VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Một số tập toán nâng cao LỚP PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : ab  ab bc ca ab    a b c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết rằng: a  b  a  b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho: a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  x  4x  17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính): a)  15 b) 17   45 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí c) 23  19 27 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 19 Giải phương trình : d) nhỏ 3x  6x   5x  10x  21   2x  x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 21 Cho S  1 1      1.1998 2.1997 k(1998  k 1) 1998 1 Hãy so sánh S 1998 1999 22 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a số phương a số vô tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh rằng: a) x y  2 y x  x y2   x y  b)         x  y x y  x y4   x y2   x y           y x  y x  y x   c)  24 Chứng minh số sau số vô tỉ: a) 1 b) m  với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không? x y  x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh :       y x y x x y2 z2 x y z 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh :      y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 31 Chứng minh rằng:  x    y  x  y  32 Tìm giá trị lớn biểu thức: A  33 Tìm giá trị nhỏ của: A  x  6x  17 x y z   với x, y, z > y z x 34 Tìm giá trị nhỏ của: A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a) ab a số vô tỉ b b) a + b a số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh: a b c d    2 bc cd da a b 39 Chứng minh  2x   x   x   40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x  B x  4x  C x  2x  D 1  x2  E x  2x x G  3x   5x   x  x  42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy nào? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M  x  4x   x  6x  c) Giải phương trình: 4x  20x  25  x  8x  16  x  18x  81 43 Giải phương trình: 2x  8x  x  4x   12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A  x2  x  E 2x   x B 1  3x G C    9x x  x2 x 4 D x  5x  H  x  2x    x VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 45 Giải phương trình: x  3x 0 x 3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B   x  x 48 So sánh : a) a   b= c) n   n  1  13  b) n+1  n 1 (n số nguyên dương) 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A    6x  9x  (3x  1) 50 Tính : a) 42 b) 11  d) A  m  8m  16  m  8m  16 c) 27  10 e) B  n  n   n  n  (n ≥ 1) 41 51 Rút gọn biểu thức: M  45  41  45  41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức: (2x  y)  (y  2)  (x  y  z)  53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  25x  20x   25x  30x  54 Giải phương trình sau: a) x  x   x   d) x  x  2x   b) x    x e) x  4x   x   h) x  2x   x  6x   c) x  x  x  x   g) x   x   5 i) x    x  x  25 k) x   x   x   x   l) 8x   3x   7x   2x  55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện: xy = x > y CMR: x  y2 2 xy 56 Rút gọn biểu thức: a) 13  30   b) m  m   m  m  c)          57 Chứng minh 2  d) 227  30  123  22  2 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 58 Rút gọn biểu thức: a) C  62    3  62  6 3  b) D  96  59 So sánh: a)  20 1+ b) 17  12 1 c) 28  16  60 Cho biểu thức: A  x  x  4x  a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau: a) 11  10 b)  14  11    c)     10 62 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: 1 1 1  2    a b c a b c 63 Giải bất phương trình: 64 Tìm x cho: x  16x  60  x  x2    x2 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết rằng: x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A  x  2x  67 Cho biểu thức: A  b) B  x  x  2x x  x  2x 16  x  x  8x  2x   x  x  2x x  x  2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số: 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n  n  n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 72 Cho biểu thức A     Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : (   5)(   5)(   5)(    5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ: 3 ;  ; 2 3 75 Hãy so sánh hai số: a  3  b=2  ; 76 So sánh  1     số  3  84 2 3 77 Rút gọn biểu thức : Q  78 Cho P  14  40  56  140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết rằng: x  y  y  x  80 Tìm giá trị nhỏ lớn của: A   x   x 81 Tìm giá trị lớn của: M   a b  với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b  c  ad ; 2c  d  ab ; 2d  a  bc ; 2a  b  cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức: N     18 84 Cho x  y  z  xy  yz  zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh :  a b   2(a  b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác ab  b a 88 Rút gọn : a) A   b b (x  2)  8x