Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương “Chúng ta không học bấm máy, học để sáng tạo cách bấm máy ” Liên hệ: Thầy Quyền - TP HCM - 01226678435 Thầy Vương - TP HCM - 0908939004 Page: Giải toán với trợ giúp MTCT Group: Casiotuduy Có khóa kết hợp tư & casio 9,10,11,12 TP HCM 12 Tháng năm 2017 Mục lục 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Khai thác Định lý Viet phương tr Tiếp cận nhanh phương tr Ứng dụng t Tối ưu bấm máy cho toán đơn điệu hàm số 1.4.1 Hàm biến y = ax+b cx+d 1.4.2 Hàm bậc ba y = ax + bx2 + cx + d (a = 0) Biểu diễn số phức vấn đề min, max 1.5.1 Một số công thức 1.5.2 Khai thác biểu diễn h Kỹ thuật chọn trắc nghiệm t Khai thác tỉ số h Bán k 13 13 15 19 19 23 26 31 45 Một số chuyên đề trắc nghiệm chọn lọc 1.1 Khai thác Định lý Viet phương trình bậc Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a = 0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 ta có b • x1 + x2 + x3 = − a c • x1 x2 + x2 x + x3 x1 = a d • x1 x2 x3 = − a Ví dụ Cho hàm số y = 2x3 − 3x2 + có đồ thị (C) đường thẳng d : y = x − Giao điểm (C) (d) A(1; 0), B C Khoảng cách B C Giải Xét phương trình HĐGĐ 2x3 − 3x2 + = x − ⇔ 2x3 − 3x2 − x + = Ta có theo Viet (để ý xA = 1) xA + xB + xC = ⇒ xB + xC = , xA xB xC = ⇒ xB xC = 2 Vì B, C ∈ d : y = x − nên độ dài BC cho √ |xB − xC | = √ √ (xB + xC ) − 4.xB xC = 34 Lưu ý, M, N hai điểm thuộc đường thẳng y = kx + l độ dài đoạn M N cho M N = |xM − xN | + k2 = (xM + xN )2 − 4xM xN + k2 Ví dụ Biết đồ thị hàm số y = x3 + 54 x − y = x2 + x − tiếp xúc điểm M (x0 ; y0 ) Tìm x0 Giải Thấy phương trình x3 + x − = x2 + x − có nghiệm x = (không phải nghiệm kép, không tách nhân tử x2 ) Vậy có x0 + x0 + = ⇒ x0 = Ví dụ Giả sử đồ thị (Cm ) : y = x3 − 3mx2 + (m − 1)x + 3m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 Giá trị nhỏ x21 + x22 + x23 1.1 KHAI THÁC ĐỊNH LÝ VIET CỦA PHƯƠNG TR A −17 B Trần Lê Quyền C 17 D Giải Ta có x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3 )2 − (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = (3m) − 2.(m − 1) = 3x − + 17 Chọn C Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + m (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ Giải Gọi M, N hai điểm thuộc (Cm ) đối xứng qua gốc tọa độ Khi đường thẳng M N qua O có phương trình y = kx Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 − 3x2 + m = kx ⇔ x3 − 3x2 − kx + m = Phương trình có ba nghiệm xM , xN , xP thỏa mãn xM + xN + xP = Vì xM + xN = nên xP = 3, suy 33 − 3.32 + m = kx ⇒ k = m Phương trình trở thành x3 − 3x2 − m x + m = ⇔ 3(x − 3) 3x2 − m = Cần tìm m để phương trình cuối có hai nghiệm đối nhau, dễ thấy m > thỏa yêu cầu Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3x2 + (m + 1)x + (có đồ thị (Cm )) Tìm m để đường thẳng ∆ : y = x + cắt đồ thị (Cm ) ba điểm phân biệt P (0; 1), M N cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OM N √ A m = −3 B m = C m = D m = Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 − 3x2 + (m + 1)x + = x + ⇔ x3 − 3x2 + mx = ta có (chú ý xP = 0)  x + x + x = ⇒ x + x = P M N M N x P x M + x M x N + x N x P = m ⇒ x M x N = m Từ xM + xN = suy trung điểm M N P 23 ; 52 Đường trung trực đoạn M N qua P ⊥∆ có phương trình d : y = − x Bây gọi I tâm đường tròn cho ta có I ∈ d Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền suy I(x; − x) Sử dụng giả thiết 25 R = OI = √ ⇔ x2 + (4 − x)2 = ⇔x= ∨x= 2 2 Với I ; , khai thác liên hệ (Pitago) 2 MN2 + d(I; ∆)2 = R2 √ 2.|xM − xN | −3 + √ ⇔ + 2 √ √ 32 − 4m −3 + √ + ⇔ 2 = 25 = 25 2 Thử đáp án, chọn A 1.2 Tiếp cận nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm bậc ba Trong trường hợp hàm số bậc ba y = f (x) có hai cực trị, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y = ∆(x), ∆(x) = f (x) − f (x).f (x) k với k số thực thích hợp làm cho hệ số bậc ∆(x) bị triệt tiêu! Đối với trường hợp có tham số, việc tìm dạng tường minh ∆(x) gây khó khăn định Bạn đọc tìm đọc viết thầy Phùng Quyết Thắng xung quanh vấn đề này, kết mở rộng khác Còn viết này, cố gắng khai thác ∆(x) mà không cần biết đến dạng xác Ví dụ Đường thẳng nối hai điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 −x+m qua điểm M (3; −1) m A B −1 C D Một giá trị khác Giải Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y = ∆(x) với ∆(x) = x3 − x + m − (3x2 − 1).6x k Để ý, số hạng có bậc ∆(x) gồm x3 − 3x k.6x Ta chọn k = 18 để có x3 − 3x18.6x = Bây giờ, solve theo biến m1 phương trình x3 − x + m − (3x2 − 1).6x −y =0 18 Để máy solve theo biến khác [, chẳng hạn biến @, ta việc viết thêm vào cuối phương trình q)@ Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền x = 3, y = −1 Kết thu m = 1, chọn A Ví dụ Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x + có hệ số góc A −2 B C Giải Ta có ∆(x) = x3 − 3x + − r biểu thức ∆(x) x D (3x2 − 3).6x 18 x = 99999 (lớn tùy ý) thu kết ∼ −2, chọn A Lưu ý, hệ số góc ∆(x) x→+∞ x đường thẳng y = ∆(x) lim Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng nối điểm cưc trị đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + m − vuông góc với đường thẳng y = 3mx + A m = 1 B m = C m = D m = ± Giải Ta có y = 3x2 − 3m, hàm số có cực trị y có hai nghiệm phân biệt, tức m > (loại D) Khi ∆(x) = x3 − 3mx + m − − (3x2 − 3m).6x 18 Vì hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc −1, ta r biểu thức ∆(x) 3m x x = 99999 (cố định) m nhận giá trị > đáp án (kết ∼ −1 nhận) Kết m 1 −6 Ghi loại −1, 00 Nhận, Chọn B Ví dụ Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + mx + m có hai điểm cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = − 2x A m = B m = C m = D m = Giải Hàm số có cực trị m < Ta có ∆(x) = x3 − 3x2 + mx + m − Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM (3x2 − 6x + m)(6x − 6) 18 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền Hai đường thẳng song song có hệ số góc, r biểu thức m nhận giá trị sau (kết ∼ nhận): m −2 ∆(x) −2x x = 99999 (cố định) Kết Ghi 0, 666 1, 666 N Đáp án: C Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3mx2 − 3m + (C) Tìm tất giá trị thực tham số m để (C) có hai điểm cực trị đường thẳng nối hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân √ √ A m = 2√ C m = ± √2 D m = ± ∨m=0 B m = − 2 Giải Hàm số có cực trị m = 0, ta có ∆(x) = x3 − 3mx2 − 3m + − (3x2 − 6mx)(6x − 6m) 18 Giả thiết cho biết đường thẳng ∆ : y = ∆(x) tạo với trục Ox góc 45◦ 135◦ , hệ số góc ∆ tan 45◦ tan 135◦ Vậy r biểu thức ∆(x) x x = 99999 (cố định) m nhận giá trị đáp án (kết ∼ ±1 nhận m) Phần thủ tục dành lại cho bạn đọc Ví dụ Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 − 3m + có đồ thị (C) hai điểm A(2; 0), B(1; 2) Tìm tất giá trị tham số m để (C) có hai điểm cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị cách A, B A m = B m = ∨ m = C m = ∨ m = D m = √ Giải Hàm số có cực trị m > (loại B), ∆(x) = −x3 + 3mx2 − 3m + − (−3x2 + 6mx)(−6x + 6m) −18 Chú ý, để đường thẳng ∆ : y = ∆(x) cách A, B AB ∆ trung điểm I ;0 AB thuộc ∆ • TH1: Chọn m I ∈ ∆, solve phương trình ∆(x)−y = theo biến m với x = , y = ta nghiệm m = Đến ta loại D Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền AB : y = − 2x, ta r biểu thức kết −1, 99 nên loại m = • TH2: Chọn m để có ∆ ∆(x) −2x x = 99999, m = Đáp án: A Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx có hai cực trị M, N , đồng thời tam giác OM N có diện tích 12 B m = ±3 A m = C m = −3 m = D m = Giải Ta có y = 6x2 − 6(m + 1)x + 6m, hàm số có cực trị m = Ta có ∆(x) = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx − (6x2 − 6(m + 1)x + 6m)(12x − 6m − 6) 36 Để ý rằng, phương trình ∆(x) y = ax + b diện tích tam giác OM N cho bởi2 b b S = | (xM − xN )| = | | (xM + xN )2 − 4xM xN 2 b = | | (m + 1)2 − 4m Để tìm b, r ∆(x) x = 0, m = 100 thu b = 10100 = m2 + m Thay b vào phương trình thử đáp án, chọn B Ví dụ Cho hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + c giả sử A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số Giả sử đường thẳng AB qua gốc tọa độ Tìm giá trị nhỏ P = abc + ab + c A −9 C − B 16 25 D − 25 Giải Ta có 3x2 + 2ax + b 6x + 2a Giả sử ∆(x) : y = ax + b, ∆(x) qua O nên phải có b = Kỹ thuật r 100 cho phép tìm ab b = c − ab Với c = , ta có ∆(x) = x3 + ax2 + bx + c − (ab)2 ab P = + ab + = 9 ab + 3 − 25 25 ≥− 9 Bài tập BT Đồ thị hàm số y = −x3 + 3mx2 − 3m + có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x + 8y − 74 = xem mục Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR A m = Trần Lê Quyền B m = −2 C m = −1 D m = BT Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + m − (C) hai điểm I(−1; 2), J(0; 1) Tìm tất giá trị thực tham số m để (C) có hai điểm cực trị đường thẳng ∆ qua hai điểm cực trị thỏa mãn d(I; ∆) = 4.d(J; ∆) A m = C m = ±1 B m = D m = −1 BT Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 3(m − 1)x2 + 6(m − 2)x − có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = − 4x A m = C m = ∨ m = B m = D m = −3 ∨ m = BT Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx có hai điểm cực trị AB đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + A m = C m = ∨ m = B m = D m = ∨ m = −2 BT Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 −3mx+2m2 −4033m+1 có hai điểm cực trị nằm đường thẳng y = 2017x + 2018 C m = 2017 B m = 2017, m = − A m = − D Không có m thỏa BT Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2m2 (C) y = x−1 (H) Tìm tất giá trị thực x+n tham số m, n để (C) có hai điểm cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị tiếp xúc với (H) điểm có hoành độ C m = 2, n = − A m = 0, n = − B m = 1, n = − D Không tồn m, n BT Cho hàm số y = x3 − 3m2 x + m, giá trị m để trung điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc đường thẳng y = −1 A B − C D BT Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + cắt đường tròn tâm I , bán kính hai điểm phân biệt A, B cho SIAB đạt giá trị lớn A √ 2± B √ 1± Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM C √ 2± D √ 2± 3 0122 667 8435 1.3 ỨNG DỤNG T 1.3 Trần Lê Quyền Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích mặt phẳng → − − Trong không gian Oxyz , cho vectơ → a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ), tích có hướng → − → − → − → − hai vectơ a , b vectơ a ; b xác định sau → − → − a ; b = (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) − − Có thể xem vectơ → u = (A, B) , → v = (C, D) mặt phẳng Oxy vectơ − không gian Oxyz cách viết ghép thêm vào thành phần cao độ 0: → u = (A, B; 0) → − v = (C, D; 0), tích có hướng − − [→ u ;→ v ] = (0; 0; AD − BC) −→ −→ Như vậy, điểm A, B, C mặt phẳng Oxy mà AB = (A, B) , AC = (C, D) ta có 1 −→ −→ AB, AC = |AD − BC| (1.1) SABC = 2 Chúng ta sử dụng (1.1) công thức hữu dụng cho phép tính nhanh diện tích tam giác mặt phẳng Oxy Và với cách tiếp cận này, ‘chiếu’ lên tình cụ thể, ta rút số kết sau: Nhận xét • Nếu M, N hai điểm thuộc đường thẳng d : y = ax + b diện tích √ tam giác OM N 12 |b(xM − xN )| Trong khi, độ dài đoạn M N a2 + 1.|xM − xN | • Nếu A ∈ Oy, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm bậc trùng phương ta có SABC = |xB (yB − yA )| Ví dụ Cho đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + có hai điểm cực trị A, B Tính diện tích tam giác OAB −→ −−→ Giải Tìm A(0; 1), B(2; −3) suy OA = (0; 1), OB = (2; −3) Áp dụng (1.1) với A = 0, B = 1, C = D = −3, ta có SOAB = |0.(−3) − 1.2| = Ví dụ Gọi A, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2 + Tính diện tích tam giác ABC −→ −→ Giải Các điểm cực trị A(0; 1), B(1; −1) C(−1; −1), ta có AB = (1; −2), AC = (−1; −2) Diện tích ∆ABC |xB (yB − yA )| = Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2(1 − m2 )x2 + m + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất? A m = B m = − C m = √ D m = √ Giải Ta có A(0; m+1), B( − m2 ; 2m2 +m−m4 ), C(− − m2 ; 2m2 +m−m4 ) với m ∈ (−1; 1) Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.7 KHAI THÁC TỈ SỐ TRONG H Trần Lê Quyền BT 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông Tam giác SAB cân S (SAB)⊥(ABCD) Cho biết góc SC mặt phẳng (ABCD) 60◦ , tính góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) √ A arctan 15 B arctan √ 15 C arctan D arctan BT 21 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có diện tích mặt bên ABB A 8, khoảng cách CC (ABB A ) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C A 16 B 24 C 36 D 48 BT 22 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trên đoạn thẳng SA, SC lấy điểm A , C , cho SA SC = , = Mặt phẳng (α) SA SC qua A , C cắt đoạn SB, SD B , D Tính giá trị nhỏ tỷ số thể tích hình chóp S.A B C D S.ABCD A 15 B 30 C 15 √ D 15 16 BT 23 Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm BC , tính thể tích khối chóp S.ABM theo V A V B V C V D V BT 24 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy α thoả mãn cos α = Mặt phẳng (P ) qua AC vuông góc với mặt phẳng SAD chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau A 0, 11 B 0, 13 C 0, D 0, BT 25 Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P