Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SB  b tam giác SAC cân S Trên cạnh AB lấy điểm M với AM  x   x  a  Mặt phẳng   qua M song song với AC, SB cắt BC, SC, SA N, P, Q Xác định x để diện tích thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn a A x  a B x  Lời giải: Ta có: MN//AC  MN  BM AC   a  x  BA Tam giác SAB có MQ//SB  MQ  SMNPQ  MN MQ  AM bx SB  BA a b a  x x a (đến ta thử đáp án) Ta có:  a  x  a  x  x x  a Do SMNPQ max a  x  x  x  a a a D x  C x  Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA  a AM AN  k AB AD   k  1 Mặt phẳng   qua MN song song với SA cắt SD, SC, SB P, Q, tam giác SBD cân S Trên cạnh AB, AD lấy M, N cho R Xác định k để diện tích thiết diện MNPQR đạt giá trị lớn A k  C k  B k  D k  3 Lời giải: MNPQR hợp hai hình thang vuông MIQR NIQP, đó: MR//IQ//NP (cùng song song với SA) MN//BD Ta có: IQ  2  k a ; MR    k  a ; MI  SMNPQR  2SMIQR   IQ  MR  MI  ka 2 a2 2.k   3k  (đến ta thử đáp án) 1  3k   3k   Ta có: k   3k   3k   3k   3 Do SMNPQR max 3k   3k  k  Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ điểm M di động cạnh AA’ MA Mặt phẳng (BMD’) cắt CC’ N Đặt  k   k  1 , xác định k để diện tích AA ' thiết diện BMD’N đạt giá trị nhỏ A k  C k  B k  D k  3 Lời giải: Vì (ABB’A’)//(DCC’D’) nên BM//D’N Tương tự MD’//BN Vậy tứ giác BMD’N hình bình hành Kẻ MH  BD ' thì: SBMD' N  2SBMD'  BD '.MH Vậy SBMD' N đạt giá trị nhỏ MH nhỏ nhất, nghĩa MH đoạn vuông góc chung AA’ BD’ hay M trung điểm AA’ H trung điểm BD’ Suy k  Chú ý: Ở đây, điểm M phải nằm đoạn thẳng AA’ N phải nằm đoạn thẳng CC’ Lời giải thỏa mãn hai điều kiện Tuy nhiên, số toán, chân đường vuông góc chung hai đoạn thẳng lại nằm đoạn thẳng kéo dài Trong số toán khác , điểm di động phải thỏa mãn thêm số điều kiện bổ sung, nên đoạn thẳng ngắn chưa đường vuông góc chung Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a hai điểm M, N di động đường chéo A’B AC cho A ' M  AN  x Xác định x để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ A x  B x  a a Lời giải: Ta có:  x  a , MB  NC  a  x Trên cạnh AB lấy điểm H cho MH//AA’ AH A ' M AN   HB MB NC nên theo đinh lý Thales đảo suy HN//BC C x  a D x  a  MHN vuông H Vì tam giác AHN BHM vuông cân H nên HN  AN  x , HM  BM  a x 2  a  a2 a2 Ta có: MN  MH  NH  x  a x  a   x     2 2  2 Dấu “=” xảy x  a 2 Câu 5: Cho hai đường thẳng Ax, By chéo vuông góc với có AB  a đường vuông góc chung Hai điểm M, N di động Ax, By cho MN  b (với b độ dài cho trước) Xác đinh độ dài đoạn thẳng AM theo a, b để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn A AM  B AM  b2  a2 C AM  b2  a  b2  a2  D AM  b2  a2 Lời giải:  BN  AB  BN   ABM   BN  BM Đặt AM  u, BN  v Vì  BN  AM  1 1 VABMN  VN ABM  SABM BN  AM.AB.BN  auv 3 Ta có: BM  AB2  AM  MN  BN Suy ra: u2  v  MN  AB2  b2  a Theo BĐT AM-GM: b  a  u  v  2uv  VABMN  2 2  a b2  a2  12 