Đang tải... (xem toàn văn)
Möc löc Líi c£m ìn ii Líi nâi ¦u iii 1 Mët sè ki¸n thùc mð ¦u 1 1.1 I ¶an ìn thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Phùc ìn h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 ç thà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 V nh Cohen Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Mët lîp i ¶an ìn thùc Cohen Macaulay 12 2.1 Phùc Cohen Macaulay khæng chu tr¼nh ð èi chi·u 1 . . . 12 2.2 T½nh Cohen Macaulay cõa phùc ìn h¼nh khæng chu tr¼nh ð èi chi·u 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 K¸t luªn 35 T i li»u tham kh£o 36
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ———————o0o——————– TRẦN VĂN TRƯỞNG MỘT LỚP IĐÊAN ĐƠN THỨC COHEN-MACAULAY Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Công Minh HÀ NỘI - 2013 Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Một số kiến thức mở đầu 1.1 Iđêan đơn thức 1.2 Phức đơn hình 1.3 Đồ thị 1.4 Vành Cohen - Macaulay 10 Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay 12 2.1 Phức Cohen - Macaulay không chu trình đối chiều 12 2.2 Tính Cohen - Macaulay phức đơn hình không chu trình đối chiều 26 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 i Lời cảm ơn Hoàn thành luận văn này, nỗ lực thân, nhận bảo, giúp đỡ thầy cô, gia đình bạn bè Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Công Minh, người trực tiếp truyền thụ kiến thức tận tình hướng dẫn cho hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Toán - Tin, Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện, giúp đỡ, động viên trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Do thời gian trình độ nhiều hạn chế, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm Tác giả Trần Văn Trưởng ii Lời nói đầu Lí chọn đề tài Iđêan đơn thức đối tượng nghiên cứu rộng rãi Đại số giao hoán tổ hợp Các phép toán cộng, giao, thương iđêan đơn thức thực tính toán máy tính với tốc độ cao tiếp cận số công cụ lí thuyết hình học, tổ hợp Lớp vành Cohen-Macaulay lớp vành quan trọng Đại số giao hoán Tuy nhiên, việc xác định vành cho trước có CohenMacaulay hay không vấn đề khó Có nhiều cách kiểm tra mặt lí thuyết vành Cohen-Macaulay, luận văn sử dụng cách tiếp cận tổ hợp Mục tiêu luận văn trình bày cách chi tiết báo "CohenMacaulayness of generically complete intersection monomial ideals" L D Nam M Varbaro công bố gần Định hướng phương pháp nghiên cứu Dựa tài liệu tham khảo trên, tác giả đọc trình bày chi tiết, có