Thông tin tài liệu
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 KỸ NĂNG CƠ BẢN SỬ DỤNG CASIO DÀNH TẶNG CHO 99ERS VÀ 2000 ERS up s/ CHUYÊN ĐỀ 01 LÀM CHỦ BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ w fa ce bo ok c om /g ro Bài Kiến thức tảng cốt lõi chế ngự điểm yếu môn giải tích từ lớp 11 lên 12 Bài Biệt dược đặc trị sai lầm chết người “Tính đơn điệu hàm số” ( tiết ) Bài Khắc chế yếu điểm toán “Cực trị hàm số” ( tiết ) Bài Giá trị lớn nhỏ hàm số Bài Chinh phục lắt léo “ Bài toán tiệm cận” Bài Làm chủ toán “Tương giao” tư nhanh Bài Tiếp xúc tiếp tuyến Bài Phương pháp 15s giải triệt để toán “ Nhận diện Đồ thị điểm đặc biệt” Bài Khai thác tối ưu quyền máy tính Casio- Công thức giải nhanh đặc biệt Bài 10 Bài toán thực tiễn Bài 11 Truy tìm đường ngắn nhiều đường để trả lời câu trắc nghiệm Bài 12 Kiểm tra chất lượng cuối chương w w CHUYÊN ĐỀ 02 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN-KHỐI ĐA DIỆN Bài Bài Bài Bài Đánh tan sợ hãi “Hình Học Không Gian thông qua kiến thức tảng” Hai nét vẽ thần thánh giải “ Bài toán Góc” Ba nét vẽ diệu kì giải chớp nhoáng “Bài toán Khoảng cách” Phép thuật biến khó thành dễ xử lý “Bài toán Thể tích” ( tiết ) “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học Bài Khối đa diện toán liên quan thực tế Bài Kiểm tra chất lượng cuối chương uO nT hi D H oc Bài Sơ đồ tư kết nối “Hàm số mũ, lũy thừa, logarit” ( tiết ) Bài Kỹ giải kết hợp tư casio xử lý siêu nhanh toán “Phương trình, bất phương trình mũ, logarit” ( tiết ) Bài Phương pháp biến khó thành dễ toán “Phương trình, bất phương trình mũ, logarit chứa tham số” Bài Mẹo xử lý nhanh toán “lãi kép” toán thực tế khác Bài Kiểm tra chất lượng cuối chương 01 CHUYÊN ĐỀ 03 MŨ – LOGARIT CHUYÊN ĐỀ 04 NÓN-TRỤ-MẶT CẦU up s/ Ta iL ie Bài Hình dáng hình nón, trụ toán liên quan.( tiết ) Bài Tiết lộ bí mật “Công thức giải nhanh đặc biệt tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp, lăng trụ” Bài Tổng hợp toán vận dụng cao đặc sắc Bài Kiểm tra chất lượng cuối chương ro CHUYÊN ĐỀ 05 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN bo ok c om /g Bài “Nguyên hàm”- viên kim cương long lanh nhiều màu sắc ( tiết ) Bài Càn quét triệt để “Các phương pháp tính tích phân” ( tiết ) Bài Vẻ đẹp long lanh toán “Ứng dụng tích phân” ( tiết ) Bài Thủ thuật giải nhanh kĩ thần thánh sử dụng Casio Bài Kiểm tra chất lượng cuối chương ce CHUYÊN ĐỀ 06 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ w w w fa Bài Kiến thức tổng quan, điểm, vectơ Bài Kết nối kiến thức tảng “Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng mặt cầu” thông qua sơ đồ tư Bài Cách tư siêu nhanh toán “Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng mặt cầu” (3 tiết ) Bài Xử lý nhanh toán “Vị trí tương đối không gian” (2 tiết ) Bài Ứng dụng casio toán tọa độ “Góc khoảng cách” (2 tiết ) Bài Trọn toán mang tính vận dụng cao Bài “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học Kiểm tra chất lượng cuối chương CHUYÊN ĐỀ 07 SỐ PHỨC H oc 01 Bài Xử lý siêu nhanh “Các tập tính toán số phức” máy tính Casio kết hợp với phép toán số phức (2 tiết ) Bài Chinh phục “Dạng hình học số phức toán liên quan” Bài Giải phương trình số phức Bài Các toán vận dụng cao Bài uO nT hi D Kiểm tra chất lượng cuối chương Ta iL ie TẤT TẦN TẬT VỀ CASIO ( PHẦN 1) BÀI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT up s/ 1) PHƯƠNG PHÁP - Bước 1: Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x miền a; b ta sử dụng ok c om /g ro máy tính Casio với lệnh MODE (Lập bảng giá trị) - Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn xuất max , giá trị nhỏ xuất - Chú ý: ba Ta thiết lập miền giá trị biến x Start a End b Step (có thể