b) B  x x 89 Chứng minh với số thực a, ta có: a2  a2 1  Khi có đẳng thức? 90 Tính: A     hai cách 91 So sánh: a) 5 6,9 b) 13  12 7 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 2 92 Tính: P    2 2  2 x   2x   x   2x   2 93 Giải phương trình: 94 Chứng minh ta có: Pn  1.3.5 (2n  1)  2.4.6 2n a b 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức: ; n  Z+ 2n  a2 b2  b a x  4(x  1)  x  4(x  1)   1    x 1 x  4(x  1) A= 97 Chứng minh đẳng thức sau: a) a b b a :  a b ab a b  14  15   b)    2 :      (a, b > ; a ≠ b)  a  a  a  a  c) 1  1   1  a a  a     (a > 0) 98 Tính : a)   29  20  c)   c)  28  16    48  99 So sánh : a) ; b)   13  48  15 18  19  48 b)  15 12  d) 16 25 100 Cho đẳng thức: a b  Áp a) c) dụng 2  2 a  a2  b a  a2  b (a, b > a2 – b > 0)  2 kết  2  2 ; b) để 32 17  12  rút gọn 3 2 17  12 2 10  30  2  : 10  2 1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí : VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a) A  b) B  xy  x  y  với x  xy  x  y  a  bx  a  bx a  bx  a  bx với x  102 Cho biểu thức P(x)  1 1 1 1 a   , y  b   2 a 2 b (a > ; b > 1) 2am , m 1 b 1  m  2x  x  3x  4x  a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A  x24 x2  x24 x2 4  1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a)  x e)   3x b) x  x (x  0) c)   x g) 2x  2x  d) x   h)   x  2x  i) 2x  x  105 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b)  48  10  4  10    10  c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a)  a  b  a  b  a  a b  b) 94  42  94  42 b a b  a  a2  b a  a2  b  2 108 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  109 Tìm x y cho : xy2  x  y  a  c   b  d  110 Chứng minh bất đẳng thức : a  b2  c2  d  111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 a b c    bc ca a b 2 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a) a   b   c   3,5 113 CM: a  c  b  c   b) a a b  bc  ca   d b  d   (a  b)(c  d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A  x  x 115 Tìm giá trị nhỏ : A  (x  a)(x  b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + 2x 118 Giải phương trình : x   5x   3x  119 Giải phương trình : x  x 1  x  x 1  120 Giải phương trình : 3x  21x  18  x  7x   121 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14   2x  x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : 123 Chứng minh 3 ; 2 x2  4x  124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a  b b  c  b(a  c) 125 Chứng minh với a, b, c > (a  b)(c  d)  ac  bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a  b) a  b 127 Chứng minh   a b  b a với a, b ≥ 128 Chứng minh a b c    với a, b, c > bc a c ab 129 Cho x  y  y  x  Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A  x  x   x  x  131 Tìm GTNN, GTLN A   x   x 132 Tìm giá trị nhỏ A  x   x  2x  133 Tìm giá trị nhỏ A   x  4x  12   x  2x  134 Tìm GTNN, GTLN : a) A  2x   x  b) A  x 99  101  x  VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b   (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx   với x, y, z > , x + y + z = z x y 137 Tìm GTNN A  x2 y2 z2 138 Tìm GTNN A  biết x, y, z > ,   xy yz zx 139 Tìm giá trị lớn : a) A  b) B   a b    a c     a b a d  với a, b > , a + b ≤    xy  yz  zx  b c    b d    c d  với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c với b + c ≥ a + d; b, c > 0; a, d ≥  cd a b 141 Tìm GTNN A  142 Giải phương trình sau : a) x  5x  3x  12  d) x   x   b) x  4x  x  e) x  x   x   g) x  2x   x  2x   h) x   x   x   x   i) x  x   x  k)  x  x  x  l) 2x  8x   x   2x  m) x   x  x  o) x   x   c) 4x   3x   n) x   x  10  x   x  x   x  3x     2x p) 2x   x   2x   x    x  q) 2x  9x   2x   2x  21x  11  143 Rút gọn biểu thức : A  2    144 Chứng minh rằng, n  Z+ , ta có :  145 Trục thức mẫu : a) 1   18  20  2 1    2 n b) x  x 1   n 1 1 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 188 Đặt x  a ; y  b , ta có a, b ≥ 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A =  a = b =  x = x = 1, y = (a  b) 1 1 Ta có ab    ab    3ab  A   x  y  4 4 4 189 Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có :  x  (x  1)(x  2)  x  x 1 3 x2  x  (x  1)(x  2)  (x  1)(x  2)     x   x  8 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt x  2x  = y ≥ 0, phương trình có dạng : y  y2 - y - 12 =  (y - )(y + 2 ) =    y  2 (loai y  x  2x  =  x2 + 2x + = 18  (x – 3)(x + 5) =  x = ; x = -5 Do 191 Ta có 1   1   1  k  k     k    (k  1)k (k  1) k k   k k 1   k k 1   k  1  k  1    2      Do : (k  1) k k 1  k 1   k k 1   k = 1   Vậy :  1 1            1   2         (n 1) n 2 3 n 1    n  = 1    2 n 1  (đpcm) 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy 193 Đặt x – y = a , x + y = b (1) a, b  Q a) Nếu b = x = y = 0, b) Nếu b ≠ Từ (1) (2) : (a, b > ; a ≠ 0)  ab a  b xy