xxx =++ 212)11( 3 .1 )(3 33 =+ = yx yxyx Đề bài: Bài 1 (3đ) : Cho biểu thức: a, Rút gọn P. b, Tìm m để |P | = 2. c, Tìm các giá trị m tự nhiên sao cho P là số tự nhiên. Bài 2 (2đ): Giải phơng trình: Bài 3 (2đ): Giải hệ phơng trình: Câu 4 (3đ): Tìm m để phơng trình Có 2 nghiệm x 1 x 2 thoả mãn điều kiện T = đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 5 (3đ): Cho đờng tròn (0; R) và đờng thẳng xy không cắt (0), hạ 0H xy, từ điểm M H trên đờng thẳng xy kẻ hai tuyếp tuyến MP ; MQ với đờng tròn (0). Dây PQ cắt 0M tại I. Cắt 0H tại K. Chứng minh: a, OK. OH = OI. OM = R 2 . b, Khi M di chuyển trên xy thì dây PQ luôn đi qua 1 điểm cố định. Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn (0). Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đờng thẳng MH; MK lần lợt vuông góc với AB; AC. ( H đờng thẳng AB; K đờng thẳng AC ). a, Chứng minh : MBC và MHK đồng dạng với nhau. b, Tìm vị trí của M để HK có độ dài lớn nhất. Câu 7 (3đ): Cho A = (a+b)(b+c)(c+a) trong đó a,b,c là các số dơng thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng: A+1 3 (a+b+c). 1 2 1 1 2 2 393 + + + + = mm m mm mm P 03)1(2 2 = xmmx 2 2 2 1 xx + Đáp án và biểu điểm: Câu Lời giải Điểm 1 (3đ) a, 0,5 0,5 b, Điều kiện m 0 và m 1. 0,25 0,5 Thoả mãn điều kiện trên 0,25 c, P = 1 + . Để P là số tự nhiên thì 0,5 Từ đó m Với m = 0 thì P = -1 N Với m = 4 thì P = 1 N Với m = 9 thì P = 2 N Vậy m = 4 hoặc m = 9. 0,5 2. (2đ) Điều kiện: x 1. 0,25 Đặt ( với y 0) ta có x = y 2 + 1. Khi đó PT trở thành. 1 0,5 Do y 0 nên suy ra y = 0 dẫn đến x = 1. thoả mãn điều kiện ban đầu. 3. (2đ) Hệ đã cho tơng đơng với (x - y)( x 2 +xy + y 2 - 3) = 0 0,25 1 2 1 1 2 )2)(1( 393 + + ++ + = mm m mm mm P )2()1( 214333 + ++++ = mm mmmmmm 1 1 )2)(1( )2)(1( 2)(1( 23 + = + ++ = + ++ = m m mm mm mm mm =+= 1212 mmP )1(21 =+ mm )1(21 mm =+ 3 = m 13 = m 9 = m 2 1 = m 1 2 m { } 2;11 = m { } 9;4;0 0)5)(1( =++ yyy .212)11( 3 xxx =++ 054 23 =++ yyy yx = 1 )1(22)1( 23 +=++ yyy )(I x + y = -1 Hệ này tơng đơng với tuyển của hai hệ. x - y = 0 x 2 +xy + y 2 - 3 = 0 x + y = -1 x + y = -1 0,5 Giải hệ (I) ta đợc nghiệm (x ; y) = 0,5 Xét hệ (II): Từ x + y = -1 có y = -1 - x thay pt đầu của hệ (II) ta đợc: x 2 + x - 2 = 0. Giải PT này ta đợc x 1 = 1; x 2 = -2. Từ đó hệ (II) có 2 nghiệm (1; -2); (-2; 1). 0,5 Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm (x ; y) là: ; (1; -2); (-2; 1) 0,25 4. (3đ) Phơng trình đã cho có 2 nghiệm khi m 0 m 0 = [-(m-1)] 2 + 3m 0 m 2 + m + 1 0 0,75 Với m 0 theo hệ thức Viét ta có: 0,5 T = 0,75 Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng . Tức là m = 4. 5. (3đ) 0,5 Q x y M H K O I P 0 m m xx m m xx 3 ; )1(2 2121 = =+ m m m xxxxxx 6 )1(4 2)( 2 2 21 2 21 2 2 2 1 + =+=+ 4 15 4 15 2 1242 4 424 2 22 2 + =+= + = m m m m mm 0 2 12 4 15 = m khi )(II )(I 2 1 ; 2 1 2 1 ; 2 1 a, Tam giác OIK và tam giác OHM đồng dạng ( ô chung; I = H = 1v) do đó OI. OM = OK. OH (1) Mặt khác OQM vuông tại Q, có QI OM nên OI. OM = OQ 2 = R 2 (2) 0,5 Từ (1) và (2) OI. OM = OK. OH = R 2 0,5 b, Theo câu a ta có: OK. OH = R 2 OK = 1,0 Do điểm O và đờng thẳng xy cho trớc nên H và O cố định điểm K cố định. Vậy dây PQ luôn đi qua điểm K cố định. 0,5 6. 4(đ) a, Do MH AB; MK AC nên 4 điểm A;M;H;K cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AM. 1 Ta có các góc nội tiếp sau bằng nhau MBC = MAC = MHK MCB = MAB = MKH 0,5 Suy ra hai tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhau. 0,5 b, Theo câu a MBC đồng dạng MHK suy ra mà hay HK BC Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi H B. lúc đó gócABM = 90 0 AM là đờng kính của (o) . Do đó khi M là điểm đối xứng của A qua 0 thì 2 OM OK OH OI = OH R A B C H M O MH MB HK BC = 1 HK BC MHMB độ dài HK lớn nhất. 7. (3đ) A + 1 = (a 2 b + a 2 c) + (b 2 a + b 2 c) + (c 2 a + c 2 b) + (2abc + 1) Do abc = 1 nên A + 1 = (a 2 b + a 2 c + 1) + (b 2 a + b 2 c + 1) + (c 2 a + c 2 b + 1). 1 áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 3 số dơng ta đợc: cabccabcbcac babcbacbcbab aabcabcacaba 3331 3331 3331 3 3 422 3 3 422 3 3 422 ==++ ==++ ==++ 1 Suy ra A + 1 3 (a+b+c). 0,5 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 0,5 . hệ (I) ta đợc nghiệm (x ; y) = 0,5 Xét hệ (II): Từ x + y = -1 có y = -1 - x thay pt đầu của hệ (II) ta đợc: x 2 + x - 2 = 0. Giải PT này ta đợc x 1 = 1;. MBC và MHK đồng dạng với nhau. 0,5 b, Theo câu a MBC đồng dạng MHK suy ra mà hay HK BC Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi H B. lúc đó gócABM = 90 0 AM là