BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Đào MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA VẬT LỒI TRONG Rn KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Đào MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA VẬT LỒI TRONG Rn Chuyên ngành: Hình học Mã số: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.s Trần Văn Nghị Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận với đề tài: "Một số tính chất hình học vật lồi Rn ", trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Hình học, thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em thời gian qua Đặc biệt em xin trân thành cảm ơn thầy giáo: Th.s Trần Văn Nghị, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu để em hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế thời gian kiến thức thân nên chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận cảm thông đóng góp thầy cô, bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận kết trình em học tập nghiên cứu với giúp đỡ thầy cô khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo - Th s Trần Văn Nghị Trong trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu có liên quan hệ thống mục tài liệu tham khảo Khóa luận "Một số tính chất hình học vật lồi Rn " trùng lặp với khóa luận khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm! Sinh viên Nguyễn Thị Đào Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào Bảng kí hiệu af f A Bao aphin A bdA Biên A convA Bao lồi A intA Phần A relbdA Biên tương đối A relintA Phần tương đối A Rn Không gian Euclid n-chiều Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Bảng kí hiệu Lời mở đầu Không gian vật lồi Một số tính chất hình học vật lồi 10 2.1 Thể tích diện tích mặt 10 2.2 Thể tích hỗn hợp 16 2.3 Định lí Brunn Minkowski 33 2.4 Vật lồi với độ rộng không đổi 42 KẾT LUẬN 56 Tài liệu tham khảo 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào Lời mở đầu Lý chọn đề tài Hình học lồi ngành hình học nghiên cứu tính lồi hình, công cụ sử dụng hình học lồi lý thuyết tập lồi hàm số Đây ngành hình học tương đối khó chứa đựng nhiều điều thú vị Vật lồi đối tượng trọng tâm hình học lồi với nhiều ứng dụng thực tế Với mong muốn tìm hiểu sâu vật lồi, khối đa diện lồi lưới nên em chọn đề tài: "Một số tính chất hình học vật lồi Rn " để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu kỹ kiến thức vật lồi - Hệ thống tính chất hình học vật lồi Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức vật lồi - Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất vật lồi không gian véc tơ Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày lý thuyết tính chất vật lồi Các phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng công cụ toán học - Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu có liên quan Khóa luận tốt nghiệp Đại học Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Không gian vật lồi Chương 2: Một số tính chất hình học vật lồi Nguyễn Thị Đào Chương Không gian vật lồi Ta kí hiệu Kn tập hợp gồm vật lồi (những tập lồi compact khác rỗng) K Kn Tập Kn đóng phép cộng, K, L ∈ Kn ⇒ K + L ∈ Kn , phép nhân với vô hướng không âm, K ∈ Kn , α ≥ ⇒ αK ∈ Kn Do đó, Kn nón lồi câu hỏi sinh liệu ta nhúng nón lồi vào không gian véc tơ thích hợp Vì (Kn , +) nửa nhóm (giao hoán), câu hỏi đặt liệu nửa nhóm nhúng vào