thuộc BC, BD, AC cho BC = 4BM, BD = 2BN, AC = 3AP Mặt phẳng (M N P ) cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia mặt phẳng (M N P ) A B 13 C 13 D BT 26 Một tứ diện cạnh a có đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh lại nằm đường tròn đáy hình nón Xác định diện tích xung quanh hình nón √ πa2 A √ πa2 B Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM √ C πa2 40 √ πa2 D 0122 667 8435 1.7 KHAI THÁC TỈ SỐ TRONG H Trần Lê Quyền √ BT 27 Một hình trụ có hai đáy hai hình tròn (O; R) (O ; R), OO = R Xét hình nón có đỉnh O đáy hình tròn (O; R) Tính tỉ số diện tích xung quanh hình trụ hình nón √ A √ B √ 2 C √ D BT 28 Biết thể tích khối lăng trụ ABC.A B C V , tính thể tích khối tứ diện A ABC theo V A V B 2V C V D V BT 29 Cho hình khối lăng trụ ABC.A B C M trung điểm CC Gọi khối đa diện (H) phần lại khối lăng trụ ABC.A B C sau cắt bỏ khối chóp M.ABC Tính tỉ số thể tích (H) khối chóp M.ABC A B C D BT 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD, SB M, N Gọi V1 thể tích khối chóp S.AM P N Tìm giá trị nhỏ A B C V1 V D BT 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông M trung điểm SC Mặt phẳng (P ) qua AM song song với BD cắt SB, SD P, Q Khi VSAP M Q VABCD A B C D √ BT 32 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc, OB = a, OC = a √ OA = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối tứ diện theo a khoảng cách hai đường thẳng AB OM BT 33 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cho hai tam giác ABC ABD có diện tích Gọi E thuộc cạnh SD cho SE = 2ED Mặt phẳng (P ) qua B , E cắt SA, SC M, N Cho biết (P ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích SN Giá trị SM SA + SC A B C D BT 34 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng (P ) chứa AB qua trọng tâm Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 41 0122 667 8435 1.7 KHAI THÁC TỈ SỐ TRONG H Trần Lê Quyền G tam giác SAC cắt SC , SD M, N Tỷ lệ A B C VSABM N VSABCD có giá trị D BT 35 Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cân A, mặt (SBC) vuông góc (ABC) √ thỏa mãn điều kiện SA = SB = AB = AC = a, SC = a Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC A 4πa2 B πa2 C 2πa2 D 8πa2 BT 36 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng chứa AB , qua điểm C nằm cạnh SC chia khối chóp thành hai phần tích Tính tỉ số SC SC √ B 2 A C 5−1 D BT 37 Xét khối chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng qua B , trung điểm F cạnh SD song song với AC chia khối chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích phần chứa đỉnh S phần chứa đáy A B C D BT 38 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy nội tiếp hai hình vuông đối diện hình lập phương có cạnh 20 cm Tính thể tích khối trụ A 2000π cm3 B 200π cm3 C 8000π cm3 D 1000π cm3 √ BT 39 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi tâm O, AB = a 5, AC = 4a, √ SO = 2a Gọi M trung điểm SC Biết SO vuông góc với mặt phẳng đáy, tính thể tích khối chóp S.OBC √ A 2a3 √ √ B 2a3 √ C a D 4a3 Giải Lấy A(0; 0), B(0; 5), C( √ ; √ ) ta có SABC = √ BT 40 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = BC = 3, SBA = 30◦ , SCB = 90◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) BT 41 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc 60◦ Tính khoảng cách từ A đến (SBC) √ a A √ a B Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM √ C a 42 D 3a4 0122 667 8435 1.7 KHAI THÁC TỈ SỐ TRONG H Trần Lê Quyền BT 42 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đều, mặt bên (SAB), (SAC) (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc x, y, z thỏa mãn tan x = tan y = tan z Gọi H hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) cho biết thể tích khối chóp S.ABC Tính thể tích khối chóp S.HBC A B C D BT 43 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hai mặt bên (SAB) (SAC) tạo với đáy góc 60◦ Mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 45◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC biết hình chiếu đỉnh S nằm phía tam giác ABC 3a3 A √ a3 B √ (2 − 3)a3 C √ (2 + 3)a3 D BT 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD √ 3a A √ 2a B √ 2a C √ 3a D BT 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P ) cắt SA, SB , SC , SD A , B , C , D Chứng minh SC SB SD SA + = + SA SC SB SD BT 46 Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 ≤ x ≤ a) nửa đường thẳng Ax vuông góc A với mặt phẳng hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0) Với giả thiết x2 + y = a2 Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM BT 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc x hợp với mặt bên (SAB) góc y Chứng minh SC = a2 cos2 x − sin2 y √ BT 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA⊥(ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC , I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện AN IB BT 49 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA⊥(ABC) Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB , SC Tính thể tích khối chóp A.BCN M Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 43 0122 667 8435 1.7 KHAI THÁC TỈ SỐ TRONG H Trần Lê Quyền BT 50 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a, cạnh bên SA, SB , SC tạo với đáy góc 60◦ Gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vuông góc với SA Tính thể tích khối chóp S.DBC BT 51 Thiết diện qua trục hình nón (N ) tam giác vuông có cạnh góc vuông a Mặt phẳng (P ) qua đỉnh tạo với đáy góc 60◦ , tính diện tích thiết diện tạo (P ) hình nón (N ) BT 52 Cho hình nón tròn xoay có chiều cao 20 cm, bán kính đáy 25 cm Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cách tâm đáy khoảng 12 cm Tính diện tích thiết diện tạo (P ) hình nón cho √ BT 53 Một hình trụ có bán kính đáy r chiều cao r 3, Cho hai điểm A, B nằm hai đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 30◦ Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ √ BT 54 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD hình thoi, AB = a 3, BAD = 120◦ Biết góc đường thẳng AC mặt phẳng (ADD A ) 30◦ Tính khoảng cách từ trung điểm N BB đến mặt phẳng (C M A) biết M trung điểm A D BT 55 Biết có mặt cầu bán kính tiếp xúc với tất cạnh hình chóp √ S.ABC tâm I mặt cầu nằm đường cao SH hình chóp Cho SI = 3, tính chiều cao hình chóp S.ABC √ A √ B √ C + √ D + √ 2 BT 56 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, 2CD = AB Cho biết thể tích khối chóp S.ABCD Tính thể tích tứ diện SBCD A B C √ D BT 57 Bên hình trụ có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp cho A, B thuộc đường tròn đáy thứ C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với mặt đáy hình trụ góc 45◦ Tính thể tích khối trụ √ a A √ a C √ 3a B √4 a D BT 58 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông Trên cạnh AB lấy điểm M cho 4M A = AB , cạnh AC cắt M D H Biết SH vuông góc với mặt đáy thể tích khối chóp S.ABCD Tính thể tích khối chóp S.HM BC Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 44 0122 667 8435 1.8 BÁN K A 19 40 Trần Lê Quyền B 20 C 15 32 16 D BT 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B , AD = 2a, AB = BC = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy SA = 2a Gọi N, M trung điểm SA SD Tính thể tích khối chóp S.BCM N 1.8 Bán kính mặt cầu Phần giới thiệu số công thức xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp hình chóp trường hợp hay gặp Đặc biệt, nhận xét ?? kết mạnh! Đầu tiên, chúng cần xem xét giả thiết qui định vị trí hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng Nhận xét 1) Nếu I cách ba điểm A, B, C hình chiếu I lên (ABC) tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 2) Nếu I cách ba cạnh nội tiếp tam giác ABC ABC hình chiếu I lên (ABC) tâm đường tròn Chứng minh Gọi H hình chiếu I lên (ABC) Đối với (1), IA = IB = IC nên ta có IAH = IBH = ICH , AH = BH = CH (2) Gọi A , B , C hình chiếu H lên cạnh BC, CA, AB Ta có BC⊥(IHA ) (do BC⊥IH BC⊥HA ) suy BC⊥IA , tương tự CA⊥IB AB⊥IC Theo giả thiết IA = IB = IC nên IA H, IB H IC H tam giác vuông với cạnh tương ứng HA = HB = HC Kết cho thấy H tâm đường tròn nội tiếp ABC Nhận xét Xét hình chóp S.ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O bán kính Rd Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , ta có trường hợp sau: 1) Nếu SA⊥(ABC) R= SA2 + Rd2 (1.4) 2) Nếu SA = SB = SC R= SA2 2SO 3) Nếu (SAB)⊥(ABC) bán kính đường tròn ngoại tiếp R= Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM d(O, AB)2 + Rb2 45 (1.5) SAB Rb (1.6) 0122 667 8435 1.8 BÁN K Trần Lê Quyền Chứng minh (1.4) (1.5) đơn giản (1.6) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Ta có IO⊥(ABC) IK⊥(SAB) Xét tam giác IAK , ta có IA = Để ý OI IK + AK = d(O, AB)2 + Rb (SAB) nên IK = d(O, (SAB)) = d(O, AB) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, BC = 2a √ Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy SA = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Để áp dụng (1.4), cần tính bán kính đáy Rd Vì đáy tam giác vuông B nên Rd = AC = √ a Vậy bán kính cần tìm SA2 √ + Rd2 = a Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cạnh 2a Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Giải Mặt cầu cho mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC , nên với A A⊥(ABC) ta áp dụng R= Diện tích mặt cầu 4πR2 = A A2 + Rd2 = a2 + 2a √ √ a 21 = 28πa2 Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Biết OA = a, OB = b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giải Ta có AO⊥(OBC) nên có áp dụng (1.4), OA2 + Rd2 = R= OA2 + OB + OC Công thức cho phép xây dựng số toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông Chẳng hạn BT Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi thỏa mãn OA, OB, OC đôi vuông góc 2OA + OB + OC = Giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC √ A √ √ 3 C B Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 46 D 0122 667 8435 1.8 BÁN K Trần Lê Quyền BT Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với Gọi C điểm cố định Oz , đặt OC = 1; điểm AB , thay đổi OxOy , cho OA + OB = OC Tìm giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC √ A √ √ B √ C D Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a √ Gọi D điểm đối xứng A qua BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD Giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC , ta có SH⊥(ABC) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD AH = √a3 Trong ta có DH = 2AH , nên H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Vậy áp dụng (1.4), R= √ a 21 SH 2 + Rd = Như vậy, ‘nới rộng’ điều kiện áp dụng (1.4), hình chiếu đỉnh S ‘rơi’ đường tròn ngoại tiếp đáy Ví dụ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có tất cạnh a Giải Xét hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Vì hình chóp S.ABCD S.ABC có mặt cầu ngoại tiếp nên với SA = SB = SC ta áp dụng (1.5) để có R= Ta có SO = √ SA2 − OA2 = thể tích khối cầu 43 πR3 = SA2 2SO a2 − a2 √ πa3 = √a suy R = √a Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh Hình chiếu đỉnh S lên mặt đáy trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 23 Tính thể tích khối chóp Giải Vì S cách A, B, C nên áp dụng (1.5) Ta có liên hệ   SA2 = SO2 + SA   = 2SO Giải hệ thu SO = 1, thể tích khối chóp cho Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 47 √ 12 0122 667 8435 1.8 BÁN K Trần Lê Quyền Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Đường thẳng BC tạo với (SAC) góc 30◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Áp dụng (1.6), ta cần tính bán kính Rb đường tròn ngoại tiếp SAB d(O, AB) với O trung điểm BC Vì SAB nên có Rb = √13 (cho a = 1) Gọi H trung điểm cạnh AB , theo giả thiết ta có SH⊥(ABC) Dễ √ có d(B, (SAC)) = 2d(H, (SAC)) = √ d(B; (SAC)) = BC sin 30◦ ⇒ BC = √ √1 Từ suy AC = d(O; AB) = AC = Vậy bán kính cần tìm R= Rb2 + d(O, AB)2 = Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AC = a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh BC E điểm đối xứng D qua A Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE √ a 21 A a 2a B √ C √ D a Giải Gọi H trung điểm cạnh AB , (SAB)⊥(ABC) nên ta có SH⊥(ABC) Đối với hình chóp S.ABE , ta áp dụng (1.6), R= Rb2 + d(O, (AB))2 • Với O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAB , nhiên không cần thiết xác định vị trí O, ta có AB d(O, AB)2 = Rd2 − = √ a 2 − a = a • Rb bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , tức Rb = √a3 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE 2a √ Như tình khó xác định vị trí tâm O, ta dùng (1.5) Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 48 0122 667 8435 1.8 BÁN K Trần Lê Quyền dạng (2’) sau: R= Rb2 + Rc2 − AB Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABD tam giác cạnh a, CD = a (ABC)⊥(ABD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a √ a A B a 2a C √ a D √ Giải Vì (ABC)⊥(ABD) nên ta có DH⊥(ABC) với H trung điểm cạnh AB Vì D cách A, B, C nên H trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , tức d(O, AB) = Như trường hợp này, (1.6) trở thành R = Rb = √a3 Nhận xét Cho hình chóp S.ABC , đường tròn nội tiếp đáy ABC có tâm I , bán kính rd , SI⊥(ABC) SI = h Khi đó, bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC thỏa h đồng thời mãn < r < hr2 + 2rd2 r − rd2 h = (1.7) Chứng minh Gọi J tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Kẻ IM ⊥AB M ta có AB⊥(SIM ) Kẻ tiếp JH⊥SM H , kết hợp với AB⊥JH ta JH⊥(SAB) Vậy JH bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Đặt JH = JI = r SHJ ∼ SIM nên SH JH = ⇔ SI IM (h − r)2 − r2 = r rd h  hr2 + 2r r − r h = d d ⇔ 0 < r < h Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC = 60◦ Hình chiếu S lên mặt đáy trùng với giao điểm O AC BD Cho biết SO = a4 , tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD √ 3−1 a A √ 2− B a √ 3+3 C a √ 3−3 D a Giải Vì O tâm đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD SO⊥(ABCD) nên áp Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 49 0122 667 8435 1.8 BÁN K Trần Lê Quyền dụng nhận xét Vậy cần tính thêm rd , ta có √ a rd = d(O, AB) = Bán kính r mặt cầu thỏa phương trình hr2 + 2rd2 r − hrd2 = 0, thử phương án chọn D Ví dụ 11 Cho mặt cầu có bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu Hỏi thể tích nhỏ chúng √ √ A √ B √ C D 16 Giải Đặt x, h độ dài cạnh đáy chiều cao hình chóp tam giác ngoại tiếp √ x mặt cầu bán kính Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp đáy Ta có theo (1.7), h.12 + √ x − √ x h=0⇒h= 2x2 x2 − 12 Thể tích khối chóp √ x2 2x2 V = x2 − 12 √ √ Khảo sát hàm số 12; +∞ cho thấy V ≥ Chọn B BT Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, BC = 4a Cạnh bên SA = 3a vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu trường hợp SA⊥(ABC), ta có R= Rd = BC SA2 + Rd2 = (3a)2 + (2a2 ) = a bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABC BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 2a, AD = 5a, SA⊥(ABCD) SA = a Trên BC lấy điểm E cho CE = a Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SADE √ a 26 A √ a 26 B √ 2a 26 C √ a 26 D BT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân B , AB = BC = 2a ABC = 1200 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính theo a bán kính Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 50 0122 667 8435 1.8 BÁN K Trần Lê Quyền mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC √ a 17 A √ a 17 B √ a 17 C √ a 17 D √ BT Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác vuông A, AB = 2a Đường chéo BC tạo với mặt phẳng AA C C góc 60◦ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A a B a C 3a D 2a BT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AC = 4a Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABC) trung điểm H đoạn AC Góc cạnh bên SA mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC √ 11 A √ B √ C √ 11 D BT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân tạiA, AB = a Tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC √ a 21 A √ a 21 B √ a 11 C √ a 11 D BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác với B = D = 900 , AB = AD = a √ CB = CD = a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy, mặt bên (SBC) hợp với đáy góc 45◦ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 20πa3 A V = √ 4π 2a3 B V = 4πa3 C V = √ 3πa3 D V = √ a BT 10 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = AB = AC = a, SC = (SBC)⊥(ABC) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 6πa2 B 48πa2 C 12πa2 D 24πa2 BT 11 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = 2a, AD = 3a (ACD)⊥(BCD) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 64a2 π B 64a2 π C 64a2 BT 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 51 D 64πa2 CD) Biết AD = a, 0122 667 8435 1.8 BÁN K Trần Lê Quyền √ AC = a 3, AD⊥AC SA = SB = SC = SD = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD BT 13 Cho tứ diện ABCD cạnh a, tính tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD BT 14 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, ABC = 60◦ Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy Cạnh SB tạo với mặt đáy góc 60◦ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABD A 7π B 13π C 13π D 10π BT 15 Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a A πa2 B 11 πa C 2πa2 D πa2 BT 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 5πa2 B 5πa2 C πa2 D 5πa2 12 √ BT 17 Cho chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , CA = a, SA = a 3, √ √ SB = a SC = a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC √ a 11 A √ a 11 B √ a 11 C √ a 11 D √ BT 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AC = 7a, SA = a SA⊥(ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp √ A a 56 √ √ B a 14 C a D 7a BT 19 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = 3a, AC = 4a Hình chiếu H S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Biết SA = 2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC √ 118 A √ B √ 118 C 118 D √ √ 118 √ BT 20 Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = a, BC = a SA = a 2, √ √ SB = a 2, SC = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 52 0122 667 8435 1.8 BÁN K √ a 259 A Trần Lê Quyền √ a 259 B 14 √ a 259 C √ a 37 D 14 BT 21 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B với AB = 3, BC = Hai mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với mặt đáy Biết SC hợp với ABC góc 45◦ Thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC √ 5π A √ 25π B √ 125π C √ 125π D BT 22 Cho mặt cầu (S) tâm I có bán kính R không đổi Gọi điểm A, B, C, D thuộc mặt cầu (S) thỏa mãn DA = DB = DC , khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) R2 đồng thời D, I thuộc phía mặt phẳng (ABC) Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD 3R3 A √ 3R3 C 32 R3 B BT 23 Nghiệm dương phương trình x + 21006 A 15.21006 B 2017 √ 9R3 D 32 21008 − e−x = 22018 C D 21011 BT 24 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đáy ABC tam giác cân A, BAC = 120◦ , BC = 2a Gọi M, N hình chiếu A lên SB, SC Tính bán kính mặt cầu qua bốn điểm A, N, M, B 2a A √ √ a C √ B 2a √ D a BT 25 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a √ Gọi D điểm đối xứng A qua BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD √ a 39 A √ a 35 B √ a 37 C √ a 73 D BT 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh Tam giác SAB vuông cân S tam giác SCD Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp √ A 3 √ B C D √ 21 BT 27 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Xét hình nón đỉnh S, đáu đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD Gọi O giao điểm AC BD Cho biết nửa góc đỉnh hình nón 45◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD BT 28 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 53 0122 667 8435 1.8 BÁN K Trần Lê Quyền √ a Biết góc hai mặt phẳng (AB C ) (ABC) 60◦ hình chiếu A lên mặt phẳng (A B C ) trung điểm H đoạn A B Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB C √ √ √ √ a 66 a 82 a 68 a 62 A B C D BT 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a Gọi H điểm thuộc đoạn AC cho AC = 5AH Biết SH⊥(ABCD) SH = a, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD √ a 14 A 10 √ 2a 14 B 10 √ 3a 14 C 10 √ 4a 14 D 10 Giải Hình chiếu √ đỉnh rơi đường kính AC đường tròn ngoại tiếp ABCD nên ta 3a 14 có R = RSAC = 10 BT 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác ABCD có ABC = ADC = 90◦ , AB = √ AD = a CD = CB = a Cạnh bên SA⊥(ABCD) (SBC) hợp với đáy góc 45◦ Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A 2πa3 B 4πa3 C 8πa3 D 10πa3 BT 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B , AB = BC = a, AD = 2a, SA = a SA⊥(ABCD) Gọi E trung điểm cạnh AD, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD √ a 11 A √ 3a 11 B Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM √ 5a 11 C 54 √ 7a 11 D 0122 667 8435 ... nghịch biến R Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 15 0122 667 8435 1.4 TỐI ƯU BẤM MÁY CHO BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ A m ∈ R B m ∈ ∅ Trần Lê Quyền C m = D m = b = m m chọn (kết ≤ Giải Ta r biểu thức −3x2... chọn C Xuất phát từ ý tư ng cần xác định dấu y điểm thấp đồ thị miền cần xét Ta thu nhận xét sau: Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 16 0122 667 8435 1.4 TỐI ƯU BẤM MÁY CHO BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ... chọn trắc nghiệm tích phân số phức Một nguyên tắc xây dựng nên toán đại số là: thiết lập cân số ẩn số số phương trình lập nên từ kiện Lấy ý tư ng đó, viết tổng hợp giới thiệu vài cách xử lí nhanh