a   x y b x , y Q x y 1 a x  b    Q ; 2 b a  Q (2) b 1 a y  b    Q 2 b VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí : VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 199 Nhận xét :  2 x  x a Do a ≠ nên :   x2  a2  x 5a x2  a2   x  a  x  a Do :  (1)  x  x  a   x2  a2  x Vì : (1)  x  a  x2  a2  x  x2  a2 x  a  x  x  x  x  x  Suy :  x  a  x  , x x   x  a  x  5x  x  a    x    25x  9x  9a   2  2 x    x a 0  x  a 4  207 c) Trước hết tính x theo a x   2a Sau tính  x a(1  a) a(1  a) Đáp số : B = d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 208 Gọi vế trái A > Ta có A  209 Ta có : a + b = - , ab = a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = 2x  Suy điều phải chứng minh x 1 nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = +  2 17   ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - -   4 17   239      1     64  64 Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) =  210 a) a  (  1)   2   a  (  1)3  2       50  49 b) Theo khai triển Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )n = A + B với A, B  N )]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - )n = A - B = A  2B2 Điều kiện A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - 2B2  A Điều kiện )n = B - A = 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = 211 Thay a = (b + 2) = -(2a + c)  Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a =  x(x2 – 2) + a(x2 – 2) =  (x2 – 2)(x + a) = - a Các nghiệm phương trình cho là: ± 212 Đặt A  1    n a) Chứng minh A  n  : Làm giảm số hạng A : 2   2 k k k k 1  k    k  1 k      Do A           n  n     2   n 1   n 1  2  n 1   n  b) Chứng minh A  n  : Làm trội số hạng A : 2   2 k k k k  k 1 Do : A      n  n     k  k1  3         n 2  213 Kí hiệu a n      có n dấu Ta có : a1   ; a   a1    ; a   a    a100   a 99    Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + Ta có  48 nên < <  13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 Dễ thấy < - )2 y = - Suy x + y = 14 < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x  y  b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : 215 Đặt x – y = a ; a) Nếu b ≠ xy a   x y b 1 a x   b   số hữu tỉ ; 2 b x y 1 a y   b   số hữu tỉ 2 b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên 216 Ta có a số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : b x , y số hữu tỉ n   1  1   n     n   (n  1) n n(n  1) n   n n 1  n n 1   n     n  1     1       2  Từ ta giải toán n  n n  n n        217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Không tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế : 1 1 1        a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2         1 25 24 25  25 24  24 2  2 2     1 24  24 23  23 2   25    Từ (1) (2) suy :   25  24  24  23      (2) 1     , trái với giả thiết Vậy tồn hai số a1 a2 a 25 25 số a1 , a2 , … , a25 218 Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt 2 x a 0 ; 2 x  b 0 Ta có : ab =  x , a2 + b2 = Phương trình :  a2 - a2b + b2 + ab2 = (2 - b + a - ab)  (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b)  (2 + ab) = (a – b)(2 + ab)  a–b= a2 b2   2 a b (chú ý : a2 + b2 = 4) (do ab + ≠ 0) Bình phương : a2 + b2 – 2ab =  2ab =  ab =   x = Tìm x = VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 219 Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = 1 x2  a 1 a 1 a a 1 Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm x = a Với a ≥ a 1 220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > x Từ hệ phương trình cho ta có : 2y 2y   y 1 y y y  z ; z  x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức Tương tự với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh toán, cần tìm số B cho < B < 107 A + B số tự nhiên Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : 8     8 107    107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b  N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do  B  A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy 107 Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 222 Ta thấy với n số phương n số vô tỉ, nên nguyên an gần n số tự nhiên, n khác số phương n dạng ,5 Do ứng với số n  N* có số n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1 1  x  1 có hai nghiệm tự nhiên 2 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 2 1  x   có bốn nghiệm tự nhiên 2 3 1 có sáu nghiệm tự nhiên  x  3 2 Tổng quát : k  với : k2 – k + 1 có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương đương  x k 2 1 < x < k2 + k + Rõ ràng bất phương trình có 2k nghiệm tự nhiên : 4 k2 – k + ; k2 – k + ; … ; k2 + k Do :          1 1 1  1  1 1                      2.44  88 a1 a2 a1980  1 1 2   2 44 44 44         soá 88 soá  soá      223 Giải tương tự 