nhóm Một tiêu chuẩn đại số đơn giản (là cần đủ) cho quy tắc khử phải Với mục đích này, ta xét hàm giá hK vật lồi hàm số hình cầu đơn vị S n−1 (bởi tính đồng dương hK , giá trị S n−1 xác định hK hoàn toàn) Cho C(S n−1 ) không gian véc tơ hàm liên tục S n−1 Đây không gian Banach Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào chuẩn max f := max |f (u)| , n−1 f ∈ C S n−1 u∈S Ta gọi hàm số f : S n−1 → R lồi mở rộng đồng   x f ˜ f :=  x x với x = 0, x = 0, lồi Rn Cho Hn tập tất hàm lồi S n−1 (sau Định lí 2.1.1 [1]) Định lí 2.2.1 [1], Hn nón lồi C(S n−1 ) Định lí 1.1 [1, Theorem 3.1.1] Ánh xạ T : K → hK , tuyến tính Kn (dương) ánh xạ nón lồi Kn 1-1 lên nón lồi Hn Hơn T tương thích với bao hàm thứ tự Kn thứ tự ≤ Hn Đặc biệt, T nhúng nón lồi (thứ tự) Kn vào không gian véc tơ (thứ tự) C(S n−1 ) Chứng minh Tuyến tính dương T kéo theo từ Định lí 2.3.1(e) [1] tính nội xạ từ Định lí 2.3.1(b) [1] Thực tế T (Kn ) = Hn hệ Định lí 2.3.2 [1] Tính tương thích tương ứng với thứ tự kéo theo từ Định lí 2.3.1(c) [1] Chú ý Tuyến tính dương T nón lồi Kn nghĩa T (αK + βL) = αT (K) + βT (L) , Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào khoan vuông! Ta bắt đầu thảo luận từ trình bày hai hàm sinh tự nhiên liên kết với vật lồi bất kì, hàm chiều dài dây cung lớn hàm độ rộng chúng Cho A vật lồi Rn cho u véc tơ đơn vị Rn Khi có hai siêu phẳng giá tới A có u với véc tơ chuẩn tắc Khoảng cách siêu phẳng giá khác gọi độ rộng A theo chiều u kí hiệu w(u) Quan sát Hình 2.1 rõ ràng, với véc tơ đơn vị u Rn , w(u) = w(−u) Hàm độ rộng hình cầu đóng có bán kính r có giá trị không đổi 2r Ví dụ, xét hình vuông A = {(x, y) : |x| , |y| ≤ 1} , R2 Một phép toán đơn giản chứng tỏ w ((cos θ, sin θ)) = (|sin θ| + |cos θ|) với θ ∈ R Trường hợp < θ < 41 π minh họa Hình 2.2 Bây ta chứng tỏ hàm độ rộng w vật lồi A Rn không hạn chế hàm giá hiệu A − A A Kí hiệu h hàm giá A Khi siêu phẳng giá tới A có véc tơ chuẩn tắc có phương trình u.x = h(u) u.x = −h(−u), khoảng cách chúng h(u) + h(−u) Do w (u) = h (u) + h (−u) = sup {u.a : a ∈ A} + sup {−u.b : b ∈ A} = sup {u (a − b) : a, b ∈ A} = sup {u.c : c ∈ A − A} , 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào Hình 2.1: Hình 2.2: chứng tỏ w hạn chế hàm giá A − A tới tập compact {u : u = 1} Vì hàm giá liên tục, w liên tục có cận {u : u = 1} Cận w∗ gọi độ rộng nhỏ A, cận w∗ gọi độ rộng lớn A Độ rộng nhỏ độ rộng lớn hình vuông có cạnh a a 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học √ Nguyễn Thị Đào 2a Quan hệ đóng tới hàm độ rộng vật lồi hàm độ dài dây cung lớn vật Cho A vật lồi Rn cho u véc tơ đơn vị Rn Khi số dương l(u) xác định phương trình l (u) = sup b − a : a, b ∈ A b − a = αu với α ∈ R , gọi độ dài cung lớn A theo chiều u (hiển nhiên) Rõ ràng, với véc tơ đơn vị u Rn , l(−u) = l(u) Hàm độ dài cung lớn hình cầu đóng có bán kính r có giá không đổi 2r Ví dụ, xét hình vuông A = {(x, y) : |x| , |y| ≤ 1} , R2 Khi phép toán đơn giản chứng tỏ l (cos θ, sin θ) = 2/max {|cos θ| , |sin θ|} với θ ∈ R Trường hợp < θ < 41 π minh họa Hình 2.3 Định nghĩa l áp dụng vào công thức sau: l (u) = sup {α ∈ R : αu ∈ A − A} Một vài tính chất quan trọng l dễ dàng suy Đầu tiên, với véc tơ đơn vị Rn , điểm l(u)u nằm biên A − A tồn a, b ∈ A cho b − a = l(u)u Thứ hai, miền u véc tơ đơn vị thuộc Rn , l đạt tới cận l∗ cận 