www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc 01 I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ uO nT hi D Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f ( x ) đồng biến K f '( x )  với x  K b) Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến K f '( x )  với x  K  [ f ( x ) đồng biến K ]  [ f '( x )  với x  K ]  [ f ( x ) nghịch biến K ]  [ f '( x )  với x  K ] SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ [ f '  x   với x  K ] ie  [ f ( x ) khơng đổi K ] Định lý 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K iL a) Nếu f '  x   với x  K hàm số f ( x ) đồng biến K Ta b) Nếu f '  x   với x  K hàm số f ( x ) nghịch biến K [ f '  x   với x  K ]  [ f '  x   với x  K ]  [ f ( x ) đồng biến K ] up  s/ c) Nếu f '  x   với x  K hàm số f ( x ) khơng đổi K ro  [ f ( x ) nghịch biến K ] /g Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K om a) Nếu f '( x )  với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f ( x ) đồng biến K c b) Nếu f '( x )  với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K ok hàm số f ( x ) nghịch biến K bo Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  cx  d  a   , ta có ce f '  x   3ax  2bx  c w w w fa a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   đồng biến   f '  x   3ax  2bx  c  x   b) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   nghịch biến   f '  x   3ax  bx  c  x   www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc 01 NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax  bx  c (a  0) ta có:     f ( x )  x        a      f ( x )  x        a  Để xét chiều biến thiên hàm số y  f  x  , ta thực bước sau: VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số uO nT hi D – Tìm tập xác đònh hàm số – Tính y Tìm điểm mà y  y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghòch biến hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghòch biến ie tập xác đònh (hoặc khoảng xác đònh) Ta  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D iL Cho hàm số y  f ( x , m) , m tham số, có tập xác đònh D Từ suy điều kiện m ro up Chú ý: 1) y  xảy số hữu hạn điểm s/  Hàm số f nghòch biến D  y  0, x  D /g 2) Nếu y  ax  bx  c thì: c om  a  b   c   y '  0, x       a      a  b   c   y '  0, x       a     ok 3) Đònh lí dấu tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c : bo  Nếu   g  x  dấu với a ce  Nếu   g  x  dấu với a (trừ x   b ) 2a fa  Nếu   g  x  có hai nghiệm x1 , x2 khoảng hai nghiệm g  x  khác w w w dấu với a , khoảng hai nghiệm g  x  dấu với a 4) So sánh nghiệm x1 , x2 tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c với số 0:     x1  x2    P  S       x1  x2   P  S   x1   x2  P  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực 5) Để hàm số y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến)  x1; x2  d ta thực bước sau:  Tính y a     01  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghòch biến:  Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  x1 x2  d H oc 1 2 uO nT hi D  Giải phương trình, so với điều kiện 1 để chọn nghiệm  Sử dụng đònh lí Viet đưa   thành phương trình theo m VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:  Chuyển bất đẳng thức dạng f ( x )  (hoặc , ,  ) Xét hàm số y  f ( x ) tập ie xác đònh đề đònh  Xét dấu f '  x  Suy hàm số đồng biến hay nghòch biến iL  Dựa vào đònh nghóa đồng biến, nghòch biến để kết luận Ta Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f '  x  ta đặt h  x   f '  x  quay lại s/ tiếp tục xét dấu h '  x  … xét dấu up 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng: f  a   f  b  /g ro Xét tính đơn điệu hàm số f ( x ) khoảng  a; b  om VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f  x   g  x  (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: c  Chọn nghiệm x0 phương trình ok  Xét hàm số y  f ( x )  C1  y = g(x)  C2  Ta cần chứng minh hàm số đồng bo biến hàm số nghòch biến Khi  C1   C2  giao điểm có hoành độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) w w w fa ce Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y  C kết luận www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) H oc 01 Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '  x0   Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc khoảng  a; x0   x0 ; b  Khi uO nT hi D a) Nếu f '( x )  với x   a; x0  f '( x )  với x   x0 ; b  Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục khoảng  a; b  chứa điểm x0 có đạo hàm hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x )  với x   a; x0  f '( x )  với x   x0 ; b  hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc ie Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f ( x0 )  f có đạo hàm iL cấp hai khác khơng điểm x0 Khi Ta a) Nếu f   x0   hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 up s/ b) Nếu f   x0   hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 Định lý 4: ro a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị /g  f '  x   3ax  bx  c  có hai nghiệm phân biệt om b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị c  f '  x   ax  bx  có ba nghiệm phân biệt ok VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò hàm số bo Qui tắc 1: Dùng đònh lí  Tìm f   x  fa ce  Tìm điểm xi  i  1, ,  mà đạo hàm đạo hàm  Xét dấu f   x  Nếu f   x  đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trò xi w w w Qui tắc 2: Dùng đònh lí  Tính f   x   Giải phương trình f   x   tìm nghiệm xi  i  1, 2,   Tính f   x  f   xi   i  1, 2,  Nếu f   xi   hàm số đạt cực đại xi www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực Nếu f   xi   hàm số đạt cực tiểu xi VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò 01 Nếu hàm số y  f ( x ) đạt cực trò điểm x0 f   x0   x0 đạo hàm Chú ý: H oc Để hàm số y  f ( x ) đạt cực trò điểm x0 f   x  đổi dấu x qua x0  Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d có cực trò  Phương trình y  có hai nghiệm uO nT hi D phân biệt Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y  x0  hai cách: + y  x0   ax03  bx02  cx0  d + y  x0   Ax0  B , Ax  B phần dư phép chia y cho y ax  bx  c P( x )   aa '   có cực trò  Phương trình y  có hai a' x  b' Q( x ) b' nghiệm phân biệt khác  a' Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y  x0  hai cách: Q  x0  P ' x0 Ta P  x0  y  x0   Q ' x0 s/ y  x0   iL ie  Hàm số y   Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ /g ro up nghiệm ngoại lai  Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, đònh lí Vi–et om VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trò 1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax  bx  cx  d c  Chia f  x  cho f   x  ta được: f  x   Q  x  f   x   Ax  B  y  fx  Ax  B ok 1  Khi đó, giả sử  x1; y1  ,  x2 ; y2  điểm cực trò thì:  y  fx  Ax  2 B bo  Các điểm  x1; y1  ,  x2 ; y2  nằm đường thẳng y  Ax  B w w w fa ce 2) Hàm số phân thức y  f ( x )  P( x ) ax  bx  c  Q( x ) dx  e  Giả sử  x0 ; y0  điểm cực trò y0  P '  x0  Q '  x0   Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò là: y  P 'x Q 'x  ax  b d www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 01 VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên H oc Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính f   x   Dựa vào bảng biến thiên để kết luận uO nT hi D Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn  a; b   Tính f   x   Xét dấu f   x  lập bảng biến thiên  Giải phương trình f   x   tìm nghiệm x1 , x2 , , xn  a; b  (nếu có)  Tính f  a  , f  b  , f  x1  , f  x2  , , f  xn   So sánh giá trò vừa tính kết luận M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) ie [ a; b ] iL m  f ( x )   f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) Ta [ a; b ] s/ VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức /g ro up Cách dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN hàm số  Chứng minh bất đẳng thức  Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Một số kiến thức thường dùng: w w w fa ce bo ok c om  b   a) f ( x )  ax  bx  c  a  x    2a  4a  b) Bất đẳng thức Cơ-si: ab Với hai số a, b khơng âm  a, b   ta ln có:  ab  a  b  ab Dấu "=" xảy a  b abc Với ba số a, b, c khơng âm  a, b, c   ta ln có:  abc  a  b  c  3 abc Dấu "=" xảy a  b  c c) Một số bất đẳng thức thường dùng 1) a2  b2  2ab  ab  a2  b2 2) (a  b)2  4ab   ab  (a  b)2 3) (a  b)2  2(a2  b2 )  a2  b2  ( a  b)2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trò Xét toán tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x ) miền D cho trước  f ( x )  y0  x  D (1) (2) H oc Tuỳ theo dạng hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m  y0  M (3) Vì y0 giá trò f  x  nên từ (3) ta suy được: f ( x )  m; max f ( x )  M D uO nT hi D D VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT Giả sử f  x  hàm số liên tục miền D có f ( x )  m; max f ( x )  M Khi đó: D D iL ie  f ( x)   1) Hệ phương trình  có nghiệm  m    M x  D  f ( x)   2) Hệ bất phương trình  có nghiệm  M   x  D 01 Gọi y0 giá trò tuỳ ý f  x  D , hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: s/ Ta  f (x)   3) Hệ bất phương trình  có nghiệm  m   x  D 4) Bất phương trình f  x    với x  m   w w w fa ce bo ok c om /g ro up 5) Bất phương trình f  x    với x  M   www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x )   ; lim f ( x )   ; x  x0  lim f ( x )   ; x  x0  x  x0  H oc Đònh nghóa:  Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thò hàm số y  f ( x ) lim f ( x )   x  x0   Đường thẳng y  y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thò hàm số y  f ( x ) x  uO nT hi D điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x )  y0 ; lim f ( x )  y0 x   Đường thẳng y  ax  b, a  gọi đường tiệm cận xiên đồ thò hàm số y  f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim x   f ( x )  (ax  b)  ; lim x   f ( x )  (ax  b)  P( x ) hàm số phân thức hữu tỷ Q( x ) iL a) Nếu y  f ( x )  ie Chú ý: Ta  Nếu Q  x   có nghiệm x0 đồ thò có tiệm cận đứng x  x0      Nếu bậc  P  x    bậc  Q  x    đồ thò có tiệm cận xiên up s/  Nếu bậc P  x   bậc Q  x  đồ thò có tiệm cận ngang w w w fa ce bo ok c om /g ro b) Để xác đònh hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau: f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x )  ax  x  x x  f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x )  ax  x  x x  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 ĐƯỜNG TIỆM CẬN www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số  Tìm tập xác đònh hàm số  Xét biến thiên hàm số: + Tính y + Tìm điểm đạo hàm y không xác đònh + Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò hàm số  Vẽ đồ thò hàm số: + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thò + Xác đònh số điểm đặc biệt đồ thò giao điểm đồ thò với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thò để vẽ xác + Nhận xét đồ thò: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thò 01 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài tốn tổng qt uO nT hi D H oc 01 (C ) : y  f ( x ) Trong mp  Oxy  Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số:  (C2 ) : y  g( x ) C1  C2  cắt C1  C2  tiếp xúc ie C1  C2  khơng có điểm chung Ta iL Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f  x   g  x           1  up hai đồ thị  C1   C2  s/ * Tùy theo số nghiệm phương trình 1 mà ta kết luận số điểm chung ro Lưu ý: Số nghiệm phương trình 1 số giao điểm hai đồ thị  C1   C2  om /g Ghi nhớ: Số nghiệm pt 1 số giao điểm hai đồ thị  C1   C2  c Chú ý : * 1 vơ nghiệm ok * 1 có n nghiệm   C1  C2  khơng có điểm điểm chung C1  C2  có n điểm chung ce bo Chú ý : * Nghiệm x0 phương trình 1 hồnh độ điểm chung  C1   C2  w w w fa Khi tung độ điểm chung y0  f  x0  y0  g  x0  10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực tìm nghiệm c, d  c  d  Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b d b a c d = d b H oc c  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx a c d (vì đoạn  a; c  ,  c; d  ,  d ; b  hàm số uO nT hi D f  x  không đổi dấu)  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò x  g  y  , x  h  y  ( g h hai hàm số liên tục đoạn  c; d  ) – Hai đường thẳng x  c, x  d d ie S   g( y )  h( y ) dy iL c Ta Thể tích vật thể s/  Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b up S  x  diện tích thiết diện vật thể bò cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox ro điểm có hoành độ x ( a  x  b) Giả sử S  x  liên tục đoạn  a; b  b /g V   S( x )dx a om Thể tích B là:  Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường:  f  x  , trục hoành, x  a, x  b  a  b  ok c C  : y ce bo sinh quay quanh trục Ox : b V    f ( x )dx a fa Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Oy : C  : w w w 01  a c f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx x  g  y  , trục tung, y  c, y  d là: d V    g2 ( y)dy c 30 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực 01 IV SỐ PHỨC H oc uO nT hi D SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TỐN Số phức biểu thức dạng a  bi , a, b số thực số i thỏa mãn iL ie i  1 Kí hiệu z  a  bi  i: đơn vị ảo,  a: phần thực,  b: phần ảo Chú ý: z  a  0i  a gọi số thực ( a     )  z   bi  bi gọi số ảo (hay số ảo)    0i vừa số thực vừa số ảo  y b M s/ Ta Biểu diễn hình học số phức M a; b biểu diễn cho số phức z  z  a  bi  O a x up Hai số phức Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b ' i với a, b, a ', b '   /g ro a  a ' z  z'   b  b ' Cộng trừ số phức Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b ' i với a, b, a ', b '   c om z  z '   a  a '   b  b ' i