Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chương trình Toán lớp 10 11 chuyên Thời gian áp dụng sáng kiến:Từ - 2015 đến - 2016 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Thị Giang Năm sinh: 1986 Nơi thường trú: 19/36 xóm 1, Mỹ Trọng, Mỹ Xá, Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Địa liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Điện thoại: 0976138529 Đồng tác giả (nếu có): không Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị:Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định Điện thoại: 0350640297 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai I 2016 BÁO CÁO SÁNG KIẾN ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong chương trình toán chuyên, dãy số nội dung quan trọng thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi tỉnh, khu vực, quốc gia quốc tế Trong trình tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia trường, phân công dạy mảng tính chất số học dãy số Chính chọn nội dung tính chất số học dãy số để làm nội dung cho sáng kiến Mảng kiến thức tính chất số học dãy số mảng tương đối rộng khó Trong khuôn khổ sáng kiến này, nghiên cứu sâu tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai số dãy số biến đổi dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Nội dung xuất nhiều đề thi học sinh giỏi Một số toán tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đề thi học sinh giỏi: Đề thi VMO năm 2011: Cho dãy số nguyên ( an ) xác định a0 = 1, a1 = −1, an = 6an −1 + 5an − với n ≥ Chứng minh a2012 − 2010 chia hết cho 2011 Đề thi TST năm 2012: Cho dãy số nguyên dương ( xn ) xác định  x1 = 1, x2 = 2011   xn + = 4022 xn +1 − xn , n ∈ N * x2012 + số phương 2012 Đề thi VMO năm 1997: Cho dãy số nguyên (an ) xác định a0 = 1, a1 = 45, an + = 45an +1 − 7an với n=0,1,2 Chứng minh a) Tìm số ước dương an2+1 − an an + theo n Chứng minh vớ n 1997.an2 + 4.7 n +1 số phương Đề thi TST năm 2011 Cho dãy số nguyên dương ( an ) xác định bởi: a0 = 1, a1 = an +  an2+1  = 1+   với n ≥  an  Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Chứng minh an + an − an2+1 = 2n với số tự nhiên n Trong [ x ] kí hiệu số nguyên lớn không vượt x Đề thi VMO năm 1989 Xét dãy số Fibonacci xác định a1 = a2 = 1, an + = an +1 + an với n ≥ Đặt f ( n ) = 1985n + 1956n + 1960 Chứng minh có vô hạn số hạng F dãy cho f ( F) chia hết cho 1989 Chứng minh không tồn số hạng G dãy cho f(G)+2 chia hết cho 1989 II MÔ TẢ GIẢI PHÁP Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Tính chất số học dãy số nội dung khó lý thú dãy số số học Đây phần kiến thức quan trọng chương trình toán chuyên việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Để giải toán tính chất số học dãy số mà cụ thể dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đòi hỏi học sinh phải có kiến thức đa dạng, tổng hợp dãy số số học Khi