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào Hình 2.3: l∗ ; l∗ U ⊆ A − A ⊆ l∗ U, U hình cầu đơn vị đóng {x ∈ Rn : x ≤ 1} Nó theo l∗ l∗ tương ứng bán kính đường tròn nội tiếp bán kính đường tròn ngoại tiếp A − A Nếu kí hiệu l hàm độ dài cung lớn hình vuông cạnh a √ l∗ = a l∗ = 2a Quan sát kĩ ta thấy ý w kí hiệu hàm độ rộng hình vuông cạnh a, l∗ = w∗ l∗ = w∗ Kết chứng tỏ điều trùng hợp ngẫu nhiên Định lí 2.4.1 [2, Theorem 7.6.1] Cho l hàm độ dài cung lớn hàm độ rộng w vật lồi A Rn có đường kính D Khi đó, với véc tơ đơn vị u Rn , l(u) ≤ w(u) Cũng có l∗ = w∗ l∗ = w∗ = D Chứng minh Với véc tơ u Rn , l(u)u ∈ A − A, l (u) = l (u) u.u ≤ sup {u.x : x ∈ A − A} = w (u) Giả sử u véc tơ đơn vị Rn cho l(u) = l∗ Từ 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào A − A chứa hình cầu đóng l∗ U , siêu phẳng u.x = l∗ giá A − A điểm giới hạn l∗ u Do w∗ ≤ w (u) = sup {u.x : x ∈ A − A} = l∗ ≤ w∗ , l∗ = w∗ Vì A − A nằm hình cầu đóng l∗ U , theo với véc tơ đơn vị thuộc Rn , w (v) = sup {v.x : x ∈ A − A} ≤ l∗ , w∗ ≤ l∗ Hiển nhiên l∗ ≤ w∗ Mà l∗ = D hệ đơn giản định nghĩa l∗ Do l∗ = w∗ = D Bây ta đến phần mục này: vật lồi với độ rộng không đổi Một vật lồi gọi có độ rộng không đổi hàm độ rộng không đổi Do hình cầu đóng có bán kính r có độ rộng không đổi 2r Ở đó, có lẽ ngẫu nhiên, vật lồi có độ rộng không đổi khác hình cầu đóng Ở đơn giản tam giác Reuleaux Đây hình phẳng chứa giao ba đĩa tròn đóng bán kính a trọng tâm đỉnh tam giác cạnh a Xem Hình 2.4 Ngũ giác Reuleaux, thất giác Reuleaux, hình chín cạnh Reuleaux xây dựng đơn giản Từ véc tơ tổng hai vật lồi có độ rộng không đổi vật lồi có độ rộng không đổi, ví dụ khác hệ vật lồi có độ rộng không đổi xây dựng dễ dàng Định lí 2.4.1 ba điều kiện sau vật lồi A thuộc Rn tương đương: (i) A có độ rộng không đổi λ; (ii) A có độ dài cung lớn không đổi λ; (iii) A − A hình cầu đóng λU 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào Hình 2.4: Giả sử A vật lồi Rn có độ rộng không đổi λ đối xứng, có nghĩa −A = A Khi điều kiện (iii) đoạn cuối chứng tỏ A = 12 λU Do vật lồi đối xứng có độ rộng không đổi λ phải hình cầu đóng bán kính 21 λ trọng tâm gốc tọa độ Xét vật lồi A thuộc Rn có độ rộng không đổi λ, điểm x thuộc Rn không thuộc A Cho y thuộc A gần x Khi siêu phẳng H1 qua y với x − y véc tơ chuẩn tắc giá A y Kí hiệu H2 siêu phẳng giá tới A có x − y véc tơ chuẩn tắc Cho z điểm A nằm H2 Quan sát Hình 2.5 từ H1 H2 khoảng cách λ riêng, khoảng cách x z phải lớn λ Do đường kính A ∪ {x} lớn A Ta vừa chứng tỏ bổ sung điểm khác vào vật lồi có độ rộng không đổi sinh tập đường kính tăng Tập với tính chất mà không thật chứa tập đường kính gọi hoàn toàn Do vật lồi có độ rộng không đổi hoàn toàn Ngược lại, vật lồi hoàn toàn có 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào Hình 2.5: độ rộng không đổi, Trước thiết lập điều đảo đề tầm thường mà ta cần vài kết mở đầu Định lí 2.4.2 [2, Theorem 7.6.2] Cho b điểm biên vật lồi hoàn toàn A Rn với đường kính λ Khi tồn điểm c A cho c − b = λ Chứng minh A compact, tồn điểm c A mà khoảng cách từ b lớn Nếu c − b < λ, điểm y Rn \A cho y − b < λ − c − b Cho a ∈ A Bởi chọn c y, y − a < y − b + b − a ≤ y − b + b − c < λ, mà chứng tỏ A ∪ {y} có đường kính λ Điều mẫu thuẫn tính hoàn toàn A, c − b = λ Định lí 2.4.3 [2, Theorem 7.6.3] Tập A thuộc Rn với đường kính dương λ hoàn toàn giao