làm tròn để Step đẹp) 19 Khi đề liên có yếu tố lượng giác sin x, cos x, tan x ta chuyển máy tính chế độ Radian nút Shief Mode 2) VÍ DỤ MINH HỌA 67 27 fa ce A max bo Ví dụ Tìm giá trị lớn hàm số y x x x đoạn 1;3 B max 2 C max 7 D max 4 Hướng dẫn giải w Cách 1: CASIO w w Sử dụng chức MODE máy tính Casio với thiết lập Start End Step 1 19 w7Q)^3$p2Q)dp4Q)+1==1=3 =(3p1)P19= “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN FACE: Lê Anh Tuấn GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Thầy Tuấn học Quan sát bảng giá trị F X ta thấy giá trị lớn F X đạt f 3 2 Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 Vậy max 2 , dấu = đạt x Đáp số xác B Cách tham khảo: Tự luận x 2 Tính đạo hàm y ' 3x x , y ' x Lập bảng biến thiên Nhìn bảng biến thiên ta kết luận max f 3 2 c om /g ro up s/ Bình luận: Qua ví dụ ta thấy sức mạnh máy tính Casio, việc tìm Max cần quan sát bảng giá trị xong Phương pháp tự luận tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tiến hành theo bước: +)Bước 1: Tìm miền xác định biến x +)Bước 2: Tính đạo hàm xác định khoảng đồng biến nghịch biến +)Bước 3: Lập bảng biến thiên, nhìn vào bảng biến thiên để kết luận Trong toán đề cho sẵn miền giá trị biến x 1;3 nên ta bỏ qua bước ok Ví dụ Hàm số y 3cos x 4sin x với x 0; 2 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị w w w fa ce bo nhỏ hàm số Khi tổng M m ? A B C D 16 Hướng dẫn giải Cách 1: CASIO Để tính toán toán liên quan đến lượng giác ta chuyển máy tính chế độ Radian qw4 Sử dụng chức MODE máy tính Casio với thiết lập Start End 2 Step 2 19 w7qc3kQ))p4jQ))+8==0=2 qK=2qKP19= “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN FACE: Lê Anh Tuấn GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Thầy Tuấn học Quan sát bảng giá trị F X ta thấy giá trị lớn F X đạt f 5.2911 12.989 13 M 32 4 sin H x cos x 25 Vậy 3cos x 4sin x 13 nT hi 3cos x 4sin x 5 3cos x 4sin x 3cos x 4sin x 13 D 3cos x 4sin x oc Vậy M m 16 Đáp số D xác Cách tham khảo: Tự luận Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta : 01 Ta thấy giá trị nhỏ F X đạt f 2.314 3.0252 m Trong Bất đẳng thức Bunhiacopxki có dạng ax by a b x y Dấu = xảy Ta iL ie uO Bình luận: Nếu toán liên quan đến đại lượng lượng giác ta nên chuyển máy tính chế độ Radian để kết xác a b x y om /g ro up s/ Ví dụ Cho số x, y thỏa mãn điều kiện y 0, x x y 12 Tìm giá trị nhỏ : P xy x y 17 A 12 B 9 C 15 D 5 Hướng dẫn giải Cách 1: CASIO Từ x x y 12 ta rút y x x 12 Lắp vào P ta : P x x x 12 x 17 bo ok c Để tìm Min P ta sử dụng chức lập bảng giá trị MODE 7, nhiên việc thiếu miền giá trị x Để tìm điều ta xét y x x 12 4 x Sử dụng MODE với thiết lập Start 4 End Start ta được: 19 w w w fa ce w7(Q)+2)(Q)d+Q)p12)+Q) +17==p4=3=7P12= Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ f 1.25 11.6 12 Vậy đáp số xác A Cách tham khảo: Tự luận Dùng phương pháp dồn biến đưa biểu thức P chứa biến trở thành biểu thức P chứa biến x “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học P x x x 12 x 17 x3 3x x Đặt f x x3 3x x Tìm miền giá trị biến x ta có : y x x 12 4 x x Khảo sát hàm f x ta có : f ' x 3x x , f ' x x 3 So sánh f 1 12; f 3 20; f 4 13; f 3 20 01 oc Vậy giá trị nhỏ f max 12 đạt x D H Bình luận: Một tìm Min max sử dụng phương pháp dồn biến hay Việc tìm cận tìm giá trị nhỏ có đóng góp lớn Casio để tiết kiệm thời gian A 5 hi 2mx 1 đoạn 2;3 m nhận giá trị : m x C D 2 Hướng dẫn giải nT Ví dụ Giá trị lớn hàm số y uO B Ta hiểu giá trị nhỏ y có nghiệm thuộc đoạn 2;3 Ta iL ie Cách 1: CASIO 1 đoạn 2;3 có nghĩa phương trình y 3 10 x 1 Sử dụng chức dò 5 x up s/ Thử nghiệm đáp án A với m 5 ta thiết lập nghiệm SHIFT SOLVE om /g ro ap10Q)+1Rp5pQ)$+a1R3qr 2.5= bo ok c x 0.064 giá trị thuộc đoạn 2;3 đáp án A sai Tương tự ta thấy đáp án C với m y có dạng x Ta thấy y fa ce a1RpQ)$+a1R3qr2.5= w w w x giá trị thuộc đoạn 2;3 đáp án C xác Cách tham khảo: Tự luận 2m m x 2mx 1 1 2m2 Tính đạo hàm y ' với x D 2 m x m x Ta thấy y Hàm y đồng biến Hàm y đạt giá trị lớn cận x “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN FACE: Lê Anh Tuấn GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Thầy Tuấn học m 1 Vậy y 3 m0 m3 Bình luận: Ta sử dụng máy tính Casio theo VD1 VD2 với chức MODE 1 Ta thấy với đán án C hàm số y đạt giá trị lớn x 3 x x 2 đạt cực đại điểm x D Ví dụ Cho hàm số y a sin x b cos x x H oc 01 w7a1RpQ)==2=3=1P19= x hi Tính giá trị biểu thức T a b A T B T 3 C T Hướng dẫn giải : tự giải uO nT D T Ta iL ie BÀI TÌM NHANH KHOẢNG ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Tính đồng biến nghịch biến : Cho hàm số y f x có đạo hàm khoảng I Nếu f ' x up s/ với x I (hoặc f ' x với x I ) f ' x hữu hạn điểm I hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) I om /g ro Cách Casio : Sử dụng chức lập bảng giá trị MODE máy tính Casio Quan sát bảng kết nhận , khoảng làm cho hàm số tăng khoảng đồng biến, khoảng làm cho hàm số giảm khoảng ngịch biến Cách Casio : Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm, cô lập m đưa dạng m f x m f x Tìm Min, Max hàm f x kết luận ok c Cách Casio : Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm Sử dụng tính giải bất phương trình INEQ máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba) w w w fa ce bo 2) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.Hỏi hàm số y x đồng biến khoảng ? 1 A ; B 0; C ; D ; 2 GIẢI Cách : CASIO MODE Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức lập bảng giá trị MODE với thiết lập Start 10 End Step 0.5 w72Q)^4$+1==p10=p0.5=0 5= “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học Ta thấy x tăng f x giảm Đáp án A sai oc D Ta thấy x tăng tương ứng f x tăng Đáp án B H w72Q)^4$+1==0=9=0.5= 01 Tương tự vậy, để kiểm tra đáp án B ta sử dụng chức MODE với thiết lập Start End Step 0.5 hi Cách : CASIO ĐẠO HÀM nT 1 Kiểm tra khoảng ; ta tính f ' 0.1 2 Ta iL ie uO qy2Q)^4$+1$pa1R2$p0.1= up s/ Đạo hàm âm (hàm số nghịch biến) Giá trị 0.1 vi phạm Đáp án A sai Kiểm tra khoảng ; ta tính f ' 0.1 om /g ro !!!!!!oooooo= c Điểm 0.1 vi phạm Đáp án D sai C sai Đáp án xác B 1331 Xác minh thêm lần xem B không Ta tính f ' 1 0.1 Chính xác 125 ce bo ok !!!!!o1+= wR1238=0=0=0== w w w fa Cách : CASIO MODE INEQ Hàm số bậc đạo hàm bậc Ta nhẩm hệ số đầu Sử dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc Rõ ràng x Cách tham khảo : Tự luận “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Tính đạo hàm y ' x Để hàm số đồng biến y ' x3 x Vậy hàm số đồng biến khoảng 0; FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học Bình luận : Khi sử dụng Casio ta phải để ý : Hàm số đồng biến khoảng a; b tăng hi D H Ví dụ Hàm số y x 3x mx m đồng biến tập xác định giá trị m : A m B m C 1 m D m GIẢI Cách : CASIO Để giải toán liên quan đến tham số m ta phải cô lập m Hàm số đồng biến y ' x x m m 3x x f x oc 01 x tăng Nếu lúc tăng lúc giảm không nT Vậy để hàm số y đồng biến tập xác định m f x hay m f max với x Ta iL ie uO thuộc R Để tìm Giá trị lớn f x ta dùng chức MODE theo cách dùng kỹ thuật Casio tìm max up s/ w7p3Q)dp6Q)==p9=10=1= om /g ro Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn f x x 1 fa ce bo ok c Vậy m Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm y ' 3x x m Để hàm số đồng biến y ' x x m với x R (*) ' 3m m Bình luận : Kiến thức (*) áp dụng định lý dấu tam thức bậc : “Nếu tam thức bậc hai ax bx c có dấu tam thức bậc dấu với a ” w Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y