Ví dụ 1: Cho 0m > còn , ,a b c là 3 số bất kỳ thoả mãn điều kiện + + = + + 0 2 1 a b c m m m Chứng minh phơng trình + + = 2 0ax bx c có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1). Giải: Đặt = + + 1 2 ( ) ( ). m f x x ax bx c Ta xét ( )F x là 1 nguyên hàm của ( )f x , + + = + + + + 2 1 ( ) 2 1 m m m ax bx cx F x m m m trên [0;1]. Hiển nhiên hàm số liên tục trên [ 0;1], có đạo hàm trên (0;1). Nên theo định lý Lagrang tồn tại ít nhất 1 điểm 0 x (0;1) sao cho = = 0 (1) (0) '( ) 0. 1 0 F F F x Nhng + = + + = + + 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 '( ) ( ) m m m m F x ax bx cx x ax bx c Nên + + = 2 0 0 0ax bx c , nghĩa là phơng trình + + = 2 0ax bx c có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1). Nhận xét: Với cách giải trên ta có thể giải quyết bài toán tổng quát sau Cho 0n > và các số 0 1 , , ., n a a a thoả mãn + + + + = + 1 1 0 . 0 1 2 n n a a a a n n Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm thuộc (0;1) + + + + = 1 1 1 0 . 0. n n n n a x a x a x a Khi ta cho n các số cụ thể ta cũng có thêm nhiều bài toán mới. Ví dụ khi 1n = có bài toán sau: Cho 2 3 6 0a b c+ + = . Chứng minh rằng phơng trình + + = 2 sin sin 0a x b x c luôn luôn có nghiệm. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a 0 > , hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất = + + = ln(1 ) ln(1 ) (6.1) a. (6.2) x y e e x y y x ( ĐH Khối D - 2006 ) Giải: Điều kiện > > 1, 1.x y Rút y từ phơng trình (6.2) thay vào phơng trình (6.1) ta dợc phơng trình: + + + + + = a ln(1 ) ln(1 a ) 0. x x e e x x Đặt + = + + + + a ( ) ln(1 ) ln(1 a ). x x f x e e x x a a '( ) ( 1) 0 (1 )(1 a ) x f x e e x x = + > + + + khi a 0 > và > 1.x Vậy ( )f x là hàm số liên tục, đồng biến trong ( 1; ) + . Mặt khác + = = + 1 lim ( ) , lim ( ) . x x f x f x Nên phơng trình ( ) 0f x = có một nghiệm trong ( 1; ) + . Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất với > 0a . Chú ý: Học sinh dễ mắc sai lầm khi thấy hàm số đồng biến (nghịch biến) đã kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất. Ta chỉ có thể kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất khi hàm số đơn điệu liên tục và trong giá trị của nó có cả các giá trị âm và dơng. Ví dụ 3 (Định lý Cauchy) Nếu các hàm số ( )f x và ( )g x đều liên tục trên đoạn [ ; ]a b , khả vi trong khoảng ( ; )a b và '( ) 0g x tại mọi x trong khoảng đó thì phơng trình sau luôn có nghiệm: = ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) f b f a f x g b g a g x . Giải: Do '( ) 0g x tại ( ; ) ( ) ( ) 0x a b g b g a . Thật vậy giả sử = ( ) ( ) 0g b g a . Theo định lý Lagrang ( ; )c a b sao cho = = ( ) ( ) '( ) 0 g b g a g c b a ( mâu thuẫn với giả thiết). Xét hàm số = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a F x f x g x g b g a Do các hàm số ( ), ( )f x g x liên tục trên đoạn [ ; ]a b , khả vi trong khoảng ( ; )a b nên hàm số ( )F x cũng liên tục trên đoạn [ ; ]a b , khả vi trong khoảng ( ; )a b . áp dụng định lý Lagrang ( ; )c a b sao cho: = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) '( ) 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) f b f a F b F a f b f a f c F c f c g c g b g a b a g b g a g c đpcm. Nhận xét: Dựa vào ví dụ trên ta có thể giải quyết bài toán sau Giả sử ( )h x const, liên tục và có đạo hàm cấp một trên khoảng (0; ) + . Cho ,a b là hai số thực thoả mãn 0 a b< < . Chứng minh phơng trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc ( ; )a b . = ( ) ( ) '( ) ( ) ah b bh a xh x h x b a Hớng dẫn: Xét ( ) ( ) h x f x x = và 1 ( )g x x = . Rồi áp dụng ví dụ 4. . sau: Cho 2 3 6 0a b c+ + = . Chứng minh rằng phơng trình + + = 2 sin sin 0a x b x c luôn luôn có nghiệm. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a 0 > , hệ phơng. sau Giả sử ( )h x const, liên tục và có đạo hàm cấp một trên khoảng (0; ) + . Cho ,a b là hai số thực thoả mãn 0 a b< < . Chứng minh phơng trình sau