hình cầu đóng 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào bán kính λ với tâm thuộc A Chứng minh Kí hiệu C giao hình cầu đóng có bán kính λ tâm thuộc A Đầu tiên giả sử A = C Cho x ∈ Rn \A Khi có hình cầu B[a; r] với tâm a thuộc A mà không chứa x, có nghĩa x − a > λ Do đường kính A ∪ {x} lớn λ, chứng tỏ A hoàn toàn Tiếp theo giả sử A hoàn toàn Từ A có đường kính λ, A ⊆ C Cho x ∈ C Khi A ∪ {x} có đường kính λ Từ A hoàn toàn, x phải nằm A Do C ⊆ A, A = C cần thiết Xét tính chất đơn giản đĩa tròn đóng A có bán kính r R2 Cho a, b, c không cộng tuyến R2 cho a, b ∈ A a − c = r, b − c = r Khi có ảnh thực mà nhỏ cung C đường tròn tâm c bán kính r mà a, b nằm A, quan sát Hình 2.6 Ta khái quát kết Rn Đầu tiên ta phải biểu diễn điểm Hình 2.6: cung C theo số hạng a, b, c r Điểm C xác điểm 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào R2 mà nằm góc ∠acb khoảng cách từ c r, có nghĩa điểm mà c + α (a − c) + β (b − c) , α, β ≥ 0, mà α (a − c) + β (b − c) = r Kết cuối đưa định nghĩa sau Cho a, b, c không cộng tuyến Rn cho r> cho a − c = r, b − c = r Khi cung tròn bán kính r tâm c nối a b xác định tập c + α (a − c) + β (b − c) : α, β ≥ α (a − c) + β (b − c) = r Định lí 2.4.4 [2, Theorem 7.6.4] Một vật lồi hoàn toàn Rn đường kính λ chứa cung tròn bán kính λ nối hai điểm Chứng minh.Từ Định lí 2.4.3 vật lồi hoàn toàn có đường kính λ giao hình cầu đóng bán kính λ Cho B hình cầu đóng Rn tâm x bán kính λ Cho a, b, c điểm không cộng tuyến Rn cho a, b ∈ B, a − c = λ, b − c = λ Khi a−x = a−c+c−x = a − c +2 (a − c) (c − x)+ c − x ≤ λ2 , (a − c) (c − x) + c − x ≤ (2.4.1) 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào Tương tự, (b − c) (c − x) + c − x ≤ (2.4.2) Bây cho z nằm cung tròn bán kính λ tâm nối a b Khi z = c + α (a − c) + β (b − c) với α, β ≥ 0, z − c = λ Từ a − c = λ, b − c = λ, phương trình z − c = α (a − c) + β (b − c) chứng tỏ α + β ≥ Kết hợp bất đẳng thức (2.4.1) (2.4.2), biểu diễn α, β thêm vào bất đẳng thức quan hệ, ta suy (z − c) (c − x)+ c − x ≤ (z − c) (c − x)+(α + β) c − x ≤ Do z−x = z−c+c−x = z−c 2 + (z − c) (c − x) + c − x ≤ z−c = λ2 , z − x ≤ λ Do z ∈ B cung tròn bán kính λ tâm c nối a b nằm B Định lí 2.4.5 [2, Theorem 7.6.5] Một vật lồi Rn hoàn toàn có độ rộng không đổi Chứng minh Ta biết độ rộng vật lồi không đổi hoàn toàn, ta cần vật lồi hoàn toàn có độ rộng không đổi Để làm điều này, ta chứng minh phản chứng Giả sử A vật lồi hoàn toàn Rn với đường kính λ mà độ rộng không đổi Cho u véc tơ đơn vị chiều A có độ rộng nhỏ w∗ Khi w∗ < w∗ = λ Từ l∗ = w∗ , tồn 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào a, b ∈ A cho b − a = w∗ u A ⊆ {x ∈ Rn : u.a ≤ u.x ≤ u.b} (2.4.3) Quan sát Hình 2.7 Từ Định lí 2.4.2, tồn điểm c thuộc A cho Hình 2.7: c − b = λ Ta xây dựng tồn điểm d dạng (1 − θ) a+θc+εu, ≤ θ ≤ ε > 0, mà điểm khoảng cách λ từ a c, chia trường hợp u.a = u.c u.a < u.c Nếu u.a = u.c, ta đặt d 12 a + 12 c + εu, ε λ2 − a−c Giả sử u.a < u.c Điểm f = b + ϕu, ϕ = λ2 − w∗2 /2u (c − a) , cách a c, khoảng cách lớn λ Điểm (a + c) cách a c, nhỏ λ Do có điểm d nằm đường thẳng nối f (a + c) mà có khoảng cách λ từ a c Hơn nữa, d = (1 − θ) a + θc + εu, với θ ε thỏa mãn 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào ≤ θ ≤ ε > Xét điểm p = d − λu Phương trình p = d + λ (1 − θ) ε−1 (a − d) + λθε−1 (c − d) Chứng