u  v b2  a2 b2  a2  Dấu “=” xảy  Vậy  u  v  AM  2 2  u  v  b  a Câu 6: Cho tứ diện ABCD điểm M di động tứ diện Các đường thẳng AM, BM, CM, DM cắt mặt phẳng  BCD  ,  ADC  ,  ABD  ,  ABC  A’, B’, C’, D’ tương ứng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  A Pmin  12 B Pmin  AM BM CM DM    MA ' MB ' MC ' MD ' C Pmin  D Pmin  16 Lời giải: Ta có: VM BCD MA ' VM ACD MB ' VM ABD MC ' VM ABC MD ' ; ; ;     VA BCD AA ' VB ACD BB ' VC ABD CC ' VD ABC DD ' Và: VM.BCD  VM ACD  VM ABD  VM ABC  VABCD Suy ra: MA ' MB ' MC ' MD '    1 AA ' BB ' CC ' DD '  AA ' BB ' CC ' DD '  AA ' BB ' CC ' DD '  MA ' MB ' MC ' MD '             MA ' MB ' MC ' MD '  MA ' MB ' MC ' MD '   AA ' BB ' CC ' DD '   AA ' BB ' CC ' DD ' AA ' BB ' CC ' DD ' MA ' MB ' MC ' MD '     44  16 MA ' MB ' MC ' MD ' MA ' MB ' MC ' MD ' AA ' BB ' CC ' DD ' Từ đó: P   AA ' BB ' CC ' DD ' AM  AA ' BM  BB ' CM  CC ' DM  DD '        MA ' MB ' MC ' MD ' MA ' MB ' MC ' MD ' AA ' BB ' CC ' DD '  MA ' MB ' MC ' MD '      4      12 MA ' MB ' MC ' MD '  AA ' BB ' CC ' DD '  Vậy minP  12 Dấu “=” xảy M trọng tâm tứ diện ABCD Câu 7: Cho tứ diện SABC với SA  a , SB  b , SC  c Một mặt phẳng   thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt SA, SB, SC tương ứng D, E, F Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức P   2 SD SE SF 25 a  b2  c  2 a b c A Pmin  B Pmin 16 a  b2  c  2 a b c C Pmin  D Pmin Lời giải: Vì G trọng tâm tứ diện nên đường thẳng SG qua trọng tâm S’ tam giác  ABC nên có hệ thức: SG  SS '  SA  SB  SC 4 Từ đó: 4SG   SA SB SC SD  SE  SF SD SE SF  4SG  a b c SD  SE  SF SD SE SF Lại điểm D, E, F, G đồng phẳng nên a b c   4 SD SE SF  a b c   1  Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:      a2  b2  c   2 2   SD SE SF   SD SE SF  1 16 16 P    2 Vậy Pmin  2 2 SD SE SF a b c a b c   Bài tập tương tự: Cho tứ diện SABC với SA  SB  SC  Một mặt phẳng   thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt SA, SB, SC tương ứng D, E, F Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức P    SD.SE SE.SF SF.SD 16 12 A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  3 Câu 8: Cho tứ diện ABCD, biết BCD tam giác cạnh a có tâm điểm O Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn  BCD  làm đường tròn lớn Tìm thể tích lớn tứ diện ABCD A maxV ABCD B maxV ABCD a3  a3  C maxV ABCD D maxV ABCD a3  a3  12 Lời giải: Để ý đường tròn  BCD  đường tròn lớn mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có O tâm tam giác BCD cạnh a, nên tâm O tam giác BCD tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, suy OA  OB  a Gọi AH đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh A xuống mặt đáy  BCD  Suy AH  OA 1 a2 a2 a3 V ABCD  SBCD AH  AH  OA  3 12 12 Câu 9: Cho tam giác OAB có cạnh a Trên đường thẳng d qua O vuông góc với mặt phẳng  OAB  lấy điểm M với OM  x Gọi