GIỚI HẠN A: Giới hạn dãy số: Kiến thức cần nhớ: Đònh lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn) Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bò chặn. Đònh lý2: (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Đònh lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Đònh lý Vaiơstrat). Một dãy số tăng và bò chặn trên thì có giới hạn. Một dãy số giảm và bò chặn dưới thì có giới hạn. Đònh lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn) Cho ba dãy số (u n ), (v n ), (w n ). Nếu * Nn ∈∀ ta có nnn wuv ≤≤ và lim v n = lim w n = A thì lim u n = A. Đònh lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số). Nếu hai dãy số )(),( nn vu có giới thì ta có: ),0(limlim )0(lim lim lim lim lim.lim).lim( limlim)lim( * Nnuuu v v u v u vuvu vuvu nnn n n n n n nnnn nnnn ∈∀≥= ≠= = ±=± Đònh lý6: Nếu thìq `1 < 0lim = n q Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với 1 < q là: S=u 1 +u 2 + .+u n + .= q u − 1 1 )1( < q . Số e: 71828,2 1 1lim ≈=       + e n n Đònh lý7: Nếu ),0(0lim * Nnuu nn ∈∀≠= thì . 1 lim ∞= n u Ngược lại, nếu ∞= n ulim thì .0 1 lim = n u B. Giới hạn của hàm số: Kiến thức cần nhớ: 1/ Một số đònh lý về giới hạn của hàm số: Đònh lý1: (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất. Đònh lý2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số). Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi ax → thì: [ ] [ ] )0)((,)(lim)(lim )0lim(, )(lim )(lim )( )( lim )(lim).(lim)().(lim )(lim)(lim)()(lim ≥= ≠= = ±=± →→ → → → → →→→ →→→ xfxfxf xg xf xg xf xgxfxgxf xgxfxgxf axax ax ax ax ax axaxax axaxax Đònh lý3: (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một giới hạn) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác đònh trên một khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a). Nếu với mọi điểm x của khoảng đó )()()( xhxfxg ≤≤ và nếu ,)(lim)(lim Lxhxg axax == →→ thì Lxf ax = → )(lim Đònh lý4: Nếu khi ax → , hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trò x đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì 0 ≥ L (hoặc 0 ≤ L ). Đònh lý5: Nếu 0lim = → ax (và 0)( ≠ xf với mọi x đủ gần a) thì ∞= → )( 1 lim xf ax Ngược lại, nếu ∞= → )(lim xf ax thì 0 )( 1 lim = → xf ax 2/ Giới hạn một bên : Đònh nghóa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (x n ) với x n > a (hoặc x n < a) sao cho limx n = a thì limf(x n ) = L. Ta viết: L ax = + → lim (hoặc Lxf ax = − → )(lim ). Đònh lý: Điều kiện ắc có và đủ để Lxf ax = → )(lim là )(lim),(lim xfxf axax −+ →→ đều tồn tại và bằng L. 3/ Các dạng vô đònh: Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây. Ta cần tìm: 1/ )( )( lim )( 0 xv xu x xx ∞→ → mà 0)(lim)(lim )()( 00 == ∞→ → ∞→ → xvxu x xx x xx . 2/ )( )( lim )( 0 xv xu x xx ∞→ → mà ∞== ∞→ → ∞→ → )(lim)(lim )()( 00 xvxu x xx x xx . 3/ [ ] )().(lim )( 0 xvxu x xx ∞→ → mà 0)(lim )( 0 = ∞→ → xu x xx và ∞= ∞→ → )(lim )( 0 xv x xx . 