hệ thống nội dung đề tài iii Đề tài nghiên cứu chủ yếu dựa vào phương pháp nghiên cứu lí luận với hình thức : + Phân tích tài liệu lí luận; + Đọc, hiểu chứng minh định lí tập + Xây dựng ví dụ minh họa Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương sau: Chương trình bày số khái niệm cần thiết như: Iđêan đơn thức, phức đơn hình, vành Cohen-Macaulay số tính chất quan trọng chúng Chương trình bày chứng minh chi tiết báo số ví dụ minh họa Hà Nội, tháng năm Tác giả Trần Văn Trưởng iv Chương Một số kiến thức mở đầu 1.1 Iđêan đơn thức Cho k trường S = k[x1 , x2 , , xn ] vành đa thức n biến trường k (viết ngắn gọn k[x]) m = (x1 , x2 , , xn ) iđêan phân bậc cực đại S Định nghĩa 1.1.1 Một đơn thức S tích xa = xa11 xa22 xann , vectơ a = (a1 , a2 , , an ) ∈ Nn Một iđêan I ⊂ [x] gọi iđêan đơn thức có tập sinh gồm đơn thức Một đơn thức xa S gọi không chứa mũ a ∈ {0; 1}n Một iđêan gọi iđêan đơn thức không chứa mũ sinh đơn thức không chứa mũ Ví dụ 1.1.2 Cho k = R, n = 3, S = R[x, y, z] Khi xy, xy z , xyz, xz đơn thức I = (x, y , xy ) iđêan đơn thức Bổ đề 1.1.3 (Dickson) Mọi iđêan đơn thức có tập sinh đơn thức tối tiểu tập sinh hữu hạn Chứng minh Giả sử I iđêan đơn thức Chương Một số kiến thức mở đầu S = K[x1 , x2 , , xn ] Khi tồn tập A ⊂ Nn cho (xa | a ∈ A) tập sinh tối tiểu I Ta có I = (xa | a ∈ A) Trước hết ta tập sinh đơn thức hữu hạn Thật vậy, giả sử A chứa vô hạn phần tử Lấy a1 ∈ A Do (xa | a ∈ A) tập sinh tối tiểu I nên tồn a2 ∈ A cho (xa1 ) = (xa1 , xa2 ) Cũng tính tối tiểu hệ sinh nên tồn a3 ∈ A cho (xa1 , xa2 ) = (xa1 , xa2 , xa3 ) Tiếp tục trình ta dãy vô hạn, tăng thực iđêan (xa1 ) (xa1 , xa2 ) (xa1 , xa2 , xa3 ) Theo định lý sở Hilbert S = K[x] vành Noether Do đó, dãy tăng thực iđêan S dừng Điều mẫu thuẫn với kết Do I có tập sinh đơn thức tối tiểu hữu hạn Bây ta tập sinh Thật vậy, giả sử tồn hai tập hữu hạn A, B ⊂ Nn cho (xa | a ∈ A) (xb | b ∈ B) hai hệ sinh đơn thức tối tiểu I Khi ta có I = (xa | a ∈ A) = (xb | b ∈ B) Với a ∈ A, xa ∈ (xb | b ∈ B) nên tồn b ∈ B cho xa xb Vì xb ∈ (xa | a ∈ A) nên tồn a ∈ A cho xb xa , suy xa xa Mà (xa | a ∈ A) hệ sinh đơn thức tối tiểu I nên a = a Do ta có xa xb xb xa Chương Một số kiến thức mở đầu Suy a = b Chứng minh tương tự ta có với b ∈ B tồn a ∈ A cho b = a Do A = B , tức hệ sinh đơn thức tối tiểu I Ta có điều phải chứng minh 1.2 Phức đơn hình Định nghĩa 1.2.1 Cho tập hữu hạn V = {v1 , v2 , , } Một phức đơn hình ∆ V họ tập V đóng với phép lấy tập