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] = c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46 Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2  4n + <  4n2 + 4n + < 4n2 + 16n2  8n  < 4n + 16n2  8n  < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + 16n2  8n  < (2n + 2)2  (2n + 1)2 < 4n2 + Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 x + y số tự nhiên có tận Ta chọn y =  3  200 (1) (2)  < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) Ta có < chứng minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : xy   3  200   3  200   5  100   5  100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Sn = (5 + )n = (5 - )n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2  - Sn+1 (mod 10) Do Sn+4  - Sn+2  Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + )0 + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 226 Biến đổi  3  250   5  125 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36) 227 Ta có :        A   1                  15    16     24   Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = x x (3 – x) Áp dụng bất đẳng thức 2 x x     3 x  x x x x Cauchy cho số không âm , , (3 – x) ta : (3 – x) ≤    2 2     Do A ≤ b) Xét x (1) > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận x   3 x max A     x  x  229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x    x  3 (x  1)(7  x).2   (x  1)(7  x)   x = - ; x = (thỏa) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt x   y ; x   z Khi x – = y2 ; x + = z2  y  z  (2)  nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : z2  y  (3) z  (4)  Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – =  (y – 1)(y2 + 6) =  y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1   2 b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà a  b  Bình phương hai vế : a  b  ab   ab   (a  b) Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b)  2(a + b) = + (a + b)2 – 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn 231 a) Giả sử số hữu tỉ m m3 (phân số tối giản) Suy = Hãy chứng minh n n m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết b) Giả sử m3  n3  3  số hữu tỉ 2    3 m phân số tối giản n m (phân số tối giản) Suy : n m 6m  6  m  6n  6mn (1)  m 2  m 2 n n Thay m = 2k (k  Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2  4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho  n3 chia hết cho  n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết m phân số tối giản n 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b  c  abc x  y  z3  xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : sbt) a b  c  abc Xảy dấu đẳng thức a = b = c VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm Ta có : a b  c d  a b c d      2 2    ab  cd  ab cd  abcd a b  c  a b  c d  Trong bất đẳng thức  ta :   abcd , đặt d    a b  c   a  b  c    a b  c a b  c  a b  c       abc   abc 3       Chia hai vế cho số dương a b  c (trường hợp số a, b, c 0, toán 3 a b  c  a b  c  abc chứng minh) :    abc    Xảy đẳng thức : a = b = c = 233 Từ giả thiết suy : Cauchy cho số dương : a b  c  a=b=c=1 b c d a    1  Áp dụng bất đẳng thức b 1 c1 d 1 a1 a1 b c d bcd Tương tự :     3 a1 b 1 c1 d 1 (b  1)(c  1)(d  1) acd  3 b 1 (a  1)(c  1)(d  1) abd  3 c1 (a  1)(b  1)(d  1) abc  3 d 1 (a  1)(b  1)(c  1) Nhân từ bốn bất đẳng thức :  81abcd  abcd  81 x y z2 234 Gọi A    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y z x  x y z2  3A      (1   1)  z x  y x y z      y z x  (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : x y z x y z    3  y z x y z x (2) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x y z x y z x y z 3A      3     A    y z x y z x y z x Nhân vế (1) với (2) : 235 Đặt x  3  3 ; y  3  3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n 1) n(n 1)(n  2) n(n 1) 2.1  1 2   n      n  n 2! n 3! n n! n  n 1 1     n!   2! 3! < 1 1  1 1 1         2! 3! n! 1.2 2.3 (n 1)n Dễ dàng chứng minh : = 1 1 1 1       1  2 n 1 n n b) Với n = 2, ta chứng minh Với n ≥ 3, ta chứng minh (2)   n1 n 1  n(n1)  n 3  (1) Thật vậy, (1)  n  n1 n   n n n Do (1  ) n  n(n1)  3    6  32 > 22 (2) Thật : n  (n  1)  n n 1 (n  1) n  n nn n  1 1    n  n (3) n  1 Theo câu a ta có     , mà ≤ n nên (3) chứng minh  n Do (2) chứng minh   237 Cách : A  x   x  x   A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A  (x  x  1)(x  x  1)  x  x   A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x x     x  2 A x x  2x 2    (x  2)        2 3       - A ≤ 32  A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 ≤  x2 x2     x2  2  x x A  x (9  x )  (9  x )   2   4.27 2     max A = với x = ± 240 a) Tìm giá trị lớn : A = x(x2 – 6) ≤ Cách : Với ≤ x < Ta có Với x ≥ ≤ x ≤  ≤ x2 ≤  ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 == (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – 6x 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - ≥ - A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 ≥ 3 x 2.2 = 6x x Suy x – 6x ≥ - A = - với x = 241 Gọi x cạnh hình vuông nhỏ, V thể tích hình hộp x x x x Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương :  x= x 3-2x Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2  4x   2x   2x  4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤   =   x 3-2x max V =  4x = – 2x VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vuông nhỏ 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± d) Đặt  x  a ; x   b Đáp số : ; ; 10 2x  = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) =  x = y Đáp số : ; e) Rút gọn vế trái : g) Đặt dm 1    x  x  Đáp số : x =  x  a ; x   b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải a3  b3 a  b a3  b3 phương trình cho Phương trình cho trở thành : = 2 a b Do a3 + b3 = nên a  b a3  b3  (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3)  3 a b a  b Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt x   a ; x   b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho Đặt x 1 a ; x2 Cách : Đặt 3 x2 x3  b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x2 x  = y Chuyển vế : y   y   y Lập phương hai vế ta : y3 – + y3 + + 3 y  (- y) = - y3  y3 = y Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 = 3 y6  y  Lập phương : y6 = y6 – Vô n0 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vô nghiệm, xem bảng : x x 1 x2 x3 Vế trái x < -2 < -1 < < < x > -x > -1 > > > k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), ab  a  b = (2) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Theo bất đẳng thức mn  Cauchy mn , ta có a  b 1 a 1 b    2 1 a 1 b a b  a  b  1  1 23 2 3 a b  a  b  Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a  x  m  ; b  x  n  m4 + n4 = a + b – 2x Phương trình cho trở thành : m + n = m4  n4 Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) Đặt x  x y  y x  2x y  y  2x y a  x ; b  y , ta có : A  =  x  xy  y x  xy  y x   y   (xy) 2 x  xy  y x   y  xy x  y  xy  2 x  y  xy Vậy : A  a  b  ab  x  y  xy (với a2 + b2 ≠ 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A  x2  x 1  x2  x 1  x  x  x  x   (x  x  1)(x  x  1) = = x  x   Đẳng thức xảy :  x  x   x  x   x  Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A =  x  x     x = 245 Vì + 3(1 + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b Z nên p = 4a + b + 42  Z q = 2a + b + 18 Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí =- Nếu q ≠ p , vô lí Do q = từ p + q = ta suy p = q nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = : Vậy +  4a  b  42  Suy a = - 12 ; b =   2a  b  18  246 Giả sử p3 p p ( phân số tối giản ) Suy : = Hãy chứng minh p q q q số hữu tỉ q chia hết cho 3, trái với giả thiết 247 a) Ta có : b) 1  1    1 2    2    2   2  2   2 Do : p phân số tối giản q  1    1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a  20  14  20  14  3 (20  14 2)(20  14 2).a  a  40  3 202  (14 2) a  a3 – 6a – 40 =  (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên  a = 249 Giải tương tự 21 250 A = + 3 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3  Suy x3 = 12 + 3.3x  x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 b) Đặt u = c) Đặt :  u  v   u = v = -  x = x - , v = x - , ta :   v  u  x  32  y  Kết x = ± 254 Đưa biểu thức dạng : A  A = x3 1 1  x   Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B |  -1 ≤ x ≤ 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x  y x  y  P  23 x  VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 258 Ta có : P  x  a   x  b  = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥  a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a  a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a  b  c)  (b  c  a) (b  c  a)  (c  a  b)  b (b  c  a)(c  a  b)  c 2 (c  a  b)  (a  b  c) (c  a  b)(a  b  c)  a (a  b  c)(b  c  a)  Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b  a = b = c (tam giác đều) 260 x  y  (x  y)  (x  y)  4xy    2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 Đưa pt dạng :      2 x  1  y 3 2  z 5 3  0 263 Nếu ≤ x ≤ y = 264 Đặt : x   y  M  x     x 1   x 1 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64  x = y = 266 Với a, b ta có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab  2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab  2c2 ≥ (a + b)2  c ≥ a + b  c ≥ ab Dấu đẳng thức xảy a = b 267 Biến đổi ta :  a 'b  ab '   a 'c  ac '   b 'c  bc '  0 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ -Hết VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí