Đang tải... (xem toàn văn)
Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (tt)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ-KỸ THUẬT ——————–o0o——————– BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU ĐẶT KHÔNG CHỈNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: ĐH2015-TN09-01 Chủ nhiệm đề tài: ThS Trần Thị Hương THÁI NGUYÊN, 4/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ-KỸ THUẬT ——————–o0o——————– BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU ĐẶT KHÔNG CHỈNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: ĐH2015-TN09-01 Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài ThS Trần Thị Hương THÁI NGUYÊN, 4/2017 DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài (1) PGS TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên (2) TS Phạm Thanh Hiếu, trường Đại học Nông Lâm, Đại học Thái Nguyên (3) ThS Nguyễn Song Hà, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Đơn đơn vị phối hợp Phòng Thống kê, Tính toán Ứng dụng – Viện CNTT – Viện Hàn Lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam i Mục lục Danh mục ký hiệu Thông tin kết nghiên cứu ii iii Mở đầu Chương Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 2.1.1 Phát biểu toán tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 2.1.2 Thuật toán hiệu chỉnh 2.2 Cách chọn tham số hiệu chỉnh 2.2.1 Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 2.2.2 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh 2.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 2.4 Xấp xỉ hữu hạn chiều tốc độ hội tụ 10 Kết luận chung 13 Kiến nghị nghiên cứu 14 Danh mục công trình công bố liên quan đến đề tài 15 ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R R+ H X x∗ , x ∪ ∩ G(A) D(A) R(A) A−1 ∅ ∀x ∃x xn −→ x0 xn x0 tập hợp số thực tập số thực không âm không gian Hilbert H không gian Banach X giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X phép hợp phép giao đồ thị toán tử A miền xác định toán tử A miền ảnh toán tử A toán tử ngược toán tử A tập rỗng với x tồn x dãy {xn } hội tụ mạnh x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 iii THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung - Tên đề tài: Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach - Mã số: ĐH2015-TN09-01 - Chủ nhiệm đề tài: ThS Trần Thị Hương - Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật - Đại học Thái Nguyên - Thời gian thực hiện: năm (01/2015 - 12/2016) Mục tiêu Đề tài đạt mục tiêu sau đây: - Nghiên cứu đưa số kết giải hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach, cụ thể là: đề xuất phương pháp hiệu chỉnh hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach; đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp; nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh tốc độ hội tụ - Xây dựng ví dụ số minh họa cho phương pháp nghiên cứu thử nghiệm máy tính - Nâng cao lực nghiên cứu chủ nhiệm đề tài thành viên tham gia thực đề tài, giảng viên giảng dạy chuyên ngành giải tích thuộc Đại học Thái Nguyên - Phục vụ hiệu cho việc thực phần luận án tiến sĩ chủ nhiệm đề tài - Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học Đại học Thái Nguyên với sở nghiên cứu khác nước Tính sáng tạo Đưa phương pháp hiệu chỉnh, thiết lập hội tụ phương pháp, cách chọn tham số hiệu chỉnh đánh giá hội tụ phương pháp; xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh; đưa ví dụ tính toán số minh họa cho phương pháp Kết nghiên cứu Nhóm tác giả nghiên cứu đề tài hoàn thành nội dung đăng ký theo thuyết minh đề tài bao gồm: - Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach, cụ thể sau: thiết lập hội tụ phương pháp; đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng; đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh - Nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều phương pháp hiệu chỉnh - Đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp Sản phẩm iv Đề tài thu sản phẩm theo đăng ký thuyết minh, cụ thể sau: 5.1 Sản phẩm khoa học: 02 báo quốc tế; 01 sách chuyên khảo; 01 báo cáo khoa học hội thảo khoa học nước a Bài báo khoa học: Nguyen Buong, Nguyen Thi Thu Thuy, Tran Thị Huong (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Funct Anal App, 20(2), pp 187-197 Nguyen Buong, Tran Thị Huong, Nguyen Thi Thu Thuy (2016), "A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations", Iz VUZ , 60(3), pp 47-55 Trần Thị Hương, Nguyễn Đình Dũng (2016), Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử loại đơn điệu, Nhà xuất Đại học Thái Nguyên b Báo cáo khoa học hội nghị/ hội thảo: Trần Thị Hương (2016), "Regularization for the problem of finding a solution of a system of nonlonear monotone ill-posed equations in Banach spaces", hội thảo Tối ưu Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì-Hà Nội, 21-23/4/2016 5.2 Sản phẩm đào tạo: Nội dung nghiên cứu đề tài phần nội dung luận án tiến sĩ "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach" chủ nhiệm đề tài Cở sở đào tạo, trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu - Đăng báo khoa học nước quốc tế - Làm tài liệu nghiên cứu toán giải tích nói chung nghiên cứu lý thuyết toán đặt không chỉnh nói riêng Đại học Thái Nguyên Cơ quan chủ trì Thái Nguyên, ngày 29 tháng năm 2017 Chủ nhiệm đề tài ThS Trần Thị Hương v INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General Information - Project Title: Regularization methods for a system of ill-posed equations in Banach spaces - Code Number: ĐH2015-TN09-01 - Coordinator: MsC Trần Thị Hương - Implementing Institution: College of Economic and Techology-Thai Nguyen University - Duration: years (01/2015 - 12/2016) Objectives We have gained some objectives as follows: - Study and propose some new results for finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces Namely, we proposed new regularization methods for a system of ill-posed equations in Banach spaces, the regularization parameter is selected by the principle is named "quasi residual", the estimation of the convergence rates of the proposed methods - Give numerical examples for illustrating purpose of the studied methods - Enhance research capacity for coordinator, and et all., and for faculty Mathematical Analysis in Thai Nguyen University - Effectively serving as a part of the PhD dissertation of coordinator of the project - Expanding scientific research cooperation between Thai Nguyen University and other research institutions Creativeness and innovativeness Study and propose some new results for finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces Namely, we proposed new regularization methods for a system of ill-posed equations in Banach spaces, the regularization parameter is selected by the principle is named "quasi residual", the estimation of the convergence rates of the proposed methods; studing the finite-dimensional approximation for a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces; give numerical examples for illustrating purpose of the studied methods Research Results The author et all., of the project have completed the registered contents given in project proposal including: - Proposing the regularization method type of Browder-Tikhonov for a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces as follows: establishing the convergence of the method; presenting the quasiresidual principle and a generalized quasi-residual principle to select the value for the regularization parameter in the method; estimating the convergence rates of the regularized solution is also established vi - Studing the finite-dimensional approximation