E, F hình chiếu vuông góc A lên MB, OB Trên đoạn thẳng EF cắt d N Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ A x  a 2 B x  a a a D x  C x  Lời giải: AF   MBO    MNB   AF chiều cao hình chóp A.BMN NO OF a2   OM.NO  BO OM NOF BOM suy V ABMN  a2 a2 a2 BO.MN AF  OM  ON   OM ON   12 12 12 Đẳng thức xảy x  a 2 Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA  h SA   ABCD  Một điểm M di động cạnh CD Đặt CM  x , hạ SH  BM (H thuộc BM), xác định x để thể tích tứ diện SABH đạt giá trị lớn A x  a 2 C x  a B x  a D x  a Lời giải:  BM  SH  BM   SAH   BM  AH Ta có:   BM  SA Biết HBA  CMB (so le trong)  sinHBA  sinCMB   AH  AB.BC a2  BM a2  x SH  SA2  AH  h2  VSABH Xét: AH BC  AB BM ax a4 ; BH  AB2  AH  2 a x a2  x2 1 a hx  SABH SA  (đến ta thử đáp án) a  x2 x 1    Đẳng thức xảy x  a hay M trùng với D 2 2a a x a a x x x x Câu 11: Cho tứ diện ABCD có SC  CA  AB  a ; SC   ABC  , tam giác ABC vuông A, điểm M thuộc SA, N thuộc BC cho AM  CN  t   t  2a  Tìm t để độ dài đoạn thẳng MN ngắn 2a A t  a B t  2a 3a D t  C t  Lời giải:   Chọn hệ trục Oxyz với A  a; a;  , B  a; 0;  , S 0; 0; a , N  t ; 0;  x  a  u   t t t  t SA :  z  a  u  M a  u; a  u;  2u Ta có: AM  t  u    M  a  ; a  ;  2 2    y   2u    2a  2a2 MN  2a  4at  3t   t    a  3  2 Đẳng thức xảy t  2a Câu 11: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh AA’ kéo dài phía A’ lấy điểm M, cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C’D’ Tìm giá trị nhỏ MN 2a 3a A minMN  C minMN  B minMN  3a D minMN  2a Lời giải: Chọn hệ trục Oxyz A  O Gọi M  0; 0; m  , N  a; n;  Vì MD’//NC’ nên a am an  m an a na  MN  m  n  a  n2  an  a na n2  an  a Xét hàm số: f  n   na  n  a  suy minMN  3a Đạt n  2a Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ tâm I có AB  a , AD  2a , AA '  a Trên AD lấy điểm M gọi K trung điểm B’M Đặt AM  m   m  a  Tìm thể tích lớn tứ diện A’KID A maxV A ' IKD  a3 C maxV A ' IKD  a3 12 B maxV A ' IKD  a3 D maxV A ' IKD  a3 24 Lời giải:  Chọn hệ trục tọa độ cho: A  0; 0;  , B  0; a;  , D  a; 0;  , D ' 0; 0; a  m a a 2 Khi M  m; 0;  , K  ; ;  2    V A ' IKD  1 a2 A ' K , A ' I  A ' D   2a  m   6 24 Suy maxV A ' IKD  a3 đạt m  hay M trùng với A 12 Câu 13: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân C SA   ABC  , SC  a Xác định cos với  góc hai mặt phẳng  SCB   ABC  để thể tích khối chóp cho đạt giá trị lớn A cos   C cos   B cos   D cos   Lời giải: SA   ABC   BC  SC (theo định lý đường vuông góc) Ta có:   BC  CA   Suy góc hai mặt phẳng  SCB   ABC  SCA        2  SA  a sin  , AC  BC  a cos  a3 VS ABC  SABC SA  sin  cos  (đến ta thử đáp án)   Xét hàm số: f    sin cos2      2    2 f '  x   cos   cos   cos        cos       3  Vì     2 nên cos   cos     Từ BBT ta suy maxf        cos    2 f  arccos  đạt    Câu 14: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cánh từ đỉnh A đến