Header Page of 133 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM XUÂN THÀNH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC DẠNG KHÔNG ĐỐI XỨNG TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành : Mã số : 60 46 40 PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2011 Footer Page of 133 Header Page of 133 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Gia Định Luận văn bảo vệ hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đà Nẵng vào ngày 18 tháng năm 2011 * Có thể tìm thấy thông tin luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 133 Header Page of 133 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bất đẳng thức vấn đề cổ điển toán học, phần toán sơ cấp đẹp thú vị Nội dung xuyên suốt luận văn hệ thống bất đẳng thức lượng giác Điểm đặc biệt, ấn tượng bất đẳng thức lượng giác toán sơ cấp khó khó, giải chúng hoàn toàn phương pháp sơ cấp, không vượt qua giới hạn chương trình toán học phổ thông Việc tìm lời giải cho toán bất đẳng thức niềm say mê không người, đặc biệt người trực tiếp giảng dạy toán Các toán bất đẳng thức đa dạng đề tài, phong phú chủng loại phù hợp với nhiều đối tượng thuộc cấp học khác Đề tài "Bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác" nhằm đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường phổ thông Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, có vấn đề đặc trưng, tính chất biểu diễn hàm số, sử dụng bất đẳng thức quen thuộc như: AM-GM, Jensen, Cauchy-Schwarz, Chebyshev, Karamata, Mục đích nghiên cứu Nhằm hệ thống tổng quan toán bất đẳng thức lượng giác bản, bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác Nắm số kỹ thuật chứng minh số lớp bất đẳng thức lượng giác tổng quát dạng không đối xứng tam giác Đối tượng phạm vi nghiên cứu Footer Page of 133 Header Page of 133 Nghiên cứu toán bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác hệ thống kiến thức liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, tạp chí toán học tuổi trẻ, Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu thầy hướng dẫn, đồng nghiệp bạn học viên lớp Ý nghĩa khoa học Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng giáo viên học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số hệ thức lượng giác tam giác: Trong chương này, tác giả trình bày số bất đẳng thức bản, bất đẳng thức lượng giác dạng đối xứng tam giác Độ gần thứ tự biểu thức dạng đối xứng tam giác Một số ví dụ minh họa Chương Một số lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác: Trình bày số lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác Chương Áp dụng: Xét số áp dụng bất đẳng thức vào tìm cực trị biểu thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác, giải phương trình lượng giác Footer Page of 133 Header Page of 133 Chương MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC 1.1 Một số bất đẳng thức Định lí 1.1 ([2] Bất đẳng thức AM - GM) Giả sử x1 , x2 , , xn số không âm Khi √ n x1 + x2 + · · · + xn n x1 x2 xn (1.1) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Định lí 1.2 ([2] Jensen) Giả sử hàm số f (x) liên tục I(a, b) (trong I(a, b) ngầm hiểu tập [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) Khi điều kiện cần đủ để hàm số f (x) lồi I(a, b) x1 + x2 f f (x1 ) + f (x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) (1.2) Định lí 1.3 ([2] Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử f (x) g(x) hai hàm đơn điệu tăng (xk ) dãy đơn điệu tăng: x1 x2 ··· xn Khi trọng (pj ) : pj 0, j = 1, 2, , n; p1 + p2 + · · · + pn = 1, ta có n n pk f (xk ) k=1 Footer Page of 133 n pk g(xk ) k=1 pk f (xk )g(xk ) k=1 (1.3) Header Page of 133 Định lí 1.4 ([2] Bất đẳng thức Karamata) Cho hai dãy số xk , yk ∈ I(a; b), k = 1, 2, n, thỏa mãn điều kiện x1 ··· x2 xn , y1 y2 ··· yn   x1 y1      x1 + x2 y1 + y2    x1 + x2 + · · · + xn−1 y1 + y2 + · · · + yn−1     x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn Khi đó, ứng với hàm lồi khả vi f (x), (f (x) có f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) 1.2 0) I(a; b), ta f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ) (1.4) Bất đẳng thức dạng đối xứng tam giác Giả sử f (A, B, C) biểu thức chứa hàm số lượng giác góc tam giác ABC Giả sử góc A, B, C thỏa mãn điều kiện: f (A) + f (B) 2f A+B f (A)f (B) f2 A+B , (1.5) đẳng thức xảy A = B f (C) + f π C+ 2f π f (C)f đẳng thức xảy C = π f2 C+ π , (1.6) π Khi cộng (hoặc nhân) (1.5) (1.6) ta có bất đẳng thức f (A) + f (B) + f (C) 3f π f (A)f (B)f (C) đẳng thức xảy A = B = C Footer Page of 133 f3 π , Header Page of 133 Các bất đẳng thức dạng đối xứng tam giác dạng f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + f (g(C, A, B)) 0, f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + f (g(C, A, B)) 0, f (t) hàm lượng giác dạng sin t, cos t, tan t, cott g(x, y, z) hàm tuyến tính dạng g(x, y, z) = αx + βy + γz, đề cập nhiều sách chuyên đề sách tham khảo Trong mục này, ta xét số ví dụ dạng đối xứng phụ thuộc vào tổng tích hàm số lượng giác Bất đẳng thức dạng không đối xứng mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, xét mục 1.2.1 Bất đẳng thức lượng giác đối xứng sinh hàm cos x Ta nhắc lại số bất đẳng thức tam giác Bài toán 1.1 Chứng minh tam giác ABC, ta có cos A + cos B + cos C (1.7) Bài toán 1.2 Chứng minh tam giác ABC ta có √ A B C 3 (1.8) cos + cos + cos 2 2 Bài toán 1.3 Chứng minh tam giác ABC ta có cos A cos B cos C (1.9) Bài toán 1.4 Chứng minh tam giác ABC, ta có √ A B C 3 cos cos cos (1.10) 2 Footer Page of 133 Header Page of 133 1.2.2 Bất đẳng thức lượng giác đối xứng sinh sin x Bài toán 1.5 Chứng minh tam giác √ 3 sin A + sin B + sin C Bài toán 1.6 Chứng minh tam giác A B C sin + sin + sin 2 2 Bài toán 1.7 Chứng minh tam giác A B C sin sin sin 2 Bài toán 1.8 Chứng minh tam giác √ 3 sin A sin B sin C Bài toán 1.9 Chứng minh tam giác sin2 A + sin2 B + sin2 C 1.2.3 ABC, ta có (1.11) ABC, ta có (1.12) ABC, ta có (1.13) ABC, ta có (1.14) ABC, ta có (1.15) Bất đẳng thức lượng giác đối xứng sinh hàm tan x Bài toán 1.10 Chứng minh tam giác nhọn ABC, ta có √ tan A + tan B + tan C 3 (1.16) Bài toán 1.11 Chứng minh tam giác ABC, ta có B C √ A tan + tan + tan (1.17) 2 Bài toán 1.12 Chứng minh tam giác ABC, ta có B C A √ (1.18) tan tan tan 2 3 Bài toán 1.13 Chứng minh tam giác nhọn ABC, ta có √ tan A tan B tan C 3 (1.19) Bài toán 1.14 Cho tam giác ABC Chứng minh với n số nguyên dương ta có A B C tan2n + tan2n + tan2n (1.20) 2 3n−1 Footer Page of 133 Header Page of 133 1.2.4 Bất đẳng thức đối xứng sinh hàm số cot x Bài toán 1.15 Chứng minh tam giác ABC, ta có √ cot A + cot B + cot C (1.21) Bài toán 1.16 Chứng minh tam giác ABC, ta có B C A cot + cot + cot 2 √ 3 (1.22) Bài toán 1.17 