Đang tải... (xem toàn văn)
những tài liệu hay mà tôi cảm thấy tâm đắc nhất mong là nó sẽ góp sức cho các bạn qua việc giao tiếp hàng ngày trong cuộc sống trong công việc cúng như hỗ trợ các bạn hoàn thành bản thân .Kiến thức một thứ tuyệt vời chúng ta háy đọc và chia sẻ nó qua nhiều hình thức như : sách, báo , truyền hình ti vi, qua việc trao đổi thông tin với nhau , các công việc hàng ngày…. Tôi xin chia sẽ với một số bạn Cảm ơn các bạn.
Trần Só Tùng Tích phân Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân Các giới hạn đặc biệt: a) lim sin x x →0 Hệ quả: =1 x lim x = x →0 sin x lim sin u(x) = u(x) →0 lim u(x) = u(x) →0 sin u(x) u(x) x b) lim ỉ 1+ = e, x Ỵ R ç x ÷ø x→∞ è Hệ quả: lim (1 + x) x →0 x = e lim ln(1 + x) = x x →0 lim ex -1 = x x →0 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp hệ quả: (c)’ = (c số) (xα )' = axα−1 (uα )' = auα−1u' ỉ 1ư ỉ1ư u' ç ÷' = - ç ÷' = - x u èx ø èù ( x )' = ( u )' = u' x u x x u (e )' = e (e )' = u'.eu (ax )' = ax ln a (au )' = au ln a u' (ln x )' = (ln u )' = u' x (loga x ') = x.ln a (sinx)’ = cosx (tgx)' = = + tg2x cos2 x (cot gx)' = -1 = - (1 + cot g2x) sin2 x Vi phân: u (loga u )' = u' u.ln a (sinu)’ = u’.cosu (tgu)' = u' = (1 + tg2 u).u' cos2 u (cot gu)' = -u' = - (1 + cot g2 u).u' sin2 u Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a ; b) có đạo hàm x ∈(a; b) Cho số gia Dx x cho x + ∆x ∈ (a; b) Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) vi phân hàm số y = f(x) x, ký hiệu dy (hoặc df(x)) dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa vào hàm số y = x, dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Trang Tích phân Trần Só Tùng NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN §Bài 1: NGUYÊN HÀM Đònh nghóa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a ; b) đoạn [a ; b] phải có thêm: F '(a+ ) = f(x) F '(b− ) = f(b) Đònh lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) : a/ Với số C, F(x) + C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng b/ Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) viết dạng: F(x) + C với C số Người ta ký hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f(x) òf(x)dx Do viết: òf(x)dx = F(x) + C Bổ đề: Nếu F¢(x) = khoảng (a ; b) F(x) không đổi khoảng Các tính chất nguyên hàm: · (òf(x)dx )' = f(x) · ò af(x)dx = f(x)dx (a ¹ 0) ò[f(x) + g(x)]dx = ò f(x)dx + òg(x)dx · ò f(t)dt · =F(t) + C Þ òf [u(x)]u'(x)dx = F [u(x)]+ C = F(u) + C (u = u(x)) Sự tồn nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] có nguyên hàm đoạn Trang Trần Só Tùng Tích phân BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp thường gặp (dưới u = u(x)) òdx = x + C òdu = u + C α α xα+1 òx (a ¹ -1) dx = a +1 + C (x ¹ 0) dx ò x = ln x + C òe ò x òu òe ax (0 < a ¹ 1) ò òcos xdx = sin x + C òsin xdx = - cos x + C dx ò sin a au du = ln a + C ò cos x = ò(1 + cot g x)dx = - cot gx + C ò sin (x > 0) òsin(ax + b)dx = - a cos(ax + b) + C (a ¹ 0) ò ax + b = a ln ax + b + C ax +b e ax+ b ò +C dx = a e dx ax + b + C ax + b = (0 < a ¹ 1) 2 u = ò(1 + tg u)du = tgu + C 2 u = ò(1 + cot g u)du = - cot gu + C du ò u= u+C (a ¹ 0) dx du du òcos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ò (u = u(x) ¹ 0) òcos udu = sin u + C òsin udu = - cos u + C x = ò(1 + tg x)dx = tgx + C dx ò x= x+C (a ¹ -1) du = eu + C 2 dx u u dx = ln a + C ò cos du = a +1 + C du ò u = ln u + C dx = ex + C ax uα+1 (a ¹ 0) (a ¹ 0) a Trang (u > 0) Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ F '(x) =f(x) với ∀x ∈ (a; b) Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Xác đònh F’(a ) – Xác đònh F’(b ) ìF '(x) = f(x), "xỴ (a ; b) ï + Bước 2: Chứng tỏ íF '(a+ ) = f(a) ï − ỵF '(b ) = f(b) Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x2 + a) với a > nguyên hàm hàm số f(x) = R x2 + a Giải: Ta có: F '(x) = [ln(x + x2 + a)]' = (x + 1+ x2 + a x2 + a)' = x + x2 + a 2x x + x2 + a = x2 + a + x = x2 + a(x + x2 + a) Vậy F(x) với a > nguyên hàm hàm số f(x) R Ví dụ 2: CMR hàm số: F(x) = í ìex ïx +x+1 ï x ³ x < ỵ Là nguyên hàm hàm số f(x) = í ìex x ³ R ỵ2x + x < Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: a/ Với x ¹ , ta có: ìex x > F '(x) = í ỵ2x + x < b/ Với x = 0, ta có: Trang x2 + a =f(x) Trần Só Tùng · Tích phân Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = F '(0− ) = lim F(x) - F(0) = lim x + x + - e = − · x x-0 x→ − →0 x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = x F '(0+ ) = lim F(x) - F(0) = lim e - e = + + x →0 x-0 x − + Nhận xét F '(0 ) = F '(0 ) = Þ F '(0) = x→ ìex Tóm lại: F '(x) = í x ³ = f(x) ỵ2x + x < Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R Bài toán 2: Xác đònh giá trò tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x) với ∀x ∈ (a; b) Dùng đồng hàm đa thức Þ giá trò tham số Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Xác đònh F’(a ) – Xác đònh F’(b ) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: ìF '(x) = f(x), "xỴ (a ; b) + ï ) = f(a) íF '(a ï − Þ giá trò tham số ) = f(b) ỵF '(b Bài toán 3: Tìm số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề cho để tìm số C Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm Trang Tích phân Trần Só Tùng ìx2 Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số: x £ F(x) = í ỵax + b x > x £ R nguyên hàm hàm số: f(x) ì2x =í x > ỵ Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: a/ Với x ¹ 1, ta có: F '(x) ì2x x < =í ỵ2 x > b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục x = 1, : lim F(x) = lim F(x) = f(1) Û a + b = Û b = - a − (1) + x →1 x→1 · Đạo hàm bên trái hàm số y = F(x) điểm x = F'(1) = lim f(x) - F(1) = lim x2 -1 = x-1 x →1 x →1 − x -1 · Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0 = F '(1+ ) = lim F(x) - F(1) = lim ax + b -1 = lim ax +1 - a -1 = a + + + x→1 x →1 x -1 x-1 x -1 (2) Hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = Û F '(1− ) = F '(1+ ) Û a = Thay (2) vào (1), ta b = –1 Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = 1, a = 2, b = –1 x→1 Khi đó: F’(1) = = f(1) Tóm lại với a = 2, b = F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: F(x) =(ax2 + bx + c)e−2 x nguyên hàm F(x) = - (2x2 - 8x + 7)e−2 x R Giải: Ta có: F '(x) =(2ax + b)e−2 x - 2(ax2 + bx + c)e−2 x = é -2ax2 ë + 2(a - b)x + b - 2cùe−2 x Do F(x) nguyên hàm f(x) R Û F '(x) = f(x), ∀x ∈ R Û -2ax2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x2 + 8x - 7, "x Ỵ R ìa=1 ï ìa = Ûï Ûía-b=4 íb = -3 ï ï ỵ b - 2c = - ỵc = Vậy F(x) =(x - 3x + 2)e−2 x Trang û Trần Só Tùng Tích phân BÀI TẬP Bài Tính đạo hàm hàm số F(x) = ln ỉ x + p ÷ tg ç è2 ø Từ suy nguyên hàm hàm số f(x) = cos x ìln(x +1) , x ¹ ï x ï ,x = 0 Bài Chứng tỏ hàm số F(x) = í ỵ - ln(x2 +1) , x ¹ nguyên hàm hàm số f(x) =ï íx +1 x2 ï ,x=0 ì ỵ Bài Xác đònh a, b, c cho hàm số F(x) = (ax2 + bx + c).e−x nguyên hàm hàm số f(x) = (2x2 - 5x + 2)e−x R ĐS: a = –2 ; b = ; c = –1 Bài a/ Tính nguyên hàm F(x) f(x) = x3 + 3x2 + 3x - F(0) = (x +1)2 b/ Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = sin x ỉpư p è 2ø F ç ÷ = ĐS: a/ F(x) = x2 + x + ; b/ F(x) = (x - sin x +1) x +1 Bài a/ Xác đònh số a, b, c cho hàm số: F(x) = (ax2 + bx + c) 2x - nguyên hàm hàm số: ỉ 20x - 30x + f(x) = khoảng ç ;+¥÷ è ø 2x - b/ Tìm nguyên hàm G(x) f(x) với G(2) = ĐS: a/ a = 4; b = − 2; c = 1; b/ Trang G(x) =(4x2 - 2x +10) 2x - - 22 Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1: CMR , òf(x)dx = F(x) + C òf(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ¹ Giải: Ta có: f(ax + b)dx = a f(ax + b)d(ax + b) với a ¹ ò f(ax + b)dx = Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 a ò(ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (đpcm) Ghi chú: Công thức áp dụng cho hàm số hợp: ò f(t)dt = F(t) + C Þ òf(u)du = F(u) + C, với u = u(x) Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh sau: a/ ò(2x + 3) 2ex dx ò b/ cos4 x.sin xdx dx c/ ò ex +1 (2 ln x +1)2 dx d/ ò x Giải: a/ Ta có: ò (2x + 3) dx = 2ò (2x + 3)4 (2x + 3)4 (2x + 3) d(2x + 3) = + C = + C xd(cos x) = - cos5 x + C Ta có: cos x.sin xdx = - cos x x x 2e d(e +1) x c/ x e +1 = ln(e + 1) + C Ta có: ò e + dx = 2ò 1 (2 ln x +1)2 d/ Ta có: x dx = (2 ln x +1) d(2 ln x +1) = (2 ln x + 1) + C b/ ò ò ò 2ò Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh sau: x a/ 2sin b/ cot g2 xdx dx ò ò c/ òtgxdx Giải: a/ Ta có: ò 2sin b/ Ta có: ò cot g c/ Ta có: tgxdx = ò x dx = ò(1 - cos x)dx = x - sin x + C ỉ xdx = ò ç è sin x sin x ò cos x dx = - ò -1÷dx = - cot gx - x + C ø d(cos x) cos x = - ln cos x + C Trang tgx d/ ò cos3 x dx Trần Só Tùng Tích phân tgx d/ sin x Ta có: ò cos x dx = ò cos x d(cos x) dx =- ò −3 cos4 x =- x+C=- cos 3cos3 x + C Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh sau: x dx b/ ò dx a/ + x2 x2 - 3x + ò Giải: x d(1 + x2 ) a/ Ta có: + x2 dx = ò + x2 = ln(1 + x ) + C ò ỉ b/ Ta có: ç dx = dx = ò ò 3x + 1)(x 2) òx (x èx-2 = ln x - - ln x -1 + C = ln x - + C x -1 - ÷dx x -1 ø BÀI TẬP Bài Tìm nguyên hàm hàm số: a/ f(x) = cos2 x ; b/ f(x) sin3 x ĐS: a/ (x + sin x) + C ; b/ -cos x + Bài Tính tích phân bất đònh : x ò e dx ; a/ ex (2 - e−x )dx; b/ ò c/ 2x d/ ò e2−5 x +1 dx; e/ ex ĐS: a/ 2ex - x + C; d/ ex dx ex + b/ ex cos3 x + C ò 22x.3x 5x dx 10x ò - 2− x −x e - e + C; + C; 6x + C c/ (1 - ln 2)2x ln e/ ln(ex + 2) + C Bài Tính tích phân bất đònh : a/ d/ ò x4 + x−4 + dx ; ò(1 - 2x) 2001 3 ĐS: a/ x - d/ dx; e/ + C; b/ ò b/ x (1 - 2x)2002 - 2002 ò x5 x dx ; c/ x x2 +1 dx ; ò - ln x d x x 5 x7 + C; c/ (x2 +1) x2 + + C ; + C; e/ (3 + ln x) + ln x + C Trang ... x + C Trang Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng... Trang 21 Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 5:XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tính tích phân phần: ò udv = uv - òvdu Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân phần... Só Tùng Ví dụ 4: Tích phân Tính tích phân bất đònh: I = òx3 (2 - 3x2 )8 dx Giải: Suy ra: dt = 6xdx Đặt: t = - 3x2 x (2 -3x ) dx = x (2 - 3x 2-t ) xdx = 9ø Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I