Tích phân Tích phân Tích phân (Integral (Anh), 積 分 (Trung)) khái niệm toán học,và với nghịch đảo vi phân (differentiation) đóng vai trò phép tính chủ chốt lĩnh vực giải tích (calculus) Có thể hiểu đơn giản tích phân diện tích diện tích tổng quát hóa Giả sử cần tính diện tích hình phẳng bao đoạn thẳng, ta việc chia hình thành hình nhỏ đơn giản biết cách tính diện tích hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật Tiếp theo, xét hình phức tạp mà bao đoạn thẳng lẫn đường cong, ta chia thành hình nhỏ hơn, kết có thêm hình thang cong Tích phân giúp ta tính diện tích hình thang cong Hoặc giải thích toán học sau: Cho hàm f biến thực x miền giá trị thực [a, b], tích phân xác định (definite integral) Tích phân xác định định nghĩa diện tích S giới hạn đường cong y=f(x) trục hoành, với x chạy từ a đến b định nghĩa diện tích vùng không gian phẳng xy bao đồ thị hàm f, trục hoành, đường thẳng x = a x = b, cho vùng trung hoành tính vào tổng diện tích, trục hoành bị trừ vào tổng diện tích Cho F(x) nguyên hàm f(x) (a, b) Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) viết sau: Mọi định nghĩa tích phân phụ thuộc vào lý thuyết độ đo (measure) Ví dụ, tích phân Riemann dựa độ đo Jordan, tích phân Lebesgue dựa độ đo Lebesgue Tích phân Riemann định nghĩa đơn giản tích phân thường xuyên sử dụng vật lý giải tích Lược sử tích phân Những phép tính tích phân thực từ cách 2.000 năm Archimedes (287–212 trước Công nguyên), ông tính diện tích bề mặt thể tích khối vài hình cầu, hình parabol hình nón Phương pháp tính Archimedes đại dù vào thời chưa có khái niệm đại số, hàm số hay chí cách viết số dạng thập phân Tích phân, vi phân môn toán học phép tính này, giải tích, thức khám phá Leibniz (1646–1716) Isaac Newton (1642–1727) Ý tưởng chủ đạo tích phân vi phân hai phép tính nghịch đảo Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học giải số lượng khổng lồ toán quan trọng toán học, vật lý thiên văn học J B Fourier (1768–1830) nghiên cứu truyền nhiệt tìm chuỗi hàm lượng giác dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi hàm lượng giác ngược lại) biến đổi tích phân ngày ứng dụng rộng rãi không khoa học mà Y học, âm nhạc ngôn ngữ học Tích phân Người lập bảng tra cứu tích phân tính sẵn Gauss (1777–1855) Ông nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào toán toán học vật lý Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức Riemann (1826–1866) Lebesgue (1875–1941) người tiên phong đặt tảng lô-gíc vững cho định nghĩa tích phân Liouville (1809–1882) xây dựng phương pháp để tìm xem tích phân vô định hàm lại hàm Hermite (1822–1901) tìm thấy thuật toán để tính tích phân cho hàm phân thức Phương pháp mở rộng cho phân thức chứa lô-ga-rít vào năm 1940 A M Ostrowski Vào năm trước thời đại máy tính kỷ 20, nhiều lý thuyết giúp tính tích phân khác không ngừng phát triển ứng dụng để lập bảng tra cứu tích phân biến đổi tích phân Một số nhà toán học đóng góp cho công việc G N Watson, E C Titchmarsh, E W Barnes, H Mellin, C S Meijer, W Grobner, N Hofreiter, A Erdelyi, L Lewin, Y L Luke, W Magnus, A Apelblat, F Oberhettinger, I S Gradshteyn, H Exton, H M Srivastava, A P Prudnikov, Ya A Brychkov, O I Marichev Vào năm 1969, R H Risch đóng góp phát triển vượt bậc cho thuật toán tính tích phân vô định công trình ông lý thuyết tổng quát ứng dụng tích phân hàm Phương pháp chưa thể ứng dụng cho hàm cốt lõi phương pháp giải phương trình vi phân khó Những phát triển tiếp nối nhiều nhà toán học khác giúp giải phương trình vi phân cho nhiều dạng hàm khác nhau, ngày hoàn thiện phương pháp Risch Trong năm 1980 có tiến mở rộng phương pháp cho hàm không đặc biệt Từ thập niên 1990 trở lại đây, thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định chuyển giao sang tối ưu hoá cho tính toán máy tính điện tử Máy tính giúp loại bỏ sai sót người, tạo nên khả tính hàng nghìn tích phân chưa xuất bảng tra cứu Một số phần mềm máy tính thương mại có khả tính biểu thức tích phân Mathematica, Maple, Thuật ngữ kí pháp Đối với trường hợp đơn giản nhất, tích phân hàm số thực f(x) x, viết là: Với: • ∫ "sự tích phân" • f(x) gọi biểu thức dấu tích phân • dx biểu diễn việc tích phân x dx gọi biến tích phân Trong topo toán học, việc biểu diễn xác dx tách khỏi hàm tích phân (integrand) dấu cách • Ta thay đổi biểu thức f(x)dx biểu thức f(t)dt đối số f(y)dy, f(u)du dấu tích phân Tích phân Phân loại tích phân Tích phân Riemann Có hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác định (có cận cận dưới) tích phân bất định Tích phân Riemannxác định hàm f(x) với x chạy khoảng từ a (cận dưới) đến b (cận trên) viết là: Dạng bất định (không có cận) viết là: Theo định luật thứ giải tích, F(x) tích phân bất định f(x) thìf(x) vi phân F(x) Tích phân xác định tính từ tích phân bất định sau: Còn tích phân bất định, tồn lúc nhiều hàm số sai khác số tích phân C thoả mãn điều kiện có chung vi phân, vi phân số 0: Ngày biểu thức toán học tích phân bất định tính cho nhiều hàm số tự động máy tính Giá trị số tích phân xác định tìm phương pháp số, biểu thức toán học tích phân bất định tương ứng không tồn Định luật thứ giải tích thể đẳng thức sau: Tồn hàm số mà tích phân bất định chúng biểu diễn hàm toán học Dưới vài ví dụ: , , , Các loại tích phân khác Ngoài tích phân Riemann Lebesgue sử dụng rộng rãi, có số loại tích phân khác như: • Tích phân Riemann-Stieltjes, mở rộng tích phân Riemann • Tích phân Lebesgue-Stieltjes, tổng quát hóa tích phân Riemann-Stieltjes Lebesgue, phát triển Johann Radon • Tích phân Daniell • Tích phân Haar • Tích phân Henstock-Kurzweil • Tích phân Itō Stratonovich • Tích phân Young Tích phân Tham khảo • Havil, J (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant Princeton, NJ: Princeton University Press • Jeffreys, H and Jeffreys, B S (1988), Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge, England: Cambridge University Press, p 29 • Kaplan, W (1992), Advanced Calculus, 4th ed., Reading, MA: Addison-Wesley • Toán học gì? Liên kết • • • • • • • • Tích phân suy rộng [1] Tích phân bội [2] Tích phân Lơbe Lebesgue [3] Tích phân đường [4] Tích phân mặt [5] Tích phân Stieltjes [6] The Integrator [7] by Wolfram Research Function Calculator [8] from WIMS [9] • P.S Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation [10] (1972) - a cookbook of definite integral techniques Sách trực tuyến • Keisler, H Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals [11], University of Wisconsin • Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus [12], University of Iowa • Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book [13], CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus • Crowell, Benjamin, Calculus [14], Fullerton College, an online textbook • Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus [15] • Hussain, Faraz, Understanding Calculus [16], an online textbook • Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations [17], an introduction to calculus • Wikibook of Calculus [18] • Numerical Methods of Integration [19] at Holistic Numerical Methods Institute Các chủ đề toán học Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê Tích phân Chú thích [1] http:/ / dictionary bachkhoatoanthu gov vn/ default aspx?param=2557aWQ9NzM4NiZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTitTVVkrUiVlMSViYiU5OE5H& page=1 [2] http:/ / dictionary bachkhoatoanthu gov vn/ default aspx?param=2387aWQ9NzM4MSZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTitCJWUxJWJiJTk4SQ==& page=1 [3] http:/ / dictionary bachkhoatoanthu gov vn/ default aspx?param=23B7aWQ9MTQ5ODgmZ3JvdXBpZD0ma2luZD1leGFjdCZrZXl3b3JkPUwlYzYlYTBCRSsoVCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTik=& page=1 [4] http:/ / dictionary bachkhoatoanthu gov vn/ default aspx?param=29F5aWQ9NzM4MiZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTislYzQlOTAlYzYlYWYlZTElYmIlO page=1 [5] http:/ / dictionary bachkhoatoanthu gov vn/ default aspx?param=2354aWQ9NzM4NCZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTitNJWUxJWJhJWI2VA==& page=1 [6] http:/ / dictionary bachkhoatoanthu gov vn/ default aspx?param=2563aWQ9NzM4NSZncm91cGlkPSZraW5kPWV4YWN0JmtleXdvcmQ9VCVjMyU4ZENIK1BIJWMzJTgyTitTVElFTlRJRVglYzYlYTA=& page=1 [7] http:/ / integrals wolfram com/ [8] http:/ / wims unice fr/ wims/ wims cgi?module=tool/ analysis/ function en [9] http:/ / wims unice fr [10] http:/ / www lcs mit edu/ publications/ specpub php?id=660 [11] http:/ / www math wisc edu/ ~keisler/ calc html [12] http:/ / www math uiowa edu/ ~stroyan/ InfsmlCalculus/ InfsmlCalc htm [13] http:/ / www its caltech edu/ ~sean/ book/ unabridged html [14] http:/ / www lightandmatter com/ calc/ [15] http:/ / www math umn edu/ ~garrett/ calculus/ [16] http:/ / www understandingcalculus com [17] http:/ / math furman edu/ ~dcs/ book [18] http:/ / en wikibooks org/ wiki/ Calculus [19] http:/ / numericalmethods eng usf edu/ topics/ integration html Nguồn người đóng góp vào Nguồn người đóng góp vào Tích phân  Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?oldid=7688949  Người đóng góp: CNBH, DHN, Jaselg, Minhtuanht, Mxn, Newone, Tranletuhan, Tttrung, 24 sửa đổi vô danh Nguồn, giấy phép, người đóng góp vào hình Tập tin: Integral_example.svg  Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tập_tin:Integral_example.svg  Giấy phép: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Người đóng góp: KSmrq Giấy phép Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ ... f(y)dy, f(u)du dấu tích phân Tích phân Phân loại tích phân Tích phân Riemann Có hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác định (có cận cận dưới) tích phân bất định Tích phân Riemannxác định hàm f(x)... viết là: Dạng bất định (không có cận) viết là: Theo định luật thứ giải tích, F(x) tích phân bất định f(x) thìf(x) vi phân F(x) Tích phân xác định tính từ tích phân bất định sau: Còn tích phân. .. quát hóa tích phân Riemann-Stieltjes Lebesgue, phát triển Johann Radon • Tích phân Daniell • Tích phân Haar • Tích phân Henstock-Kurzweil • Tích phân Itō Stratonovich • Tích phân Young Tích phân