ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM MẠNH HÙNG ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM MẠNH HÙNG ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS CUNG THẾ ANH Hà Nội - Năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phát biểu toán biên ban đầu hệ Navier-Stokes 1.2 Các không gian hàm toán tử 1.2.1 Các không gian hàm 1.2.2 Các toán tử 1.3 Một số kết hệ phương trình Navier-Stokes 11 1.3.1 Sự tồn nghiệm 11 1.3.2 Sự tồn tập hút toàn cục 14 1.3.3 Tính ổn định nghiệm dừng 16 1.3.4 Đánh giá số chiều tập hút toàn cục 18 Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng 24 2.1 Đặt vấn đề 24 2.2 Đa tạp quán tính xấp xỉ Hm 25 2.3 Đa tạp quán tính xấp xỉ M0 28 2.3.1 Phương trình đa tạp 28 2.3.2 Các đánh giá khoảng cách quỹ đạo tới M0 30 2.3.3 Ví dụ minh họa 31 MỤC LỤC Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Cung Thế Anh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, xin gửi tới thầy cô công tác Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người cổ vũ, động viên suốt trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014 Học viên Phạm Mạnh Hùng Lời nói đầu Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, không khí, dầu mỏ, điều kiện tương đối tổng quát Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng, miêu tả dòng chảy chất lỏng lí tưởng, nhớt, không nén hệ phương trình Navier-Stokes Hệ phương trình Navier-Stokes xây dựng từ định luật bảo toàn khối lượng, động lượng có dạng:   ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t) x ∈ Ω, t > 0, ∂t (1) ∇.u = x ∈ Ω, t > 0, đó, u = u(x, t); p = p(x, t) tương ứng hàm vectơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, số ν > hệ số nhớt f ngoại lực Khi nghiên cứu phương trình hệ phương trình học chất lỏng, dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian dần vô nội dung quan trọng cần nghiên cứu cho phép dự đoán xu hướng phát triển hệ tương lai, từ có điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn Dáng điệu tiệm cận nghiệm thường nghiên cứu cách sử dụng lí thuyết tập hút tình đơn giản nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng (xem [10]) Tuy nhiên, tập hút toàn cục thường có cấu trúc hình học phức tạp không ổn định nhiễu; không thật phù hợp cho vấn đề xấp xỉ số dáng điệu nghiệm thời gian lớn Bên cạnh đó, lí thuyết đa tạp quán tính (là đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều, bất biến hút mũ quỹ đạo) công cụ quan trọng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng tiêu hao (xem[1, 3]) Đa tạp quán tính, tồn tại, chứa tập hút toàn cục chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét; nói riêng qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ xét nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ rút gọn đa tạp quán tính, hệ hữu hạn chiều Tuy nhiên, phương Lời nói đầu pháp kiến thiết đa tạp quán tính biết yêu cầu