w w khoảng 0; 4 tan x đồng biến tan x m m B m A 1 m C m D m GIẢI Cách : CASIO “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN FACE: Lê Anh Tuấn GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Thầy Tuấn học Để toán dễ nhìn ta tiến hành đặt ẩn phụ : Đặt tan x t Đổi biến phải tìm miền giá trị biến Để làm điều ta sử dụng chức MODE cho hàm f x tan x Ta thấy tan x t 0;1 t 2 đồng biến khoảng 0;1 t m 2m 2m t m hi m (1) uO y' t m t 2 2 t m t m nT Tính đạo hàm : y ' D Bài toán trở thành tìm m để hàm số y H oc 01 qw4w7lQ))==0=qKP4=(qK P4)P19= Ta iL ie Kết hợp điều kiện xác định t m m t m 0;1 (2) m Từ (1) (2) ta Đáp án A xác 1 m om /g ro up s/ Bình luận : Bài toán chứa tham só m mẫu thường đánh lừa Nếu không tỉnh táo chọn đáp án B Tuy nhiên điểm nhấn toán phải kết hợp điều kiện mẫu số m t mà t 0;1 m 0;1 ce bo ok c Ví dụ Với giá trị tham số m hàm số y sin x cos x 2017 2mx đồng biến R 1 A m 2017 B m C m D m 2017 2017 GIẢI Cách : CASIO Tính đạo hàm y ' cos x sin x 2017 2m sin x cos x y' m f x 2017 Để hàm số đồng biến R m f x với x R hay m f max w w w fa Để tìm giá trị lớn hàm số ta lại sử dụng chức MODE Vì hàm f x hàm lượng giác mà hàm lượng giác sin x, cos x tuần hoàn với chu kì 2 ta thiết lập 2 Start End 2 Step 19 qw4w7apjQ))pkQ))R2017s 2==0=2qK=2qKP19= “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN GIẢI Đăng nhập MODE nhập vế trái vào máy tính Casio FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học 01 w72O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q) $+1 oc Quan sát cận đáp số 0; nên ta phải thiết lập miền giá trị X cho X chạy qua giá trị Ta thiết lập Start 4 End Step hi D H ==p4=5=1= uO nT Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng ; làm cho dấu vế trái dương Đáp số xác C om /g ro up s/ Ta iL ie 2) PHƯƠNG PHÁP : LƯỢC ĐỒ CON RẮN Bước 1: Chuyển toán bất phương trình toán xét dấu cách chuyển hết số hạng vế trái Khi bất phương trình có dạng Vế trái Vế trái Bước 2: Sử dụng CALC tìm giá trị tới hạn (làm cho vế trái = không xác định ) Dấu bất phương trình có khoảng tới hạn không đổi Dùng CALC lấy giá trị đại diện để xét dấu Chú ý : Qua phương pháp ta thấy tự luận lược đồ rắn lợi hại thi trắc nghiệm lại tỏ yếu khó dùng dài dòng Ví dụ minh họa 2x 1 Ví dụ Bất phương trình log log có tập nghiệm : x A ; 2 B 4; C 2;1 1; D ; 2 4; GIẢI Đề xuất giá trị 2; 4;1 ta CALC với giá tri để tìm giá trị tới hạn bo ok c ia1R2$$i3$a2Q)+1RQ)p1 Lần lượt CALC với giá trị 2; 4;1 w w w fa ce rp2=!r4=r1= giá trị giá trị giá trị tới hạn nên ta chia thành khoảng nghiệm ; 2 ; 2;1 ; 1; 4 ; 4; CALC với giá trị đại diện cho khoảng để lấy dấu : 3; 0; 2;5 rp2=!r4=r1= “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học 01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN H oc Rõ ràng khoảng nghiệm thứ thứ tư thỏa mãn Đáp số xác D Ví dụ Giải bất phương trình x x : A x ; 2 log 5; B x ; 2 log 5; nT hi D C x ;log 2; D x ;log 2 2; GIẢI Đề xuất giá trị 2;log 2; 2;log 2.32 ta CALC với giá tri để tìm giá trị tới hạn up s/ Ta iL ie uO 2^Q)dp4$p5^Q)p2rp2=ri5 )Pg2)p2=r2=rg5)Pg2)= om /g ro Ta thu hai giá trị tới hạn log Đáp số C D Vì bất phương trình có dấu = nên ta lấy hai cận Đáp số xác D Ví dụ Tìm tập nghiệm S bất phương trình 2.2 x 3.3x x : A S 2; B S 0; C S R D ; GIẢI Đề xuất giá trị 0; ta CALC với giá tri để tìm giá trị tới hạn ce bo ok c 2O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$+1 r0=r2= fa Ta thu giá trị tới hạn x Đáp số A D CALC với giá trị đại diện cho khoảng để lấy dấu : 1;3 w w w rp2=!r4=r1= Ta cần lấy dấu dương Đáp số xác D “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học BÀI 14 TÌM SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT LŨY THỪA oc 01 1) BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Hôm lại nhận toán thầy BìnhKami, toán liên quan đến so sánh lũy thừa số Bài toán : So sánh lũy thừa 3210 1615 Bài toán : So sánh lũy thừa 2100 370 Bài toán : So sánh lũy thừa 22017 5999 Đối với toán số biết cách làm rồi, số 32 số 16 đưa số 2, 10 H 3210 25 25.10 250 1615 24 24.5 260 Vậy 3210 1615 15 uO nT hi D Đối với số đưa số hay dùng trợ giúp máy tính Casio, thiết lập hiệu 2100 370 kết giá trị dương 2100 370 , thật đơn giản phải không !! 