Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 5) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Cho họ đường cong bậc ba có phương trình y   x  3x  Gọi  đường thẳng có phương trình y = Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E   với (C) Lời giải: E (e, 1)   Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + (D) (D) tiếp xúc (C)  hệ   x3  3n2   h( x  e)  có nghiệm   x  x  h   Phương trình hoành độ tiếp điểm (D) (C) : – x3 + 3x2 – = (– 3x2 + 6x)(x – e)+  – x3 + 3x2 – = x(– 3x + 6)(x – e)  (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)  x = hay x2 – x – = 3x2 – 3ex  x = hay 2x2 – (3e – 1)x + = (1) (2) (2) có  = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) có nghiệm x =  – 2(3e – 1) + =  e = Ta có  >  e < – hay e > Biện luận : i) Nếu e < – hay < e < hay e >  (1) có nghiệm phân biệt  có tiếp tuyến ii) Nếu e = – hay e = hay e =  (1) có nghiệm  có tiếp tuyến iii) Nếu – < e <  (1) có nghiệm  có tiếp tuyến Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Bài Cho hàm số y  x3  x  x  Tìm tất điểm đồ thị (C) hàm số mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số Lời giải: Gọi điểm M  x0 ; x03  x02  x0     C   Phương trình đường thẳng d qua M y  k  x  x0   x03  2x02  x0  Đường thẳng d tiếp tuyến (C)  Hệ sau có nghiệm  x3  x  x   k  x  x0   x03  x02  x0   3 x  x   k Thế k phương trình sau vào phương trình trước ta  x  x0  2 x2   x0   x  x02  x0      f  x Để có tiếp tuyến f  x   vô nghiệm có nghiệm kép x0 Trường hợp 1:    3x0  2   Vô lý   250  Trường hợp 2:  b  x0   y0   27   x0   2a  250  Vậy điểm cần tìm  ;   27  3 Bài Cho họ đường cong bậc ba có phương trình y   x  3x  (C) Tìm M  (C) để qua M có tiếp tuyến với (C) Lời giải: Cách : Đối với hàm bậc (a  0) ta dễ dàng chứng minh :  M  (C), ta có : i) Nếu M khác điểm uốn, ta có tiếp tuyến qua M ii) Nếu M điểm uốn, ta có tiếp tuyến qua M Cách : Gọi M(x0, y0)  (C) Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng : y = k(x – x0)  x03  x02  (D) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Phương trình hoành độ tiếp điểm (D) (C) :  x  x   (3 x  x)( x  x0 )  x03  x02   x3  x03  3( x  x02 )  ( x  x0 )(3 x  x)   x  x0   x  xx0  x02  3x  3x0  3x  x   x  x0 hay x  (3  x0 ) x  x02  3x0   x  x0 hay ( x  x0 )(2 x  x0  3)   x  x0 hay x  (5)  x0 Do đó, có tiếp tuyến qua M (x0, y0)  (C)  x0   x0  x0  Suy ra, y0 = Vậy M(1, –1) (điểm uốn) Nhận xét : x0 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắn có nghiệm kép x0 Bài Cho y = x3 - 3x2 Tìm tất điểm M nằm đường cong cho từ M vẽ tiếp tuyến tới đường cong cho Lời giải: Gọi M (  ,   3 ) điểm cần tìm Tiếp tuyến qua M có dạng: y = k(x -  ) +  -3  Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Ta có hệ phương trình gồm pt sau:  x03  x02  k ( x0   )    3 (1)  3x0  x0  k (2) Thay (2) vào (1), ta có: 2x30 - 3x20 (  + 1) +  x0 +  -  = (*)  (x0 -  ) [2x20 - (  + 3)x0 -  +  ] =  (x0 -  )2 (2x0 +  - 3) = x0 =  x0 =  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt (3) Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Chú ý y = x3 - 3x2 đường cong bậc ba, nên số tiếp tuyến vẽ số tiếp tuyến với đường cong Vì qua M có tiếp tuyến với đường cong hệ (1) (2) (ẩn x0) có nghiệm Dựa vào (3) điều xảy khi:      Vậy đường cong y = x3 - 3x2 có điểm thoả mãn yêu cầu đề Đó điểm M (1, - 2) Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - ... Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Bài Cho hàm số y  x3  x  x  Tìm tất điểm đồ thị (C) hàm số mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số Lời giải: Gọi điểm M  x0 ; x03  x02... Trường hợp 1:    3x0  2   Vô lý   250  Trường hợp 2:  b  x0   y0   27   x0   2a  250  Vậy điểm cần tìm  ;   27  3 Bài Cho họ đường cong bậc ba có phương trình y... Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58 -58 -12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan Phương trình hoành độ tiếp điểm