điều kiện kẽ hở phổ đủ lớn, tức khoảng cách hai giá trị riêng liên tiếp phải đủ lớn Mặc dù điều kiện đủ, điều kiện ngặt nhiều phương trình quan trọng vật lí toán không thỏa mãn Cho đến nay, tồn đa tạp quán tính hệ phương trình NavierStokes hai chiều câu hỏi mở Tuy nhiên, dựa lí thuyết đa tạp quán tính, Foias-Manley-Temam xây dựng đa tạp quán tính xấp xỉ M0 cho hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều Đa tạp quán tính xấp xỉ tập hút toàn cục tốt so với sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ thông thường Hm (là đa tạp tuyến tính), nhận cách sử dụng phương pháp Galerkin cổ điển Luận văn trình bày kết tồn đa tạp quán tính xấp xỉ M0 hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều ứng dụng vấn đề xấp xỉ nghiệm Nội dung luận văn dựa báo [2, 11] Danh mục tài liệu tham khảo Ngoài lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kết tồn nghiệm yếu tập hút toàn cục hệ phương trình Navier-Stokes Ta biết tồn tập hút toàn cục với số chiều fractal hữu hạn điều kiện cần để tồn đa tạp quán tính Chương 2: Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình NavierStokes ứng dụng Trong chương này, trước hết dựa phương pháp Galerkin cổ điển, trình bày dáng điệu dòng xoáy nhỏ hệ phương trình NavierStokes cách sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ Hm Tiếp theo, trình bày đa tạp quán tính xấp xỉ M0 đưa ước lượng khoảng cách quỹ đạo đến đa tạp Cuối trình bày ví dụ minh họa cho tính ưu việt đa tạp M0 so với đa tạp Hm Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kết cổ điển tồn nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn Các kết chương dựa theo [9, 10] 1.1 Phát biểu toán biên ban đầu hệ Navier-Stokes Giả sử Ω miền bị chặn R2 với biên ∂Ω trơn Xét toán biên ban đầu hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều:  ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f, x ∈ Ω, t > 0,   ∂t   ∇·u=0 x ∈ Ω, t > 0, (1.1)   u(x, t) = x ∈ ∂Ω, t > 0,    u(x, 0) = u (x) x ∈ Ω, u = (u1 , u2 )T hàm vectơ vận tốc, p : Ω → R hàm áp suất, số ν > hệ số nhớt 1.2 Các không gian hàm toán tử Trong mục ta giới thiệu không gian hàm toán tử thường dùng nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes 1.2.1 Các không gian hàm Kí hiệu: V = {u ∈ (C0∞ (Ω))2 : ∇ · u = 0} Chương Kiến thức chuẩn bị Để nghiên cứu toán (1.1), ta xét không gian hàm sau: V =V (H01 (Ω))2 H=V (L2 (Ω))2 = {u ∈ (H01 (Ω))2 : ∇ · u = 0} bao đóng V (H01 (Ω))2 , bao đóng V (L2 (Ω))2 Khi H V không gian Hilbert với tích vô hướng là: u · vdx = (u, v) = (u, v)H = Ω ui vi dx, i=1 Ω 2 ∇ui · ∇vi dx = ((u, v)) = (u, v)V = Ω Ω i,j=1 i=1 ∂ui ∂vi dx, ∂xj ∂xj u = (u1 , u2 )T , v = (v1 , v2 )T Gọi H ⊥ phần bù trực giao H (L2 (Ω))2 Từ kết Temam [8], ta có H ⊥ = {u ∈ (L2 (Ω))2 : u = gradp, p ∈ H (Ω)} Gọi V không gian đối ngẫu V Ta kí hiệu |.