for a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces - Give numerical examples for illustrating the research methods Products The study has obtained the following results as in the registered project 5.1 Scientific Results: 02 internationally published articles; 01 monograns book; 01 scientific report at the national scientific conference a Scientific Papers: Nguyen Buong, Nguyen Thi Thu Thuy and Tran Thi Huong (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Funct Anal App, 20(2), pp 187-197 Nguyen Buong, Tran Thi Huong and Nguyen Thi Thu Thuy (2016), "A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations", Iz VUZ , 60(3), pp 47-55 Tran Thi Huong, Nguyen Dinh Dung (2016), Regularization for a system of type ill-posed equations, code number 03-06/ 2016, Thai Nguyen university publishing house b Scientific Reports at Conferences: Tran Thi Huong (2016), "Regularization for the problem of finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces", 14th Conference on Optimization and Computation science, Ba Vi, Ha Noi, 21-23/4/2016 5.2 Training Results: The contents of project is part of the PhD thesis "Regularization method for the problem of finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces" of the author PhD student Tran Thi Huong Training facility, Thai Nguyen University of Education Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results - Papers published in international journals - Effectively serving scientific research cooperation and postgraduate tranning for the institutions inside and outside Thai Nguyen University MỞ ĐẦU Khái niệm toán đặt chỉnh đặt không chỉnh J Hadamard đưa vào đầu kỷ thứ XX Trong thời gian dài người ta cho toán đặt giải Nhưng thực tế quan niệm sai lầm Trong tính toán toán thực tế máy tính diễn trình làm tròn số Chính làm tròn dẫn đến sai lệch đáng kể nghiệm, tức có thay đổi nhỏ kiện đầu vào dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho toán trở lên vô nghiệm vô định Người ta nói toán đặt không chỉnh Những người có công đặt móng cho lý thuyết toán đặt không chỉnh là: A N Tikhonov, M M Lavrant’ev, J J Lions, V K Ivanov, Do tầm quan trọng lý thuyết mà nhiều nhà toán học giới sâu vào nghiên cứu phương pháp giải toán đặt không chỉnh, điển hình là: Ya I Alber, A B Bakushinskii, J Baumeiser, H W Engl, Các nhà nhà toán học Việt Nam có nhiều đóng góp cho lý thuyết ứng dụng toán đặt không chỉnh như: Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Đinh Nho Hào, Lê Dũng Mưu, Xét toán: tìm nghiệm phương trình toán tử A(x) = f (0.1) Nếu điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A tính đơn điệu đơn điệu mạnh toán (0.1) toán đặt không chỉnh Để giải toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm xác toán ban đầu Năm 1963 A N Tikhonov [38] đưa phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình (0.1) A toán tử liên tục đóng yếu không gian Hilbert thực H Nội dung phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (0.1) dựa việc tìm cực tiểu xh,δ α phiếm hàm Tikhonov Fαh,δ (x) = Ah (x) − fδ + α x∗ − x , (0.2) α > tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h δ, x∗ phần tử cho trước đóng vai trò tiêu chuẩn chọn, (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ) Vậy ta cần phải giải hai vấn đề là, tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm (0.2) chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h, δ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh,δ α dần tới nghiệm xác toán (0.1) h, δ dần tới Việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov gặp nhiều khó khăn trường hợp toán phi tuyến Để khắc phục vấn đề này, năm 1966 F Browder [19] đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, với A toán tử đơn điệu từ không gian Banach E