2^100$p3^70$= up s/ Ta iL ie Hay giá trị âm, có nghĩa 2100 370 Tương tự làm toán số cách nhập hiệu 22017 5999 vào máy tính Casio 2^2017$p5^999 om /g ro Và bấm nút = c Các bạn thấy đấy, máy tính không tính Tôi chịu !! w w w fa ce bo ok Để so sánh lũy thừa có giá trị lớn mà máy tính Casio không tính phải sử dụng thủ thuật, gọi tắt BSS Thủ thuật BSS dựa nguyên tắc so sánh sau : Nếu số A có n chữ số lớn số B có n chữ số Ví dụ số 1000 có chữ số lớn số 999 có chữ số Vậy xem 22107 5999 lũy thừa có số chữ số nhiều xong Để làm việc sử dụng máy tính Casio với tính cao cấp hơn, bạn quan sát : Đầu tiên với 22017 Q+2017g2))+1= Vậy biết 22017 có 608 chữ số Tiếp theo với 5999 Q+999g5))+1= “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học 01 Vậy 5999 có 699 chữ số Rõ ràng 608 699 hay 22017 5999 Thật tuyệt vời phải không !! H oc Bình luận nguyên tắc hình thành lệnh tính nhanh Casio Ta thấy quy luật 101 có chữ số, 102 có chữ số … 10k có k chữ số Vậy muốn biết lũy thừa A có chữ số ta đặt A 10 k Để tìm k ta logarit số 10 vế k log A Vậy số chữ số k log A hi D Lệnh Int dùng để lấy phần nguyên số up s/ Ta iL ie uO nT 2)VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Đầu năm 2016, Curtis Cooper cộng nhóm nghiên cứu Đại học Central Missouri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn thời điểm Số nghuyên tố số có giá trị M 274207281 Hỏi số M có chữ số A 2233862 B 22338618 C 22338617 D 2233863 GIẢI CASIO Ta có M 2742007281 M 2742007281 Đặt M 10k 2742007281 10k k log 274207281 số chữ số k om /g ro Q+74207281g2))+1= w w w fa ce bo ok c Vậy M có số chữ số 22338618 Ta nhận thấy M có 22338618 chữ số, M có chữ số ? Liệu 22338618 chữ số hay suy biến 22338617 chữ số Câu trả lời không suy biến M lũy thừa bậc nên tận 2, 4, 8, nên trừ đơn vị không bị suy biến Vậy ta chọn B đáp án xác Đọc thêm : M 274207281 số nguyên tố lớn giới phát hiện, gồm 22 triệu chữ số, 127 ngày để đọc hết Giả sử giây bạn đọc chữ số, bạn không cần ăn uống, ngủ nghỉ…thì tháng liên tục quãng thời gian mà bạn cần phải bỏ để đọc hết số nguyên tố lớn giới nhà toán học phát Với tên gọi M 74207281 số nguyên tố Merssenne phát nhà toán học thuộc GIMPS-tổ chức thành lập năm 1996 chuyên tìm số nguyên tố Câu chuyện tìm số nguyên tố nhà toán học, thần học, triết học tự nhiên, Marin Mersenne (1588-1648) Ông người nghiên cứu số nguyên tố nhằm cố tìm công thức chung đại diện cho số nguyên tố Dựa nghiên cứu ông, “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN FACE: Lê Anh Tuấn GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Thầy Tuấn học nhà toán học hệ sau đưa công thức chung cho số nguyên tố M p p 1 Năm 1750 nhà toán học Ơ-le phát số nguyên tố M 31 Năm 1876 số M 127 nhà toán học Pháp Lucas Edouard phát Năm 1996 số nguyên tố lớn thời phát M 1398268 D H oc 01 Ví dụ Gọi m số chữ số cần dùng viết số 230 hệ thập phân n số chữ số cần dùng viết số 302 hệ nhị phân Ta có tổng m n : A 18 B 20 C 19 D 21 GIẢI CASIO Đặt 230 10k k log 230 Số chữ số 230 hệ thập phân k uO nT hi Q+30g2))+1= up s/ Q+i2$900$)+1= Ta iL ie Vậy số chữ số 230 hệ thập phân 10 Đặt 302 900 2h h log2 900 Số chữ số 302 hệ nhị phân h om /g ro Vậy số chữ số 302 hệ nhị phân 10 m n 10 10 20 Đáp số xác B 2020 C2020 C2020 C2020 Ví dụ Cho tổng M C2020 Khi viết M dạng số hệ thập phân c số có chữ số: A 608 B 609 GIẢI CASIO C 610 2020 ok Theo khai triển nhị thức Newtơn 1 1 D 611 2020 C2020 C2020 C2020 C2020 bo Vậy M 22020 Đặt 22020 10k k log 22020 Số chữ số M k w w w fa ce Q+2020g2))+1= Vậy số chữ số M 609 Ta chọn đáp án B Bình luận : Bài toán kết hợp hay kiến thức lũy thừa kiến thức nhị thức Newtơn Để làm toán Casio cần có số kiến thức tổng Nhị thức Newtơn Dạng toán tổng nhị thức Newtơn tác giả tóm tắt sau : “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học +)Cho khai triển tổng a b Cn0 a nb0 Cn1a n 1b1 Cn2 a n 2b Cnn a 0b n khai triển tổng n a b n Cn0 a nb0 Cn1 a n 1b1 Cn2 a n 2b Cn3a n 3b3 Cnn a 0b n +)Để quan sát xem tổng nhị thức Newton có dạng ta quan sát thông số : Thông số mũ n quan sát tổ hợp Cn1 ví dụ xuất C2020 rõ ràng n 2020 Thông số a 01 có số mũ giảm dần, thông số b có số mũ tăng dần 1999 51999 C1999 51998 C1999 51997 22 C1999 51996 23 C1999 +)Áp dụng C1999 rõ ràng n 1999 , 1999 1999 31999 Ví dụ So sánh sau A 57123 75864 B 57123 75864 C 3400 2500 GIẢI CASIO Đặt 57123 10k k log 57123 7123log 4978.76 4978 7123g5)= Ta iL ie uO nT hi D D 41700 91200 H thành oc số mũ a giảm dần a , số mũ b tăng dần b Ta thu gọn khai triển ro up s/ Vậy 57123 10 4978 Tương tự đặt ta đặt 75864 10h h log 75864 4955.65 4956 5864g7)= om /g Vậy 75864 10 4956 Tóm lại 57123 104978 104566 75864 w fa ce bo ok c Bình luận : Bài toán ta thực phép Casio đẳng cấp thấp nhập hiệu 57123 75864 xét dấu máy tính không làm vượt qua phạm vi 10100 5^7123$p7^5846= w w Vậy để so sánh ta đại lượng lũy thừa bậc cao M N ta đưa dạng k h M 10 10 N Tuy nhiên việc so sánh lũy thừa sử dụng Casio mức độ đơn giản thường xuất đề thi trường, ta cần tìm hiểu thêm chút Các em xem ví dụ số Ví dụ Kết sau : A 6 6 17 18 B 3 3 17 18 “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN 17 17 18 e e C 3 3 GIẢI Cách : CASIO FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học 18 e e D 2 2 Để kiểm tra tính Đúng – Sai đáp án A ta thiết lập hiệu Vậy so 6 6 17 sánh chuyển bất phương trình 6 6 Rồi nhập hiệu vào máy tính Casio (aqKR6$)^17$p(aqKR6$)^18 18 nT hi D H oc 17 01 18 Ta iL ie uO Rồi ta nhấn nút = kết giá trị âm đáp án A giá trị dương đáp án A sai ro up s/ Máy tính Casio báo kết giá trị dương rõ ràng đáp án A sai Tương tự đáp án B (aqKR3$)^17$p(aqKR3$)^18= ok c om /g Vậy đáp số B sai Ta lại tiếp tục với đáp án C (aQKR3$)^17$p(aQKR3$)^18= 17 17 18 18 fa ce bo e e e e Đây đại lượng dương hay 3 3 3 3 Tới ta thấy rõ ràng đáp số C đáp số xác !! Cách : Tự luận w w w Ta có số 0.52 0;1 số mũ 17 18 6 6 17 18 Đáp án A sai Ta có số 1.04 số mũ 17 18 Đáp án B sai 3 3 Ta có số 17 18 17 18 e e e 0.906 0;1 số mũ 17 18 Đáp số C sai 3 3 Bình luận “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN FACE: Lê Anh Tuấn GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Thầy Tuấn học u v Để so sánh lũy thừa số a a ta sử dụng tính chất sau : +) Nếu số a u v a u a v (Điều dẫn tới đáp án B sai) +) Nếu số a thuộc khoảng 0;1 u v a u a v (Điều dẫn tới đáp án A sai) B 2017 D 1 1 2017 2016 1 1 2017 2016 H 2016 2 2 C 1 GIẢI Cách 1: CASIO 01 23 Để kiểm tra tính Đúng – Sai đáp án A ta thiết lập hiệu 23 Vậy so sánh Ta iL ie uO nT chuyển bất phương trình 2 1 23 Rồi nhập hiệu vào máy tính Casio 2^s2$+1$p2^3 1 D 1 hi A oc Ví dụ (Bài toán xây dựng để chống lại Casio) Khẳng định sau sai ? up s/ Rồi ta nhấn nút = kết giá trị dương đáp án A giá trị âm đáp án A sai ok c om /g ro Máy tính Casio báo kết giá trị âm rõ ràng đáp án A sai Tương tự đáp án B (s2$p1)^2016$p(s2$p1)^2017= Đáp số máy tính báo điều vô lý số khác số mũ khác buộc 1 2016 bo 1 2017 buộc phải khác w w w fa ce Như trường hợp máy tính chịu !!! Cách 2: Tự luận Ngoài phương pháp so sánh lũy thừa số tác giả trình bày Ví dụ Ví dụ tác giả xin giới thiệu phương pháp thứ vô hiệu có tên Phương pháp đặt nhân tử chung 1 1 Đáp án B : 2016 Dễ thấy 1 1 1 1 1 1 1 1 2016 2017 2016 2017 0 2016 Đáp số B 2016 2016 “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN FACE: Lê Anh Tuấn GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Thầy Tuấn học Bình luận : Theo thuật toán Casio đại lượng dương mà nhỏ 10100 lớn 10 100 hiển thị ố Đây kẽ hở để trường toán so sánh lũy thừa chống lại Casio oc nT Ta iL ie B log 45 uO 2a 2ab ab 2a 2ab D log 45 ab b GIẢI a 2ab ab a 2ab C log 45 ab b hi 2) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Đặt a log 3, b log Hãy biểu diễn log 45 theo a b A log 45 H D 1) PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN -Bước : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc đề chọn giá trị thích hợp cho biến -Bước : Tính giá trị liên quan đến biến gắn vào A, B, C giá trị tính lẻ -Bước : Quan sát đáp án chọn đáp án xác 01 BÀI 15 TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT ro i2$3$=qJz up s/ Cách : CASIO Tính giá trị a log Vì giá trị a số lẻ ta lưu a vào A om /g Tính giá trị b log lưu vào B ok c i5$3=qJx bo Bắt đầu ta kiểm tra tính sai đáp án A Nếu đáp án A hiệu log 45 Ta nhập hiệu vào máy tính Casio bấm nút = a 2ab phải ab w w w fa ce i6$45$paQz+2QzQxRQzQx= Kết hiển thị máy tính Casio giá trị khác đáp án A sai Tương tự ta kiểm tra đáp án ta thấy hiệu log 45 a 2ab ab b i6$45$paQz+2QzQxRQzQx+ Qx= “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học a 2ab hay đáp số C ab b Cách tham khảo : Tự luận 1 Ta có a log log3 log3 b log3 a oc 01 Vậy log 45 ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H 2 log3 45 log 5 log b a 2ab Vậy log 45 log log 3.2 log ab b a Bình luận Cách tự luận dạng chủ yếu để kiểm tra công thức đổi số : công thức : log b x (với a ) công thức : log a x (với b 0; b ) log a x log x a log a x Cách Casio nhiều thao tác dễ thực độ xác 100% Nếu tự tin cao làm tự luận, tự tin thấp nên làm Casio làm tự luận mà biến đổi sai lần làm lại thời gian tốn làm theo Casio 3x 3 x Ví dụ Cho x 9 x 23 Khi biểu thức P có giá trị bằng? 3x 3 x A B C D 2 GIẢI Cách : CASIO Từ phương trình điều kiện x 9 x 23 ta dò nghiệm chức SHIFT SOLVE om /g 9^Q)$+9^pQ)$p23qr1= c Lưu nghiệm vào giá trị A ce bo ok qJz Để tính giá trị biểu thức P ta cần gắn giá trị x A giá trị P w w w fa a5+3^Qz$+3^pQzR1p3^Q)$p 3^pQz$$= Vậy rõ ràng D đáp số xác Cách tham khảo : Tự luận Đặt t 3x 3 x t x 9 x 25 t 5 Vì 3x 3 x t hay “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Với 3x 3 x Thế vào P ta P FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học 55 1 1 B 1 C D H A oc 01 Bình luận Một toán hay thể sức mạnh Casio Nếu phương trình có cụm a x a x ta đặt ẩn phụ cụm này, ta biểu diễn a x a 2 x t a x a 3 x t 3t x Ví dụ Cho log x log12 y log16 x y Giá trị tỉ số ? y GIẢI D Cách : CASIO Từ đẳng thức log x log12 y y 12log9 x Thay vào hệ thức log x log16 x y ta : hi log x log16 x 12log9 x nT Ta dò nghiệm phương trình log9 x log16 x 12log9 x chức SHIFT uO SOLVE Ta iL ie i9$Q)$pi16$Q)+12^i9$Q) $$$qr1= up s/ Lưu nghiệm vào giá trị A om /g ro qJz Ta tính giá trị x dễ dàng tính giá trị y 12log9 x Lưu giá trị y vào biến B bo ok c 12^i9$Qz=qJx ce Tới ta dễ dàng tính tỉ số x A y B w w w fa aQzRQx= 1 đáp số xác B Cách tham khảo : Tự luận Đặt log9 x log12 y log16 x y t x 9t ; y 12 t ; x y 16 t Đây giá trị “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học x x 3x x y 16 x Ta thiết lập phương trình x x y y 4 y 12 x x x x xx x 1 Vậy 1 y y y y y y x x 1 nên y y Bình luận Một toán cực khó tính theo tự luận Nhưng xử lý Casio tương đối dễ dàng độ xác 100% oc H 1 với x 0, y Biểu thức rút gọn K ? C x D y y x x D x hi Ví dụ Cho K x y A x B 2x 01 Vì GIẢI 1 y y x với giá 1 x x uO Ta iL ie Ta hiểu đáp án A K x hay hiệu x y trị x; y thỏa mãn điều kiện x 0, y Nhập hiệu vào máy tính Casio nT Cách : CASIO ro up s/ (Q)^a1R2$$pQn^a1R2$$)d( 1p2saQnRQ)$$+aQnRQ)$)^ p1pQ) om /g Chọn giá trị X 1.25 Y thỏa x 0, y dùng lệnh gán giá trị CALC ok c r1.25=3= Ta tính giá trị x dễ dàng tính giá trị y 12log9 x fa ce bo 12^i9$Qz= r0.55=1.12= w w w Vậy ta khẳng định 90% đáp án A Để cho yên tâm ta thử chọn giá trị khác, ví dụ X 0.55, Y 1.12 Kết , ta chắn A đáp số xác Cách tham khảo : Tự luận “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học Rút gọn x y 2 1 y y x y y x Rút gọn 1 1 x x x y x x x y 1 x y 01 x x y x oc Vậy K 2 1 Tính giá trị biểu thức T 2 x 1 f ' x x ln C D GIẢI nT uO Ví dụ Cho hàm số f x x A 2 B hi D H Bình luận Chúng ta cần nhớ khẳng định ( hệ thức ) với giá trị x, y thỏa mãn điều kiện đề Vậy ta cần chọn giá trị X , Y để thử ưu tiên giá trị lẻ, tránh số tránh (có khả xảy trường hợp đặc biệt) Ta iL ie Cách : CASIO Vì đề không nói rõ x thỏa mãn điều kiện ràng buộc nên ta chọn giá trị x để tính giá trị biểu thức T Ví dụ ta chọn x Khi T 241 f ' ln ro up s/ 2^p4p1$Oqy2^Q)d+1$$2$p4 h2)+2= om /g Đáp số xác B Cách tham khảo : Tự luận 2 Tính f ' x x 1.ln x 1 ' x.ln 2.2 x 1 Thế vào T 2 x 1.2 x ln x.2 x 1 x ln x ln x ln Bình luận Với toán không cho biểu thức ràng buộc x có nghĩa x Ví dụ thay chọn x trên, ta chọn x T 291 f ' 3 ln kết mà bo ok c w w w fa ce 2^p9p1$Oqy2^Q)d+1$$3$p6 h2)+2= Chú ý công thức đạo hàm a u ' a u ln a.u ' học sinh hay nhầm Ví dụ Rút gọn biểu thức A a B a a 1 a a 2 2 (với a ) kết : C a GIẢI D a “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN FACE: Lê Anh Tuấn GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Thầy Tuấn học Cách : CASIO a 1.a 2 a phải với giá trị a Ta phải hiểu đáp A hiệu 2 a 2 Nhập hiệu vào máy tính Casio H oc 01 aQ)^s3$+1$OQ)^2ps3R(Q)^ s2$p2$)^s2$+2$$pQ)^4 Chọn giá trị a (ưu tiên A lẻ), ta chọn a 1.25 chả hạn dùng lệnh tính giá trị CALC nT hi D r1.25= uO Vậy hiệu khác hay đáp án A sai Ta iL ie Bắt đầu ta kiểm tra tính sai đáp án A Nếu đáp án A hiệu log 45 Ta nhập hiệu vào máy tính Casio bấm nút = a 2ab phải ab up s/ i6$45$paQz+2QzQxRQzQx= om /g ro Kết hiển thị máy tính Casio giá trị khác đáp án A sai a 1.a a Để kiểm tra đáp số B ta sửa hiệu thành 2 2 a ok c !ooo bo Rồi lại tính giá trị hiệu với a 1.25 fa ce r1.25= w w w Vẫn giá trị khác B sai a 1.a a5 Tương tự ta thấy hiệu 2 a 2 Vậy đáp số C đáp số xác “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW.HOCMAI.VN Cách tham khảo : Tự luận 1 a3 Ta rút gọn tử số a 1.a 2 a 2 2 Tiếp tục rút gọn mẫu số a 2 a Vậy phân thức trở thành 2 a 24 a 2 a3 3 2 a a5 a 2 Bình luận Nhắc lại số công thức hàm số mũ xuất ví dụ : a m a n a m n , a m a m.n , n oc 01 FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H am a mn n a “ Học lớp kỳ không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ... không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW .HOCMAI. VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học... không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN FACE: Lê Anh Tuấn GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW .HOCMAI. VN Thầy Tuấn học... không học thầy Tuấn ngày” www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THẦY LÊ ANH TUẤN GIÁO VIÊN TOÁN TẠI WWW .HOCMAI. VN FACE: Lê Anh Tuấn Thầy Tuấn học
Ngày đăng: 27/05/2017, 20:07
Xem thêm: KỸ NĂNG CASIO cơ bản THẦY lê ANH TUẤN HOCMAI, KỸ NĂNG CASIO cơ bản THẦY lê ANH TUẤN HOCMAI