z  z '   a  a '   b  b ' i bo ok Nhân hai số phức Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b ' i với a, b, a ', b '   z.z '  aa ' bb '  ab ' a ' b i k (a  bi )  ka  kbi (k   ) y b M fa ce Mơđun số phức z  a  bi   Số thực z  a  b  OM gọi mơdul số phức z  a  bi   z  a  b  zz  OM với M  a; b  điểm biểu diễn số phức z w w w  z  0, z  C , z   z  O a x z.z '  z z ' ; z z   ; z' z' z  z'  z  z'  z  z'  Số phức liên hợp số phức z  a  bi z '  a ' b ' i  31 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực   zz z  z   z  z' z  z' z.z '  z.z '  z  z  2a   z1 z   z.z  a  b  z  z1  z  01 z ' z ' z z ' z ac  bd ad  bc     i z a  b a  b2 zz z uO nT hi D Căn bậc hai số phức Thương z’ chia cho z (z  0) : H oc Chia hai số phức Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b ' i với a, b, a ', b '    x2  y  a w  x  yi bậc hai số phức z  a  bi w2  z    xy  b Số có bậc hai số w  Số z  có hai bậc hai đối w – w Hai bậc hai số thực a  0 là  a ie Hai bậc hai số thực a  i a iL 10 Lũy thừa đơn vị ảo i Ta i  1, i1  i, i  1, i  i i  i ,…, quy nạp ta được: n    s/ i n  1, i n1  i, i n2  1, i n3  i, n    up Do đó: i n  1;1; i; i , om /g ro PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC Căn bậc hai số phức z  có bậc hai o z  a số thực dương có bậc  a o z  a số thực âm có bậc hai  a i ok c o ce bo Phương trình bậc ax + b = ( a, b  là số phức cho trước, a  0) Giải tương tự phương trình bậc với hệ số thực Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c số thực cho trước, a  0) .fa Tính   b  4ac   : Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực x1 ,2  o   : Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x1 ,2  o   : Phương trình có nghiệm kép x   w w w o b   2a b  i  2a b 2a 32 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc 01 V KHỐI ĐA DIỆN A A b c A b c G hc O R hb a C B C a B I r C M b c H B uO nT hi D A  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: I- MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG SỬ DỤNG: AC BC AC tan   AB C AB BC AB cot   AC cos   om sin   ro  /g B ok c  Đònh lí Pitago: BC  AB  AC  Diện tích: S  AB AC bo A up A s/ Tam giác vuông ABC vuông A :  Hệ thức lượng: Ta iL ie B a Trọng tâm G Trực tâm H tam giác giao điểm Tâm O đường tròn Tâm I đường tam giác ABC ba đường trung tuyến, ngoại tiếp tam giác tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường giao điểm ba đường giao điểm ba AG  AM cao đường phân giác trung trực B H M C  Nghòch đảo đường cao bình phương: 1   2 AH AB AC  Độ dài đường trung tuyến AM  BC  Công thức khác: AB AC  AH BC    BA  BH BC  CA  CH CB Các công thức đặc biệt: 3  Chiều cao tam giác đều: h  cạnh   Độ dài đường chéo hình vuông: l  cạnh  Hệ thức lượng tam giác:  Đònh lí Côsin: a2  b2  c  bccosA       b2  a2  c  accosB      w w w fa ce  Diện tích tam giác đều: S   cạnh  x  Đònh lí sin : c  a2  b2  abcosC a b c    2R sin A sin B sin C 33 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc uO nT hi D Gọi S diện tích ABC : 1 1 1  S  aha  bhb  chc  S  bc sin A  ac sin B  ab sin C 2 2 2 abc abc  S  S  p  S  p( p  a)( p  b)( p  c) (với p  ) 4R Diện tích hình đặc biệt khác:  Hình vuông: S  cạnh  cạnh  Hình thoi: S   (chéo dài  chéo ngắn)  Hình chữ nhật: S  dài  rộng  Hình thang: S  (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao 01 Các công thức tính diện tích tam giác ABC : Cho tam giác ABC có độ dài cạnh tương ứng a, b, c; chiều cao tương ứng với góc A, B, C , hb , hc ; r , R bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC;  Hình tròn: S   R  Hình bình hành: S  đáy  chiều cao iL ie Hai tam giác đồng dạng đònh lí Talet: A Ta B M N A C M up s/ N P  ABC  MNP chúng có hai góc tương ứng AB MN  Nếu ABC  MNP thì  AC MP C ro B c om /g AM AN MN   AB AC BC ok II- MỘT SỐ HÌNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƯỜNG SỬ DỤNG: Hình chóp có mp  SAB    ABC  S Hình chóp tam giác S S w w w fa ce bo Hình chóp tứ giác A B C B H C A G I A B D C 34 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực Lăng trụ thường Hình chóp S ABC có ba cạnh bên tạo với đáy góc 900 Hình chóp S ABC có cạnh bên vuông góc mặt đáy S A' C' S A   A C C H oc C A 01 B' I  B Hình hộp thường C' B' Hình hộp chữ nhật C' B' B' D' A' uO nT hi D Lăng trụ đứng A' B B D' A' B C A C B A D * Chú ý: Hình lập phương hình hộp có mặt hình vuông Ta iL * Chú ý: Lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác D C ie A B C' bo ok c om /g ro up s/ III- MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG: Một số phương pháp chứng minh hình học không gian:  Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Phương pháp: Trình bày Để chứng minh đường thẳng  vuông góc mp( P ) ta chứng minh  vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm Ta có:   a  ( P )  mp( P )   b  ( P )    P a A b P w fa ce  Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d ta chứng minh  vuông góc với mp( P ) chứa d Ta có:   P  d    d w w  Trình bày d P 35 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực  Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Phương pháp: Để chứng minh mp(Q )  mp( P ) ta chứng minh mp(Q ) chứa đường thẳng  vuông góc mp( P ) Trình bày    ( P) Ta có:   Q    P    (Q) Q H oc 01  uO nT hi D P Hai đònh lí quan hệ vuông góc:  Đònh lí 1: Nếu mp( P ) mp(Q ) vuông  Đònh lí 2: Cho mp( P ) vuông góc mp(Q ) góc với mp   giao tuyến (nếu có) chúng Một đường thẳng d nằm mp  P  vuông vuông góc mp   góc với giao tuyến   P   Q  d ie P d up s/ Ta iL P vuông góc mp(Q ) Q  Q ro  /g Góc: om Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc đường thẳng  mp   góc ok c  hình chiếu  ' mp   Góc hai mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng      góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng   ,    vuông góc với giao tuyến w w w fa ce bo Q d'  ' H  I d P   Trình bày  Ta có  ' hình chiếu  mp( )  Suy ra:   , ( )   ,  '     Trình bày ( P )  (Q)     Ta có  ( P )  d    (Q)  d '     Suy ra:   P  , (Q)  (d , d ')   36 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc Khoảng cách đường thẳng mặt Khoảng cách hai đường thẳng chéo phẳng song song: nhau: Khoảng cách đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  mp   song song với khoảng cách từ ' chéo độ dài đoạn vuông góc chung   ' với khoảng cách  điểm M  đến mp   mp   chứa  ' song song với  M  H H  Trình bày d  , ( )   d  M ,( )   MH N uO nT hi D  M A   '  Trình bày d  ,  '   d  ,( )   d  A, ( )   AH Đònh lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu: A s/ Ta iL ie d   ro Gọi d ' hình chiếu d   up H d' S C S'  B  S '  Scos w w w fa ce bo ok c om /g Ta có:   d '    d A' 01 Khoảng cách: 37 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực B' S C' D' A' B hình phần vỏ bọc bên Khối gồm phần vỏ bên phần ruột đặc bên C A ie A D E B M C up F N s/ D hai điểm M, N điểm khối chóp iL E' Ta F' uO nT hi D H oc I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP:  Khối lăng trụ (chóp) phần không gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần không gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt  Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt)ï 01 §1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Đỉnh w w w fa ce bo ok c om /g ro II- KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN: Khái niệm hình đa diện:  Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác  Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Cạnh Mặt Khái niệm khối đa diện:  Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện  Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện không thuộc hình đa diện gọi điểm 38 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực 01 khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện  Mỗi hình đa diện chia điểm lại không gian thành hai miền không giao miền miền hình đa diện, có miền chứa hoàn toàn đường thẳng H oc d Miền Điểm N Điểm uO nT hi D M Ta iL ie III- HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU: Phép dời hình không gian: Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác đònh gọi phép biến hình không gian Phép biến hình không gian gọi phép dời hình bảo toàn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình không gian:  a) Phép tònh tiến theo vectơ v : Là phép biến hình biến điểm M thành M ' cho   MM '  v s/ M' up v ro M /g b) Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  : Là phép biến hình biến điểm thuộc  P  thành om M nó, biến điểm M không thuộc  P  thành điểm M ' I c cho  P  mặt phẳng trung trực MM ' P ok Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  biến hình  H  M' bo thành  P  gọi mặt phẳng đối xứng H  ce c) Phép đối xứng qua tâm O : w w w fa Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' Nếu phép đối xứng tâm O biến hình  H  thành M' O M O gọi tâm đối xứng  H  39 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực d) Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ): Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  thành nó, biến điểm M không