Header Page of 126 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - NĂM 2013 Footer PageSố of 126 hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUN - 2013 Footer PageSố of 126 hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Mục lục Mở đầu MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT TUYẾN TÍNH 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Tốn tử khơng gian Hilbert 1.1.2 Tập lồi hàm lồi 1.1.3 Tốn tử đơn điệu 1.1.4 Bất đẳng thức biến phân 1.2 Mơ hình cân Nash-Cournot cổ điển 1.2.1 Phát biểu mơ hình Nash-Cournot 1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT LÕM 2.1 Mơ hình cân Nash-Cournot 2.2 Phương pháp giải theo thuật tốn điểm gần kề 2.3 Thuật tốn tìm điểm dừng Kết luận Tài liệu tham khảo Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu CƯỚC PHÍ CƯỚC PHI http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 10 14 18 22 22 25 30 30 32 35 41 42 Header Page of 126 Mở đầu Bài tốn bất đẳng thức biến phân cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải tốn ứng dụng tốn cân kinh tế, tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi, tốn cân mạng Trong có mơ hình cân bán độc quyền Nash-Cournot Mơ hình cân thị trường bán độc quyền Cournot đưa vào năm 1838 nhiều tác giả giới tập trung nghiên cứu Sau mơ tả trường hợp đặc biệt mơ hình cân Nash lý thuyết trò chơi khơng hợp tác gồm n người chơi, gọi mơ hình cân thị trường Nash-Cournot Gần người ta quan tâm nhiều đến việc giải tốn ứng dụng vào thực tiễn sống đa dạng, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Mục đích luận văn trình bày mơ hình cân NashCournot cho cước phí tuyến tính đặc biệt trường hợp cước phí lõm Khi cước phí lõm, mơ hình cân Nash-Cournot mơ tả dạng tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC Luận văn mơ tả thuật tốn lặp dựa ý tưởng phương pháp điểm gần kề để tính điểm dừng tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp lõm Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, kết nghiên cứu luận văn trình bày thành hai chương với tiêu đề sau: Chương 1: Mơ hình cân Nash-Cournot cước phí tuyến tính Chương nhắc lại số kiến thức sở khơng gian Hilbert thực, giải tích lồi số khái niệm ánh xạ đơn điệu, tốn tử đơn điệu với số kết liên quan đến tính đơn điệu tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Đồng thời giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp mơ hình cân Nash-Cournot với cước phí tuyến tính Chương 2: Mơ hình cân Nash-Cournot cước phí lõm Chương giới thiệu mơ hình cân thị trường Nash-Cournot với cước phí lõm Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 giới thiệu phương pháp giải mơ hình trường hợp hàm chi phí hàm lõm phương pháp tìm điểm dừng theo thuật tốn điểm gần kề Để hồn thành luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam), người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt q tình học tập nghiên cứu để em hồn thiện luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới q thầy giáo giảng dạy Đại học Thái Ngun Viện Tốn học mang đến cho em nhiều kiến thức bổ ích khơng khoa học mà sống Tơi xin chân thành cảm ơn bạn đồng mơn giúp đỡ tơi thời gian học tập Đại học Thái Ngun q trình hồn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bố mẹ Nhờ có bố mẹ khơng quản gian khó, vất vả sớm khuya tạo điều kiện tốt để có thành ngày hơm Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Lê Dũng Mưu Mặc dù, em cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp mẻ, lại thời gian có hạn kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý q thầy bạn Thái Ngun, tháng - 2013 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Phương Lan Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Chương MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHÍ TUYẾN TÍNH 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương bao gồm: số kiến thức sở khơng gian Hilbert thực giải tích lồi Tiếp sau khái niệm ánh xạ đơn điệu, tốn tử đơn điệu Đồng thời trình bày số kết liên quan đến tính đơn điệu tốn tử đơn trị đa trị khơng gian Hilbert Bên cạnh giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp mơ hình cân Nash-Cournot với cước phí tuyến tính Các kiến thức chương chủ yếu lấy từ tài liệu [1], [2], [4], [7] 1.1.1 Tốn tử khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho khơng gian véctơ X trường số K(K = R) Một ánh xạ từ X × X → K gọi tích vơ hướng X thỏa mãn điều kiện sau: (i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = ⇔ x = 0; (ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; (iii) x + x′, y = x, y + x′ , y , ∀x, x′, y ∈ X; (iv) λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ X, λ ∈ K; Số x, y gọi tích vơ hướng hai véctơ x, y Chú ý 1.1 Từ định nghĩa tích vơ hướng điều kiện (ii) (iv) ta suy ra: Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 -) x, y + y ′ = x, y + x, y ′ , ∀x, y, y ′ ∈ X, -) x, λy = λ x, y , ∀x, y ∈ X, λ ∈ K Định nghĩa 1.2 Cho X khơng gian tuyến tính thực, X gọi khơng gian tiền Hilbert với x, y ∈ X xác định số thực kí hiệu x, y tích vơ hướng x,y thỏa mãn tính chất sau: (i) x, x ≥ 0, x = 0; x, x = 0, x = 0; (ii) x, y = y, x ; (iii) x + y, z = x, z + y, z ; (iv) αx, y = α x, y , ∀α ∈ R Định lý 1.1 Trong khơng gian tiền Hilbert X, với x, y ∈ X ta ln có bất đẳng thức sau: | x, y |2 ≤ x, y y, y gọi bất đẳng thức Schwarz Chứng minh Với y = bất đẳng thức ln Giả sử y = 0, ∀λ ∈ R ta có: x + λy, x + λy ≥ hay x, x + λ y, x + λ x, y + |λ|2 y, y ≥ Chọn λ = − x, y ta được: y, y | x, y |2 x, y − ≥ y, y Từ suy | x, y |2 ≤ x, y y, y Dấu ′′ =′′ bất đẳng thức Schwarz xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.2 Mọi khơng gian tiền Hilbert X khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định x = Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu x, x , ∀x ∈ X http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 với kí hiệu bất đẳng thức Schwarz viết thành | x, y | ≤ x Chứng minh Từ (i) định nghĩa tích vơ hướng ta suy ra: y ∀x ∈ X, x ≥ 0; x = ⇔ x = Từ (i) (iv) định nghĩa tích vơ hướng ta có: λx = λx, λx = |λ|2 x = |λ| x , ∀x ∈ X, λ ∈ R Mặt khác ∀x, y ∈ X ta có: x+y = x + y, x + y = x + y, x + x, y + y = x + x, y + y ≤ x + | x, y | + y 2 Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có: x+y ≤ x +2 x y + y ≤ ( x + y )2 , x + y ≤ x + y Như chuẩn H Định lý 1.3 Cho X khơng gian tiền Hilbert, với x, y ∈ X ta ln có bất đẳng thức hình bình hành sau đây: x+y + x−y =2 x + y Chứng minh Với x, y ∈ X ta có: x+y = x + y, x + y = x + x, y + y, x + y x−y = x − y, x − y = x − x, y − y, x + y , cộng hai bất đẳng thức ta được: x+y + x−y = x =2 x + y 2 + x + y 2 + y Vậy định lý chứng minh Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Định nghĩa 1.3 Cho X khơng gian định chuẩn, dãy {xn } ⊂ X gọi dãy X nếu: lim m,n→∞ xn − xm = Nếu X dãy hội tụ, tức xn − xm → 0, kéo theo ∃x0 ∈ X cho xn → x0 X gọi khơng gian đủ Định nghĩa 1.4 Nếu X khơng gian tiền Hilbert đầy đủ X gọi khơng gian Hilbert Trong luận văn ta thống kí hiệu H khơng gian Hilbert thực Định lý 1.4 Giả sử {xn}, {yn} hai dãy khơng gian Hilbert H cho xn → x0, yn → y0 Lúc xn , yn → x0 , y0 , n → ∞ Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 khơng gian H n→∞ n→∞ Ta cần chứng minh lim (xn , yn) = (x0, y0) H Thật n→∞ | xn , yn − x0 , y0 | = | xn , yn + xn , y0 − xn , y0 − x0, y0 | ≤ | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 | ≤ xn yn − y0 + xn − x0 y0 Vì dãy {xn} hội tụ H nên ∃M > cho xn ≤ M, ∀n ∈ N Khi bất đẳng trở thành: | xn − yn − x0 − y0 | ≤ M yn − y0 + y0 xn − x0 , cho n → ∞ theo giả thiết ta suy lim xn , yn = x0 , y0 n→∞ Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 10 of 126 Định nghĩa 1.5 Hai véctơ x, y ∈ H gọi hai véctơ trực giao với kí hiệu x⊥y x, y = Từ định nghĩa dễ dàng suy tính chất đơn giản sau đây: ⊥ x, ∀x ∈ H; x ⊥ y ⇒ y ⊥ x, ∀x, y ∈ H; x ⊥ {y1 , y2, , yn} ⇒ x⊥α1 y1 + α2 y2 + + αn yn , ∀x ∈ H, n ∈ N∗ , αi ∈ R, i = 1, 2, , n; x ⊥ yn , yn → y n → ∞ x ⊥ y, ∀x, y ∈ H Định nghĩa 1.6 Cho tập M ⊂ H, phần bù trực giao M, kí hiệu M ⊥ , tập hợp sau: M ⊥ = {x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ M } Định lý 1.5 ( Định lý F.Riesz) Với véctơ a cố định thuộc khơng gian Hilbert H, hệ thức: (1.1) f (x) = a, x , xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) khơng gian H, với: (1.2) f = a Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) khơng gian Hilbert H biểu diễn cách dạng (1.1) a véctơ H thỏa mãn (1.2) Chứng minh Phần thứ định lý, ta dễ dàng chứng minh f (x) = a, x , rõ ràng phiếm hàm tuyến tính |f (x)| = | a, x | ≤ a × x ; (1.3) |f (a)| = | a, a | ≤ a × a , (1.4) nên phiếm hàm giới nội thỏa mãn (1.2) Để chứng minh phần ngược lại, ta xét phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) khơng gian Hilbert H Tập hợp M = {x ∈ H : f (x) = 0} , rõ ràng khơng gian đóng H Footer Page 10 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 30 of 126 28 Điều có nghĩa điểm cân Nash hãng lớn với ma trận hệ số giá:  2β β β  β 2β β Q :=  β β β điểm có tổng lợi ích  β β   2β Theo (1.14) (1.19), tổng lợi ích hãng là: n fi (x) = αT x − µT x − xT Gx f (x) := i=1 Ta giải tốn quy hoạch tồn phương lồi mạnh : max αT x − µT x − xT Gx , x∈C (1.29) theo phương pháp có quy hoạch tốn học Ở   β β β β  β β β β  G :=   β β β β gọi ma trận hệ số giá Ví dụ 1.3 Cho n = 3, β = 1, α0 = 10, Ci = [0, ∞], µT = (5, 2, 3), ξ T = (2, 1, 4), αT = (10, 10, 10), i = 1, 2, Hãy viết hàm giá, hàm chi phí, hàm lợi nhuận chuyển mơ hình tốn (1.28) Sau giải tốn để tìm điểm cân Giải Ta có hàm giá pi (σ) = p(σ) := α0 − βσ, với α0 = 10, β = 1, σ = xi , i=1 suy pi( xi ) = 10 − i=1 xi i=1 Vậy p1(x1) = 10 − x1; p2(x1 + x2) = 10 − (x1 + x2); p3(x1 + x2 + x3 ) = 10 − (x1 + x2 + x3) Ta có hàm chi phí hi (xi ) := µi xi + ξi , với µT = (5, 2, 3), ξ T = (2, 1, 4), suy Footer Page 30 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 31 of 126 29 h1 (x1) = 5x1 + 2; h2 (x2) = 2x2 + 1; h3 (x3) = 3x3 + Ta có hàm lợi nhuận fi(x1, x2, x3) := xipi( xi) − hi (xi), i=1 suy f1(x1, x2, x3) = x1(10 − x1) − (5x1 + 2) = −x21 + 5x1 − 2; f2(x1, x2, x3) = x2(10 − (x1 + x2)) − (2x2 + 1) = −x22 + 8x2 − x1x2 − 1; f3(x1, x2, x3) =x3(10 − (x1 + x2 + x3)) − (3x3 + 4) = − x23 + 7x3 − x1 x3 − x2x3 − Khi ta đưa tốn sau: max x∈C (α − µ)T x − xT Qx , T với (α − µ) = (5, 8, 7), Q := 1 1 ; xT = (x1, x2, x3) Ta có x1 1 x1 x2 − (x1, x2, x3) x2 x3 1 x3 = 5x1 + 8x2 + 7x3 − x21 − x22 − x23 − x1x2 − x1x3 − x2x3 (α − µ) x − xT Qx = (5, 8, 7) T Giải tốn max{5x1 + 8x2 + 7x3 − x21 − x22 − x23 − x1 x2 − x1x3 − x2 x3} x∈C ta thu nghiệm (x1, x2, x3) = (0, 3, 2) ∈ C Vậy điểm cân cần tìm (0, 3, 2) Kết luận: Trong chương tìm hiểu tốn bất đẳng thức biến phân mơ hình cân Nash - Cournot cổ điển với cước phí tuyến tính Footer Page 31 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 32 of 126 30 Chương MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHI LÕM Mơ hình cân thị trường Cournot đưa nhiều tác giả nghiên cứu Mơ hình mơ tả tốn cân Nash lý thuyết trò chơi khơng hợp tác gồm n người chơi Mơ hình cân thị trường liên quan tới n hãng sản xuất, họ tham gia sản xuất loại sảm phẩm Mỗi hãng có hàm lợi nhuận mà giá chi phí khác Trong mơ hình cân Nash-Cournot cước phí lõm, hàm giá hãng khơng giống nhau, chi phí hãng hàm lõm theo số lượng sản phẩm Bài tốn đặt tối đa hóa lợi nhuận hãng cách chọn mức sản lượng phù hợp cho tất hãng Các khái niệm kết chương tham khảo [3], [5], [6], [8] 2.1 Mơ hình cân Nash-Cournot Ở mơ hình cân kinh tế Nash-Cournot cổ điển, hàm cước phí giả thiết hàm tăng, aphin theo số lượng sản xuất Tuy nhiên thực tế, giá ban đầu sản phẩm hệ số giảm giá tăng số lượng sản phẩm hãng khác Thật vậy, giả sử hàm chi phí hi , (i = 1, 2, , n) lõm tuyến tính khúc hàm giá p( n xi) thay i=1 Footer Page 32 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 33 of 126 31 đổi theo hãng Hàm có cơng thức sau: n pi (σ) := pi n xi , αi ≥ 0, βi > 0, i = 1, n (2.1) = αi − βi xi i=1 i=1 Ta có: n Φ(x, y) = Ψ(x, y) − Ψ(x, x) = n = i=1 n = i=1 n fi(x) − fi(x[yi]) i=1 i=1   n n   xp( xi) − h(x) − yipi ( xj [yi]) + h(y)  i i  i=1 j=i,j=1   n n   x (α − βi xi) − h(x) − yi (αi − βi xj [yi ]) + h(y)  i i  i=1 n j=i,j=1 n ((yi − xi)(βi = n i=1 n yi2 xj − αi )) + βi i=1 j=i,j=1 T x2i + h(y) − h(x) − βi i=1 ˜ − α, y − x + y By − xT Bx + h(y) − h(x), = Bx  β1  B =  0 β2 0   0  ˜   ; B =  βn β2 βn β1 βn β1 β2 βn  β1 β2   n h(x) := hi (xi), i=1 với hi (i = 1, 2, , n) hàm lõm Rõ ràng B ma trận đối xứng xác định dương Cho ˜ − α, F (x) := Bx (2.2) ϕ(x) := xT Bx + h(x) (2.3) Vậy tốn cân trở thành tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp sau: Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn : Φ(x∗, y) := F (x∗), y−x∗ +ϕ(y)−ϕ(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ C, Footer Page 33 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 34 of 126 32 F (.) tốn tử aphin ϕ(.) hàm D.C cho theo cơng thức (2.2), (2.3) Chú ý ϕ khơng lồi nên (1.19) khơng tương đương với tốn tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn: Φ(x∗, y) := F (x∗ ), y − x∗ + ϕ(y) − ϕ(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ U ∩ C, (2.4) U lân cận x∗ Điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (2.4) gọi nghiệm địa phương 2.2 Phương pháp giải theo thuật tốn điểm gần kề Trong phần này, ta nghiên cứu tính chất liên quan đến nghiệm tồn cục nghiệm địa phương cho tốn MVIP ϕ hàm DC Tiếp theo ta mở rộng phương pháp điểm gần kề để tìm điểm dừng tốn Cuối cùng, ta chứng minh kết hội tụ ϕ lồi F đơn điệu mạnh Định nghĩa 2.1 Phương pháp điểm gần kề Rockafellar để giải bao hàm thức: ∈ T (z) (P ∗ ) T ánh xạ đơn điệu cực đại Phương pháp phương pháp lặp tức xây dựng dãy lặp xk sau: (-) Xuất phát từ x0 ∈ H (-) Tại bước thứ k điểm lặp xk+1 = (I + cT )−1(xk ), I tốn tử đồng (tức Ix = x) Rockafellar chứng minh dãy {xk } hội tụ yếu đến nghiệm z tốn (P ∗ ) Ta sử dụng lược đồ phương pháp điểm gần kề để giải tốn mơ hình cân Nash-Cournot với cước phí lõm Cho ∅ = C ⊆ Rn tập lồi đóng, F : C → Rn ánh xạ liên tục, ϕ hàm giá trị thực liên tục (khơng cần lồi) định nghĩa Rn Ta xét tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp sau (MVIP): Tìm x∗ ∈ C cho : F (x∗)T (y − x∗) + ϕ(y) − ϕ(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ C (2.5) Footer Page 34 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 35 of 126 33 Điểm x∗ gọi nghiệm tồn cục với x∗ ∈ C Điểm x∗ ∈ C gọi nghiệm địa phương tồn lân cận U x∗ thỏa mãn: F (x∗)T (y − x∗ ) + ϕ(y) − ϕ(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ U ∩ C (2.6) Chú ý rằng, ϕ lồi C nghiệm địa phương nghiệm tồn cục, ϕ khơng lồi, nghiệm địa phương khơng nghiệm tồn cục Ta gọi C miền cho phép, F tốn tử chi phí ϕ hàm chi phí Khi C tập lồi đóng, dễ dàng thấy với nghiệm địa phương (2.5) nghiệm tồn cục ϕ lồi C Ta gọi tên tốn (2.5) bất đẳng thức biến phân hỗn hợp lồi ϕ lồi, ngược lại bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khơng lồi hàm chi phí khơng lồi Ta kí hiệu ℵC := (x, U ) : x ∈ C, U lân cận mở x Tiếp ta định nghĩa ánh xạ S : ℵC → 2C hàm m : ℵC → R cách lấy lần lượt: S (x, U) := argmin F (x)T (y − x) + ϕ(y) : y ∈ C ∩ U , (2.7) m (x, U) := F (x)T (y − x) + ϕ(y) − ϕ(x) : y ∈ C ∩ U , (2.8) hàm m(x, U ) hàm khoảng cách tốn (2.5) Mệnh đề 2.1 Giả sử S(x, U ) = ∅ với (x, U) ∈ ℵC Khi phát biểu sau tương đương: (a) x∗ nghiệm địa phương (2.5) ; (b) x∗ ∈ C x∗ ∈ S (x∗, U ) ; (c) x∗ ∈ C m (x∗, U ) = Chứng minh *) Ta chứng minh (a) tương đương (b) Giả sử x∗ ∈ C x∗ ∈ S(x∗, U ) Thì ∀y ∈ C ∩ U = F (x∗)T (x∗ − x∗ ) + ϕ(x∗) − ϕ(x∗) ≤ F (x∗)T (y − x∗) + ϕ(y) − ϕ(x∗) Footer Page 35 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 36 of 126 34 Vì x∗ nghiệm địa phương tốn (2.5) Ngược lại, F (x∗)T (y − x∗) + ϕ(y) − ϕ(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ C ∩ U, (2.9) rõ ràng x∗ ∈ S(x∗, U ) Ta thấy m(x, U ) ≤ 0, ∀x ∈ C∩U Do x∗ ∈ C∩U m(x∗, U ) = F (x∗)T (y − x∗) + ϕ(y) − ϕ(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ C ∩ U có nghĩa (a) (c) tương đương Gọi ΓC tập hợp tất hàm lồi, thường, nửa liên tục khả vi phân C Do g h hàm lồi thuộc ΓC Nên cộng vào trừ hàm lồi mạnh h(x), ta kết luận hai hàm g h lồi mạnh C Khi x nghiệm (2.5) x thỏa mãn tốn tối ưu hóa sau: F (x)T (y − x) + g(y) − h(y), ∀y ∈ C Định nghĩa 2.2 Một điểm x ∈ C gọi điểm dừng tốn (2.5) ∈ F (x) + ∂g(x) − ∂h(x) + NC (x), (2.10) NC (x) := w : wT (y − x) ≤ 0, ∀y ∈ C nón pháp tuyến ngồi C x ∈ C ∂g(x) ∂h(x) vi phân x hàm lồi g h Vì NC (x) nón lồi, với c > 0, (2.10) tương đương với ∈ c {F (x) + ∂g(x) − ∂h(x)} + NC (x) (2.11) Ta đặt g1 (x) := g(x) + δC (x), ∂δC (x) gọi vi phân hàm δC C x Theo định lý Moreau-Rockafellar, ∂g1(x) = ∂g(x) + ∂δC (x) Do theo định nghĩa x điểm dừng ∈ c {F (x) + ∂g(x) − ∂h(x)} + ∂δC (x), (2.12) c > tham số hiệu chỉnh Footer Page 36 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 37 of 126 35 Từ Mệnh đề 2.1 ta suy nghiệm địa phương tốn (2.5) điểm dừng Cho g1 (x) = g(x) + δC (x), g δC lồi đóng thường nên hàm g1 lồi đóng Suy ra, ∂g1(x) = ∂g(x) + NC (x) với x ∈ C Mệnh đề 2.2 Điều kiện cần đủ cho x điểm dừng tốn (2.5) x ∈ (I + c∂g1 )−1 (x − cF (x) + c∂h(x)) , (2.13) c > I ánh xạ đồng Chứng minh Vì g1 lồi, đóng thường nên ánh xạ (I + ∂g1)−1 đơn trị điểm Hơn nữa, x thỏa mãn điều kiện (2.13) x − cF (x) + cv(x) ∈ (I + c∂g1 ) (x), ∀v(x) ∈ ∂h(x) Vì NC (x) nón ∂g1(x) = ∂g(x) + ∂δC (x) = ∂g(x) + NC (x), nên x − cF (x) + cv(x) ∈ (I + c∂g1) (x) Tương đương với ∈ F (x) + ∂g(x) − ∂h(x) + NC (x) điều phải chứng minh 2.3 Thuật tốn tìm điểm dừng Nếu ta đặt vế bên phải (2.13) Z(x) (2.13) trở thành x ∈ Z(x) Mệnh đề 2.2 gợi ý phương pháp tìm điểm dừng tốn (2.5) thực chất tìm điểm bất động lát cắt điểm gần kề ánh xạ Z Theo phương pháp thuật tốn điểm gần kề ta xây dựng dãy lặp sau: *) Lấy tùy ý x0 ∈ C đặt k = Footer Page 37 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 38 of 126 36 *) Với k = 0, 1, 2, cho xk , tính xk+1 theo cơng thức: xk+1 = (I + ck ∂g1)−1 xk − ck F (xk ) + ck v(xk ) , (2.14) v(xk ) ∈ ∂h(xk ) Nếu định nghĩa y k = xk − ck F (xk ) + ck v(xk ) việc tìm xk+1 trở thành tìm lời giải tốn quy hoạch lồi mạnh: x − yk 2ck g (x) + (2.15) :x∈C Thật vậy, theo điều kiện tối ưu hóa biết cho quy hoạch lồi, xk+1 nghiệm tối ưu tốn lồi (2.15) nếu: ∈ ∂g(xk+1)+ k+1 (x − y k )+NC (xk+1) ck Chú ý F = h = quy trình (2.14) trở thành thuật tốn điểm gần kề quen thuộc cho tốn quy hoạch lồi, F = phương pháp điểm gần kề cho tối ưu hóa DC Mệnh đề 2.3 Giả sử tập điểm dừng S ∗ tốn (2.5) khác rỗng, F tự với hệ số σ, g lồi mạnh C với hệ số τ > h khả vi L-Lipschits C Khi với x∗ ∈ S ∗ ta có αk xk − x∗ − βk xk+1 − x∗ 2 ≥ ck (2σ − ck ) F xk − F (x∗) , (2.16) αk = + ck Lt, βk = + 2ck τ − ck L t t > Chứng minh Trước hết ta cần ý rằng, g thường, lồi đóng C lồi đóng khác rỗng nên ánh xạ (I + ck ∂g1)−1 đơn trị định nghĩa ck > Do dãy {xk } xây dựng (2.14) Từ (2.14) suy ra: xk+1 = xk − ck F (xk ) + ck v k − ck z k+1, (2.17) v k = ∇h(xk ) z k+1 ∈ ∂g1(xk+1) = ∂g(xk+1) + NC (xk+1) Theo định nghĩa, x∗ điểm dừng tốn bất đẳng thức biến Footer Page 38 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 39 of 126 37 phân hỗn hợp (2.5) = z ∗ + F (x∗) − v ∗, z ∗ ∈ ∂g1(x∗) v ∗ = ∇h(x∗) Theo tính chất F C suy ≤(F (xk ) − F (x∗))T (xk − x∗) − σ F (xk ) − F (x∗) =(F (xk ) − F (x∗))T (xk − x∗ − ck F (xk ) + ck F (x∗)) − ∆k ∆k = (σ − ck ) F (xk ) − F (x∗) Vì F (x∗) = v ∗ − z ∗ xk+1 = xk − ck F (xk ) + ck v k − ck z k+1 , ta thu từ bất đẳng thức ≤(F (xk ) − F (x∗))T (xk − ck F (xk ) + ck v k − ck z k+1 − x∗ ) −ck (F (xk ) − F (x∗))T (v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ ) − ∆k (2.18) =(F (xk ) − F (x∗))T (xk+1 − x∗) −ck (F (xk ) − F (x∗))T (v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ ) − ∆k Ta lại có, g lồi mạnh với hệ số τ > nên ∂g đơn điệu mạnh với hệ số τ Suy ánh xạ ∂g1 = ∂g + NC đơn điệu mạnh với hệ số τ Vì thế, từ z k+1 ∈ ∂g1(xk+1), ta viết (xk+1 − x∗)(z k+1 − z ∗ ) − τ xk+1 − x∗ (2.19) ≥ Cộng (2.18) (2.19), sử dụng z ∗ + F (x∗) = v ∗ (2.17) ta có: ≤(F (xk ) − F (x∗) + z k+1 − z ∗ )T (xk+1 − x∗) −ck (F (xk ) − F (x∗))T (v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ ) − τ xk+1 − x∗ (xk − x∗) − (xk+1 − x∗) k+1 ∗ T k =(x − x ) (v + − v∗) ck − ∆k −ck (F (xk ) − F (x∗))T (v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ ) − τ xk+1 − x∗ − ∆k Bây ta định nghĩa xˆk = xk − x∗; xˆk+1 = xk+1 − x∗; vˆk = v k − v ∗ ; zˆk+1 = z k+1 − z ∗ Fˆ (xk ) = F (xk ) − F (x∗) Ta viết bất đẳng thức thành: 2ck (ˆ xk+1)T vˆk −2(xk+1)T (ˆ xk+1 − xˆk ) − 2c2k (Fˆ k )T (ˆ v k − zˆk+1)− − 2ck τ xˆk+1 − 2ck ∆k ≥ (2.20) Từ (2.17) ta có: xˆk+1 − xˆk Footer Page 39 of 126 = c2k Fˆ k Số hóa trung tâm học liệu + c2k zˆk+1 − vˆk − 2c2k (Fˆ k )T (ˆ v k − zˆk+1 ) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 40 of 126 38 Đồng thời ta có: 2(xk+1)T (ˆ xk+1 − xˆk ) = xˆk+1 − xˆk + xˆk+1 2 − xˆk Ta thu từ (2.20) 2ck (ˆ xk+1)T vˆk −2(1 + 2ck τ ) xˆk+1 − k+1 k c2k vˆ − zˆ + xˆk − c2k Fˆ k − (2.21) − 2ck ∆k ≥ Vì ∇h L-Lipschitz, nên ta có vˆk ≤ L xˆk Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev dễ dàng chứng minh được: 2(ˆ xk+1)T vˆk ≤2 xˆk+1 ≤L t xˆ Thay 2(ˆ x ) vˆ L t xˆ k+1 T k k vˆk ≤ 2L xˆk k xˆk+1 + t xˆk+1 + t xˆk+1 (2.22) , ∀t > vào (2.21) sử dụng định nghĩa ∆k ta có: αk xˆk − βk xˆk+1 ≥ ck (2σ − ck ) Fˆ k + c2k vˆk − zˆk+1 (2.23) L αk = + ck Lt, βk = (1 + 2ck τ − ck ) t > t Mệnh đề chứng minh Hệ 2.1 Với giả thiết Mệnh đề 2.3, ta giả sử thêm τ ≥ L, dãy {xk } sinh (2.14) hội tụ đến điểm dừng tốn (2.5) Hơn nữa, τ > L F µ-đơn điệu mạnh dãy {xk } hội tụ tuyến tính đến điểm dừng tốn (2.5) Chứng minh Giả sử τ ≥ L Cho m M hai số thực thỏa mãn < m ≤ ck ≤ M < 2σ Nếu ta chọn t − từ (2.23) ta có: xk − x∗ Footer Page 40 of 126 − xk+1 − x∗ Số hóa trung tâm học liệu ≥ m(2σ − M) F (xk ) − F (x∗) + ML ≥ http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 41 of 126 39 Suy {xk } bị chặn dãy { xk − x∗ } hội tụ khơng tăng bị chặn Ngồi ra, ta có lim F (xk ) = F (x∗) Từ (2.17) ta có: k→∞ xk+1 − xk = lim = lim (v k − z k+1 − F k ) = lim (v k − z k+1) − F ∗ , k→∞ k→∞ k→∞ ck thay −F ∗ = z ∗ − v ∗ ta lim (v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ ) = k→∞ Cho x điểm giới hạn dãy bị chặn xk {xk : k ∈ V } dãy hội tụ tới x∞ Vì F tự bức, liên tục nên lim F (xk ) = F (x∗) kéo theo ∞ k→∞ F (x ) = F (x ) Theo giả thiết ∇h L-Lipschitz nên v k − v ∗ ≤ L xk − x∗ , dãy {v k } bị chặn ta giả thiết dãy {v k : k ∈ V } hội tụ tới v ∞ Sử dụng tính liên tục ∇h ta có: v ∞ = ∇h(x∞) Lấy z ∈ ∂g1(x) Do tính đơn điệu mạnh ∂g1 ta có: ∞ ∗ ≤τ xk − x ≤ z k − z, xk − x = z k − z, xk − x∞ + z k − z, x∞ − x = z k − z, xk − x∞ + z k − v k−1 − z, x∞ − x + v k−1, x∞ − x Chú ý lim (v k − v ∗ − z k+1 + z ∗ ) = 0, k→∞ k suy z − v → z ∗ − v ∗ = −F (x∗) Lấy giới hạn vế phải bất đẳng thức ta có: k+1 v ∞ − F (x∗) − x, x∞ − x ≥ 0, tính đơn điệu cực đại ∂g1 suy v ∞ − F (x∗) ∈ ∂g1(x∞) Từ F (x∞) = f (x∗) ta có v ∞ − F (x∞) ∈ ∂g1(x∞) Mặt khác, v ∞ = ∇h(x∞ ) nên ∈ ∂g1(x∞) + F (x∞) − ∇h(x∞ ), điều có nghĩa x∞ điểm dừng tốn (2.5) Thế x∗ (2.16) x∞ nhận xét { xk − x∞ } hội tụ, ta suy dãy {xk } hội tụ tới x∞ dãy hội tụ tới x∞ Tiếp theo từ (2.16) ta có: αk xk − x∗ Do L < τ < r := Suy 2 ≥ βk xk+1 − x∗ αk < 1, ∀k ≥ βk xk+1 − x∗ ≤ r xk − x∗ , Footer Page 41 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 42 of 126 40 điều chứng tỏ {xk } hội tụ x∗ với tốc độ tuyến tính Nếu F đơn điệu mạnh với hệ số µ > F (xk ) − F (x∗) xk − x∗ ≥ F (xk ) − F (x∗), xk − x∗ ≥ µ xk − x∗ , F (xk ) − F (x∗) ≥ µ2 xk − x∗ Thế bất đẳng thức vào (2.16) xếp lại ta có: αk − µ2 ck (2σ − ck ) xk − x∗ 2 ≥ βk xk+1 − x∗ Sử dụng giả thiết < m ≤ ck ≤ M < 2σ chọn t = ta thu từ bất đẳng thức cuối: + ck L − µ2 (2σ − ck ) xk − x∗ 2 ≥ (1 + 2ck τ − ck L) xk+1 − x∗ m ) > L; + ck L − µ2 ck (2σ − ck ) < + 2ck τ − ck L, nên ta có dãy {xk } hội tụ tuyến tính tới x∗ Vì r + µ2 (σ − Footer Page 42 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 43 of 126 41 Kết luận Luận văn trình bày kiến thức tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp mơ hình cân Nash-Cournot Cụ thể luận văn trình bày tồn nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Đồng thời luận văn trình bày mơ hình cân Nash-Cournot xét thuật tốn giải mơ hình theo cách tiếp cận bất đẳng thức biến phân hỗn hợp cho trường hợp cước phí hàm aphin, cước phí hàm lõm Trong trường hợp cước phí hàm lõm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp tương ứng khơng lồi, theo nghĩa nghiệm địa phương khơng phải nghiệm tồn cục Trong trường hợp luận văn trình bày phương pháp tìm điểm dừng dựa theo phương pháp điểm gần kề Footer Page 43 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 44 of 126 42 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải, Giải tích lồi, (2000), NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng (sẽ ra), NXB Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ [3] Nguyễn Văn Qúy, Tiếp cận bất đẳng thức biến phân tối ưu hóa giải mơ hình cân thị trường độc quyền tập đồn Nash-Cournot với hàm chi phí lõm, Tạp chí Ứng Dụng Tốn Học, tập IV(số 1), 1-23 [4] Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm (2003), NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [5] Le Dung Muu and Tran Dinh Quoc, One step from DC optimization to DC mixed variational inequalities, Optimization, (59), 63 - 76, 2010 [6] Le Dung Muu, Nguyen Van Hien and Nguyen Van Quy, On Nash - Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions”, J Glob Optim, (41), 351 - 364, 2008 [7] Nguyen Van Hien, Optimization and Applied Mathematics, giảng Đại Học Cần Thơ, 2003 [8] R Tyrrell Rockafellar, Monotone operators and the proximal point algorithm, SlAM J Control and optimization, (14), 877 - 898, 1976 Footer Page 44 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Mơ hình cân Nash-Cournot cổ điển 1.2.1 Phát biểu mơ hình Nash-Cournot 1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT LÕM 2.1 Mơ hình cân Nash-Cournot 2.2 Phương. .. ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 giới thiệu phương pháp giải mơ hình trường hợp hàm chi phí hàm lõm phương pháp tìm điểm dừng theo thuật tốn điểm gần kề Để hồn thành luận văn em xin bày tỏ lòng