con, nghĩa với F ∈ ∆ G ⊂ F G ∈ ∆, đồng thời {vi } ∈ V, ∀i ∈ {1, 2, , n} Mỗi phần tử F ∆ gọi mặt Cho F ∈ ∆, đặt dim F := |F | − dim F gọi số chiều F Nếu F có số chiều i ta gọi F i − mặt Số chiều ∆, ký hiệu dim ∆ xác định sau: max{dim F | F ∈ ∆} ∆ = ∅ dim ∆ = −∞ ∆ = ∅ Chú ý ∆ = ∅ ∅ (−1) − mặt ∆ Mặt có số chiều 0, tương ứng gọi đỉnh cạnh ∆ Mặt lớn (theo nghĩa tập hợp) gọi mặt cực đại ∆ Ký hiệu F(∆) tập hợp tất mặt cực đại ∆ Một phức đơn hình hoàn toàn xác định tập mặt cực đại nó, nghĩa F(∆) = {F1 , F2 , , Fm } ta viết ∆ = F1 , F2 , , Fm Phức đơn hình ∆ gọi túy mặt cực đại có số chiều Chương Một số kiến thức mở đầu Phức đơn hình ∆ gọi liên thông với F, G ∈ F(∆) tồn dãy mặt cực đại F = F0 , F1 , , Fq−1 , Fq = G thỏa mãn Fi ∩ Fi+1 = ∅ Phức đơn hình ∆ gọi liên thông mạnh với cặp F, G ∈ F(∆) ta kết nối dãy liên thông mạnh, nghĩa là: Có dãy mặt cực đại F = F0 , F1 , , Fk = G thỏa mãn |Fi ∩ Fi+1 | = d − ∀i = 0, , k − 1, dim ∆ = d − Nhận xét 1.2.2 Nếu ∆ liên thông mạnh ∆ liên thông túy Ví dụ 1.2.3 Xét phức đơn hình ∆ bao gồm tất tập tập hợp {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 4}, {6} mô tả hình vẽ đây: Ta thấy F(∆) = {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 4}, {6}}, tức Hình 1.1: {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 4}, {6}} mặt cực đại ∆ với số chiều tương ứng 2, 2, 1, Như ∆ không túy không liên thông mạnh, dim ∆ = Ví dụ 1.2.4 Xét phức đơn hình ∆ cho hình vẽ đây: Ta nhận thấy F(∆) = {F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 , F7 , F8 , F9 }, đó: F1 = {1, 2, 3}, F2 = Chương Một số kiến thức mở đầu F1 F2 F3 F5 F4 F6 F7 F9 F8 10 Hình 1.2: {2, 3, 4}, F3 = {2, 4, 5}, F4 = {3, 4, 6},F5 = {4, 5, 8}, F6 = {4, 6, 9}, F7 = {5, 7, 8}, F8 = {4, 8, 9}, F9 = {6, 9, 10} Dễ thấy dim Fi = dim Fj = 2, ∀i, j = 1, , 9, ∆ phức đơn hình túy dim ∆ = Hơn nữa, ∆ liên thông mạnh Định nghĩa 1.2.5 Cho S = k[x1 , x2 , , xn ] vành đa thức trường k ∆ phức đơn hình V = {v1 , v2 , , } Iđêan Stanley Reisner phức đơn hình ∆ iđêan xác định (xi : vi ∈ / F ), I∆ = F ∈F(∆) F(∆) tập mặt cực đại ∆ Định lí 1.2.6 Tương ứng ∆ I∆ song ánh từ tập phức đơn hình tập đỉnh V = {v1 , , } tới tập iđêan đơn thức không chứa mũ S Hơn nữa: dim k[∆] = dim ∆ + Chứng minh Dễ thấy tương ứng ∆ I∆ đơn ánh, ta Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay i < j cho |Fj \Fi | = 1, ta giả sử Fj \Fi = {v} Khi với k < j tồn dãy liên thông mạnh Fk = Fk1 , Fk2 , , Fku , Fi , Fj , theo chứng minh