thuộc  thành điểm M ' cho  đường trung trực MM ' Nếu phép đối xứng trục  biến hình  H  thành M' 01 I M H oc  gọi trục đối xứng  H  * Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  Phép dời hình biến đa diện  H  thành đa diện  H '  , biến đỉnh, cạnh, mặt  H  uO nT hi D thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng  H '  Hai hình nhau: Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình  Ví dụ: Thực liên tiếp hai phép dời hình: phép tònh tiến theo vectơ v phép đối xứng tâm O hình  H  biến thành hình  H ''  Ta có: hình  H  hình  H ''  D' ie v A' B (H') (H'') up (H) A'' B'' D'' ro C C' s/ A C'' O Ta B' iL D /g IV- PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN: om Nếu khối đa diện  H  hợp hai khối đa diện  H1  ,  H2  cho  H1  c  H2  chung điểm ta nói chia khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H1   H2  , hay lắp ghép hai khối đa diện  H1   H2  với để khối đa diện  H  (H) ce bo ok (H1) (H2) w w w fa Ví dụ: Ta chia khối hộp chữ nhật thành hai khối lăng trục đứng 40 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc I- KHỐI ĐA DIỆN LỒI: Khối đa diện  H  gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm  H  thuộc  H  Khi đa diện xác đònh  H  gọi đa diện lồi uO nT hi D * Chú ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền nằm phía mặt phẳng chứa mặt  Ta iL ie II- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU: Đònh nghóa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau đây: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt s/ Khối đa diện gọi khối đa diện loại  p; q Số cạnh 12 12 30 30 Số mặt 12 20 w w w fa ce bo ok c om /g ro up Đònh lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó là: Loại Tên gọi Số đỉnh {3; 3} Tứ diện {4; 3} Lập phương {3; 4} Bát diện {5; 3} Mười hai mặt 20 {3; 5} Hai mươi mặt 12 01 §2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 41 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc I- KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN: Có thể đặt tương ứng cho khối đa diện  H  số dương V( H ) thỏa mãn tính chất sau: a) Nếu  H  khối lập phương có cạnh V( H )  b) Nếu hai khối đa diện  H1   H2  V( H1 )  V( H ) uO nT hi D c) Nếu khối đa diện  H  phân chia thành hai khối đa diện  H1   H2  V( H )  V( H )  V ( H ) Số dương V( H ) nói gọi thể tích khối đa diện  H  hay thể tích hình đa diện giới hạn khối đa diện  H  ie Khối lập phương có cạnh gọi khối lập phương đơn vò iL II- THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ VA KHỐI HỘP CHỮ NHẬTØ: A' B' Ta THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V  B.h với B : diện tích đáy h : chiều cao s/ up C' D' h A B A H ro SABC B' A' C' h C VABC.A'B'C' = SABC x h B SABCD VABCD.A'B'C'D' = SABCD x h C /g D c om Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c với a, b, c ba kích thước Thể tích khối lập phương: a c a b a a bo ok V a với a độ dài cạnh S V h A B w w w fa ce III- THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: Bh với B : diện tích đáy h : chiều cao 01 §3 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN SABCD D C VS.ABCD = SABCD x h 42 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực III- THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: h B  B ' BB '  với  B, B' : diện tích hai đáy  h : chiều cao  A'  B' C' A B 01 V H oc C Cho hình chóp S ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ', B ', C ' khác với S Ta có tỉ số thể tích: uO nT hi D VS.ABC  S C' SA ' SB ' SC ' SA SB SC VS.A'B'C' VS.ABC B' C A  SB ' SC ' SB SC B Ta iL * Đặc biệt: Nếu A '  A ta có: A' ie VS.A'B'C' V- CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỐI VỚI HÌNH CHÓP TAM GIÁC: Chú ý: s/ 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d  a 2,  up Đường chéo hình lập phương cạnh a d  a 3,  ro Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d  a2  b2  c , a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác w w w fa ce bo ok c om /g 2/ Đường cao tam giác cạnh a h  43 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 44 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n   f ( x , n)dx n ... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực tìm nghiệm c, d  c  d  Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b d b a c d = d b H oc c  f ( x )dx  ... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CƠNG THỨC TỐN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trò Xét toán tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x ) miền D cho trước