4/ [ ] )()(lim )( 0 xvxu x xx − ∞→ → mà + ∞== ∞→ → ∞→ → )(lim)(lim )()( 00 xvxu x xx x xx hoặc − ∞== ∞→ → ∞→ → )(lim)(lim )()( 00 xvxu x xx x xx . BÀI TẬP ÁP DỤNG A. GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài tập 1: Tính các giới hạn: 2 12 lim/1 + + n n 4 13 lim/2 2 2 + + n n 23 15 lim/3 + − n n nnn nn −+ ++ 2 2 2 32 lim/4 1 32 lim/5 2 ++ + nn nn )3)(23( )12)(1( lim/6 ++ −+ nn nn 13 2 lim/7 2 2 ++ + nn nn 13 2 lim/8 24 3 ++ nn n )2)(1( )3)(2( lim/9 ++ + nn nnn Bài tập 2: Tính các giới hạn: 1 12 lim/1 2 2 + − n n 2 52 lim/2 2 +− + nn n 23 2 lim/3 2 3 −+ − nn nn ( ) nnn +− 3 32 lim/4 23 12 lim/5 3 2 − ++ n nn ( ) nnn −− 3 23 2lim/6 Bài tập 3: Tính các giới hạn: nn n 32 1 lim/1 2 2 − + 4 32 )1( )2()1( lim/2 − ++ nn nn ( ) 1lim/3 22 +−+ nnn 3 32 3lim(/4 nnn −+ ) 2 1112 lim/5 2 3 − +− n nn 42 1 lim/6 22 +−+ nn B. GIỚI HẠN HÀM SỐ Bài tập 1: Tính các giới hạn: )32(lim/1 2 + → x x )432(lim/2 3 2 +− −→ xx x 1 14 lim/3 2 2 1 +− ++ → xx xx x 1 21 lim/4 3 + +− −→ x xx x )2(lim/5 3 1 xx x ++ −→ 2 25 lim/6 2 5 + − → x x x Dạng 0 0 Bài tập 2: Tính các giới hạn: 1 23 lim/4 4 6 lim/1 23 3 1 2 2 2 +−− +− − −+ → → xxx xx x xx x x 8 4 lim/5 20 16 lim/2 3 2 2 2 2 4 + − −+ − −→ → x x xx x x x 9 3 lim/6 3 34 lim/3 2 3 2 3 − + − +− −→ → x x x xx x x Bài tập 3: Tính các giới hạn: x x x xx x x x x x 2 121 lim/7 4 23 lim/4 2 121 lim/1 0 2 2 0 −+ − −− −+ → → → 2 24 lim/8 33 223 lim/5 39 4 lim/2 3 2 1 0 − − + +−+ −+ → −→ → x x x xx x x x x x 25 32 lim/9 34 472 lim/6 32 372 lim/3 2 3 5 3 1 1 − +− +− −++ +− −+ → → → x x xx xx x x x x x Bài tập 4: Tính các giới hạn: 33 276 lim/7 22 2 lim/4 1 1 lim/1 23 24 3 2 2 2 3 1 +++ −− −+− − − − −→ → → xxx xx xx x x x x x x 33 3 2 0 1 2 23 1 232 11 lim/8 45 32 lim/5 43 42 lim/2 +−+ −− +− −+ −− ++− → → −→ xx x xx xx xx xxx x x x 314 2 lim/9 23 2423 lim/6 11 lim/3 2 2 2 1 2 0 −+ +− +− −−−− ++−+ → → → x xx xx xxx x xxx x x x Bài tập 5: Tính các giới hạn: x x xx xx xxx xx x xx x x x x x x x −− +− ++ ++ ++ −+ − +− −− → −→ → → → 51 53 lim/5 62 23 lim/4 )1)(1( lim/3 3 34 lim/2 11 lim/1 4 2 2 2 23 2 3 2 3 3 0 23 1 lim/10 3 11 lim/9 2 321 lim/8 1 12 lim/7 23 1 lim/6 2 3 1 3 0 4 2 2 3 1 2 3 1 −+ + −− − −+ − +−+− −+ − −→ → → → → x x x x x x x xxx x x x x x x x • Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp. Bài tập 6: Tính các giới hạn: 3 51 lim/3 11 lim/2 23 7118 lim/1 3 3 3 0 2 3 2 − +−+ −−+ +− +−+ → → → x xx x xx xx xx x x x 2 122 lim/6 2 66 lim/5 1 39 lim/4 2 1 2 3 2 3 1 −− −−+ −+ ++− − ++− −→ −→ → xx xx xx xx x xx x x x Dạng ∞ ∞ Bài tập 7: Tính các giới hạn: 3 2 2 3 25 2 3 2 )43( )41)(12)(2( lim/5 53 132 lim/4 1 12 lim/3 2 1 lim/2 32 1 lim/1 + −+− +− ++ + ++ − ++− + + ∞→ ∞→ ∞→ +∞→ −∞→ x xxx xx xx x xx x xx x x x x x x x 12 32 lim/10 13 14 lim/9 1 32 lim/8 53 734 lim/7 16 83 lim/6 3 2 2 3 3 2 2 3 4 2 +− + − + +− ++ +− −+ +− −+ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ xx x x x xx xx xx xx xx xx x x x x x ĐS: 27 8 /5 3 2 /4 /3 /2 2 1 /1 − ∞+ ∞ − 0/10 3 2 /9 1/8 /7 0/6 ± ± ∞ Bài tập 8: Tính các giới hạn: xx xxx x −++ ++++ ∞→ 214 4132 lim/1 2 2 1 12419 lim/2 22 − ++−++ ∞→ x xxxx x ĐS:    − 5 1 /1    − 1 1 /2 Dạng ∞−∞ Bài tập 9: Tính các giới hạn:       − − − −+ −−−− −+ → ∞← ∞→ +∞→ 3 1 2 2 3 23 1 3 1 1 lim/4 )(lim/3 )34412(lim/2 )(lim/1 x x xxx xxx xxx x x x x       +− + +− ++−+− +− −+ → −∞→ +∞→ ∞→ 65 1 23 1 lim/8 )11(lim/7 )1(lim/6 )3(lim/5 22 2 22 2 3 32 xxxx xxxx xx xxx x x x x ĐS: 1/4 2 1 /3 0 /2 3 1 /1 −    ∞− 2/8 1/7 0/6 1/5 − Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác: Cho biết : 1 sin lim 0 = → x x x Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau: 2 0 0 0 0 2 4cos1 lim/4 sin 2cos1 lim/3 11 2sin lim/2 2 5sin lim/1 x x xx x x x x x x x x x − − −+ → → → → 2 0 0 2 2 0 3 0 6cos1 lim/8 2 3 lim/7 3 sin lim/6 sin lim/5 x x x xtg x x x xtgx x