Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM Phần I. QUỸ TÍCH VÀ ĐƯỜNG THẲNG: I. Các dạng toán: 1. Điểm M cách đường thẳng d cố định một khoảng h không đổi ⇒ Quỹ tích M là hai đường thẳng song song và cách d một khoảng h. Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính CD. Từ một điểm A di động trên tia đối của tia DC, kẻ một tia AI là tiếp tuyến của (O). Trên tia AI lấy điểm M sao cho AM = AO. Tìm quỹ tích các điểm M. Lưu ý: Nếu bài toán có thêm ràng buộc, thì quỹ tích M có thể chỉ là một trong hai đường thẳng kể trên. Ví dụ 2. Hai điểm D, E di động trên hai cạnh AB, AC của ∆ABC sao cho AD = CE. Tìm quỹ tích trung điểm M của DE. 2. Điểm M có hình chiếu M' cố định trên đường thẳng cố định d ⇒ Quỹ tích M là đường thẳng vuông góc d tại M'. Ví dụ 3. Cho một điểm P cố định trong một đường tròn (O) cố định. Gọi Q là một điểm di động trên (O). Một đường thẳng qua O vuông góc với PQ cắt tiếp tuyến tại Q của (O) ở điểm M. Tìm quỹ tích các điểm M. 3. Điểm M cách đều hai điểm cố định A, B ⇒ Quỹ tích các điểm M là đường trung trực của đoạn AB. Ví dụ 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Một góc vuông xAy quay quanh A có hai cạnh cắt CB, CD lần lượt tại E, F. Dựng hình chữ nhật AENF. Tìm quỹ tích tâm M của hình chữ nhật này. II. Bài tập: Bài 1. Cho đường thẳng d cố định và hai điểm cố định A, B trên đường thẳng này. Hai đường tròn (O 1 ; R 1 ), (O 2 ; R 2 ) thay đổi nhưng luôn có tỉ số 1 2 R R không đổi. Đường tròn (O 1 ) luôn tiếp xúc d tại A; đường tròn (O 2 ) luôn tiếp xúc d tại B và chúng cùng phía đối với đường thẳng d. Tìm quỹ tích các giao điểm của hai tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn đó. Bài 2. Cho ba đường thẳng song song d 1 , d 2 , d 3 cố định; ∆ABC cố định và ∆A'B'C' di động sao cho A, A' ∈ d 1 ; B, B' ∈ d 2 ; C, C' ∈ d 3 và ba đoạn AA', BB', CC' song song cùng chiều. Tìm quỹ tích trọng tâm M của ∆A'B'C'. Thầy giáo : Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN Bài 3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng hai đường tròn bán kính bằng nhau: một đường qua A, B và đường tròn kia qua B, C. Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai M của hai đường tròn ấy. Phần II. QUỸ TÍCH VÀ ĐƯỜNG TRÒN I. Các dạng toán: 1. Điểm M cách điểm cố định O một khoảng không đổi R ⇒ Quỹ tích là (O; R). Ví dụ 5. Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định nằm ngoài (O), B là điểm di động trên (O) và M là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho MA 1 MB 2 = . Tìm quỹ tích các điểm M. 2. Điểm M nhìn đoạn cố định AB dưới góc không đổi α ⇒ Quỹ tích là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB. Ví dụ 6. Cho đường tròn cố định (O; R) và dây cố định BC; A là điểm chạy trên cung BC lớn. Tìm quỹ tích các tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ABC. * Đặc biệt: Nếu α = 90 0 thì quỹ tích là đường tròn đường kính AB. Ví dụ 7. Cho đường tròn cố định (O; R) và dây cố định AB; M là điểm chạy trên cung lớn AB. Gọi H là hình chiếu của A trên tia phân giác Mx của góc AMB. Tìm quỹ tích các điểm H. 3. Phương pháp tứ giác nội tiếp: Để tìm quỹ tích các điểm M, ta có thể chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp (ở đó A, B, C cố định) ⇒ Quỹ tích M là đường tròn (ABC). Ví dụ 8. Cho ∆ABC đều. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A bằng tổng các khoảng cách từ M đến B và C. 4. Điểm M chia đoạn cố định AB theo tỉ số k không đổi (tức là: MA k MB = ; k ≠ 1) ⇒ Quỹ tích là đường tròn đường kính CD, với C, D là hai điểm chia trong và chia ngoài đoạn AB theo cùng tỉ số k (đường tròn Apollonius). Ví dụ 9. Cho ba điểm A, C, B theo thứ tự đó trên một đường thẳng. Tìm quỹ tích các điểm M nhìn các đoạn CA, CB dưới những góc bằng nhau. Từ đó suy ra quỹ tích các trọng tâm của ∆AMB. II. Bài tập: Bài 4. Cho điểm M chạy trên đường tròn cố định (O; R). A là điểm cố định sao cho OA = 2R. Kẻ phân giác OD của ∆OAM. Tìm quỹ tích các điểm D. Bài 5. Cho ∆ABC cân tại A ( µ A 2= α ) nội tiếp đường tròn (O; R) cố định. Một điểm M di động trên cung AB không chứa điểm C. Trên tia CM lấy điểm N sao cho CN = AM. Tìm quỹ tích các điểm N. Bài 6. Cho điểm A cố định trên đường tròn cố định (O; R), B là điểm di động trên (O). Dựng hình bình hành OACB. Tìm tập hợp các trọng tâm G của ∆ABC. Bài 7. Cho ∆ABC cân tại A cố định; đường thẳng d quay quanh A không cắt cạnh BC. Trên d lấy điểm M sao cho tổng khảng cách từ M đến B và C nhỏ nhất. Tìm quỹ tích các điểm M. Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN Bài 8. Cho đoạn thẳng cố định AB = 6 cm. M là điểm chuyển động sao cho MA 1 MB 2 = . Tìm quỹ tích các điểm M. Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 3 . cắt tiếp tuyến tại Q của (O) ở điểm M. Tìm quỹ tích các điểm M. 3. Điểm M cách đều hai điểm cố định A, B ⇒ Quỹ tích các điểm M là đường trung trực của. điểm M sao cho tổng khảng cách từ M đến B và C nhỏ nhất. Tìm quỹ tích các điểm M. Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10