vào Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach Trong chương phát biểu nghiên cứu toán tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Cụ thể là, nghiên cứu tồn hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều, dựa việc chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng, đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp nghiên cứu 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 2.1.1 Phát biểu toán tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Giả sử E không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES E ∗ không gian đối ngẫu E E ∗ lồi chặt E E ∗ có chuẩn kí hiệu Ta viết tích đối ngẫu x∗ , x giá trị hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ E ∗ x ∈ E, tức x∗ , x = x∗ (x) Xét toán tìm nghiệm hệ phương trình Ai (x) = fi , fi ∈ E ∗ , i = 0, 1, · · · , N, (2.1) N số nguyên dương cố định, Ai : E → E ∗ toán tử đơn điệu, hemi-liên tục Gọi Si tập nghiệm phương trình thứ i hệ (2.1), ta giả thiết N Si = ∅ Khi đó, S tập lồi đóng E S= i=0 Trong trường hợp Ai đạo hàm Gâteaux phiếm hàm lồi thường nửa liên tục ϕi : E → R ∪ {+∞} fi = θ tập Si trùng với tập nghiệm toán cực trị inf ϕi (x) x∈E tập lồi đóng E, với i = 0, 1, · · · , N Khi điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử Ai tính đơn điệu đơn điệu mạnh, toán tìm nghiệm phương trình hệ (2.1) nói chung, toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm không phụ thuộc liên tục vào vế phải Do đó, toán tìm nghiệm hệ (2.1) nói chung toán đặt không chỉnh Để giải toán đặt không chỉnh ta phải sử dụng phương pháp ổn định, cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm toán ban đầu Trong phần trình bày số phương pháp hiệu chỉnh cho hệ (2.1) 2.1.2 Thuật toán hiệu chỉnh Trong mục này, kết hiệu chỉnh cho hệ phương trình (2.1) đưa trường hợp toán tử Ai đơn điệu, hemi-liên tục không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES Vế phải fi cách xác mà biết xấp xỉ fiδ thỏa mãn điều kiện fδ − f ≤ δ, δ > 0, δ → (2.2) Để tìm nghiệm toán (2.1) ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa sở tìm nghiệm phương trình N αµi (Ai (x) − fiδ ) + αU (x − x∗ ) = θ i=0 (2.3) µ0 = < µi < µi+1 < 1, i = 1, 2, , N − 1, x∗ phần tử thuộc E không thuộc S Ta thấy, với α > cố định phương trình (2.3) có nghiệm nhất, kí hiệu xδα Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình (2.1) trình bày định lí sau Định lí 2.1 Giả sử E không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES, E ∗ lồi chặt, Ai : E → E ∗ toán tử đơn điệu, hemi-liên tục năng, D(Ai ) = E với i = 0, 1, · · · , N , U : E → E ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Khi đó, α, δ/α → xδα → x0 thỏa mãn x0 − x∗ = z − x∗ z∈S (2.4) Tiếp theo, đưa phương pháp hiệu chỉnh mà điều kiện đặt lên toán tử giảm nhẹ như: toán tử A0 cần đơn điệu, hemi-liên tục toán tử khác ngược đơn điệu với số λi , tham số hiệu chỉnh αµ đưa Khi đó, nghiệm hệ (2.1) nghiệm phương trình hiệu chỉnh N A0 (x) + α (Ai (x) − fiδ ) + αU (x − x∗ ) = f0δ , µ (2.5) i=1 với α > tham số hiệu chỉnh, µ ∈ (0, 1) số cố định Bổ đề 2.1 Giả sử E không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES E ∗ , không gian đối ngẫu E lồi chặt A0 : D(A0 ) = E → E ∗ toán tử đơn điệu hemi-liên tục, toán tử khác Ai : D(Ai ) = E → E ∗ , i = 1, , N , λi -ngược đơn điệu mạnh fiδ ∈ E ∗ , i = 0, 1, , N thỏa mãn (2.2) Khi đó, với α > phương trình (2.5) có nghiệm, kí hiệu xδα Kết hội tụ trình bày định lí sau: Định lí 2.2 Giả sử điều kiện Bổ đề 2.1 thỏa mãn tập N Si = ∅ Khi đó, tham số hiệu chỉnh α(δ) chọn nghiệm S := i=0 thỏa mãn α(δ) → δ → δ → α(δ) (2.6) dãy nghiệm hiệu chỉnh {xδα } phương trình (2.5) hội tụ mạnh tới nghiệm x0 có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, tức x0 ∈ S x0 − x∗ = z − x∗ z∈S (2.7) Sau trình bày cách chọn tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm cho hệ phương trình (2.1) sử dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.3) 2.2 Cách chọn tham số hiệu chỉnh 2.2.1 Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh Nội dung nguyên lý chọn tham số hiệu chỉnh từ hệ thức ρ(α) = Kδ p , ρ(α) := α xδα − x∗ K > N + 2, < p ≤ 1, (2.8) Định lí sau cách chọn tham số hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch Định lí 2.3 Giả sử x∗ điểm thuộc E không thuộc S AN liên tục x∗ thỏa mãn (??) Khi đó, tồn giá trị α = α(δ) cho α ≥ K − (N + 2) δ p / z − x∗ , z ∈ S, (2.9) ρ(α) = Kδ p , K > N + 2, < p ≤ (2.10) Hơn nữa, δ → Ai ánh xạ đơn điệu chặt x∗ với i = 0, 1, · · · , N − Ta có: 1) α(δ) → 0; 2) p ∈ (0, 1) δ/α(δ) → xδα(δ) → x0 ; 3) p = 1, S = {x0 } Ai λi − ngược đơn điệu mạnh với i = 1, 2, · · · , N xδα(δ) hội tụ yếu tới x0 δ/α(δ) ≤ C với C số dương 2.2.2 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng mở rộng nguyên lý độ lệch suy rộng Năm 2005, Nguyễn Bường (xem [11]) nghiên cứu việc chọn giá trị tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng sở giải phương trình ρ(α) = δ p α−q , < p ≤ q, ρ(α) = α xδα Dựa vào cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh trên, ta xét trở lại hệ phương trình toán tử (2.1) Theo kết trình bày Mục 2.1, nghiệm xδα phương trình hiệu chỉnh (2.3) tồn với α > cố định Đồng thời, α, δ/α → nghiệm hiệu chỉnh xδα hội tụ mạnh đến nghiệm x0 có x∗ -chuẩn nhỏ thuộc S-tập nghiệm toán (2.1) giả thiết khác rỗng Chúng nghiên cứu cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh thỏa mãn điều kiện sau Xét hàm ρ(α) = α xδα − x∗ , ta xác định tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào δ (α = α(δ)) từ phương trình ρ(α) = α−q δ p , p, q > (2.11) Ta có kết sau (xem [16]) Bổ đề 2.2 Giả sử E không gian Banach phản xạ có tính chất ES E ∗ N lồi chặt Giả thiết {Ai }N i=0 {fi }i=0 N + ánh xạ hemi-liên tục, đơn điệu có tính chất E N + phần tử E ∗ cho tập nghiệm S hệ phương trình (2.1) khác rỗng Khi đó, ta có: (i) Hàm ρ(α) xác định (2.11) liên tục (α0 , +∞), với α0 > 0; (ii) Nếu AN liên tục x∗ với AN (x∗ ) − fNδ > 0, (2.12) với δ ≥ 0, fN0 = fN , lim ρ(α) = +∞ α→+∞ Bổ đề 2.3 Giả sử E, Ai fi giả thiết Bổ đề 2.2 Với p, q, δ > 0, tồn giá trị α > 0, cho (2.11) Bổ đề 2.4 Giả sử E, Ai fi cho Bổ đề 2.2 Hơn nữa, giả sử N ánh xạ họ {Ai }N i=0 đơn điệu chặt x∗ Khi đó, lim α(δ) = δ→0 Bổ đề 2.5 Giả sử E, Ai fi giả thiết Bổ đề 2.4 Nếu q ≥ p lim δ/α(δ) = δ→0 Bổ đề 2.6 Giả sử E, Ai fi Bổ đề 2.3 Nếu < p ≤ q lim xδα(δ) = x0 δ→0 Trong mục nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 2.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với cách chọn tham số mục 2.2 ta phải sử thêm thông tin nghiệm, giả thiết thông dụng điều kiện trơn nghiệm (xem [24]) Đồng thời, cần phải có thêm giả thiết đặt lên toán tử A0 sau: tồn số dương τ thỏa mãn A0 (y) − f0 − A0 (x0 )∗ (y − x0 ) ≤ τ A0 (y) − f0 , (2.13) y thuộc lân cận x0 ∈ S, A0 (x0 ) đạo hàm Fréchet A0 x0 ∈ E, A0 (x)∗ đối ngẫu A0 (x) ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U thỏa mãn điều kiện U s (x) − U s (y), x − y ≥ mU x − y s , s ≥ 2, mU > (2.14) Định lí sau cho ta kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 10 Định lí 2.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) Ai thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.2, A0 khả vi Fréchet có đạo hàm liên tục có tính chất (2.13) ánh xạ Ai khác Li liên tục Lipschitz lân cận x0 ; (ii) tồn phần tử ω ∈ E cho A0 (x0 )∗ ω = U (x0 − x∗ ), ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U thỏa mãn (2.14) (iii) tham số hiệu chỉnh α = α(δ) chọn (2.10) với < p < Khi đó, ta có xδα(δ) − x0 = O(δ γ ), γ = − p µ1 p , s−1 s Chú ý 2.1 Trong trường hợp tham số hiệu chỉnh α = α(δ) chọn từ phương trình (2.11) với q > p, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đạt