x x x − − → → → → x x x xx xtg x x x x x x x cos21 3 sin lim/12 sin cossin1 lim/11 cos12 lim/10 5cos1 3cos1 lim/9 3 2 2 0 2 0 0 −       − −+ +− − − → → → → π π ĐS: 25 9 /9 2 1 /5 2 5 /1 8 2 /10 9 1 /6 4/2 1/11 2 3 /7 2/3 3 1 /12 18/8 4/4 ------------------------------------ Hết ---------------------------------------- HÀM SỐ LIÊN TỤC Kiến thức cần nhớ: 1. Hàm số liên tục tại một điểm: Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm ∈ 0 x (a; b) nếu: )()(lim 0 0 xfxf xx = → . Nếu tại điểm x o hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại x o và điểm x o được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x). Theo đònh nghóa trên hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm ∈ 0 x (a; b) nếu và chỉ nếu )(lim xf o xx − → và )(lim 0 xf xx + → tồn tại và )()(lim)(lim 0 00 xfxfxf xxxx == +− →→ 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: a. Đònh nghóa: Hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy. Hàm số f(x) xác đònh trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó là liên tục trên khoảng (a; b) và ),()(lim afxf ax = + → )()(lim bfxf ax = − → . Lưu ý: Đồ thò của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó. b. Một số đònh lý về tính liên tục: Đònh lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó. Đònh lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xá đònh của nó. Đònh lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất và mọi giá trò trung gian giữa giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất trên đoạn đó. Hệ quả. Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b). MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số: Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: . 23 452 / .345/ 2 2 23 +− +− = −+−= xx xx yb xxxya . 2 2sincot / .5cos/ xtg xgx yd xtgxyc + = += Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số: Bài tập 1: Cho hàm số:        − +− − = 1 23 2 )( 2 2 x xx x xf )1( )1( ≥ < x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 1. Bài tập 2: Cho hàm số:      − − − = 2 4 21 )( 2 x x x xf )2( )2( < ≥ x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 2. Bài tập 3: Cho hàm số:        −+ −+ = 11 11 2 3 )( 3 x x xf )0( )0( > ≤ x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 0. Bài tập 4: Cho hàm số:      − − = 5 1 1 )( 2 x x xf )1( )1( = ≠ x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 1. Bài tập 5: Cho hàm số:      − − + = 1 1 2 )( 3 x x ax xf )1( )1( < ≥ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x 0 = 1. Bài tập 6: Cho hàm số:      − −− = x x xf 2 321 1 )( )2( )2( ≠ = x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 2. Bài tập 7: Cho hàm số:        +−− + − + = x xx x x a xf 11 2 4 )( )0( )0( < ≥ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x 0 = 0. Bài tập 8: Cho hàm số:        − −+ + = 2 223 4 1 )( 3 x x ax xf )2( )2( > ≤ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R. Bài tập 9: Cho hàm số:        +− − + = 23 24 3 2 )( 2 3 2 xx x ax xf )2( )2( > ≤ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R. Bài tập 10: Cho hàm số:      − = x x xf cos1 1 )( )0( )0( ≠ = x x Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: . hạn đó là duy nhất. Đònh lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Đònh lý Vaiơstrat). Một dãy số tăng và bò chặn trên thì có giới hạn. Một dãy số giảm