|, chuẩn H V , ∗ chuẩn V 1.2.2 Các toán tử ∗ Toán tử A: Giả sử A : V → V toán tử xác định Au, v = ((u, v)), ∀u, v ∈ V Kí hiệu D(A) miền xác định A, ta có: D(A) = {u ∈ H : Au ∈ H} = (H (Ω))2 ∩ V Dễ thấy A toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương có nghịch đảo A−1 : H → D(A) compact phép nhúng H01 (Ω) → L2 (Ω) compact Do đó, phổ A gồm toàn giá trị riêng {λi }∞ i=1 với < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ≤ , λn → +∞ n → +∞, hàm riêng tương ứng {wj }∞ j=1 ⊂ D(A) lập thành sở trực chuẩn H Ta có: |φ|L∞ (Ω)2 ≤ c2 φ + log |Aφ|2 λ φ 2 , ∀φ ∈ D(A) (1.2) Chương Kiến thức chuẩn bị ∗ Toán tử B : Đặt ui b(u, v, w) = i,j=1 Ω ∂vj wj dx ∂xi Khi đó, b(., , ) dạng 3-tuyến tính liên tục (H01 (Ω))2 , hay nói riêng V Chứng minh |b(u, v, w)| = Ω i,j=1 ∂vj ui wj dx ≤ ∂xi ≤C u L4 v |ui |4 dx i,j=1 w H01 L4 Ω ∂vj | dx ∂xi Ω ≤C u H01 v H01 |wj |4 dx Ω w H01 , ta sử dụng phép nhúng H (Ω) → L4 (Ω) Ngoài ra, ta có b(u, v, w) = −b(u, w, v) ∀u, v, w ∈ V Nói riêng b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ V Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Laydyzhenskaya n = 2) Với tập mở Ω ⊂ R2 , ta có: ν L4 (Ω) ≤ 24 ν L2 (Ω) ∇ν L2 (Ω) , ∀ν ∈ H01 (Ω) (1.3) Chứng minh Vì C0∞ (Ω) trù mật H01 (Ω) nên ta cần chứng minh (1.3) với ν ∈ C0∞ (Ω) Với ν ∈ C0∞ (Ω), ta có x1 ν (x) = ν(ξ1 , x2 ) ∂ν (ξ2 , x2 )dξ1 ∂x1 −∞ Suy ν (x) ≤ 2ν1 (x2 ), +∞ |ν(ξ1 , x2 )| ν1 (x2 ) = ∂ν (ξ1 , x2 ) dξ1 ∂x1 −∞ Tương tự, ta có ν (x) ≤ 2ν2 (x1 ), với +∞ |ν(x1 , ξ2 )| ν2 (x1 ) = −∞ ∂ν (x1 , ξ2 ) dξ2 ∂x1 Chương Kiến thức chuẩn bị từ ta có t |w(t)| ≤ exp k2 u(s) ds |w(0)|2 ν Do u ≤ ρV , ta có |w(t)|2 ≤ ekt |w0 |2 với k > Nhân hai vế (1.19) với |w(t)|2 lấy tích phân từ đến t ta có t ν t k2 |w(s)| w(s) ds ≤ ρV ν |w(s)|4 ds + |w0 |4 2 o o Từ suy t |w(s)|2 w(s) ds ≤ C ekt |w0 |4 ν o Thế đánh giá vào (1.18) ta có: |θ(t)| ≤ C(t)|u0 − v0 |, |v(t) − u(t) − U (t)| ≤ C|v0 − u0 | v0 → u0 |v0 − u0 | Điều chứng minh tính tựa khả vi S(t) Suy tựa vi phân S(t) toán tử A(t, u0 )ξ = v(t), ξ ∈ H, v(t) nghiệm phương trình ∂t v = −νAv − B(u(t), v) − B(v, u(t)) = Au (u(t))v, v|t=0 = ξ Bây ta ước lượng j -vết Au (u(t)) Chú ý với v ∈ V , ta có (Au (u(t))v, v) = ν v − (B(v, u(t)), v), (1.20) ta sử dụng tính chất (B(u, v), v) = 0, ∀u, v ∈ V Giả sử Qj phép chiếu trực giao lên không gian Qj H với sở trực chuẩn ϕ1 , , ϕj ∈ V Bởi (1.20), ta có j j (Au (u(t))ϕi , ϕi ) = −ν T r Au (u(t))Qj = i=1 |∇ϕi | − i=1 20 j B(ϕi , u(t)), ϕi i=1 Chương Kiến thức chuẩn bị j j ϕki ∂k uu (t)ϕi dx |∇ϕi | − = −ν i=1 Ω i=1 k,l=1 j j |∇ϕi | + ≤ −ν i=1 |∇ϕi |2 + |ρ||∇u(t)| ρ(x)|∇u(t)|dx ≤ −ν i=1 Ω j |ϕi (x)|2 ρ(x) = (1.21) i=1 Do hàm thuộc V nên triệt tiêu ∂Ω, ta mở rộng hàm lên R2 cách đặt bên Ω Khi ta nhận hàm ϕi (x), x ∈ R2 , thuộc không gian (H (R2 ))2 trực chuẩn (L2 (R2 ))2 Bổ đề sau Lieb Thirring đóng vai trò thiết yếu Bổ đề 1.3.3 (Bất đẳng thức Lieb-Thirring) Giả sử ϕ1 , , ϕj ∈ (H (Rn ))m j họ vectơ trực chuẩn (L2 (Rn ))m Khi với ρ(x) = |ϕi (x)|2 , bất