Chương 13 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 13.1 Luận điểm thứ Mawell 13.1.1 Phát biểu luận điểm Bất kỳ từ trường biến đổi theo thời gian sinh điện trường xoáy 13.1 Phương trình Mawell - Faraday Xét vòng dây dẫn kín (C) nằm từ trường biến đổi theo thời gian (hình 13-1) G dS G B (C) o Hình 13-1 Theo định luật tượng cảm ứng điện từ, sức điện động xuất vòng dây là: ξc = − dΦ m d ⎛ G G⎞ = − ⎜ ∫ BdS ⎟ ⎟ dt dt ⎜⎝ (S) ⎠ Mặt khác, theo định nghĩa sức điện động ta có: G G ξ c = ∫ Ed l (C) suy ra: G G d ⎛⎜ G G ⎞⎟ E d l = − ∫ ∫ BdS ⎟ dt ⎜⎝ (S) (C) ⎠ (13-1) phương trình Mawell - Faraday dạng tích phân Vậy: Lưu số véc tơ cường độ điện trường xoáy dọc theo đường cong kín giá trị tuyệt đối trái dấu với tốc độ biến thiên theo thời gian từ thông gửi qua diện tích giới hạn đường cong Ý nghĩa phương trình (13-1) là: cho phép ta tính điện trường xoáy biết quy luật biến đổi từ trường theo thời gian Trong giải tích véc tơ người ta chứng minh được: 145 G G G G E ∫ d l = ∫ rotEdS (C) (S) Mặt khác ta có: d G G − ∫ BdS = dt (S) ( ) suy ra: G ⎛ dB ⎞ G ∫ ⎜⎜ − dt ⎟⎟⎠dS (S)⎝ G G dB rotE = − dt (13-2) Trường hợp tổng quát: véc tơ cảm ứng từ biến đổi theo thời gian không gian có từ trường biến đổi theo thời gian sinh điện trường xoáy, (13-2) viết lại: G G ∂B rotE = − ∂t (13-3) 13.2 Luận điểm thứ hai Mawell 13.2.1 Phát biểu luận điểm Bất kỳ điện trường biến đổi theo thời gian sinh từ trường 13.2.2 Phương trình Mawell - Ampe a Giả thuyết Mawell dòng điện dịch: Dòng điện dịch dòng điện tương đương với điện trường biến đổi theo thời gian phương diện sinh từ trường Theo Mawell điện trường biến đổi hai tụ điện sinh từ trường giống dòng điện (dòng điện dịch) chạy qua toàn không gian hai tụ điện, có chiều chiều dòng điện dẫn mạch có cường độ cường độ dòng điện dẫn mạch Nếu gọi Id cường độ dòng điện dịch chạy hai tụ điện, S diện tích mật độ dòng điện dịch hai là: Jd = Id I = S S với I cường độ dòng điện dẫn mạch Ta có: I= suy ra: Jd = dq dt dq d ⎛ q ⎞ dσ = ⎜ ⎟= S dt dt ⎝ S ⎠ dt σ: mật độ điện mặt dương tụ điện Ta có: D = σ, suy ra: 146 dD dt G G dD Jd = dt Jd = Dưới dạng véc tơ: (13-4) (13-5) Biểu thức (13-5) chứng tỏ: véc tơ mật độ dòng điện dịch tốc độ biến thiên theo thời gian véc tơ cảm ứng điện G G Trong trường hợp tổng quát, véc tơ cảm ứng điện D = D(x, y, z, t) có điện trường biến đổi theo thời gian sinh từ trường, đó: G G ∂D Jd = ∂t (13-6) Mở rộng giả thuyết dòng điện dịch cho trường hợp dòng điện bất kỳ, Mawell tới giả thuyết tổng quát sau: Xét phương diện sinh từ trường điện trường biến đổi theo thời gian giống dòng điện gọi dòng điện dịch có véc tơ mật độ dòng bằng: G G G ∂D Jd = ∂t D véc tơ cảm ứng điện điểm ta xét b Thiết lập phương trình Mawell -Ampe Theo Mawell từ trường dòng điện dẫn điện trường biến đổi theo thời gian tức dòng điện dịch sinh Vì Mawell đưa khái niệm dòng điện toàn phần tổng dòng điện dẫn dòng điện dịch Do ta nói từ trường dòng điện toàn phần sinh Mật độ dòng điện toàn phần tính theo công thức: G G G ∂D J = J + ∂t (13-7) Theo định lý dòng điện toàn phần: G G H ∫ d l = I C với: suy ra: G G G ⎛ G ∂D ⎞ G ⎟dS I = ∫ JdS = ∫ ⎜⎜ J + ∂t ⎟⎠ S S⎝ G G G ⎛ G ∂D ⎞ G ∫C Hd l = ∫S ⎜⎜⎝ J + ∂t ⎟⎟⎠dS phương trình Mawell -Ampe dạng tích phân 147 (13-8) Vậy: Lưu số véc tơ cường độ từ trường dọc theo đường cong kín cường độ dòng điện toàn phần chạy qua diện tích giới hạn đường cong Ta chứng minh rằng: G G G ∂D rotH = J + ∂t (13-9) dạng vi phân phương trình Mawell-Ampe, áp dụng điểm không gian G Ý nghĩa phương trình (13-9) là: cho phép ta tính từ trường H biết phân bố dòng điện dẫn quy luật biến đổi điện trường theo thời gian 13.3 Trường điện từ hệ thống phương trình Mawell 13.3.1 Năng lượng trường điện từ Điện trường từ trường đồng thời tồn không gian tạo thành trường thống gọi trường điện từ Trường điện từ dạng vật chất đặc trưng cho tương tác hạt mang điện Mật độ lượng từ trường: w = w e + w m = (ε ε E + μ 0μH ) (13-10) Năng lượng từ trường: W= ∫ wdV = ∫ (ε εE V + μ 0μH )dV (13-11) V 13.3.2 Phương trình Mawell -Faraday - Dạng tích phân: G G d ⎛ G G⎞ ∫ Ed l = − dt ⎜⎜ ∫ BdS ⎟⎟ ⎝ (S) (C) - Dạng vi phân: (13-12) ⎠ G G ∂B rotE = − ∂t (13-13) 13.3.3 Phương trình Mawell -Ampe - Dạng tích phân: - Dạng vi phân: G G G ⎛ G ∂D ⎞ G ∫C Hd l = ∫S ⎜⎜⎝ J + ∂t ⎟⎟⎠dS (13-14) G G G ∂D rotH = J + ∂t (13-15) 13.3.4 Định lý Ostrogradski-Gauss (O-G) điện trường: 148 - Dạng tích phân: G G D ∫ dS = q (13-16) G divD = ρ (13-17) S - Dạng vi phân: 13.3.5 Định lý O-G từ trường: - Dạng tích phân: G G B ∫ dS = (13-18) G divB = (13-19) S - Dạng vi phân: 13.3.6 Các phương trình liên hệ đại lượng đặc trưng cho trường Trong phương trình Mawell đại lượng đặc trưng cho trường xác định điểm không gian nói chung đại lượng biến thiên theo thời gian: G G E = E(x, y, z, t) G G B = B(x, y, z, t) G G D = D(x, y, z, t) G G H = H(x, y, z, t) G G E = E(x, y, z) G G D = D(x, y, z) G B=0 G H=0 a Điện trường tĩnh hệ phương trình Mawell thành: G G G E d l = hay rot E =0 ∫ C G G ∫ DdS = q G hay divD = ρ S G G D = ε εE b Từ trường không đổi G E=0 G D=0 G G B = B(x, y, z) G G H = H(x, y, z) hệ phương trình Mawell thành: G G G G ∫ Hd l = I hay rotH = J C 149 G G ∫ BdS = G hay divB = S G G B = μ μH c Sóng điện từ G G E = E(x, y, z, t) ; G G B = B(x, y, z, t) ; G G D = D(x, y, z, t) ; G G H = H(x, y, z, t) ; ρ=0 G J =0 hệ phương trình Mawell thành: G G ∂B rotE = − ; ∂t G divD = ; G G D = ε εE ; G G ∂D rotH = ∂t G divB = G G B = μ μH G Ví dụ: Chứng tỏ chân không, véc tơ cảm ứng từ B thỏa mãn phương trình sau: G G ∂ 2E ΔE − ε μ = ∂t Giải Trong giải tích véc tơ ta chứng minh đẳng thức: G G G rot rotE = grad divE − ΔE (*) G Đối với chân không: J = , ρ = hệ phương trình Mawell thành: G G ∂D G rotH = ; divD = ∂t G grad divE = Do đó: G G ∂B ta có: rotE = − ∂t G G G ⎛ ∂B ⎞ ∂ rot rotE = − rot ⎜⎜ ⎟⎟ = − rotB ∂t ⎝ ∂t ⎠ vế trái (*) có dạng: G G G ∂ ∂ ⎛ ∂D ⎞ ∂2E ⎟ = − μ 0ε = −μ rotH = − μ ⎜⎜ ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎟⎠ ∂t G G ∂ 2E hay là: ΔE − ε μ = ∂t ( ( ) 150 ) BÀI TẬP 7.2 Chứng minh điện tĩnh điện ϕ thỏa mãn phương trình sau đây: Δϕ = - ρ ε 0ε G 7.3 Trong thể tích hữu hạn có véc tơ cảm ứng từ B với thành phần: Bx=0 ; By=0; Bz=B0+ax, a số lượng ax luôn nhỏ so với B0 Chứng minh thể tích điện trường dòng điện từ trường không thỏa mãn phương trình Mawell 7.7 Một tụ điện có điện môi với số điện môi ε=6 mắc vào hiệu điện xoay chiều u = U0cosωt với U0= 300V, chu kỳ T=0,01s Tìm giá trị mật độ dòng điện dịch biết hai tụ điện cách 0,4cm Đáp số: jd =2,5.10-3sin20πt(A/m2) 7.11 Cho trường điện từ biến thiên chân không với véc tơ cường độ G G trường E(0,0,E) , H(H,0,0) , H = H0cosω(t-ay) với a= ε εμ 0μ Chứng minh véc tơ cường độ trường có mối quan hệ sau đây: G G ε ε E = μ 0μ H 151 ... (13- 12) ⎠ G G ∂B rotE = − ∂t (13- 13) 13. 3.3 Phương trình Mawell -Ampe - Dạng tích phân: - Dạng vi phân: G G G ⎛ G ∂D ⎞ G ∫C Hd l = ∫S ⎜⎜⎝ J + ∂t ⎟⎟⎠dS (13- 14) G G G ∂D rotH = J + ∂t (13- 15) 13. 3.4... phân: G G D ∫ dS = q (13- 16) G divD = ρ (13- 17) S - Dạng vi phân: 13. 3.5 Định lý O-G từ trường: - Dạng tích phân: G G B ∫ dS = (13- 18) G divB = (13- 19) S - Dạng vi phân: 13. 3.6 Các phương trình... dt (13- 2) Trường hợp tổng quát: véc tơ cảm ứng từ biến đổi theo thời gian không gian có từ trường biến đổi theo thời gian sinh điện trường xoáy, (13- 2) viết lại: G G ∂B rotE = − ∂t (13- 3) 13. 2