Chứng minh tam giác ABC, ta có cot A B C cot cot 2 √ 3 (1.23) Bài toán 1.18 Chứng minh tam giác nhọn ABC, ta có √ (1.24) cot A cot B cot C 3 1.3 Độ gần thứ tự biểu thức dạng đối xứng tam giác Định nghĩa 1.1 ([1]) Với tam giác ABC cho trước, ta kí hiệu δ∆ABC = max {A, B, C} − {A, B, C} (1.25) gọi δ∆ABC độ gần tam giác ABC Rõ ràng δ∆ABC tam giác δ∆ABC = tam giác ABC Định nghĩa 1.2 ([1]) Với cặp tam giác A1 B1 C1 A2 B2 C2 thoả mãn đồng thời điều kiện max {A1 , B1 , C1 } {A1 , B1 , C1 } max {A2 , B2 , C2 } {A2 , B2 , C2 } ta nói cặp tam giác A1 B1 C1 A2 B2 C2 cặp thứ tự tam giác A1 B1 C1 gần tam giác A2 B2 C2 Footer Page of 133 Header Page 10 of 133 Vậy trường hợp có thứ tự: Với cặp tam giác A1 B1 C1 A2 B2 C2 (với A1 B1 C1 A2 B2 C2 ) thoả mãn đồng thời điều kiện A1 A2 C1 C ta có tam giác A1 B1 C1 gần tam giác A2 B2 C2 Nhận xét 1.1 Tam giác gần tam giác khác Nhận xét 1.2 Trong tập hợp tam giác không nhọn tam giác vuông cân gần tam giác khác Định lí 1.5 ([1]) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai f (x) khoảng (a;b) với x ∈ (a; b) i) Nếu f (x) f (x) f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), ∀x0 ∈ (a; b) với x ∈ (a; b) ii) Nếu f (x) f (x) f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), ∀x0 ∈ (a; b) Định lí 1.6 ([4]) Điều kiện cần đủ để tam giác A2 B2 C2 gần tam giác A1 B1 C1 , tức thỏa mãn điều kiện max{A1 , B1 , C1 } min{A1 , B1 , C1 } max{A2 , B2 , C2 } min{A2 , b2 , C2 } chúng có phép biến đổi tuyến tính dạng   αA1 + βB1 + γC1 = A2 αB1 + βC1 + γA1 = B2   αC1 + βA1 + γB1 = C2 α 0, β 0, γ 0, α + β + γ = Hệ 1.1 ([4]) Cho tam giác ABC, số dương α, β, γ thỏa mãn điều kiện α + β + γ = Đặt A1 = αA + βB + γC, B1 = αB + βC + γA, C1 = αC + βA + γB Khi A1 , B1 , C1 góc tam giác A1 B1 C1 tam giác gần tam giác cho Footer Page 10 of 133 Header Page 12 of 133 10 α2 − γβ α1 = , α + β + γ − 3αβγ γ − βα , β1 = α + β + γ − 3αβγ β − αγ γ1 = α + β + γ − 3αβγ Nhận xét (α + β + γ)(α2 + β + γ − αβ − βγ − γα) = (α+β+γ)(α1 +β1 +γ1 ) = α3 + β + γ − 3αβγ Từ kết này, ta thu kết luận sau Hệ 1.2 Cho tam giác ABC, số α, β, γ không âm không thỏa mãn điều kiện α + β + γ = Đặt đồng thời =   α1 A + β1 B + γ1 C = A1 α1 B + β1 C + γ1 A = B1   α1 C + β1 A + γ1 B = C1 α2 − γβ , α3 + β + γ − 3αβγ γ − βα β1 = , α + β + γ − 3αβγ β − αγ γ1 = α + β + γ − 3αβγ α1 = Khi A1 , B1 , C1 góc tam giác A1 B1 C1 xa tam giác ABC cho Mệnh đề 1.1 ([4]) ho số dương α, β, γ thỏa mãn điều kiện α + β + γ = max(α, β, γ) Khi đó, với tam giác ABC, ta đặt   A1 = αA + βB + γC B1 = αB + βC + γA   C1 = αC + βA + γB Footer Page 12 of 133 Header Page 13 of 133 11 A1 , B1 , C1 góc tam giác nhọn A1 B1 C1 tam giác gần tam giác cho Mệnh đề 1.2 ([4]) Cho tam giác ABC Xét tam giác A1 B1 C1 có góc tính theo công thức  A B C   A1 = + +    B C A B1 = + +    A B C  C1 = + + π π Khi góc A1 B1 C1 nằm khoảng ; 1.4 Một số ví dụ minh họa Bài toán 1.19 ([4]) Cho tam giác ABC cho ba số không âm α, β, γ cho α + β + γ = Đặt   A0 = αA + βB + γC B0 = αB + βC + γA   C0 = αC + βA + γB Chứng minh tam giác A0 B0 C0 gần tam giác ABC Kết sau bao hàm hầu hết bất đẳng thức đối xứng dạng tam giác Bài toán 1.20 ([1]) Cho tam giác A2 B2 C2 gần tam giác A1 B1 C1 cho hàm số f (x) có f (x) với x ∈ (0; π) Khi f (A1 ) + f (B1 ) + f (C1 ) f (A2 ) + f (B2 ) + f (C2 ) (1.26) Bài toán 1.21 ([1]) Cho tam giác A2 B2 C2 gần tam giác A1 B1 C1 cho hàm số f (x) có f (x) với x ∈ (0; π) Khi f (A1 ) + f (B1 ) + f (C1 ) f (A2 ) + f (B2 ) + f (C2 ) (1.30) Bài toán 1.22 ([1]) Cho tam giác ABC cho ba số dương α, β, γ cho α + β + γ = Đặt   A0 = αA + βB + γC B0 = αB + βC + γA   C0 = αC + βA + γB Footer Page 13 of 133 Header Page 14 of 133 12 Chứng minh sin A + sin B + sin C sin A0 + sin B0 + sin C0 (1.34) Bài toán 1.23 ([1]) Cho tam giác ABC cho ba số dương α, β, γ cho α + β + γ = Đặt   A0 = αA + βB + γC B0 = αB + βC + γA   C0 = αC + βA + γB Chứng minh cos A B C + cos + cos 2 cos A0 B0 C0 + cos + cos 2 (1.36) Bài toán 1.24 ([4]) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức M1 = sin B C A C A B A B C + + + sin + + + sin + + 6 (1.37) tập M (∆), tức góc tam giác suy rộng ABC Bài toán 1.25 ([4]) Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z Chứng minh với tam giác ABC ta có x sin A B C B C A C A B + + + y sin + + + z sin + + 6 √ x+ y + z (1.38) 2 Bài toán 1.26 ([4]) Cho số dương α, β, γ thỏa mãn α + β + γ = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức M0 = sin(αA+βB+γC)+sin(αB+βC+γA)+sin(αC+βA+γB) (1.41) M (∆), tức A, B, C góc tam giác suy rộng ABC Footer Page 14 of 133 Header Page 15 of 133 13 Chương MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC DẠNG KHÔNG ĐỐI XỨNG TRONG TAM GIÁC Các bất đẳng thức dạng không đối xứng tam giác dạng mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, f (t) hàm lượng giác dạng sin t, cos t, tan t, cott, g(x, y, z) hàm tuyến tính dạng g(x, y, z) = αx+βy +γz m, n, p Các bất đẳng thức dạng đối xứng phận tam giác dạng f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, f (t) hàm lượng giác dạng sin t, cos t, tan t, cot t, g(x, y, z) hàm tuyến tính dạng g(x, y, z) = αx + βy + γz q ∈ R Trong mục này, ta xét ví dụ dạng đối xứng phận không đối xứng phụ thuộc vào tổng hàm lượng giác Footer Page 15 of 133 Header Page 16 of 133 14 2.1 Bất đẳng thức dạng không đối xứng sinh hàm cos x Ta xét số bất lượng giác dạng đối xứng phận Bài toán 2.1 ([4]) Chứng minh với tam giác ABC, ta có a) cos 2A + cos 2B + k cos 2C −2k − , k > 2k (2.1) b) cos 2A + cos 2B + k cos 2C −2k − , k < 2k (2.2) Bài toán 2.2 ([4]) Chứng minh với tam giác ABC, ta có cos 2A − cos 2B + cos 2C (2.3) Bài toán 2.3 ([4]) Chứng minh với tam giác ABC, ta có √ 3(cos 2A + cos 2B) + cos 2C − (2.4) Bài toán 2.4 ([4]) Chứng minh với tam giác ABC, ta có √ 3(cos 2A − cos 2C) + cos 2B (2.5) Bài toán 2.5 ([4]) Chứng minh với tam giác ABC, ta có a) cos 3A + cos 3B + k cos 3C 2k + , k < 2k (2.6) b) cos 3A + cos 3B + k cos 3C 2k + , k > 2k (2.7) Tiếp theo, ta khảo sát toán bất đẳng thức không đối xứng tam giác sinh hàn số cos t, t ∈ [0; π] Bài toán tổng quát Cho số dương x, y, z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Tc = x cos A + y cos B + z cos C, tập M (∆), tức A, B, C góc tam giác suy rộng ABC Footer Page 16 of 133 Header Page 17 of 133 15 Kí hiệu M (∆) tập hợp tất tam giác ABC kể tam giác suy biến, tức A 0, B 0, C A + B + C = π Ta gọi tam giác thuộc M (∆) tam giác suy rộng 1 , , lập thành x y z độ dài cạnh tam giác XY Z cho trước Khi với tam giác ABC, ta có yz xz xy x cos A + y cos B + z cos C + + (2.8) 2x 2y 2z Bài toán 2.6 ([4]) Cho số dương x, y, z cho Đẳng thức xảy tam giác ABC đồng dạng với tam giác XY Z Nhận xét 2.1 Biểu thức P = x cos A + y cos B + z cos C đạt giá yz xz xy 1 trị lớn + + , , độ dài ba cạnh 2x 2y 2z x y z 1 tam giác, hay − < Trong trường hợp tổng quát, x y z 1 hệ số x, y, z số dương tùy ý không thỏa mãn điều kiện − < x y z dấu đẳng thức (2.8) không xảy Tiếp theo, ta xét trường hợp số dương x, y, z không thỏa 1 mãn điều kiện Bài toán 2.6, bao gồm trường hợp − = x y z 1 − > x y z Bài toán 2.7 ([4]) Chứng minh với tam giác ABC ta có cos A + cos B + cos C < 2 (2.13) Bài toán 2.8 ([4]) Cho số dương m thoả mãn điều kiện < m < Chứng minh với tam giác ABC ta có cos A + cos B + m cos C < − m Bổ đề 2.1 ([4]) Cho số dương x, y, z với x tam giác ABC, ta có x cos A + y cos B + z cos C y (2.14) z > Khi với x cos A0 + y cos B0 + z cos C0 , (2.15) A0 = {A, B, C} , B0 = med {A, B, C} , C0 = max {A, B, C} Footer Page 17 of 133 Header Page 18 of 133 16 Bài toán 2.9 ([4]) Cho số dương x, y, z cho 1 + = Khi x y z với tam giác ABC, ta có x cos A + y cos B + z cos C < x + y − z (2.16) Tổng quát hơn, ta có kết luận sau Bài toán 2.10 ([4]) Cho số dương x, y, z cho 1 + x y Khi z với tam giác ABC ta có x cos A + y cos B + z cos C x + y − z (2.21) Bài toán 2.11 ([4]) Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện + x 1 > Chứng minh với tam giác nhọn ABC, ta có y2 z yz xz xy + + (2.22) x cos A + y cos B + z cos C 2x 2y 2z Dấu đẳng thức xảy x sin A = y sin B = z sin C, tức tam giác ABC đồng dạng với tam giác nhọn có độ dài cạnh 1 , , x y z Bổ đề 2.2 ([4]) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x với tam giácABC, ta có x cos A + y cos B + z cos C y z Khi x cos A0 + y cos B0 + z cos C0 , (2.28) A0 = max {A, B, C} , B0 = med {A, B, C} , C0 = {A, B, C} Định lí 2.1 ([4]) Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x Khi với tam giác ABC ∈ M (∆), ta có x cos A + y cos B + z cos C −x + y + z y z (2.29) Dấu đẳng thức xảy A = π, B = C = Bài toán tổng quát Cho số dương x, y, z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T2C = x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C, tập M (∆), tức A, B, C ba góc tam giác suy rộng ABC Footer Page 18 of 133 Header Page 19 of 133 17 Bổ đề 2.3 ([4]) Giả sử x ABC ∈ M (∆), ta có x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C y z > Khi đó, với tam giác x cos 2A0 + y cos 2B0 + z cos 2C0 , (2.30) A0 = {A, B, C} , B0 = med {A, B, C} , C0 = max {A, B, C} Định lí 2.2 ([4]) Giả sử x ABC ∈ M (∆), ta có y z > Khi đó, với tam giác x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C x + y + z (2.31) Dấu đẳng thức xảy A = B = 0, C = π 1 , , lập thành ba x y z cạnh tam giác XY Z cho trước Khi tam giác ABC, ta có xy yz zx x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C − + + (2.32) z x y Bổ đề 2.4 ([4]) Cho số dương x, y, z cho Dấu đẳng thức xảy tam giác ABC đồng dạng với tam giác XY Z Nhận xét 2.2 Nhận xét rằng, biểu thức T2C = x cos 2A + y cos 2B + xy yz zx + + z cos 2C đạt giá trị nhỏ − z x y 1 1 1 1 , , độ dài ba cạnh tam giác, hay − < < + x y z x y z x y Trong trường hợp tổng quát, hệ số x, y, z số dương tùy ý 1 không thỏa mãn điều kiện − < dấu đẳng thức (2.32) x y z không xảy 1 Bài toán 2.12 ([4]) Cho số dương x, y, z cho + = Khi x y z với tam giác ABC, ta có x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C > z − y − x (2.33) Tiếp theo, để kết thúc dạng toán ta chứng minh toán tổng quát sau Bài toán 2.13 ([4]) Cho số dương x, y, z n ∈ N Chứng minh với tam giác ABC, ta có x2 + y + z Footer Page 19 of 133 2(−1)n+1 (yz cos nA + zx cos nB + xy cos nC) (2.39) Header Page 20 of 133 18 2.2 Bất đẳng thức dạng không đối xứng sinh hàm sin x Bài toán 2.14 ([4]) Chứng minh với tam giác ABC, ta có (2k + 1)2 a) sin2 A + sin2 B + k sin2 C k > (2.44) 4k (2k + 1)2 2 k < (2.45) b) sin A + sin B + k sin C 4k Bài toán 2.15 ([1]) Chứng minh tam giác ABC, ta có √ 2 2 (2.46) sin A + sin B + √ sin C + Bài toán 2.16 Chứng minh tam giác ta có √ 4√ sin A + sin B + sin C (2.47) Bổ đề 2.5 ([4]) Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x z > Khi với tam giác ABC ta có x sin A + y sin B + z sin C x sin A0 + y sin B0 + z sin C0 , y (2.49) A0 = {A, B, C} , B0 = med {A, B, C} , C0 = max {A, B, C} Định lí 2.3 ([4]) Cho số dương x, y, z tuỳ ý Khi với tam giác ABC, ta có x sin A + y sin B + z sin C (2.50) Dấu đẳng thức xảy tam giác ABC có số đo ba góc 0, 0, π Định lí 2.4 ([4]) Giả sử α, β, γ ba góc tam giác nhọn XY Z cho trước Khi với tam giác ABC, ta có sin A sin B sin C + + cos α cos β cos γ 1 + + sin 2α sin 2β sin 2γ (cot 2α + cot 2β + cot 2γ) sin 2α sin 2β sin 2γ + + + sin 2β sin 2γ sin 2α sin 2γ sin 2α sin 2β (2.51) − Footer Page 20 of 133 Header Page 21 of 133 19 Bổ đề 2.6 ([4]) Giả sử số dương x, y, z thoả mãn điều kiện 1 + > x2 y z2 Khi với tam giác ABC, ta có A B C yz xz xy + + (2.56) x sin + y sin + z sin 2 2x 2y 2z A B C Dấu đẳng thức xảy x cos = y cos = z cos tức 2 tam giác A1 B1 C1 với ba góc B+C A+C A+B A1 = , B1 = , C1 = (2.57) 2 1 đồng dạng tam giác nhọn có độ dài cạnh , , x y z Tiếp theo, ta tìm giá trị nhỏ biểu thức A B C P = x sin + y sin + z sin 2 Bổ đề 2.7 ([4]) Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x y z Khi với tam giác ABC ∈ M (∆), ta có A B C A0 B0 C0 x sin + y sin + z sin > x sin + y sin + z sin (2.58) 2 2 2 A0 = {A, B, C} , B0 = med {A, B, C} , C0 = max {A, B, C} Bài toán 2.17 ([4]) Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x y z Chứng minh với tam giác ABC ta có A B C x sin + y sin + z sin > x (2.59) 2 Nhận xét 2.3 Nhận xét x đánh giá tốt cho vế phải Thật vậy, cho B = C = α, A = π − 2α với α đủ nhỏ A B C lim x sin + y sin + z sin =x α→0 2 1 Bài toán 2.18 ([1]) Cho số dương x, y, z cho , , lập thành x y z độ dài cạnh tam giác XY Z cho trước Khi với tam giác ABC, ta có A B C yz xz xy x sin + y sin + z sin + + (2.60) 2 2 x y z Footer Page 21 of 133 Header Page 22 of 133 20 Hệ 2.1 Cho số dương x, y, z cho 1 + x y Khi z tam giác ABC thuộc M (∆), ta có x sin A B C + y sin + z sin 2 x + y − z (2.65) Hệ 2.2 Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x Khi tam giác ABC ∈ M (∆), ta có x sin 2.3 B C A + y sin + z sin 2 −x + y + z y z (2.66) Bất đẳng thức dạng không đối xứng sinh hàm tan x Bổ đề 2.8 Cho số dương xi ∈ 0; n n tan xi i=1 tan n π , i = 1, , n, ta có n xi , n = 2, 3, (2.67) i=1 Bài toán 2.19 ([4]) Cho số dương m, n, p Chứng minh tam giác ABC ta có n+p A p+m B m+n C tan2 + tan2 + tan2 m n p 2 (2.68) Nhận xét 2.4 Ta biết tam giác ABC có tan A B C + tan + tan 2 √ (2.72) Ta mở rộng bất đẳng thức đối xứng (2.85) thành bất đẳng thức dạng không đối xứng sau Bài toán 2.20 ([1]) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác x, y, z số dương thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M1 = ax + by + cz Footer Page 22 of 133 (2.73) Header Page 23 of 133 21 Bài toán 2.21 Cho số dương m, n, p độ dài cạnh tam giác Chứng minh tam giác ABC ta có m tan A B C + n tan + p tan 2 2(mn + np + pm) − m2 − n2 − p2 (2.77) Bài toán 2.22 ([3]) Cho m, n, p số nguyên dương lớn Chứng minh với tam giác ABC, ta có: A m m tan α +n tan B n α +p tan C p α (m+n+p) tan α π m+n+p (2.78) với α > 2.4 Bất đẳng thức dạng không đối xứng sinh hàm cot x Bài toán 2.23 Cho số dương m, n, p Chứng minh tam giác nhọn ABC ta có n+p p+m m+n cot2 A + cot2 B + cot2 C m n p Nhận xét 2.5 Ta biết tam giác ABC có √ cot A + cot B + cot C (2.81) (2.85) Ta thay bất đẳng thức đối xứng bất đẳng thức dạng không đối xứng sau Bài toán 2.24 Cho số dương m, n, p độ dài cạnh tam giác Chứng minh tam giác ABC ta có m cot A + n cot B + p cot C Footer Page 23 of 133 2(mn + np + pm) − m2 − n2 − p2 (2.86) Header Page 24 of 133 22 Chương ÁP DỤNG 3.1 Tìm cực trị biểu thức lượng giác tam giác Bài toán 3.1 Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ √ + cos2 A + cos2 B + cos2 C + + (3.1) sin B sin C sin A Bài toán 3.2 Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức A B C cot A + cot B + cot C + tan + tan + tan (3.3) 2 Bài toán 3.3 (HSG 1992 bảng B) Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1 + cos2 A)(1 + cos2 B)(1 + cos2 C) Bài toán 3.4 Tìm giá trị lớn biểu thức √ 2(cos 3A + cos 3B) + cos 3C (3.6) (3.7) Bài toán 3.5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức cos 3A + cos 3B − cos 3C Bài toán 3.6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ 2(cos 2A + cos 2B) + cos 2C Bài toán 3.7 Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 1 1 − + x y z x y (3.8) (3.11) (3.12) Tìm giá trị lớn biểu thức x sin A + y sin B − z cos C Footer Page 24 of 133 (3.13) Header Page 25 of 133 23 3.2 Giải phương trình Bài toán 3.8 Giải phương trình sin2 x + sin2 y + sin2 z = (3.14) Bài toán 3.9 Giải phương trình cos x + cos y + cos z = (3.15) Bài toán 3.10 Giải phương trình cos 2x − cos 2y + cos 2z = (3.16) Bài toán 3.11 Giải phương trình cos x + cos y + cos z = Footer Page 25 of 133 (3.17) Header Page 26 of 133 24 KẾT LUẬN Luận văn nhằm trình bày theo hướng hệ thống lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng sinh hàm số lượng giác Trình bày dạng tổng quát lớp bất đẳng thức lượng giác với hệ số không đối xứng Đó bất đẳng thức dạng đối xứng tam giác dạng mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, f (t) hàm lượng giác dạng sin t, cos t, tan t, cott g(x, y, z) hàm tuyến tính dạng g(x, y, z) = αx+βy+γz, m, n, p, α, β, γ số không âm Trình bày số áp dụng lý thuyết nhận Tác giả mong muốn luận văn phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy bất đẳng thức lượng giác nhà trường, tương lai Footer Page 26 of 133 ... lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng sinh hàm số lượng giác Trình bày dạng tổng quát lớp bất đẳng thức lượng giác với hệ số không đối xứng Đó bất đẳng thức dạng đối xứng tam giác dạng. .. Chương Một số lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác: Trình bày số lớp bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác Chương Áp dụng: Xét số áp dụng bất đẳng thức vào tìm... Một số hệ thức lượng giác tam giác: Trong chương này, tác giả trình bày số bất đẳng thức bản, bất đẳng thức lượng giác dạng đối xứng tam giác Độ gần thứ tự biểu thức dạng đối xứng tam giác Một