mp  SBC  2a Xác định sin với  góc mặt bên mặt đáy để thể tích khối chóp cho đạt giá trị nhỏ A sin   C sin   B sin   D sin   Lời giải: Gọi O tâm hình vuông  SO   ABCD  Gọi E, H trung điểm AD BC suy SE, SH trung đoạn hình chóp Vì AD//BC nên AD//(SBC)     Suy d A ,  SBC   d E ,  SBC  Dựng EK  SH   EK   SBC  (vì  SEK    SBC  ) Vậy EK  d A ,  SBC   2a  BC  SH    góc hai mặt phẳng SBC ABC SHO        2   BC  OH  Ta có:  Ta có: EH     4a3 2a a , SO  Vậy VS ABCD  SABCD SO  3 cos  sin  sin  cos  VS ABCD đạt f    cos  sin  đạt max   2 f '    sin   sin   sin     sin          Vì     2 nên sin   sin     Từ BBT ta suy maxf        sin    2 f  arsin  đạt    Câu 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AC '  a , AC ' B   , góc đường thẳng AC’ mặt phẳng  ABC  30 o Tìm sin2  để thể tích hình hộp cho đạt giá trị lớn A sin   3 B sin   D sin   C sin   Lời giải:  a CC '  Ta có CC '   ABCD   AC ';  ABCD   CAC '  30 o    AC  a     AB  a sin   Lại có: AB   BCC ' B '   AB  BC '   a  sin  2 BC  AC  AB    VABCD A ' B'C ' D '  CC '.SABCD   a3 sin   sin   (đến ta thử đáp án) 1 sin    sin  sin   sin    2  Xét: Vậy max V   3a 3 đạt sin   16 Câu 16: Trên đường tròn đường kính AB  R , lấy điểm C tùy ý Kẻ CH  AB (H thuộc AB) Gọi I điểm CH Trên đường thẳng It vuông góc với  ABC  I lấy điểm S cho góc ASB  90o Đặt AH  x , với giá trị x thể tích tứ diện SABC đạt giá trị lớn A x  R C x  R R D x  R B x  Lời giải: SABC  x  R  x  3.CH 1 AB.CH  AB AH.BH  R x  2R  x  ; SI   2 2 VSABC R R  x  2R  x  R3  SABC SI  x  R  x      6   Dấu “=” xảy x=R  2 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2x   x   AC  AD  BC  BD     Gọi I , J trung điểm cạnh AB CD Tìm x để thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn 1 A x  C x  2 B x  3 D x  Lời giải:  DI  AB  AB   ICD   AB  IJ Tương tự CD  IJ Ta có:  CI  AB Vậy IJ đoạn vuông góc chung AB CD IJ  ID  DJ   x , SICD  IJ.CD  x  x 2   VABCD  VAICD  VIBCD  SICD  AI  IB   x  2x (đến thử đáp án) 3 Xét:  x  2x  Vậy maaxV ABCD   x x  x 2   x2  x2   2x2        3 đạt x  27 Câu 18: Cho hình chop S.ABCD có SC  x cạnh lại có độ dài a Tìm x để thể tích tứ diện S.ABCD đạt giá trị lớn a a B x  A x  C x  a D x  a Lời giải: Gọi AC  BD  O Ta có ABD  CBD  SBD  SO  OA  AC  ASC  90o OB  OD  SO  BD  BD   SAC  Vì  SB  SD   BD2  4OB2  AB2  OA2  3a2  x2  BD  3a2  x 1 a x  3a  x a VS ABCD  VB.SAC  VD.SAC  SA.SC.BD  ax 3a  x   6 Vậy maxV  a a3 đạt x  Câu 19: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a , AD  b Dựng tia hai Ax Cy vuông góc với mặt phẳng  ABCD  cho tia Ax , Cy phía so với mặt phẳng  ABCD  Điểm M chuyển động Ax , điểm N chuyên động Cy  MBD    NBD  Tìm thể tích nhỏ tứ diện BDMN a2 b2 A minVBDMN  B minVBDMN  C minVBDMN  a2  b2 a2 b2 a b D minVBDMN  Lời giải:   cho  MBD , ABCD        NBD  ,  ABCD   900     MBD    NBD     AH  BD  MH  BD   MHA   Trong mp  ABCD  kẻ    o CK  BD NK  BD   NKC  90    MBD    NBD   MH   NBD  Vì   MH  BD 1 a b2 VBDMN  SNBD MH  BD.NK.MH  3sin 2 a2  b2 a2 b2 a  b2 a2 b2 a  b2 Với BD  a2  b2 ; NK  ab sin  a2  b2 Vì  2    sin 2   VBDMN  Vậy minVBDMN  a2 b2 a  b2 ; MH  ab cos  a  b2 a2 b2 a  b2 đạt    Câu 20: Cho tứ diện ABCD cho AB  2x , CD  y cạnh lại đề có độ dài Xác định x, y để diện tích toàn phần tứ diện đạt giá trị lớn A x  y  B x  y  2 C x  y  D x  y  Lời giải: Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có: DM  AD  AM   x Tương tự AN   y SABC  SABD  x  x ; SBCD  SACD  y  y    x2   x2 y   y Stp  SABC  SABD  SBCD  SACD  x  x  y  y    2  Dấu “=” xảy x  y   2  2 Câu 20: Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M với AM  x   x  a  nửa đường thẳng Ax vuông góc A với mặt phẳng hình vuông , lấy điểm S với SA  y Với giải thiết x2  y  a2 , tìm giá trị lớn thể tích hình chóp S.ABCM A maxVS ABCM  3a C maxVS ABCM  3a 12 3a 24 B maxVS ABCM  D maxVS ABCM  3a Lời giải: Theo đề x  y  a  y  a  x AM  BC a VS ABCM  AB.SA  Xét: a  x a 2   x2  a  x a 2  x2   a  x  a  x  3a  3x  a  x   a  x  a  x  a  x  3a  3x  9a       Vậy maxVS ABCM  3a a đạt x  Câu 20: Cho tứ diện SABC có SA   ABC  , nhị diện cạnh SB nhị diện vuông Biết   , ASB        Với giá 2  trị  thể tích tứ diện SABC đạt giá trị lớn phần tứ diện đạt giá trị lớn Biết SB  a , BSC  A   B     C    D     Lời giải:  a3 a3  AB  SB.sin   a sin  sin 2  VSABC  VB.SAC  BC.SA AB   6 SA  SB cos   a cos    Đạt    Bài tập Nâng cao 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM luôn cắt SB, SD lại B’ D’ V Gọi V  VS ABCD V1  VS AB' MD' Tìm giá trị lớn tỉ số V A B C D 2) Cho tứ diện ABCD có AD   ABC  , tam giác ABC vuông A, AD  a , AC  b , AB  c Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác BCD ab  bc  ca  A abc  a  b  c  B C abc a  b  c abc  a  b  c  D 2 3) Trong mặt phẳng  P  cho đường tròn đường kính AB  a điểm C di động đường tròn (C không trùng với A B) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  P  A, lấy điểm S cho SA  h Mặt phẳng  Q  qua A vuông góc với SB cắt SB, SC B’, C’ Tìm giá trị lớn thể tích hình chóp S.AB’C’ a2 h4 a2 h4 A C 3 12 a  h a2  h2   a2 h4 B a  h2    a2 h4 D a  h2  THẦY CÔ CẦN FILE WORD XIN LIÊN HỆ TÁC GIẢ ... cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M với AM  x   x  a  nửa đường thẳng Ax vuông góc A với mặt phẳng hình vuông , lấy điểm S với SA  y Với giải thiết x2  y  a2 , tìm giá trị lớn... tròn (C không trùng với A B) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  P  A, lấy điểm S cho SA  h Mặt phẳng  Q  qua A vuông góc với SB cắt SB, SC B’, C’ Tìm giá trị lớn thể tích hình chóp... cao hình chóp A.BMN NO OF a2   OM.NO  BO OM NOF BOM suy V ABMN  a2 a2 a2 BO.MN AF  OM  ON   OM ON   12 12 12 Đẳng thức xảy x  a 2 Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông