, j = k, i = j (2.5) ∆ tam giác đóng xác định x1 , x2 , x3 ; Vi mở V -mặt phẳng vùng không bị chặn giới hạn ∆ đỉnh xi Wij bờ không bị chặn giới hạn bên xi , xj Định lý 2.23 ([2, Theorem 8.1]) Cho S tập compact mặt phẳng L2 chứa điểm Giả sử với điểm không cộng tuyến xi (i = 1, 2, 3) ta có S ∩ int∆ = (2.6) Vi ∩ S = 0, i = 1, (2.7) Wjk ∩ S = 0; j, k = 1, 3; j = k (2.8) Nếu x1 , x2 , x3 điểm cộng tuyến riêng biệt S, giả sử S ∩ int v, xi xj = 0; i, j = 1, 3, i = j (2.9) Khi S biên tập lồi Điều ngược lại tập compact Chứng minh Giả sử bd convS không tập S Khi tồn điểm xi (i = 1, 2) thỏa mãn xi ∈ S ∩ bd convS, x1 x2 ⊂ bd convS, S ∩ int x1 x2 = 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Điều kiện (2.9) tính chất compact S rõ ràng kéo theo S không tập L (x1 , x2 ) Chọn x3 ∈ S ∼ L (x1 , x2 ) Từ x1 , x2 ∈ bd convS ta thấy W12 không chứa điểm S Theo điều kiện (2.8) bd convS ⊂ S Từ điều kiện (2.6) dễ ràng thấy S ∩ int convS = S bờ tập lồi Điều ngược lại tầm thường Định nghĩa 2.21 Giả sử ∆ đơn hình n− chiều Ln xác định điểm x1 , x2 , , xn+1 Nửa không gian mở bờ chứa tất điểm x1 , x2 , , xj−1 , xj+1 , , xn+1 không chứa ∆ kí hiệu Hj (cyclic) Cho Vi ≡ ∩ Hj j=1 j=i Wij = {xi , xj ∪ [ ∩ Hk ]} ∼ {clVi ∩ clVj }, i = j k=i k=j k=1 Định lý 2.24 ([2, Theorem 8.2]) Giả sử S tập compact không giam Minkowski Ln Với tập n = điểm S, đơn hình ∆ = conv (x1 , x2 , , xn+1 ) n-chiều Giả sử có S ∩ int∆ = (2.10) S ∩ Wij, = 0; i, j = 1, n + 1, i = j (2.11) int S = (2.12) Ngoài giả sử 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG S biên vật lồi Nó S tập compact Hệ 2.16 ([2, Theorem 8.3]) Cho S tập liên thông đóng mặt phẳng L2 Giả sử một ba điểm cộng tuyến riêng S, đường thẳng cực tiểu chứa thuộc vào S Khi S thỏa mãn bốn mệnh đề sau: (a) S tập lồi đóng (b) S đường cong lồi (xem Định nghĩa 2.17) (c) S hợp hai phần tử tuyến tính Ri (i = 1, 2) với R1 ∩ R2 = 0, phần tử tuyến tính đường thẳng đóng, nửa đường thẳng đóng (tia), đường thẳng (d) S hợp ba phần tử tuyến tính R1 , R2 , R3 có chung điểm cuối x cho x ∈ int conv (R1 ∪ R2 ∪ R3 ) Định lý 2.25 ([2, Theorem 8.4]) Cho S ∈ En tập compact có điểm Giả sử ba cộng tuyến điểm S chứa cung tròn đường thẳng thuộc vào S Khi S mặt cầu Định lý 2.26 ([2, Theorem 8.5]) Giả sử S tập đóng bị chặn không gian Hilbert L giả thiết intS = Giả sử tồn nhất điểm z ∈ bd convS cho điều sau Nếu x y cặp tùy ý điểm phân biệt S khác từ z, x, y, z chứa cung tròn đoạn thẳng thuộc S Khi S mặt cầu Định nghĩa 2.22 Phép nghịch đảo T tập S ⊂ L liên quan đến 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG hình cầu rắn C ≡ [x : x ≤ r, r ∈ R] định nghĩa cho hàm T ≡ (T (x) , x) : x ∈ S, T (x) ∈ L, T (x) x2 = r2 x 2.8 Tập lồi cực đại Giả sử L không gian tô pô tuyến tính Định nghĩa 2.23 Tập lồi cực đại tập S L tập không chứa tập lồi lớn S, tức tập lồi chứa Định lý 2.27 ([2, Theorem 9.1]) Nếu S tập đóng không gian tô pô tuyến tính L, tập lồi cực đại S đóng Chứng minh Đây hệ từ bao đóng từ bao đóng tập lồi S lồi S từ S đóng Định lý 2.28 ([2, Theorem 9.2]) Giả sử S tập đóng không gian tô pô tuyến tính L Nếu điểm p ∈ S điểm hai tập lồi cực đại S p điểm số hữu hạn tập lồi cực đại S Chứng minh Giả sử bao đóng sai giả sử Mi (p) , (i = 1, 2, , m) kí hiệu tập lồi cực đại S chứa p điểm Từ m ≥ m Mi (p) = Si Mi (p)∪Mk (p), i, k = 1, 2, , m i = k không tập i=1 lồi Do tồn điểm xj ∈ S1 , j = 1, thỏa mãn x1 x2 không 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG S Định nghĩa Q ≡ [x : x ∈ / S1 , x ∈ conv (x1 ∪ x2 ∪ p)] Cho u1 , u2 đoạn thẳng cho uj ∈ intv pxj (j = 1, 2) thỏa mãn u1 , u2 đoạn thẳng giá tới conv clQ Khi đó, cho m Mi (p) ∪ (u1 u2 )] K (u1 , u2 ) = conv[( i=1 m Rõ ràng K (u1 , u2 ) ⊂ s, từ u1 , u2 ⊂ Mi (p) ⊂ S Nó tương đối đơn i=1 giản để chứng minh tồn tập hữu hạn đoạn thẳng uα1 uα2 giá tới conv cl Q thỏa mãn uαj ∈ pxj , j = 1, 2; K (uα1 , uα2 ) = K uβ1 , uβ2 , α = β; thỏa mãn tập lồi cực đại S tồn chứa K (uα1 uα2 ) K uβ1 , uβ2 Do có chứng p chứa thực hữu hạn số tập lồi cực đại S Định lý 2.29 ([2, Theorem 9.6]) Giả sử S tập compact không gian Minkowski Ln Giả sử điểm x ∈ S chứa tập lồi cực đại S, ký hiệu M (x) Khi tập hợp tập lồi cực đại S tạo thành nửa liên tục phân tích S số hạng tô pô gây S từ Ln 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG 2.9 Đồ thị lồi Cho hàm lồi p, có, hàm xác định tập lồi D L thỏa mãn điều kiện p (αx + βy) ≤ αp (x) + βp (y) , (2.13) với x ∈ D, y ∈ D, α ≥ 0, β ≥ α + β = Nhiều tính chất hàm lồi suy kéo theo từ việc hiểu tính chất tập lồi Định nghĩa 2.24 Giả sử f hàm xác định tập D không gian tô pô tuyến tính L với R Trong số hạng không gian tích (R, L) định nghĩa tập C C ≡ [(z, x) : z > f (x) , (z, x) ∈ (R, D)] (2.14) Định lý 2.30 ([2, Theorem 10.1]) Nếu f hàm lồi xác định tập lồi D ⊂ L tập C (2.14) tập lồi (R, L) Chứng minh Chọn hai điểm (u1 , x1 ) ∈ C, (u2 , x2 ) ∈ C Xét điểm (αu1 + βu2 , αx1 + βx2 ) , α + β = 1, α ≥ 0, β ≥ Từ αu1 + βu2 > αf (x1 ) + βf (x2 ) ≥ f (αx1 + βx2 ) Điều kiện (2.14) kéo theo (αu1 + βu2 , αx1 + βx2 ) ∈ C Vì C lồi 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Định nghĩa 2.25 Đồ thị F f xác định tập S L F ≡ [(z, x) : z = f (x) , (z, x) ∈ (R, S)] Định lý 2.31 ([2, Theorem 10.2]) Giả sử f hàm xác định tập lồi mở D không gian tô pô tuyến tính L giả sử f x1 + x2 ≤ [f (x1 ) + f (x2 )] (2.15) cặp điểm x1 ∈ D, x2 ∈ D Ngoài giả sử tập C xác định (2.14) tập mở không gian tích (R, L) Khi f hàm lồi Chứng minh Giả sử C không lồi Khi tồn phẳng 1-chiều L1 L thỏa mãn 2-phẳng (R, L1 ) cắt C tập không lồi, kí hiệu C1 Từ (R, L1 ), tập C1 (2.14) với L = L1 tập liên thông mở không lồi, theo định lí Léja Willkocz kéo theo tồn điểm lõm mạnh C1 bd C1 , kí hiệu p ≡ (u, x) Từ p điểm lõm mạnh C1 tồn pi ≡ (ui , xi ) ∈ (R, L1 ) , (i = 1, 2) thỏa mãn 2p = p1 + p2 thỏa mãn p1 p2 ∼ p ⊂ int C1 tương đối tới (R, L1 ) Từ u = f (x), điều kiện (2.14) kéo theo x1 = x2 Từ (ui , xi ) ∈ int C1 tương đối tới (R, L1 ), tồn (vi , ui ) thỏa mãn vi < ui , vi = f (xi ) , (i = 1, 2) 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học f (x) = NGUYỄN THỊ PHƯỢNG u1 + u2 u1 + u2 f (x − 1) + f (x2 ) x1 + x2 > = ,x = 2 2 vi phạm (2.15) Vì C lồi trực tiếp kéo theo f hàm lồi Hệ 2.17 Giả sử f hàm liên tục xác định tập lồi mở D không gian tô pô tuyến tính L, giả sử điều kiện (2.15) Khi f hàm lồi Chứng minh Tính liên tục f kéo theo tập C cho (2.14) tập mở Khi Định lí 2.31 kéo theo f hàm lồi Hiểu rõ toán Cauchy[1] liên quan đến nghiệm phương trình f (x + y) = f (x) + f (y) , x ∈ L, y ∈ L (2.16) có hệ sau Hệ 2.18 Nghiệm phương trình (2.16), L không gian tô pô tuyến tính, hàm tuyến tính Chứng minh Từ f thỏa mãn (2.16) có f x1 + x2 x1 x2 +f 2 x1 x2 = f +f 2 = [f (x1 ) + f (x2 )] =f + x1 x2 f +f 2 f thỏa mãn (2.15) từ kéo theo f lồi Mỗi nghiệm (2.16) rõ ràng đường thẳng Định lý 2.32 ([2, Theorem 10.3]) Giả sử f hàm xác định tập lồi mở D không gian tô pô tuyến tính L, giả sử điều kiện( 2.15) 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Ngoài giả sử tồn tập mở không rỗng D f bị chặn từ Khi f hàm lồi Chứng minh Giả sử K thành phần int C từ giới hạn f tập mở, kéo theo int C = Mỗi điểm bd K phải giới hạn điểm đồ thị F f (R, L) Nếu K không lồi, tiết diện thẳng 2-chiều tập K chứa điểm lõm mạnh Ta chứng minh tồn điểm x1 ∈ D, x2 ∈ D thỏa mãn (2.15) vô lí Do K lồi Không khó để chứng minh K = int C, f lồi Định nghĩa 2.26 Giả sử f hàm xác định tập mở D không gian tô pô tuyến tính L Hàm f gọi giá địa phương từ điểm (f (p) , p) tồn lân cận N (p) hàm tuyến tính h thỏa mãn f (p) = h (p) f (x) ≥ h (x) Nếu f giá địa phương từ điểm (f (p) , p) , (p ∈ D) gọi giá địa phương từ D 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Kết luận Trong khóa luận, em trình bày vấn đề liên quan đến tập lồi số tập lồi đặc biệt Rn Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong quý thầy cô bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5, năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Phượng 44 Tài liệu tham khảo [1] Alexander Bavinok, A Course in Convexity, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, 2002 [2] Frederick A Valentine, Convex Sets, Department of Mathematics, University of California, Los Angeles, 1964 [3] Jon Dattorro, Convex Optimization & Euclidean Distance Geometry, M βoo, 2005 [4] Niels Lauritzen, Lectures on convex sets, Niels Lauritzen, Department of Mathematical sciences, University of Aarhus, Demark, March 2009 [5] R Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1972 45 ... Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức tập lồi - Phạm vi nghiên cứu: Tập lồi số tập lồi đặc biệt Rn Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tập lồi số tập lồi đặc biệt Rn Các phương pháp nghiên cứu - Thiết... Một số tập lồi đặc biệt Rn ” để làm đề tài khóa luận Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tập lồi hệ thống số tập lồi đặc biệt Rn Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức tập. .. đề tài Tập lồi đối tượng giải tích lồi, hình học lồi tối ưu lồi Ngoài tập lồi có nhiều ứng dụng thực tế Việc nghiên cứu tập lồi đặc biệt có ý nghĩa quan trọng Có thể nói nghiên cứu tập lồi đề