v ∈ Fj \Fkt , ∀t = 1, , u Điều cho ta v ∈ Fj \Fk , ∀k < j Như ta chứng minh dãy F1 , , Fm có tính chất: Với j = 1, , m ta có Fj \Fi = {vj } với i < j với i < j có vj ∈ Fj \Fi Hay ta dãy F1 , , Fm thỏa mãn tính chất: Với j = 1, , m, ∀i < j tồn vj ∈ Fj \Fi , tồn k < j cho Fj \Fk = {vj } Điều có nghĩa dãy F1 , , Fm shelling ∆, ∆ shellable Bổ đề 2.1.10 Giả sử F1 , , Fm shelling phức Cohen - Macaulay không chu trình đối chiều Khi Fm đỉnh tự G(∆) Chứng minh Giả sử phản chứng Fm không đỉnh tự G(∆), tồn số phân biệt h, k < m thỏa mãn |Fh ∩Fm | = |Fk ∩Fm | = d−1, dim ∆ = d−1 Tuy nhiên, F1 , , Fm−1 shellable, cụ thể liên thông mạnh Vì tồn dãy liên thông mạnh Fh , Ft1 , , Fts , Fk , với ti < m Do đó, ta có chu trình Fh , Ft1 , , Fts , Fk , Fm , Fh G(∆), điều mâu thuẫn G(∆) cây(do ∆ phức Cohen Macaulay) Định nghĩa 2.1.11 Giả sử ∆ phức đơn hình túy (d − 1) - chiều Với i = 1, , n ta định nghĩa đồ thị Gi (∆) xác định sau: 22 Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay i) Tập đỉnh Gi (∆) là: V (Gi (∆)) = {Vi }∪{F ∈ F(∆) : vi ∈ / F }, Vi đỉnh ii) Tập cạnh Gi (∆) là: E(Gi (∆)) = {{F, G} : |F ∩G| = d−1}∪{{Vi , F } : ∃G ∈ F(∆), vi ∈ G, |G∩F | = d−1} Đồ thị Gi (∆) gọi vi − đồ thị ∆ Nhận xét 2.1.12 Nếu ∆ phức Cohen - Macaulay G(∆) Gi (∆) liên thông với i = 1, , n Bổ đề 2.1.13 Giả sử ∆ phức Cohen - Macaulay không chu trình đối chiều Khi Gi (∆) với i = 1, , n Chứng minh Vì G phức Cohen - Macaulay không chu trình đối chiều nên G(∆) Với nhận xét Gi (∆) đồ thị liên thông Để chứng minh Gi (∆) ta chứng minh phản chứng Thật vậy, Gi (∆) không tồn chu trình hai đỉnh Gi (∆) Kết hợp với G(∆) nên hai đỉnh phải Vi Fk Khi ta dãy {{Vi , F1 }; {F1 , F2 }, , {Fk−1 , Fk }, {Fk , Vi }} dãy cạnh Gi (∆) (với Fi ∈ F(∆), ∀i = 1, , k, |Fi ∩ Fi+1 | = d − 1) Do {Vi , F1 } cạnh nên tồn F0 ∈ F(∆) cho vi ∈ F0 , |F0 ∩ F1 | = d − Do {Fk , Vi } cạnh nên tồn Fk+1 ∈ F(∆) cho vi ∈ Fk+1 , |Fk+1 ∩ Fk | = d − Từ ta dãy liên thông mạnh ∆ F0 , F1 , , Fk+1 Theo bổ đề 2.1.6 ta (Fk+1 ∩ F0 ) ⊂ (F1 ∩ F0 ), từ suy vi ∈ F1 ∩ F0 nên vi ∈ F1 , điều vô lý F1 ∈ V (Gi (∆)) 23 Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay Vậy Gi (∆) Ví dụ 2.1.14 a) Xét phức đơn hình ∆ ví dụ 2.1.2a: Ta nhận đồ thị G(∆), Gi (∆) hình vẽ F1 F3 F1 F2 F3 F2 F4 F4 F6 F5 F6 F5 Đồ thị G( Phức đơn hình V3 V2 V1 F2 F2 F4 F3 F4 F6 F6 Đồ thị G ( F4 F1 F5 F5 Đồ thị G ( ) F5 Đồ thị G ( ) F5 F1 F6 Đồ thị G ( ) F4 F4 F2 F6 F1 Đồ thị G ( ) F2 F5 F3 F3 ) V8 V7 V6 F1 ) V5 F3 Đồ thị G4( F6 V4 F2 ) Đồ thị G ( F3 F1 ) Đồ thị G ( ) Hình 2.4: b) Xét phức đơn hình ví dụ 1.2.4: Ta nhận đồ thị G(∆), Gi (∆) hình vẽ Theo bổ đề rõ ràng phức ∆ 24 Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay trường hợp không phức Cohen - Macaulay không chu trình đối chiều F1 F1 F2 F4 F5 F6 F5 F6 F8 F7 F4 F3 F2 F3 F9 F9 F8 F7 10 Đồ thị G( Phức đơn hình ) V3 V2 V1 F2 F5 F6 F4 F3 F4 F3 F9 F7 F5 F6 F6 F5 F8 F8 F8 F7 Đồ thị G1( F7 F9 F9 Đồ thị G2( ) Đồ thị G3( ) V6 V5 V4 F2 F2 F8 F1 F8 F1 F1 F9 ) F6 F7 F5 F3 F4 F7 F9 Đồ thị G4( ) Đồ thị G5( V7 Đồ thị G6( ) V8 F5 V9 F6 F3 ) F3 F4 F5 F8 F9 F2 F1 F6 Đồ thị G7( F3 F2 F1 F9 F4 F7 F2 F4 Đồ thị G8( ) Hình 2.5: 25 ) F1 Đồ thị G9( ) Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay 2.2 Tính Cohen - Macaulay phức đơn hình không chu trình đối chiều Trong toàn mục ta giả thiết: • ∆ phức Cohen - Macaulay (d − 1) - chiều không chu trình đối chiều • Tập mặt cực đại ∆ F(∆) = {F1 , , Fm } m • Iđêan Stanley - Reisner ∆ : I∆ = (xi : vi ∈ / Fj ) j=1 αi (j) : j ∈ {1, , m} vi ∈ / Fj Với i = 1, , n, đặt αi = α (j) véctơ nguyên dương Tập Qj = (xi i : vj ∈ / Fj ) với j = 1, , m ta định nghĩa iđêan: m I∆(α) = Qj j=1 Với cách đặt hiển nhiên Qj thành phần BFj - nguyên sơ I∆(α) I∆(α) = I∆ Với véctơ a = (a1 , , an ) ∈ Nn , ta kí hiệu ∆(α)a phức ∆ xác định tập mặt cực đại F(∆(α)a ) = {Fj ∈ F(∆)| < αi (j) với i thỏa mãn vi ∈ / Fj } Ta có định lí sau( xem [4], định lí 1.6) Định lí 2.2.1 I∆(α) Cohen - Macaulay ∆(α)a phức Cohen - Macaulay với a ∈ Nn Định nghĩa 2.2.2 Giả sử G cây, với đỉnh v ∈ G, ta xét đồ thị có hướng (G, v) sau: 26 Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay i) Tập đỉnh là: V ((G, v)) = V (G) ii) Cặp (u2 , u1 ) ∈ E((G, v)) có đường v, uk , , u2 , u1 G Ta gọi cặp (u2 , u1 ) cạnh định hướng (G, v) Ví dụ 2.2.3 Với phức đơn hình xét ví dụ 2.1.2a ta đồ thị G(∆), đồ thị định hướng (G, Fi ) hình vẽ: F3 F2 F1 F2 F2 F4 F4 F3 F5 F5 F4 F1 F6 F6 F5 F5 F4 F1 F6 F3 F6 Đồ thị (G, F3) Đồ thị (G, F2) Đồ thị (G, F1) F5 Đồ thị (G, F5) Đồ thị (G, F4) F8 F7 F6 F4 F4 F2 F2 F5 F6 F1 F1 F3 Đồ thị (G, F6) F2 F3 F1 Đồ thị (G, F7) F3 Đồ thị (G, F8) Hình 2.6: Từ bổ đề 2.1.13 ta Gi (∆) với i = 1, , n Ta đến định nghĩa sau: 27 Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay Định nghĩa 2.2.4 Một véctơ αi = (αi (j) : vi ∈ / Fj ), j = 1, , m gọi thỏa mãn Gi (∆) − điều kiện αi (h) ≥ αi (k) với cạnh định hướng (Fh , Fk ) (Gi (∆), Vi ) Hơn nữa, α = (αi (j)) gọi thỏa mãn ∆ − điều kiện αi thỏa mãn Gi (∆) − điều kiện với i = 1, , n Ví dụ 2.2.5 Với phức đơn hình xét ví dụ 2.1.2a Do Gi (∆) với i = 1, , n nên ta đồ thị định hướng (Gi (∆), Vi ) sau: V3 V2 V1 F2 F2 F4 F4 F3 F5 F5 F4 F1 F6 F6 F5 Đồ thị (G ( ), V1) Đồ thị (G ( F1 F6 Đồ thị (G4( ), V3) V5 V4 F3 F6 Đồ thị (G3( ), V2) F5 Đồ thị (G ( ), V4) ), V5) V8 V7 V6 F4 F4 F2 F2 F5 F6 F1 F1 F3 Đồ thị (G6( F2 F3 F1 ), V6) Đồ thị (G7( ), V7) Hình 2.7: Theo ví dụ trên, với đồ thị (G1 (∆), V1 ): 28 Đồ thị (G8( F3 ), V8) Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay Nếu ta xét vectơ α1 = (9; 7; 8; 2; 5) ta α1 thỏa mãn G1 (∆) điều kiện Nếu ta xét α1 = (4; 5; 3; 2; 1), α1 không thỏa mãn G1 (∆) - điều kiện, α1 (2) < α1 (3) (F2 , F3 ) cạnh định hướng (G1 (∆), V1 ) Bổ đề 2.2.6 Giả sử F1 , , Fm shelling ∆ Nếu α thỏa mãn ∆ − điều kiện tồn i ∈ {1, , n} số nguyên không âm s cho: m−1 Qj + Qm = (xsi ) + Qm j=1 Chứng minh Bởi hệ 2.1.10 ta Fm đỉnh tự G(∆) Ta giả sử Fm = {v1 , , vd } tồn mặt cực đại Fh = {v2 , , vd+1 } thỏa mãn Fj ∩ Fm Fh ∩ Fm , ∀j = h, m, hay Fj ∩ Fm {v2 , , vd } , ∀j = h, m Với i > d + cặp (Fh , Fm ) cạnh định hướng (Gi (∆), Vi ), điều có Fh , Fm ∈ (Gi (∆), Vi ), (Fh , Fm ) ∈ E(Gi (∆), Vi ), Fm đỉnh tự (Gi (∆), Vi ) Gi (∆) Do α thỏa mãn ∆ − điều kiện nên αi thỏa mãn Gi (∆) − điều kiện, ∀i = 1, , n, αi Gi (∆) − điều kiện, ∀i > d + Ta suy α (h) αi (h) ≥ αi (m), ∀i > d + 1, xj j α (h) Ta đạt được: Qh + Qm = (x1 ∈ Qm , ∀j ≥ d + ) + Qm Hơn nữa, α1 thỏa mãn G1 (∆) − điều kiện nên α1 (h) ≥ α1 (j), α (h) ∀j = h, m Do (x1 ) ⊂ Qj , ∀j = h, m Vì Qj + Qm ⊃ Qh + Qm , ∀j = h, m 29 Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay Ta đạt m−1 m−1 (Qj +Qm ) ⊇ (Qh ∩Qm ) = Qj +Qm = j=1 m−1 α (h) (x1 )+Qm ⊇ j=1 Qj +Qm j=1 Bổ đề chứng minh Định lí 2.2.7 Giả sử ∆ phức Cohen - Macaulay không chu trình đối chiều Khi I∆(α) Cohen - Macaulay α thỏa mãn ∆ − điều kiện Chứng minh ⇒) Giả sử phản chứng: Tồn i để αi không thỏa mãn Gi (∆) − điều kiện Khi tồn cạnh định hướng (Fh , Fk ) Gi (∆) cho αi (h) < αi (k) Chọn a = (a1 , , an ) cho at = αi (h) t = i 0 t = i Ta thấy vi ∈ Fj với Fj ∈ F(∆) Fj ∈ F(∆(α)a ) Hơn nữa, Fk ∈ F(∆(α)a ) Fh ∈ / F(∆(α)a ) Vì vậy, ∆(α)a không liên thông mạnh Do đó, ∆(α)a không phức Cohen - Macaulay Điều mâu thuẫn với định lý 2.2.1 Vậy α thỏa mãn ∆ − điều kiện ⇐) Ta chọn shelling ∆ F1 , , Fm Kí hiệu ∆j phức đơn hình xác định tập mặt cực đại F(∆j ) = {F1 , , Fj } I∆j (α) j Qj Ta chứng minh đinh lí cách quy nạp theo m iđêan t=1 Với m = định lí hiển nhiên 30 Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay Ta giả sử khẳng định với j = 1, , m − Theo bổ đề 2.1.10, ta có Fm đỉnh tự G(∆) Vì thế, Fm đỉnh tự Gi (∆), ∀i = 1, , n, Fm đỉnh G(∆) Nếu αi thỏa mãn Gi (∆) - điều kiện, ∀i = 1, , n (αi )|∆m−1 thỏa mãn Gi (∆m−1 ) - điều kiện, ∀i = 1, , n Theo giả thiết quy nạp, ta có S/I∆k (α) vành Cohen - Macaulay d - chiều với k = 1, , m − Ta dãy khớp: f g −→ S/I∆m (α) −→ S/I∆m−1 (α) ⊕ S/Qm −→ S/(I∆m−1 (α) + Qm ) −→ Theo bổ đề 2.2.6 ta có S/(I∆m−1 (α) +Qm ) vành Cohen - Macaulay (d−1) - chiều Vì S/I∆m−1 (α) S/Qm vành Cohen - Macaulay d - chiều, ta S/I∆m (α) vành Cohen - Macaulay d - chiều Ví dụ 2.2.8 Với phức ∆ xét ví dụ 2.1.14a ta được: I∆ = (x3 , x5 , x6 , x7 , x8 ) ∩ (x1 , x3 , x6 , x7 , x8 ) ∩ (x1 , x4 , x6 , x7 , x8 ) ∩ (x1 , x2 , x3 , x6 , x8 ) ∩ (x1 , x2 , x3 , x5 , x8 ) ∩ (x1 , x2 , x3 , x4 , x6 ) Iđêan I∆(α) là: α (1) α (1) α (1) α (1) α (1) α (2) α (2) α (2) α (2) α (2) α (3) α (3) α (3) α (3) α (3) α (4) α (4) α (4) α (4) α (4) α (5) α (5) α (5) α (5) α (5) α (6) α (6) α (6) α (6) α (6) I∆(α) = (x3 , x5 , x6 , x7 , x8 ) ∩ (x1 , x3 , x6 , x7 , x8 ) ∩ (x1 , x4 , x6 , x7 , x8 ) ∩ (x1 , x2 , x3 , x6 , x8 ) ∩ (x1 , x2 , x3 , x5 , x8 ) ∩ (x1 , x2 , x3 , x4 , x6 ) Định lý 2.2.7 cho thấy I∆(α) Cohen - Macaulay α4 (3), α4 (6), α5 (1), α5 (5) số nguyên dương tùy ý αi (j) khác số nguyên dương thỏa mãn ∆i - điều kiện , ∀i hình đây, nghĩa là: 31 Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay α1 (2) ≥ α1 (4); α1 (3) α2 (4) ≥ α2 (5) α1 (4) ≥ α1 (5); α1 (6) α3 (2) ≥ α3 (1); α3 (4) α2 (4) ≥ α2 (6) α6 (4) ≥ α6 (2); α6 (6) α3 (4) ≥ α3 (5); α3 (6) α7 (2) ≥ α7 (1) α6 (2) ≥ α6 (1); α6 (3) α8 (4) ≥ α8 (2); α8 (5) α7 (2) ≥ α7 (3) α8 (2) ≥ α8 (1); α8 (3) V2 V1 α3(2) α1(2) α2(4) α1(4) α3(4) α1(3) α1(5) α2(5) α2(6) α3(1) α3(5) α1(6) V8 V7 V6 α8(4) α7(2) α6(4) α6(2) α6(6) α6(1) α3(6) α8(2) α8(5) α7(3) α7(1) α6(3) α8(1) Hình 2.8: 32 α8(3) Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay Ta định nghĩa I∆(α+1) cho véctơ α ∈ (Nn )m theo cách rõ ràng Cho véctơ α ∈ (Nn )m , ta nói α thỏa mãn ∆ - điều kiện tập số ((αi )j + 1) thỏa mãn ∆ - điều kiện, i = 1, , n vi ∈ / Fj Hệ 2.2.9 Giả sử ∆ phức Cohen - Macaulay không chu trình đối chiều α, β véctơ (Nn )m cho I∆(α+1) , I∆(β+1) Cohen - Macaulay Khi I∆(α+β+1) Cohen - Macaulay Chứng minh Vì I∆(α+1) I∆(β+1) Cohen - Macaulay, α β thỏa mãn ∆ - điều kiện Vì thế, α + β thỏa mãn ∆ - điều kiện, đó, I∆(α+β+1) Cohen - Macaulay Nhận xét 2.2.10 Kết hệ 2.2.9 không trường hợp phức tổng quát Chẳng hạn, xét phức sau: ∆ = {1, 2} , {2, 3} , {3, 4} , {4, 1} Hệ 2.2.11 Giả sử ∆ phức Cohen - Macaulay không chu trình đối chiều αi (j) = ai i ∈ H, j ∈ K, 1 trường hợp khác , H ⊂ [n], K ⊂ [m] số nguyên lớn với i ∈ H Khi I∆(α) phức Cohen - Macaulay Gi (∆)|{Vi }∪{Fj | j∈K} với i ∈ H Chứng minh Nếu Gi (∆)| {Vi }∪{Fj :j∈K} với i ∈ H , ta có αi thỏa mãn Gi (∆) - điều kiện, với i = 1, , n Điều có nghĩa I∆(α) Cohen - Macaulay Ngược lại, tồn i = 1, , n để Gi (∆)| {Vi }∪{Fj :j∈K} 33 Chương Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay không cây, αi không thỏa mãn Gi (∆) - điều kiện, α không thỏa mãn ∆ - điều kiện Vì theo định lý 2.2.7 I∆(α) không Cohen - Macaulay, điều mẫu thuẫn 34 Kết luận Luận văn trình bày chi tiết báo "Cohen-Macaulayness of generically complete intersection monomial ideals" L D Nam M Varbaro công bố gần đây, cụ thể trình bày hai chương: Chương 1: Trình bày kiến thức sở iđêan đơn thức, phức đơn hình, đồ thị, vành Cohen - Macaulay số tính chất quan trọng chúng Chương 2: Trình bày lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay, cụ thể phức đơn hình Cohen - Macaulay không chu trình đối chiều tính chất quan trọng Kết quan trọng chương là: Điều kiện cần để phức đơn hình Cohen - Macaulay (hệ 2.1.9, bổ đề 2.1.13), điều kiện cần đủ iđêan I∆(α) Cohen - Macaulay(định lí 2.2.1), đặc biệt quan trọng định lí 2.2.7 tiêu chuẩn đơn giản để I∆(α) Cohen - Macaulay 35 Tài liệu tham khảo [1] Dương Quốc Việt, Lí thuyết chiều, NXB Đại học Sư phạm, (2008) [2] W.Bruns, J.Herzog, (1998), Cohen - Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, No 39, Revised edition, Cambridge, UK [3] J Herzog - T Hibi, Monomial ideals, Springer, (2010) [4] N C Minh and N V Trung, (2011) Cohen-Macaulayness of monomial ideals and symbolic powers of Stanley - Reisner ideals, 226(2): 12851306 [5] L D Nam and M Varbaro, Cohen-Macaulayness of generically complete intersection monomial ideals, Communications in Algebra (2012), 40: 931–945 36 ... ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm Tác giả Trần Văn Trưởng ii Lời nói đầu Lí chọn đề tài Iđêan đơn thức đối tượng nghiên cứu rộng rãi Đại số... trọng chúng Chương trình bày chứng minh chi tiết báo số ví dụ minh họa Hà Nội, tháng năm Tác giả Trần Văn Trưởng iv Chương Một số kiến thức mở đầu 1.1 Iđêan đơn thức Cho k trường S = k[x1 , x2