tỏ p nằm cung tròn bán kính λ tâm d nối a c Từ A hoàn toàn, p ∈ A Ta kết từ chứng minh ngược lại p ∈ / A Chỉ có điểm nằm nửa đường thẳng {a + µu : µ ≥ 0} mà khoảng cách λ từ a a + λu, từ c (λ − w∗ ) u + (b − c) , mà lớn b − c = λ Do d dạng a + µu với µ ≥ Do điểm gần d − ((d − a).u)u siêu phẳng H với phương trình u.x = u.a tới điểm d khác a Từ a nằm H, khoảng cách từ d phải lớn (ngắn nhất) khoảng cách d từ H, có nghĩa λ > (d − a).u Do u.p = u.d − λ < u.a Từ (2.4.3) chứng tỏ p ∈ / A Những kí hiệu trước kết tiếp theo, ta nhắc lại vài vật lồi, ví dụ hình chữ nhật đường tròn nội tiếp Định lí 2.4.6 [2, Theorem 7.6.6] Cho r bán kính nội tiếp R bán kính ngoại tiếp đường tròn vật lồi A Rn có độ rộng không đổi λ Khi A có đường tròn nội tiếp, đồng tâm với đường tròn ngoại tiếp Hơn nữa, λ = R + r Chứng minh Cho B[a; r] đường tròn nội tiếp A Khi A ⊆ B [a; λ − r] Mặt khác tồn a ∈ A cho a − a > λ−r, khoảng cách a − a +r điểm a−r (a − a) / a − a 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào a’ A lớn đường kính λ A Do R ≤ λ − r r + R ≤ λ Cho B[c; R] đường tròn ngoại tiếp A Khi B[c; λ − R] ⊆ A Mặt khác tồn b ∈ B [c; λ − R] cho b ∈ / A Nhưng b A hoàn toàn rời nhau, tồn véc tơ đơn vị u cho với x ∈ A, u.c − R ≤ u.x < u.b ≤ u.c + λ − R, độ rộng A theo hướng u nhỏ λ Do r ≥ λ − R r + R ≥ λ Bất đẳng thức λ ≤ r + R ≤ λ chứng tỏ r + R = λ Phần đầu chứng minh chứng tỏ B[a; r] đường tròn nội tiếp A, B[a; R] đường tròn ngoại tiếp A Do A có đường tròn nội tiếp, đồng tâm với đường tròn ngoại tiếp Ta kết thúc phần này, sách với định lí đáng ý sau, mà khái quát kết chu vi đường tròn π lần đường kính Định lí 2.4.7 (Định lí Barbier) [2, Theorem 7.6.7] Mọi vật lồi R2 có độ rộng không đổi λ có chu vi πλ Chứng minh Cho A vật lồi R2 có độ rộng không đổi λ Khi A − A = λU Từ A -A có chu vi, R2 chu vi vật lồi cộng tính với biểu diễn với phép cộng véc tơ (xem phần cuối mục 4.4), chu vi A phải nửa λU , có nghĩa πλ 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào KẾT LUẬN Trong khóa luận em trình bày vấn đề liên quan đến vật lồi khối đa diện lồi Rn , có ứng dụng to lớn giải tích lồi, hình học lồi tối ưu lồi Sau trình nghiên cứu em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng vấn đề em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề Toán học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót Kính mong quý thầy cô bạn đóng góp ý kiến để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 56 Tài liệu tham khảo [1] Daniel Hug, Wolfgang Weil, A Course on Convex Geometry, University of Karlsruhe revised version 2009/2010, January 24,2011 [2] Roger Webster, Convexity, Oxford University Press, Oxford New Youk Tokyo, 1994 57 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Đào MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA VẬT LỒI TRONG Rn Chuyên ngành: Hình học Mã số: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.s... thú vị Vật lồi đối tượng trọng tâm hình học lồi với nhiều ứng dụng thực tế Với mong muốn tìm hiểu sâu vật lồi, khối đa diện lồi lưới nên em chọn đề tài: "Một số tính chất hình học vật lồi Rn "... nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào Lời mở đầu Lý chọn đề tài Hình học lồi ngành hình học nghiên cứu tính lồi hình, công cụ sử dụng hình học lồi lý thuyết tập lồi hàm số Đây ngành hình học tương đối