i=1 đẳng thức sau thỏa mãn: j 1+ n2 (ρ(x)) |∇ϕi |2 dx, dx ≤ Cm,n (1.22) i=1 Rn Rn Cm,n phụ thuộc vào m n Bởi nguyên lí biến phân: j |∇ϕi |2 ≥ λ1 + λ2 + + λj , (1.23) i=1 λ1 , λ2 , giá trị riêng toán tử A Do λi ≥ c0 |Ω|−1 i, ta có λ1 + λ2 + + λj ≥ c2 j2 , |Ω| λ1 ≥ j2 , |Ω| (1.24) c0 , c1 c2 số phụ thuộc vào hình dạng Ω (xem [?]) Sử dụng (1.22) - (1.24), từ (1.21) ta có: j j Tr Au (u(t))Qj ≤ −ν i=1 ≤− j i=1 |∇ϕi |2 |∇ϕi | + 2 |∇u(t)|2 i=1 νc2 j |∇ϕi |2 + |∇u(t)|2 ≤ − + |∇u(t)|2 ν 2|Ω| ν 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Từ Tr Au (u(t))Qj ≤ − νc2 j + |∇u(t)|2 2|Ω| ν Khi sử dụng ước lượng t u(s) ds ≤ |u(0)|2 |f |2 + t, ν ν λ1 ta có t qj = lim sup sup t→∞ u0 ∈A ν νc2 j |f |2 Trj Au (u(s)) ds ≤ − + lim sup |u0 | + t→0 ν t u0 ∈A 2|Ω| ν λ1 Chú ý sup |u0 |2 ≤ c3 , u0 ∈A qj ≤ − |f |2 νc2 j |f |2 |Ω| νc2 j = ϕ(j) + ≤− + 2|Ω| ν λ1 2|Ω| ν c1 Khi nghiệm phương trình ϕ(d) = d∗ = |f ||Ω| c1 c2 ν 2 c1 c2 Chú ý Ilyin chứng minh [5] c1 ≥ 2π, c2 ≥ π (và đó, c0 ≥ c2 ≥ π ), với miền Ω có độ đo hữu hạn Do c ≤ ta có Hệ π Do ước lượng (1.16) suy từ ý sau Định lí 1.3.5 đây, với c = 1.3.1 Bây ta phát biểu định lí tổng quát đánh giá số chiều fractal tập compact bất biến mà ta sử dụng chứng minh Định lí 1.3.5 [10] Giả sử nửa nhóm S(t) không gian Hilbert E có tập compact bất biến X tựa khả vi X Giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn qj ≤ qj , j = 1, 2, số T qj := lim sup sup t→+∞ u0 ∈X T Trj Au (u(t))dt, j = 1, 2, với u(t) = S(t)u0 Ta giả sử hàm qj lõm j Giả sử m số nguyên nhỏ cho qm+1 < qm ≥ Khi tập tập hợp X có số chiều fractal hữu hạn dF (X) ≤ d := m + 22 qm qm − qm+1 (1.25) Chương Kiến thức chuẩn bị Chú ý Trong áp dụng, số qj thường có dạng qj = ϕ(j), ϕ = ϕ(x), x ≥ 0, hàm lõm trơn Xét nghiệm d∗ nó: ϕ(d∗ ) = Rõ ràng d ≤ d∗ ϕ hàm lõm Khi d lớn d∗ rất gần với d Trong số trường hợp, d∗ biểu diễn đơn giản d Bởi người ta thường dùng d∗ thay cho d cận (1.25) số chiều fractal tập hút Chẳng hạn, ϕ(x) = −αx1+δ + βx, α, β, δ > 0, d∗ = β α δ lớn Do ước lượng (1.25) có dạng dF (X) ≤ d ≤ 23 β α δ Thường α nhỏ β Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng 2.1 Đặt vấn đề Kí hiệu P = Pm phép chiếu trực giao H lên Hm = span{w1 , , wm }, không gian sinh m vectơ riêng toán tử Stokes A, Q = Qm = I − Pm ; p = P u, q = Qu Khi phương trình (1.8) tương đương với dp + νAp + P B(p + q, p + q) = P f, dt (2.1) dq + νAq + P B(p + q, p + q) = Qf dt (2.2) Đa tạp quán tính phương trình (1.8) tập M ⊂ H có tính chất sau: (i) M đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều; (ii) M bất biến dương (tức là, u0 ∈ M nghiệm (1.8) - (1.9) u(t) ∈ M, ∀t > 0); (iii) M hút mũ quỹ đạo (tức là, với nghiệm u(t) (1.8), khoảng cách dist(u(t), M) → theo tốc độ mũ) Từ (iii) ta thấy đa tạp quán tính M, tồn tại, chứa tập hút toàn cục A 24 Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng Nếu thêm vào ta yêu cầu M đồ thị hàm Lipschitz Φ : Hm → Qm M điều kiện bất biến dương (ii) tương đương với phát biểu với nghiệm p(t) q(t) (2.1) - (2.2) với q(0) = Φ(p(0)), ta có q(t) = Φ(p(t)), ∀t > Từ đây, hàm Φ tồn tại, rút gọn hệ (2.1) - (2.2) M tương đương với hệ phương trình vi phân thường sau mà ta gọi dạng quán tính: dp + νAp + P B(p + Φ(p), p + Φ(p)) = P f, p ∈ Hm dt (2.3) Như vậy, ta qui việc nghiên cứu hệ động lực xét, hệ động lực vô hạn chiều, nghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiều đa tạp quán tính M Tuy nhiên, hàm Φ tồn tại, khó để có biểu thức giải tích tường minh Φ Thay vào đó, người ta cố gắng xấp xỉ Φ hàm đơn giản, sử dụng hàm để xây dựng lược đồ xấp xỉ số Hơn tồn đa tạp quán tính hệ phương trình Navier-Stokes vấn đề mở Vì vậy, người ta cố gắng xấp xỉ tập hút toàn cục đa tạp trơn mà ta gọi đa tạp quán tính xấp xỉ đa tạp xấp xỉ cho phép ta đưa xấp xỉ Galerkin cải biên, tốt xấp xỉ Galerkin cổ điển Điều kiện dủ đa tạp quán tính kẽ hở phổ phải đủ lớn, tức λm+1 − λm C(λαm+1 + λαm ) với α ∈ (0; 1) điều kiện đủ khó kiểm tra phương trình Navier - Stokes hai chiều, chẳng hạn α = λm ∼ C.m khim → ∞ nên λm+1 − λm tương đương với số khó đánh giá 2.2 Đa tạp quán tính xấp xỉ Hm Kí hiệu P = Pm phép chiếu tắc từ không gian H vào không gian Hm sinh m vectơ riêng w1 , , wm toán tử A; ta đặt Q = Qm = I − Pm , λ = λm , Λ = λm+1 25 Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng kí hiệu p = P u, q = Qu ; p biểu diễn cho chồng chất "các dòng xoáy −1 lớn" có cỡ lớn λm2 , q biểu diễn cho "các dòng xoáy nhỏ" có cỡ nhỏ − 12 Sử dụng phép chiếu P, Q cho phương trình (1.8) sử dụng tính chất λm+1 P A = AP QA = AQ, ta dp + νAp + P B(p + q) = P f, dt (2.4) dq + νAq + QB(p + q) = Qf dt (2.5) Lấy tích vô hướng (2.5) với q H : 1d |q| + ν q dt = (Qf, q) − (B(p + q), q) (2.6) Nhờ tính chất trực giao φ, ψ ∈ V, (B(φ, ψ), ψ) = 0, vế phải (2.6) trở thành (Qf, q) − (B(p, p), q) − (B(q, p), q) Sử dụng (1.5), (1.6) bất đẳng thức Schwarz ta có |Ap|2 (Qf, q) − (B(p + q), q) ≤ |Qf ||q| + c3 p |q| + log λ1 p 2 ≤ (từ p ≤ u ) |Qf ||q| + c3 p |q| + log |Ap|2 λ1 p 2 + c2 |q| q + c2 Λ − q p u Kí hiệu M0 (tương ứng, M1 , M2 ) cận |u| (tương ứng, u , |Au|) khoảng thời gian I = (t0 , ∞): M0 = sup |u(s)|, M1 = sup u(s) , M2 = sup |Au(s)|, s∈I s∈I s∈I ta ý |Ap|2 ≤ λm p = λ p 2, đặt L = + log λm+1 , λ1 ta d |q| + (2ν − c2 Λ− M1 ) q dt ν Do đó, giả sử c2 Λ− M1 ≤ , tức 26 ≤ |Qf ||q| + c3 M12 L |q| (2.7) Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng λm+1 = Λ ≥ 2c2 M1 ν (2.8) , ước lượng (2.7) cho ta d 3ν |q| + q dt 2 1 ≤ Λ− (|Qf | + c3 M12 L ) q ≤ ν q 2 + (|Qf |2 + c23 M14 L), νΛ hay d |q| + ν q dt ≤ (|Qf |2 + c23 M14 L) νΛ Do λm+1 |q|2 ≤ q , ta có d |q| + νΛ|q|2 ≤ (|Qf |2 + c23 M14 L) dt νΛ (2.9) Từ (2.9) với t ≥ t1 , t, t1 ∈ I , ta có |q(t)|2 ≤ |q(t1 )|2 e−νΛ(t−t1 ) + ν Λ2 (|Qf |2 + c23 M14 L) (2.10) Ta thiết lập bất đẳng thức tương tự chuẩn V Lấy tích vô hướng (2.5) với Aq H ta có 1d q dt + ν|Aq|2 = (Qf, Aq) − (B(p + q), Aq) Sử dụng bất đẳng thức Schwartz với (1.5), (1.6) (1.2) để làm trội vế phải đẳng thức này: 1 |Qf ||Aq| + c2 p L |Aq|( p + q ) + c3 |q| |Aq| ( p + q ) ≤ (≤ với bất đẳng thức Young) c5 M14 L c5 ν |Aq|2 + |Qf |2 + + M0 M1 ν ν ν ≤ Bởi vậy, d q dt + ν|Aq|2 ≤ c6 d q dt + νΛ q ≤ c6 M 4L M 2M |Qf |2 + + , ν ν ν M 4L M 2M |Qf |2 + + ν ν ν (2.11) M4 M 2M c6 |Qf |2 + L + νΛ ν ν ν (2.12) ta kết luận q(t) ≤ q(t1 ) e−νΛ(t−t1 ) + Trong (2.10) (2.12) ta chặn |q(t1 )|2 q(t1 ) M02 M12 tương ứng Khi đó, sau khoảng thời gian phụ thuộc vào M0 (hoặc M1 ), ν Λ = λm+1 , số hạng phụ thuộc t trở nên không đáng kể ta nhận 27 Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng (|Qf |2 + c22 M14 L), 2 ν Λ M 2M 2c ≤ 2 |Qf |2 + M14 L + ν Λ ν  |q(t)|2 ≤  q(t) (2.13) với t lớn Kí hiệu κ, κi , κi , đại lượng phụ thuộc vào ν, f, Ω M0 , M1 , M2 , ta viết lại (2.13) sau: |q(t)|2 ≤ κLδ , q(t) ≤ κLδ với t lớn, (2.14) δ= λ1 λ1 λm+1 = , L = + log Λ λm+1 λ1 Ta chứng minh định lí sau Định lí 2.2.1 Giả sử m đủ lớn cho (2.8) thỏa mãn Khi đó, với quỹ đạo (1.8), sau khoảng thời gian t∗ phụ thuộc vào ν, f, Ω giá trị ban đầu u(0) = u0 , thành phần dòng xoáy nhỏ u, q = Qm u, nhỏ theo nghĩa sau đây: 1 |q(t)| ≤ κ0 L δ, q(t) ≤ κ1 L δ , 1 |q (t)| ≤ κ0 L δ, |Aq(t)| ≤ κ2 L , t ≥ t∗ (2.15) Chứng minh Hai bất đẳng thức (2.15) suy từ (2.14); bất đẳng thức thứ ba suy từ (2.14) bất đẳng thức tương tự sup t≥α dk u(t) 4k ≤ k!M0 dtk αk Bất đẳng thức thứ tư thu từ (1.5), (1.6), (1.7) νAq = Qf − q − QB(p + q), |Aq| ≤ 1 |Qf | + |q | + |QB(p + q)| ν ν ν Nhận xét Vì λm+1 → +∞ m → ∞ nên ước lượng (2.15) sau khoảng thời gian t∗ , nghiệm u(t) hệ Navier-Stokes trông "giống như" nghiệm um (t) không gian hữu hạn chiều Hm = Pm H Nói cách khác ta xấp xỉ nghiệm u(t) nghiệm đa tạp quán tính xấp xỉ Hm Đa tạp Hm đơn giản đa tạp tuyến tính 28 Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng 2.3 2.3.1 Đa tạp quán tính xấp xỉ M0 Phương trình đa tạp Trong phương pháp xấp xỉ Galerkin thông thường với vectơ riêng toán tử Stokes A, không gian tuyến tính Hm sinh m vectơ riêng đa tạp quán tính xấp xỉ Cụ thể, cho hàm Φ (2.3) ta xấp xỉ Galerkin thông thường; dum + νAum + P B(um , um ) = P f, um ∈ Hm dt Các nhà toán học Foias - Manley - Temam giới thiệu đa tạp giải tích hữu hạn chiều M0 = graph(Φ0 ), với Φ0 (p) = (νA)−1 [Qf − QB(p, p)], p ∈ Hm , đa tạp xấp xỉ tập hút toàn cục tốt so với Hm Cụ thể ta chứng minh định lí sau Định lí 2.3.1 Giả sử m đủ lớn cho λm+1 ≥ 2c2 M ν Khi đó, nghiệm u(t) = p(t) + q(t) (2.4) - (2.5) thỏa mãn: |q(t)| ≤ K0 λ−1 m+1 L , −1 (2.16) q(t) ≤ K1 λm+1 L2 , (2.17) |Aq(t)| ≤ K2 L , (2.18) dq (t) ≤ K0 λ−1 L2 , m+1 dt q(t) − Φ0 (p(t)) ≤ K3 λ−1 m+1 L (2.19) ∀t ≥ T∗ , T∗ > phụ thuộc vào ν, λ1 , |f | R0 |u(0)| ≤ R0 , L = + log (2.20) λm , λ1 K0 , K0 , K1 , K2 số dương phụ thuộc vào ν, λ1 , |f | Chứng minh Khi q đủ nhỏ B(p, q) B(q, p) nhỏ so sánh với B(p, p), B(q, q) nhỏ so với B(p, q) B(q, p) Do đó, ta xấp xỉ (2.5) cách thay QB(p + q) QB(p) Thời gian giảm dư (2.5) cho phần tuyến tính phương trình có bậc (νA)−1 = (νλ1 m)−1 nhỏ nhiều so với thời gian giảm dư (2.4) cho phần tuyến tính phương trình này, 29 Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng (νλ1 )−1 Vì vậy, tiến hóa (2.5) gần không đổi điều dẫn đến thay (2.5) phương trình xấp xỉ (2.21) νAq + QB(p) = Qf Với p cho trước, việc giải (2.6) dễ dàng; kí hiệu q = qm nghiệm qm = Φ0 (p) = (νA)−1 [Qf − QB(p)] (2.22) Đồ thị hàm Φ0 : P H → QH xác định H đa tạp trơn (giải tích) m chiều M0 Bây ta tất nghiệm (1.8) (hay (2.4), (2.5)) bị hút vào lân cân nhỏ M0 Bây ta thiết lập số đánh giá tiên nghiệm với qm tương tự với q : ta nhớ lại u = p + q nghiệm (1.8) (hoặc (2.4), (2.5)) qm định nghĩa theo p (2.22) Từ (2.22), (1.6) suy |νAqm | ≤ |Qf | + |QB(p)| ≤ |Qf | + c3 p |Aqm | ≤ |Ap|2 + log λ1 p 2 ≤ |Qf | + c3 M12 L , c3 |Qf | + M12 L ν ν Do |qm | ≤ κ0m δL , 1 qm ≤ κ1m δ L , (Qf + c3 M12 ) Những chặn có bậc với νλ1 chặn (2.14) q κ0m = κ1m = 2.3.2 Các đánh giá khoảng cách quỹ đạo tới M0 Trong mục ta chứng minh quỹ đạo (1.8) hội tụ đến lân cận đa tạp quán tính xấp xỉ M0 t → ∞ Định lí 2.3.2 Với t đủ lớn, t ≥ t∗ , khoảng cách H từ quỹ đạo (1.8) tới P H có cỡ κL δ , tới M0 có cỡ κLδ Trong chuẩn V , 1 khoảng cách tương ứng có cỡ κL δ κLδ ; số κ phụ thuộc vào ν, λ1 , |f | t∗ phụ thuộc vào ν, λ1 , |f |, R0 , với |u(0)| ≤ R0 Chứng minh Trong quỹ đạo u(t) = p(t) + q(t) nằm H , quĩ đạo liên kết um (t) = p(t) + qm (t) nằm M0 Bởi vậy, thời điểm t, dist(u(t), M0 ) ≤ norm (um (t) − u(t)) = norm (qm (t) − q(t)) 30 Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng Việc đánh giá khoảng cách u(t) H V đến M0 qui việc đánh giá chuẩn H V χm = qm − q Trừ (2.21) cho (2.5) (ở q = qm ), ta có νAχm = QB(p, q) + QB(q, p) + QB(q) + q Do đó, làm qm , ta viết |Aχm | ≤ {|B(p, q)| + |B(q, p)| + |B(q)| + |q |} ν d |u| + νλ1 |u|2 ≤ |f |2 , với t lớn: dt νλ1 1 c3 c2 |Aχm | ≤ p L q + |q| q p |Ap|, ν ν 1 c2 + |q| q |Aq| + κ0 L δ, ν 1 c3 κ1 c2 M1 Lδ + (κ0 κ2 ) κ1 Lδ + κ0 L δ, ≤ ν ν Sử dụng (1.7), (1.6), 1 1 ≤ κLδ + κL δ + κLδ + κL δ ≤ κLδ Do χm ∈ QH ta có χm ≤ κLδ , |χm | ≤ κLδ Tất chặn chuẩn χm nhỏ so với chặn tương ứng chuẩn qm q thừa số (δL) Do đó, với t lớn, quỹ đạo u(t) trở nên gần M0 so với mặt phẳng q = 0, thừa số (Lδ) Đó điều phải chứng minh 2.3.3 Ví dụ minh họa Để hiểu rõ cải thiện đáng kể đạt sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ Φ0 thay cho Hm ta xét ví dụ sau Giả sử ∞ us = uk wk , k=1 − 23 uk = σk (1 + log k)−1 (σ > cho trước) Ta biết [7] giá trị riêng toán tử Stokes thỏa mãn đánh giá sau: c0 λ1 m ≤ λm ≤ c1 λ1 m, m = 1, 2, , với c0 , c1 số dương phụ thuộc vào Ω 31 (2.23) Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng Ta có us ∈ D(A) us nghiệm dừng (1.8) với f định nghĩa f = νAus + B(us , us ) Bằng cách chọn σ đủ lớn, ν > cố định, ta thiết lập số Grashoff G= |f | đủ lớn để hệ động lực (1.8) với f không tầm thường ν λ1 Do (2.23) nên dễ thấy −1 Qn us ≥ cσλn + log λn λ1 ∀n = 1, 2, (2.24) Khi us thuộc tập hút toàn cục (2.24) làm ước lượng (2.17) tối ưu, với sai khác số hạng logarit So sánh (2.17) (2.20), ta thấy cải tiến đáng kể sử dụng Φ0 32 Kết luận Trong luận văn trình bày nội dung sau: Các kết tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn Cách xây dựng đa tạp quán tính xấp xỉ Hm , M0 ước lượng khoảng cách từ quỹ đạo hệ đến đa tạp Do khuôn khổ luận văn thời gian hạn chế, chưa trình bày phương pháp xấp xỉ nghiệm kiểu Galerkin cải biên dựa đa tạp quán tính xấp xỉ Bạn đọc quan tâm vấn đề này, xin xem tài liệu [4, 6] 33 Tài liệu tham khảo [1] P Constantin, C Foias, B Nicolaenko and R Temam (1988), Integral Manifolds and Inertial Manifolds for Dissipative Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York [2] C Foias, O Manley and R Temam (1988), Modelling of the interation of small and large eddies in two dimentional turbulent flows, RAIRO Modél Math Anal Numér 22, 93-118 [3] C Foias, G R Sell and R Temam (1988), Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations, J Differential Equations, 309-353 [4] B García-Archilla, J Novo and E Titi (1999), An approximate inertial manifolds approach to postprocessing the Galerkin method for the NavierStokes equations, Math Comp 68, 893-911 [5] A.A Ilyin (1993), Lieb-Thirring inequalitices on the N -sphere and in the plane, and some applications, Proc Lond Math Soc 67, 159-182 [6] L.G Margolin, E Titi and S Wynne (2003), The postprocessing Galerkin and nonlinear Galerkin methods – a truncation analysis point of view, SIAM J Numer Anal 41, 695-714 [7] G Metivier (1978), Valeurs propres d’opérateurs definis par la restriction de systèmes variationels a des sous-espaces, J Math Pures Appl 57, 133-156 [8] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations Theory and Numerical Analysis, 2ndedition, Amsterdam: North-Holland [9] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, SIAM Philadelphia [10] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag [11] E Titi (1990), On approximate inertial manifolds to the Navier-Stokes equations, J Math Anal Appl 149, 540-557 34 ... ta xấp xỉ nghiệm u(t) nghiệm đa tạp quán tính xấp xỉ Hm Đa tạp Hm đơn giản đa tạp tuyến tính 28 Chương Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng 2.3 2.3.1 Đa tạp quán tính. .. dụng đa tạp quán tính xấp xỉ Hm Tiếp theo, trình bày đa tạp quán tính xấp xỉ M0 đưa ước lượng khoảng cách quỹ đạo đến đa tạp Cuối trình bày ví dụ minh họa cho tính ưu việt đa tạp M0 so với đa. .. tạp quán tính hệ phương trình Navier-Stokes vấn đề mở Vì vậy, người ta cố gắng xấp xỉ tập hút toàn cục đa tạp trơn mà ta gọi đa tạp quán tính xấp xỉ đa tạp xấp xỉ cho phép ta đưa xấp xỉ Galerkin