PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) I PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu 0,5 điểm) Thí sinh chọn đáp án viết kết vào tờ giấy thi Câu 1: Với (1  x )  , ta có: A) x = - B) x = - C) x1 = 1; x2 = - Câu : Biểu thức x y A) D) x1 = -1; x2 = y x y x y D) -  12 Câu 3: Rút gọn biểu thức: 1 a A) x2 , ( y  ) biểu thức sau đây: y B) x C) B) - a  2a  với a > 1, kết là: C) (1 – a)  a2 48 Câu 4: Rút gọn biểu thức A) B) - C) (1 + a ) D) D) Một kết qủa khác 36 với a < 1, kết là: (a  1) (1 – a2 ) Câu 5: Rút gọn biểu thức E = a b a.b với < a < b, kết là: a (a-b) A) E = b B) E = - b C) E = - a b D) E = a b Câu 6: Cho biểu thức x 2 Điêù kiện xác định biểu thức là: x 2 A) x > B) x > x  C) x  D) x  x  Câu 7: Cho hình vẽ bên có cạnh huyền dài 3cm, góc nhọn 650 Độ dài cạnh góc vuông kề với góc 650 gần giá trị sau A) 1cm B) 2cm C) 1,2 cm 65 D) 1,27cm Câu 8: Cho tam giác ABC có Â = 900, AH vuông góc với BC, sinB = 0,6 Kết sau sai: A) cos C = AH AC B) cos C = sin HAC C) cos C = 0,6 D) cos C = CH AC II PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm Bài 1: (2,0 điểm) Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n  N n > số phương Bài 2: (4,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức M  y x 1  x y  xy Bài 3: (4,0 điểm) x  yz y  xz  Chứng minh với x  y, yz  1, xz  1, x  0, y  0, z  x 1  yz  y 1  xz  x  y  z  1   x y z Bài 4: (6,0 điểm) Cho AB đường kính đường tròn (O; R) C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I trung điểm AC; OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O; R) M; MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh MC tiếp tuyến (O; R) c) Chứng minh K trung điểm CH d) Xác định vị trí điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán I PHẦN TRÁC NGHIỆM: 4,0 điểm Đúng câu 0,5 điểm Câu Đáp án D C A C A D D A II PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm Bài 1: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n  N n >1 số phương Bài Gợi ý Điểm n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = n2.(n4 – n2 + 2n + 2) 0,5 = n2.[n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)] = n2[(n + 1)(n3 – n2 + 2)] 0,5 = n2(n + 1).[(n3 + 1) – (n2 - 1)] = n2(n+1)2.( n2 – 2n + 2) Với n  N, n >1 n2- 2n + = (n - 1)2 + > (n – 1)2 0,5 n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2  n2 – 2n + số 0,5 phương Với điều kiện x  1, y  ta có: M = x 1  x y4 y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, Ta có:   x 1 x x   1 x  1   2 x 1 (vì x dương)  x Và: y   1 4 y4 y  y  4    2 0,25 0,5 0,5 0,5 0,75  Suy ra: M = x 1  x 0,5 y4 1    y 4 Vậy giá trị lớn M 0,5 y4  (vì y dương) y  x = 2, y = 0,5 x  yz y  xz  x 1  yz  y 1  xz    x  yz   y  xyz    y  xz   x  xyz  0,5  x y  x3 yz  y z  xy z  xy  xy z  x z  x yz    x y  xy 2    x yz  xy z    x z  y z    x 3 2 yz  xy z 2 0  xy  x  y   xyz  x  y   z  x  y   xyz  x  y     x  y   xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz    xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz  (vì x  y  x  y  )  xy  xz  yz  xyz  x  y   xyz 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5  xy  xz  yz xyz  x  y   xyz  (vì xyz  ) xyz xyz 0,5  1    x yz x y z 0,5 Hình vẽ a) Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn Chứng minh OI  AC  OIC vuông I => I thuộc đường tròn đường kính OC CH  AB  gt   CHO vuông H => H thuộc đường tròn đường kính OC => I, H thuộc đường tròn đường kính 1,5 OC Hay điểm C, I, H, O thuộc đường tròn đường kính OC b) Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (O, R)  - Chứng minh  AOM  COM - Chứng minh AOM  COM 1,5 - Chứng minh MC  CO  MC tiếp tuyến (O, R) c) Chứng minh K trung điểm CH MAB có KH // MA (  AB )  KH HB AM HB AM HB (1)   KH   AM AB AB R  ( đồng vị) AOM  CBH Chứng minh CB // MO   Chứng minh MAO  CHB  MA AO AM HB AM HB (2)   CH   CH HB AO R Từ (1) (2)  CH = 2CK  CK = KH  K trung điểm CH 1,5 d) Xác định vị trí điểm C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN? Tìm GTLN đó? Chu vi tam giác ACB là: PACB  AB  AC  CB  R  AC  BC Ta lại có:  AC  CB   AC  BC  AC.BC   AC  BC    AC  CB   AC  CB   AC  CB 2   AC  CB  AB 2 (định lý Pi -Ta - Go)  AC  CB  2.4 R  AC  CB  R Đẳng thức xảy AC = CB  M điểm cung AB  Suy PACB  R  R  R   Dấu xảy M điểm cung AB   Vậy MaxPCAB  R   M điểm cung AB 1,5 ... giá trị lớn theo R PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán I PHẦN TRÁC NGHIỆM: 4,0 điểm Đúng câu 0,5 điểm Câu Đáp án D C A C A D D A... Cho hình vẽ bên có cạnh huyền dài 3cm, góc nhọn 650 Độ dài cạnh góc vuông kề với góc 650 gần giá trị sau A) 1cm B) 2cm C) 1,2 cm 65 D) 1,27cm Câu 8: Cho tam giác ABC có Â = 90 0, AH vuông góc... < n2  n2 – 2n + số 0,5 phương Với điều kiện x  1, y  ta có: M = x 1  x y4 y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, Ta có:   x 1 x x   1 x  1   2 x 1 (vì x dương)  x