Lê Thanh Lam momom15 Một số toán hay thú vị I Phơng pháp ẩn phụ Ví dụ : Giải phơng trình sau: 1) x 3x + = x + x + 2) x + x = x Hớng dẫn: 1) Ta có : x + x + = ( x + 1) x = ( x + x + 1)( x x + 1) > , với x x x + = 2( x x + 1) ( x + x + 1) Đặt y = x2 x +1 , y , ta đợc : x + x +1 (t / m) 3 2 2y = y y + 3x = => x = 3 y= (loai ) 2) K: x Ta cú: (1) 2( x + x + 1) + 3( x 1) = ( x 1)( x + x + 1) (2) y= Vỡ x = khụng phi l nghim ca (2) nờn chia hai v ca (2) cho x ta c: x2 + x + x2 + x + +3= x x (3) x2 + x + 2 t: t = x + (1 t ) x + + t = cú: x = t 6t Nờn cú iu kin x ca t l: t t + (4) x t = Khi ú (3) tr thnh: 2t 7t + = Kt hp vi iu kin ca t ta cú: t = t= Vi t = ta cú: x x + 10 = x = tho iu kin ca x Vy phng trỡnh cú nghim: x = Chỳ ý : cỏc ng thc sau cú th sỏng to cỏc bi toỏn dng ny: x + x + = ( x + x + 1) x = ( x x + 1)( x + x + 1) Lê Thanh Lam momom15 x + = ( x x + 1)( x + x + 1) x + = (2 x x + 1)(2 x + x + 1) Vớ d : Gii phng trỡnh 17 x x = Hng dn : t : 17 x = a, a v x = b a b = b = a b = a 4 3 2a +b = 33 2a + (a 1) = 33 (a 2)(2a + 5a + a + 17) = => a = Pt Vy nghim ca phng trỡnh l x = v x = -1 Vớ d : Gii phng trỡnh : x + 13 x + x + = Hng dn : t : y + = 3x + , chn , cho h chỳng ta cú th gii c , (i xng hoc gn i xng ) 2 ( y + ) = 3x + y + y 3x + = (1) (*) Ta cú h : (2) x 13 x + = y x 13 x + y + + = gii h trờn thỡ ta ly (1) nhõn vi k cng vi (2): v mong mun ca chỳng ta l cú nghim x = y 2 = = Nờn ta phi cú : , ta chn c = 2; = 13 5+ => Li gii sau : iu kin: x , 3 t x + = (2 y 3), ( y ) (2 x 3) = y + x + ( x y )(2 x + y 5) = Ta cú h phng trỡnh sau: (2 y 3) = x + 15 97 Vi x = y x = 11 + 73 Vi x + y = x = 15 97 11 + 73 ; Vy nghim ca phng trỡnh l: 8 Lê Thanh Lam momom15 * Bi tng ng : 1) 81x = x3 x + 2) x + = x3 x x ( t : 81x = y => h i xng) 3) x + x = x + , x > ( t : 28 4x + = y+ ) 28 Vớ d : Gii phng trỡnh : x = x Hng dn : K : x t x = x = y, y x = y + x = x 2 ( x + y )( x + y xy x + y ) = (VN ) => x = y ( y x)(1 x) + y > Vy phng trỡnh vụ nghim Vớ d : Gii phng trỡnh : ( x + 1) x x + = x + Hng dn : t : t = x x + 3, t 2 Khi ú phng trỡnh tr thnh : ( x + 1) t = x + x + ( x + 1) t = Bõy gi ta thờm bt , c phng trỡnh bc theo t cú chn : t = x x + ( x + 1) t + ( x 1) = t ( x + 1) t + ( x 1) = t = x Vớ d : Gii cỏc phng trỡnh 1) x x = x + ( Hd : t 2) x + x = x+5 = y2) x+3 , x (Hd : t x+3 = y +1) Vớ d : Gii cỏc phng trỡnh: 1) x + x x + x x + = 2) x = x x + x x + x x 3) x + x x = x + x + + x x + Lê Thanh Lam momom15 Hng dn : 1) t a = x + 1; b = + x x ; c = x x + (a + b + c ) = a + b + c = (a + b)(b + c)(c + a) = 3 a + b + c = a + b + c = a = b x = x=9 b = c x = c = a x=0 x =1 Vy phng trỡnh cú nghim x = {-1 ; ; 1; 9} u = x ( u + v ) ( u + w ) = 2 u = uv + vw + wu 2) v = x , ta cú : v = uv + vw + wu ( u + v ) ( v + w ) = , w2 = uv + vw + wu ( v + w ) ( u + w ) = w = x 30 239 gii h ta c: u = x= 60 120 a = b = 3) t : c = d = 2x2 a + b = c + d x = , ú ta cú : 2 2 a b = c d 2x + 2x + x 3x x2 x + * Bi tng ng : 3x + + x + x x = Vớ d : Gii phng trỡnh 1) x3 + = x2 + 2) x x + = 2( x 21x 20) Hng dn : 1) pt ( x + 1)( x x + 1) = 2( x x + 1) + 2( x + 1) t x + = a, a v x x + = b, b , ta c Lê Thanh Lam momom15 a =2 5a a b 2 5ab = 2a + 2b = + a b b = b x a = x +1 = x2 x +1 ( Vụ nghim ) b x x + = x a = x +1 = x x +1 5+ 37 b (t / m) x = Vy phng trỡnh cú nghim x = 2) k : 5+ 37 x x5 t x + = a, a v x x 10 = b; b Tng t ( a b)(a 3b) = II Phng phỏp ỏnh giỏ A f ( x ) ụi mt s phng trỡnh c to t ý tng : ú : B f ( x) A = f ( x ) A=B B = f ( x ) Nu ta oỏn trc c nghim thỡ vic dựng bt ng thc d dng hn, nhng cú nhiu bi nghim l vụ t vic oỏn nghim khụng c, ta dựng bt ng thc ỏnh giỏ c Mt s bi toỏn Vớ d : Gii phng trỡnh x x + 19 + x + x + 13 + 13 x + 17 x + = 3 ( x + 2) Hng dn : k : x 2 Pt ( x ) + 75 + (2 x 1) + 3( x + 2) + (2 x 1) + ( x + 3) 4 75 + ( x + 2) + (4 x + 3) + ( x + 2) + ( x + 3) 3 ( x + 2) 2 Lê Thanh Lam momom15 Du " = " xy x = Vy phng trỡnh cú nghim x = 2 + x = x+9 x +1 Vớ d : Gii phng trỡnh (OLYMPIC 30/4 -2007): Hng dn : k x 2 x = x+9 + x +1 + x + x + ữ 1 x= x +1 2 + xữ 2 Ta cú : x +1 Du bng 2 = x +1 ( ) Vy phng trỡnh cú nghim x = Vớ d : Gii phng trỡnh : 13 x x + x + x = 16 Hng dn : k: x ( Bin i pt ta cú : x 13 x + + x ) = 256 p dng bt ng thc Bunhiacopxki: ( 13 13 x + 3 + x ) ( 13 + 27 ) ( 13 13 x + + x ) = 40 ( 16 10 x ) p dng bt ng thc Cụsi: 10 x ( 16 10 x 2 ) 16 ữ = 64 2 x= + x2 x = Du bng 10 x = 16 10 x x = Vy phng trỡnh cú nghim x = + Vớ d : Gii phng trỡnh: x 3` 3x x + 40 4 x + = Lê Thanh Lam momom15 Ta chng minh : 4 x + x + 13 v x 3x x + 40 ( x 3) ( x + 3) x + 13 III Phng phỏp hm s S dng : Nu y = f ( t ) l hm n iu thỡ f ( x ) = f ( t ) x = t Mt s bi toỏn ) ( ) ( 2 Vớ d : Gii phng trỡnh : ( x + 1) + x + x + + x + x + = Hng dn : ( ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( x ) + ) ( 3x ) ) + f ( x + 1) = f ( x ) Xột hm s f ( t ) = t + t + , l hm ng bin trờn R, ta cú x = Vy phng trỡnh cú nghim x = 5 Vớ d : Gii phng trỡnh x x x + = x + x Hng dn : 3 x x x + = y 3 y + y = x + + ( x + 1) ( ) t y = x + x , ta cú : x + x = y Xột hm s : f ( t ) = t + t , l hm s ng bin => x = f ( y ) = f ( x + 1) y = x + ( x + 1) = x + x x = Vy phng trỡnh cú nghim * Bi tng ng : 1, x + = x x ... trình vô nghiệm Ví dụ : Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + Hướng dẫn : Đặt : t = x − x + 3, t ≥ 2 Khi phương trình trở thành : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương. .. phương trình có nghiệm x = + Ví dụ : Giải phương trình: x 3` − 3x − x + 40 − 4 x + = Lª Thanh Lam – momom15 Ta chứng minh : 4 x + ≤ x + 13 x − 3x − x + 40 ≥ ⇔ ( x − 3) ( x + 3) ≥ x + 13 III Phương. .. Giải phương trình : x − = − x Hướng dẫn : ĐK : x ≤ − Đặt x − = − x = y, y ≥  x = y + x = −3 x − 2 ⇔ ( x + y )( x + y − xy − x + y ) = ⇔ (VN ) =>   x = − y ( y − x)(1 − x) + y > Vậy phương trình