xδα(δ) − x0 = O(δ γ ), γ = 2.4 1+q q − p pµ1 , s−1 s Xấp xỉ hữu hạn chiều tốc độ hội tụ Nghiệm xδα phương trình hiệu chỉnh (2.5) xấp xỉ hữu hạn chiều phương trình N An0 (x) +α µ (Ani (x) − finδ ) + αU n (x) = f0nδ , α > 0, x ∈ En , (2.15) i=1 Ani = Pn∗ Ai Pn , U n = Pn∗ U Pn , finδ = Pn∗ fiδ , Pn : E → En phép chiếu tuyến tính từ E lên không gian hữu hạn chiều En E, Pn∗ : E ∗ → En∗ toán tử liên hợp Pn En ⊂ En+1 , ∀n; Pn (x) → x, ∀x ∈ E Không làm tính chất tổng quát, ta giả sử Pn = Cũng giống phương trình (2.5), phương trình (2.15) có nghiệm xδα,n với δ, α > n Chúng chứng minh dãy nghiệm {xδα,n } hội tụ đến nghiệm xδα phương trình (2.5) 11 Định lí 2.5 Nếu n → ∞ dãy nghiệm {xδα,n } phương trình (2.15) hội tụ tới nghiệm xδα phương trình (2.5) Đặt γn (z) = (I − Pn )(z) , z ∈ S, I toán tử đơn vị E Sự hội tụ dãy nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều {xδα,n } toán (2.15) đến nghiệm xác toán (2.5) chứng minh định lí sau Định lí 2.6 Giả sử E, E ∗ , U , S, Ai fiδ , i = 0, , N Bổ đề 2.1 Nếu δ/α γn (z)/α → α → n → ∞ dãy {xδα,n } hội tụ mạnh đến x0 ∈ S Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn đến nghiệm xác toán (2.1) ta cần có thêm điều kiện đặt lên toán tử A0 sau: A0 (y) − f0 − [A0 (x0 )]∗ (y − x0 ) ≤ τ A0 (y) − f0 , (2.16) y thuộc lân cận x0 ∈ S, A (x0 ) đạo hàm A0 x0 , [A (x0 )]∗ đối ngẫu A (x0 ), τ số dương Định lí 2.7 Giả sử điều kiện sau đúng: (i) A0 toán tử liên tục khả vi Fréchet thỏa mãn (2.16) x = x0 ; (ii) tồn phần tử ω ∈ E ssao cho A0 (x0 )∗ ω = U (x0 ), U toán tử đối ngẫu chuẩn tắc thỏa mãn (2.14); (iii) tham số α = α(δ) chọn α ∼ (δ + γn )ν , < ν < với γn = max γn (x) x∈S Khi đó, xδα,n − x0 = O((δ + γn )h + γnl ), h = − ν µν , , s−1 s l = ν , , s s−1 s ≥ 12 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu, hemi-liên tục có tính chất không gian Banach Từ đề xuất phương pháp hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Chúng đưa phương pháp hiệu chỉnh (2.3) cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (2.1) vế phải cách xác mà biết giá trị xấp xỉ, cách xấp xỉ hệ phương trình cho phương trình hiệu chỉnh Bên cạnh đó, đưa phương trình hiệu chỉnh (2.5) cho hệ (2.1) đơn giản như, tham số hiệu chỉnh đưa điều kiện đặt lên toán tử giảm nhẹ, toán tử A0 cần đơn điệu, hemi-liên tục toán tử Ai khác λi - ngược đơn điệu mạnh Đồng thời, nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều phương trình (2.5) Chúng chứng minh được: phương trình hiệu chỉnh tồn nghiệm; nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều hội tụ mạnh nghiệm xác hệ (2.1) Đề xuất nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng để chọn tham số hiệu chỉnh Trên sở đó, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều nghiệm hệ (2.1), tốc dộ hội tụ đánh giá bổ sung thêm điều kiện lên toán tử hệ phương trình, bao gồm tính khả vi Fréchet, tính liên tục lên đạo hàm Fréchet toán tử, điều kiện nguồn mà không đòi hỏi điều kiện đặt lên toán tử Cuối cùng, đưa ví dụ số để minh họa cho lý thuyết trình bày chương 13 KẾT LUẬN CHUNG Đề tài đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach sở giải phương trình toán tử phụ thuộc tham số • Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh kết hợp với toán xấp xỉ hữu hạn chiều cho hệ phương trình toán tử đơn điệu sở chọn tham số hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch nguyên lí tựa độ lệch suy rộng Các kết nhận đề tài gồm: Xây dựng phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach Đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch nguyên lí tựa độ lệch suy rộng Dựa cách chọn này, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đánh giá sai số δ dần tới không Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xấp xỉ hữu hạn chiều cho toán tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach Đưa số ví dụ số có tính chất minh họa cho kết nghiên cứu 14 KIẾN NGHỊ VÀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Từ kết đạt đề tài, đề xuất hướng nghiên cứu toán mở tiếp tục nghiên cứu sau: Nghiên cứu nhằm giảm nhẹ điều kiện đặt lên toán tử Ai điều kiện đặt lên không gian Banach E Chẳng hạn làm giảm nhẹ điều kiện λi -ngược đơn điệu mạnh toán tử Ai xuống điều kiện đơn điệu, hemi-liên tục Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp để tìm nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh Nghiên cứu tiêu chuẩn dừng cho phương pháp hiệu chỉnh lặp tác giả nghiên cứu trước Nghiên cứu xây dựng ví dụ số không gian phức tạp tổng quát ví dụ nghiên cứu đề tài 15 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI Nguyen Buong, Nguyen Thi Thu Thuy, Tran Thị Huong (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Funct Anal App, 20(2), pp 187-197 Nguyen Buong, Tran Thị Huong, Nguyen Thi Thu Thuy (2016), "A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations", Iz VUZ , 60(3), pp 47-55 Trần Thị Hương, Nguyễn Đình Dũng (2016), Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử loại đơn điệu, Nhà xuất Đại học Thái Nguyên 16 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Thị Hương, Nguyễn Đình Dũng (2016), Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử loại đơn điệu, Nhà xuất Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [3] Anh Ph K., Chung C V (2009), "Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations", Appl Math Comput, 212, pp 542-550 [4] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D.R (2000), Fixed point theory for lipschitzian-type mappings with applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York [5] Alber Ya I (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach spaces", Sibirian Mathematics Journal, 26, pp 3-11 [6] Alber Ya I., Ryazantseva Ir P (2006), Nonlinear ill-posed Problems of monotone Types, Springer Verlag [7] Bakushinskii A B and Goncharskii A G (1994),Ill-Posed Problem: Theory and Application, Kluwer Academic Publishers Dordrecht, London [8] Barbu V (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, Acad.Bucuresti Romania [9] Baumeister J., Kaltenbacher B., Leitao A (2010), "On LevenbergMarquardt Kaczmarz method for regularing systems of nonlinear illposed equations", Inverse problem and Imaging, 5(1), pp 335-350 17 [10] Buong Ng (2004), "Generalized dicscrepancy principle and ill-posed equations involving accretive operators", Nonlinear Functional Analysis and Applications, Korea, 9(1), pp 73-78 [11] Buong Ng (2005), " On monotone ill-posed problems", Acta Mathematica Sinica, 21(5), pp 1001-1004 [12] Buong Ng., Thuy Ng T T (2005), "Convergence rates in regularization for ill-posed mixed variational inequalities", J of Comput Sci and Cybern Vietnam, 21, pp 343-352 [13] Buong Ng (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 46(3), pp 372-378 [14] Buong Ng., Thuy Ng T T (2007), " Iterative regularization method of zero order for unconstrained vector optimization of convex functional", Kỷ yếu hội nghị khoa học kỉ niệm 30 năm thành lập Viện Công nghệ Thông tin 27-28/12/2006, Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội, pp 168-173 [15] Buong Ng (2008), "Regularization extragradient method for Lipschitz continuous mappings and inverse strongly monotone mappings in Hilbert spaces" Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 48(11), pp 19271935 [16] Buong Ng., Thuy Ng T T., Huong T T (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Funct Anal App, 20(2), pp 187-197 [17] Buong Ng., Huong T T., Thuy Ng T T (2016), "A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations", Iz VUZ , 60(3), pp 47-55 [18] Browder,F.E (1965), " Remarks on nonlinear functional equations", II, III, ILLinois J Math, 9(4) [19] Browder,F.E (1966), " Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sei U.S.A, 56(4), 1080-1086 [20] Cezaro A D., Haltmeier M., Leitao A., Scherzer O (2008), "On steepest-descent Kaczmarz method for regularing systems of nonlinear ill-posed equations", Applied Mathematics and Computations, 202(2), pp 596-607 18 [21] Cezaro A D., Baumeister J., Leitao A (2010), "Modified iterrated Tikhonov method for solving system of nonlinear ill-posed equations", Inverse problem and Imaging, 5(1), pp 1-17 [22] Ekeland I., Temam R (1970), "Convex Analysis and Variational Problems", North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland [23] Engl H.W (1987), "Discrepancy principle for Tikhonov regularization of ill-posed problems leading to optimal convergence rates", J of Optim Theory and Appl, 52, pp 209-215 [24] Engl H.W., Kunish, K., Neubauer A (1988), "Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems", Inverse Problem, pp 523-540 [25] Engl H.W., Hanke, M., Neubauer A (1996), "Regularization of Inverse Problems", Kluwer Dordrecht [26] Haltmeier M., Kowar R., Leitao A., Scherzer O (2007), "Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed equations I: convergence analysis", Inverse problem and Imaging, 1(2), pp 289-298 [27] Haltmeier M., Kowar R., Leitao A., Scherzer O (2007), "Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed equations II: Applications", Inverse problem and Imaging, 1(3), pp 507-523 [28] Hanke M., Neubauer A., Scherzer O (1995), "A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems", Numer Math 72, pp 21-37 [29] Ivanov V K (1962), "On linear ill-posed problems", Dolk Acad Nauk SSSR Math, 145 [30] Ivanov V K (1963), "On ill-posed problems", Math Sbornik, 61 N.2 [31] Kim J.K., Buong Ng (2010), "Regularization inertial proximal point algorithm for monotone hemicontinuous mapping and inverse strongly-monotone mappings in Hilbert spaces", J of Inequalities and Applications, Article ID 451916 [32] Minty G J (1963), On a "monotonicity" method for the solutions of nonlinear equations in Banach spaces, Proc Nat Acad Sc USA, 50, N.6 [33] Lavret’ev M M (1967), Some improperly posed problems in mathematical physics, Springer, New York [34] Liu F., Nashed M Z (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, 6, pp 313-344 19 [35] Neumann J V (1949), "On rings of operators Reduction theory", Annals of Mathematics, pp 401-485 [36] Prenter P M (1975), Splines and Variational Methods , WileyIntetscince Publishers, New York, London, Sydney, Toronto [37] Ryazantseva I P (1989), "On one algorithm for solving nonlinear monotone equations with an unknown estimate input errors", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 29, pp 1572-1576 [38] Tikhonov A N (1963), "Regularization of inorrectly posed problems and the regularization method", Dolk Acad Nauk SSSR Math, 4, pp 1624-1627 [39] Thuy N T T (2012), "Regularization for a system of inverse-strongly monotone operator equations", Nonlinear Funct Anal Appl, 17(1), pp 71-87 [40] Vainberg M M (1972), Variational Method and Method of Monotone Operators in the theory of Nonlinear Equations M, Nauka, in Russian ... phương trình toán tử đặt không chỉnh Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 2.1.1 Phát biểu toán tìm nghiệm hệ. .. trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach" Mục đích đề tài cải tiến phương pháp hiệu chỉnh (0.6) Nguyễn Bường cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (0.5), Ai toán tử đơn điệu, ... CHƯƠNG Trong chương giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu, hemi-liên tục có tính chất không gian Banach Từ đề xuất phương pháp hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình toán tử đặt