tìm hiểu số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai nhận thấy việc áp dụng tính chất giải nhiều toán hay khó Là giáo viên dạy trường chuyên, nhận thấy cần phải có đề tài nghiên cứu sâu dạng toán để giúp em học sinh lớp chuyên Toán bổ sung kiến thức đồng thời phát triển tư kĩ giải toán, giúp em không lúng túng gặp toán dạng Trong sáng kiến tác giả nghiên cứu sâu số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai, từ tính chất em học sinh sáng tạo nhiều toán khác Hy vọng nội dung sáng kiến giúp em học sinh tìm phương pháp hợp lí để giải toán dạng Trong sáng kiến này, tác giả nghiên cứu nội dung: nội dung thứ cách tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp hai, sau tìm số hạng tổng quát dãy số suy tính chất số học dãy số Tuy nhiên có nhiều Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 toán tìm công thức số hạng tổng quát dãy số việc xử lí tính chất số học tương đối khó khăn nhiều thời gian nên nội dung thứ hai tác giả đưa số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai giải nhiều toán hay khó Nội dung tiếp theo, tác giả nghiên cứu dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đặc biệt có nhiều ứng dụng toán học thực tiễn, dãy Fibonacci Mô tả giải pháp sau có sáng kiến Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm gồm hai phần Phần thứ nhất: Kiến thức I.1 Số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp hai I.2 Một số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai I.3 Dãy Fibonacci Phần thứ hai: Một số phương pháp giải toán tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2.1 2.1 2.3 Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số Sử dụng tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Một số tính chất số học dãy Fibonacci NỘI DUNG Kiến thức Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai ( un ) xác định sau: u1 = p, u2 = q un + = aun +1 + bun (*) với n ∈ ¥ * , a b số thực 1.1 Số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Cách xác định số hạng tổng quát dãy sau: Xét phương trình ẩn t sau đây: t − at − b = (**) gọi phương trình đặc trưng (*) Phương trình có biệt thức ∆ = a + 4b Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 Trường hợp 1: ∆ = a + 4b > (**) có hai nghiệm thực phân biệt t1; t2 Số hạng tổng quát (*) có dạng un = x.t1n + y.t2 n , với n ∈ ¥ * x, y hai số thực tuỳ ý; x y hoàn toàn xác định cho trước u0 u1 Trường hợp 2: ∆ = a + 4b = (**) có nghiệm kép thực t Số hạng tổng quát (*) có dạng un = x.t n + y.nt n −1 , với n ∈ ¥ * ( ta qui ước 0−1 = ) x, y hai số thực tuỳ ý; x y hoàn toàn xác định cho trước u0 u1 Trường hợp 3: ∆ = a + 4b < , ( **) có hai nghiệm phức Thuật toán làm trường hợp sau: Bước 1: Giải phương trình t − at − b = nhận nghịêm phức a + i −∆ z= Bước 2: Đặt r = | z | module z, ϕ = Argz , ta nhận un = r n ( p cos nϕ − q sin nϕ ) với p, q số thực Bước 3: Xác định p, q theo giá trị cho trước u0 ; u1 Về sở lí thuyết cách làm chứng minh kiến thức đại số tuyến tính Ở đây, xin trình bày chứng minh trường hợp trường hợp kiến thức trung học phổ thông Trường hợp 1: ∆ > (**) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 theo định lí Vi-et t1 + t2 = a ta có:  Khi t1t2 = −b un +1 = (t1 + t2 )un − t1t 2un −1 ⇔ un +1 − t1un = t2 (un − t1un −1 ) = t2 (un −1 − t1un − ) = = t2 n (u1 − t1u0 ) Như un +1 − t1un = t2 n (u1 − t1u0 ) (1); Tương tự un +1 − t2un = t1n (u1 − t2u0 ) (2) Trừ vế (2) cho (1) ta có: (t1 − t2 )un = (u1 − t2u0 )t1n − (u1 − t1u0 )t2 n Do t1 ≠ t nên Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai un = (u1 − t2u0 ) n (u1 − t1u0 ) n t1 − t2 t1 − t2 t1 − t2 Vậy un có dạng un = x.t1n + y.t2 n với x, y hai số thực Trường hợp 2: ∆ = b = a −a2 , (**) có nghiệm kép t = Ta có un +1 = 2t.un − t 2un −1 ⇔ un +1 − tun = t (un − tun −1 ) = = t n (u1 − tu0 ) Như un +1 − tun = t n (u1 − tu0 ) (3); Tương tự un − tun −1 = t n −1 (u1 − tu0 ) (4); un −1 − tun − = t n − (u1 − tu0 ) (5); …………………………… u1 − tu0 = u1 − tu0 (n+3) Nhân hai vế (4) với t, hai vế (5) với t , …, hai vế (n+3) với t n cộng lại ta được: un +1 = t n +1.u0 + n.t n (u1 − tu0 ) Do un có dạng xt n + yn.t n −1 với x, y hai số thực 1.2 Một số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Tính chất 1: Cho dãy số (un ) thỏa mãn un + = aun +1 + bun với n ∈ ¥ * Khi ta ( ) n −1 * có đẳng thức sau un + un − un +1 = (−b) u3u1 − u2 , ∀n ∈ N (1) ( ) 2 Chứng minh: Trước hết ta chứng minh un + un − un +1 = −b un +1un −1 − un (2) Thật ta có: ( un + un − un2+1 + b un +1un −1 − un2 ) = un ( un + − bun ) − un +1 ( un +1 − bun −1 ) = un a.un +1 − un +1.a.un = Bằng cách áp dụng liên tiếp (2) ta dễ dàng thu đẳng thức (1) Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 Tính chất 2: Cho dãy (un ) xác định u1 = m, u2 = p, u3 = q (m, p, q ≠ 0) un + = un2+1 + c , ∀n ≥ un Trong c = mq − p Khí ta có (un ) dãy truy hồi tuyến tính cấp dạng un + = a.un +1 − un với a = q+m p Chứng minh: Từ giả thiết ta suy c = un + un − un2+1 Thay n n − ta c = un +1.un −1 − un2 Suy un + un − un2+1 = un +1.un −1 − un2 Hay un ( un + + un ) = un +1 ( un +1 + un −1 ) Hay un + + un un +1 + un −1 = un +1 un Thay n n − 1, n − 2, , ta un + + un un +1 + un −1 u +u q+m = = = = =a un +1 un u2 p Suy un + = a.un +1 − un Tính chất 3: Cho dãy số (un ) thỏa u1 = m, u2 = p, un + = aun +1 − un , ∀n ∈ ¥ * Ta có un + un − un2+1 = u3.u1 − u22 = c un + + un = a.un +1 Suy  un + un = c + un +1 Vậy (un + ) , (un ) nghiệm phương trình bậc hai: Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai X − a.un +1 X + un2+1 + c = ( ∆ = ( a.un +1 ) − un2+1 + c ( ) (c = u3.u1 − u22 ) ) = a − un2+1 − 4c ( ) 2 Nếu un ∈ ¢ , ∀n a ∈ ¢ ∆ = a − un +1 − 4c số phương Tính chất 4: Mọi ( ) dãy số (un ) thỏa mãn: u1 = m , a un + = un +1 + a − un2+1 + 4c ( ac ≠ ) đưa dãy số truy hồi tuyến 2 tính cấp có dạng sau: un + = a.un +1 − un Chứng minh: Chuyển un2+ a un +1 sang vế trái bình phương vế a2 − a.un + un +1 + un +1 =  a − un2+1 + 4c   4 ( ) Hay un2+ − a.un + un +1 + un2+1 − c = Thay n n − ta có un2+1 − a.un +1.un + un2 − c = Suy un + un nghiệm phương trình X − a.un +1 X + un2+1 − c = Suy un + + un = a.un +1 Chú ý: Xét dãy số (un ) thỏa mãn un + = a.un +1 − un c = u1u3 − u22 Ta có un + 2un − un2+1 = c Xét tiếp dãy số ( ) cho = un2 , ∀n Ta có Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 + = un2+ = a 2un2+1 − 2a.un +1.un + un2 = a 2un2+1 − 2un ( a.un +1 − un ) − un2 = a 2un2+1 − un2 − 2unun + ( ) ( = ( a − ) +1 − − 2c ) = a − un2+1 − unun + − un2+1 − un2 ( ) Suy + = a − +1 − − 2c Mặt khác cách sử dụng quy nạp ta dễ dàng chứng minh điều ngược lại đúng, tức hai dãy ( ( un ) , ( ) thỏa mãn v1 = u12 , v2 = u22 , c = u1u3 − u22 ) un + = a.un +1 − un , + = a − +1 − − 2c ta có = un2 , ∀n 1.3 Dãy Fibonacci 1.3.1 Dãy Fibonacci ( Fn ) mang tên nhà toán hoc Pisano Fibonacci Dãy cho  F1 = F2 = hệ thức truy hồi đơn giản   Fn + = Fn +1 + Fn ∀n ≥ Dễ dàng thấy công thức tổng quát dãy ( Fn ) là: n n   +   −   Fn =  ÷ − ÷ (Công thức Binet)        Từ sau, để thuận tiện cho việc tính toán, ta quy ước F0 = 1.3.2 Một vài hệ thức dãy Fibonacci: F1 + F2 + + Fn = Fn + − F1 + F3 + + F2 n −1 = F2 n Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai F2 + F4 + + F2 n = F2 n +1 − Fn −1.Fn +1 − Fn2 = (−1) n F12 + F22 + + Fn2 = Fn Fn +1 F0 − F1 + F2 − F3 − F2 n −1 + F2 n = F2 n −1 − Fn2+1 − Fn2 = Fn −1.Fn + F1F2 + F2 F3 + + F2 n −1F2 n = F22n Fn +1.Fn + − Fn Fn + = (−1) n Fn4 − = Fn − Fn −1Fn +1Fn + 10 Fn + m = Fn −1Fm + Fn Fm +1 Một số phương pháp giải toán tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2.1 Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số Bài toán Cho dãy thỏa mãn điều kiện: Chứng minh với số nguyên dương với số số phương Hướng dẫn giải Hướng thứ Ta tính nên ta dự đoán , 10 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Cách Ta chứng minh quy nạp công thức truy hồi (1) Thật vậy, trước hết từ đẳng  a2  an + = +  n +1  ,  an  thức quy nạp ta suy an +1 > 2an , ∀n ≥ an > 2an −1 > > 2n a0 = 2n , ∀n ≥ nên (2) Ta dễ thấy (1) với n = , ta giả sử (1) đến n = k ≥ tức là: ak + = 4ak +1 − 2ak ⇒ ( ) ak + + 2ak ak +1 + 2ak −1 = ⇒ ak + ak − ak2+1 = ak +1ak −1 − ak2 = = 2k ak +1 ak (3) Ta có ak + ak − ak2+1 =2 ( ak +1ak −1 − ak2 ) ak + ak 2ak2 ⇒ − ak +1 = 2ak −1 − ak +1 ak +1 ak + ( 4ak +1 − ak + ) ak + 2ak 4ak2 4ak2 ⇒ − 2ak +1 = 4ak −1 − ⇒ − 2ak +1 = 4ak −1 − ak +1 ak +1 ak +1 ak +1 ( ) ak2+ 4ak2 ak2+ ak +1ak −1 − ak a2 4.2k −1 ak2+ 2k +1 ⇒ 4ak + − 2ak +1 = + 4ak −1 − = + = k +2 + = + ak +1 ak +1 ak +1 ak +1 ak +1 ak +1 ak +1 ak +1 (do (3)) Kết hợp với (2) ta được:  ak2+   ak2+  ak2+ ak2+ < 4ak + − 2ak +1 < + ⇒ 4ak + − 2ak +1 =  + 1 =   + = ak + ak +1 ak +1  ak +1   ak +1  đẳng thức (1) với n = k + Vậy đẳng thức (1) với n ≥ Do Từ đẳng thức (1) ta suy được: an + = 4an +1 − 2an ⇒ ( ) an + + 2an an +1 + 2an −1 = ⇒ an + 2an − an2+1 = an +1an −1 − an2 = = 2n an +1 an Cách Bây ta xây dựng dãy ( bn ) thỏa mãn điều kiện: b0 = 1, b1 = 3, bn + = 4bn +1 − 2bn ∀n ≥ Từ cách xác định dãy ( bn ) ta được: bn + + 2bn bn +1 + 2bn −1 = ⇒ bn + 2bn + 2bn2 = bn2+1 + 2an +1an −1 bn +1 bn 40 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai ( ) ( ) ⇒ bn + 2bn − bn2+1 = bn +1bn −1 − bn2 = = 2n b2b0 − b12 = 2n ⇒ bn + = Bằng bn2+1 2n + bn bn quy nạp (4) dễ thấy dãy ( bn ) dãy tăng bn = 4bn −1 − 2bn − > 2bn −1 > 22 bn − > > 2n b1 = 2n ⇒ bn > 2n đó: (5) Từ (4) (5) ta suy  b2   b2  bn2+1 b2 2n bn2+1 < bn + = n +1 + < + ⇒ bn + =  n +1 + 1 = +  n +1  , ∀n ≥ bn bn bn bn  bn   bn  (6) Từ (6) suy dãy ( bn ) thỏa mãn:  b2  b0 = 1, b1 = bn + = +  n +1  , ∀n ≥  bn  Do ta an = bn , ∀n ≥ Vì an + an − an2+1 = 2n với số tự nhiên n Hướng thứ hai Ta dự đoán đẳng thức an + = 4an +1 − 2an ∀n ≥ sau Giả sử ta chứng minh đẳng thức an + an − an2+1 = 2n với số tự nhiên n Khi ta có: ( ) an + an − an2+1 = an +1an −1 − an2 ⇒ an + + 2an an +1 + 2an −1 a + 2a0 = = = =4 an +1 an a1 ⇒ an + = 4an +1 − 2an Để chứng minh công thức truy hồi ta thực giống cách 1, cách chứng minh theo hướng thứ  an2+1  a = 1, a = a = + Nhận xét Từ cách xác định dãy n +   với n ≥ ,  an  phương pháp quy nạp ta an ≥ 2n , ∀n ≥ Khi ta có: 41 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016  an2+1 + 2n   an2+1    = 1+   = an + Từ ta đề xuất toán sau:  an   an  Bài 17.1 Cho dãy số nguyên dương ( an ) xác định bởi: a0 = 1, a1 = an +  an2+1 + 2n  =  với n ≥  an  Chứng minh an + an − an2+1 = 2n với số tự nhiên n Trong [ x ] kí hiệu số nguyên lớn không vượt x Bài tập tương tự Bài 17.2(IMO Shortlist 1988) Cho dãy số ( an ) thỏa mãn điều kiện: a0 = 2, a1 = an +  an2+1  = +  với n ≥   an n Chứng minh an số lẻ an + an − an2+1 = ( −2 ) với n ≥ Bài 17.3 Dãy số ( an ) , n ∈ ¥ xác định sau: a0 = a1 =   an2+1 +   a =  , n = 0,1, 2,  n+2  a n    Chứng minh an + an − an2+1 = 2, ∀n = 0,1, 2, Bài 17.4 Gọi a nghiệm dương phương trình x − 2012 x − = Xét dãy số ( xn ) : x0 = 1; xn +1 = [ axn ] , ∀n ≥ Tìm phần dư chia x2012 cho 2012 Bài toán 18 Cho dãy số ( yn ) xác định 42 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai y1 = y2 = 1, yn + = ( 4k − ) yn +1 − yn + − 2k ( n ≥ 1) Tìm tất giá trị nguyên k cho số hạng dãy số phương Hướng dẫn giải Ta có y3 = 2k − = 4a ⇒ k = 2a + (Vì y3 bình phương số nguyên, y3 chẵn nên y3 = 4a ) y4 = ( k − ) ( k − ) − + − k = 8k − 20k + 13 y5 = 32k − 120k + 148k − 59 = 256a − 96a + 8a + Với a = 0, k = yn + = − yn +1 − yn + 2, y3 = 0, y4 = 1, y5 = 1, y6 = thỏa ( Xét a > Chú ý : 16a − 3a ) ( ( ) ≥ y5 = 256a − 96a + 8a + > 16a3 − 3a − ) 2 Do ta phải có y5 = 16a3 − 3a Suy ( 16a3 − 3a ) = 256a − 96a + 48a + 9a a2 = ⇔ a = ⇒ k = Vậy y1 = y2 = 1, yn + = yn +1 − yn − 2, n ≥ Sử dụng ý phần số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai ta có a − =  u1 = 1, u2 =  −2 = u1u3 − u2 = −2c Vậy a = 3, c = Xét un + = 3un +1 − un , u3 = , c = u1u3 − u22 = 1.2 − = Ta chứng minh rằng: un2 = yn với n 43 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 un2+1 = ( 3un − un −1 ) = 9un2 − 6unun −1 + un2−1 = 3un2 − un2−1 + 6un2 − 6unun −1 + 2un2−1 = 7un2 − un2−1 − + 2un2 − 6unun −1 + 2un2−1 + ( ) = yn −1 + −un +1un −1 + un2 + = yn +1 Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tập rèn luyện Bài Cho dãy số (an ) xác định sau a1 = 1, a2 =   an2+1 + a = , ∀n ≥  n+2 a n  Chứng minh với n ≥ 6an2 − số phương Bài Dãy số ( an ) , n ∈ ¥ xác định sau: a0 = a1 =   an2+1 + , n = 0,1, 2, an + = a n  Chứng minh số hạng dãy số số nguyên dương Bài Cho m số nguyên dương dãy số ( xn ) xác định bởi:  x0 = 0; x1 = m   xn +1 = m xn − xn −1, ∀n ≥ Chứng minh với cặp (a; b) ∈ ¥ , với a ≤ b nghiệm phương trình a + b2 = m tồn n ∈ ¥ để (a; b) = ( xn ; xn +1 ) ab + 44 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 Bài Cho dãy (an ) xác định sau: u1 = 5, u2 = 16, un + = 1994un +1 − un , ∀n ≥ Chứng minh 3976032.u2508 − 4.159239 số phương Bài Cho dãy ( un ) u1 = thỏa mãn  Chứng minh un = 5un −1 + 24un −1 − 8, ∀n ≥ số hạng dãy số số nguyên Bài Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u0 = 1, u1 = , un = 10.un −1 − un − , ∀n ≥ Chứng minh rằng: a ) un2 + un2−1 − 10.unun −1 = −8 b) 5un − un −1 M4, ∀n ≥ Bài Xét dãy số ( xn ) xác định bởi: x1 = x2 = xn + = 14 xn +1 − xn − 4, ∀n ≥ Chứng minh với n ≥ , ta có xn bình phương số nguyên 2.3 Một số tính chất số học dãy Fibonacci Bài toán Cho dãy Fibonacci ( Fn ) Chứng minh ( Fn , Fn +1 ) = với n Nếu n chia hết cho m Fn chia hết cho Fm ( Fn , Fm ) = Fd với d = (m, n) Nếu Fn chia hết cho Fm n chia hết cho m với m>2 Nếu n ≥ Fn số nguyên tố n số nguyên tố Dãy ( Fn ) chứa tập vô hạn số đôi nguyên tố 45 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 Hướng dẫn giải Giả sử g = ( Fn , Fn +1 ) Ta có Fn −1 = Fn +1 − Fn , ∀n ≥ ⇒ g | Fn −1 Bằng phương pháp quy nạp ta suy g | F1 = ⇒ g = Ta có nMm ⇒ n = qm, q ∈ ¥ * Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo q + q = ta có n = m ⇒ Fn MFm + Giả sử khẳng định với q ∈ ¥ * + Ta có Fqm + m = Fqm −1Fm + Fqm Fm +1 Mà Fm | Fqm −1Fm theo giả thiết quy nạp Fm | Fqm nên Fm | Fqm + m Do khẳng định với q + Ta có điều phải chứng minh Nếu n = m dễ dàng suy điều phải chứng minh Giả sử n > m Theo thuật toán Euclid ta có n = mq1 + r1 m = r1q2 + r2 r1 = r2 q3 + r3 ri −1 = ri qi Suy d = ri Ta có ( Fm , Fn ) = Fm , Fmq1 + r1 = Fm , Fmq1 −1Fr1 + Fmq1 Fr1 +1 ( ( ) ( ) ( = Fm , Fmq1 −1Fr1 = Fm , Fr1 ( ) ) ( ) (do Fm | Fmq1 , Fmq1 , Fmq1 −1 = ⇒ Fm , Fmq1 −1 = ) ( ) ( ) ( ) ) Suy ( Fm , Fn ) = Fm , Fr1 = Fr1 , Fr2 = = Fri −1 , Fri = Fri = Fd Với m > 2, Fm | Fn ⇒ ( Fm , Fn ) = Fm ⇒ Fm = F( m, n ) ⇒ m = ( m, n ) ⇒ m | n Giả sử n hợp số Khi n = k h, k ≥ Suy Fk | Fn , Fn không số nguyên tố (Vô lý) Vậy n số nguyên tố Suy từ ý Bài toán Chứng minh tồn vô hạn số hạng dãy Fibonacci chia hết cho 2016 Hướng dẫn giải 46 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 Ta chứng minh toán tổng quát với số tự nhiên n, tồn vô hạn số hạng dãy Fibonacci chia hết cho n Xét cặp số dư chia hai số hạng liên tiếp dãy Fibonacci theo modulo n ( F0 , F1 );( F1, F2 );( F2 , F3 ) Vì dãy Fibonacci vô hạn mà có n khả cho cặp số dư theo modulo n nên tồn ( Fi , Fi +1 ) thoả mãn Fi ≡ Fi + m Fi +1 ≡ Fi + m +1 (mod n) với m ∈ ¢ + Xét i > 1, ta có: Fi −1 = Fi +1 − Fi ≡ Fi + m +1 − Fi + m = Fi + m −1 (mod n) Quá trình tiếp tục dẫn đến F j ≡ F j + m (mod n) ∀j ≥ Suy ≡ F0 ≡ Fm ≡ F2 m ≡ (mod n) , tức có vô hạn số Fkm thoả mãn yêu cầu toán Vậy toán chứng minh Bài toán Cho dãy số (an ) xác định a0 = 0; a1 = an +1 − 3an + an −1 = (−1)n với n nguyên dương Chứng minh an số phương với n ≥ Hướng dẫn giải Chú ý a2 = 1; a3 = 4; a4 = 9; a5 = 25 Do a0 = F02 ; a1 = F12 ; a2 = F22 ; a3 = F32 ; a4 = F42 ; a5 = F52 , ( Fn ) dãy Fibonacci Từ ta có định hướng chứng minh an = Fn2 quy nạp theo n Thậy vậy, giả sử ak = Fk2 với k ≤ n Như an = Fn2 ; an −1 = Fn2−1; an − = Fn2− (1) Từ giả thiết ta có an +1 − 3an + an −1 = 2(−1) n an − 3an −1 + an − = 2(−1) n −1 47 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 Cộng hai đẳng thức ta được: an +1 − 2an − 2an −1 + an − = 0, n ≥ (2) Từ (1) (2) suy an +1 = Fn2 + Fn2−1 − Fn2− = ( Fn + Fn −1 ) + ( Fn − Fn −1 ) − Fn2− 2 = Fn2+1 + Fn2− − Fn2− = Fn2+1 Vậy an = Fn2 , ∀n ≥ ta có điều phải chứng minh Bài toán Cho dãy số (an ) xác định a0 = 0; a1 = 1; a2 = 2; a3 = an + = 2an + + an + − 2an +1 − an , ∀n ≥ Chứng minh an chia hết cho n với n ≥ Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có a4 = 12; a5 = 25; a6 = 48 Ta có a a a a a1 a2 a = = 1; = 2; = 3; = 5; = , n = Fn với n = 1, 2, 3, 4, n 5, 6, ( Fn ) dãy Fibonacci Từ ta có định hướng chứng minh an = nFn với n ≥ quy nạp theo n Bài toán Cho k nguyên dương lớn Xét dãy số (an ) xác định bởi: a0 = 4; a1 = a2 = (k − 2)2  an +1 = an an −1 − ( an + an −1 ) − an − + 8, ∀n ≥ Chứng minh + an số phương với n ≥ Hướng dẫn giải α + β = k Gọi α , β hai nghiệm phương trình t − kt + = ⇒  αβ = 48 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai ( ) + Ta chứng minh quy nạp theo n: an = α Fn + β Fn 2016 , ∀n ≥ (1) Dễ thấy (1) với n = 0, 1, Giả sử (1) đến n Ta có: an +1 − = ( an − ) ( an −1 − ) − ( an − − ) ( = α Fn + β Fn ) ( α Fn −1 + β Fn −1 ) −(α Fn − + β Fn−2 ) = α Fn +1 + β Fn +1 ( Suy an = + α Fn+1 + β Fn+1 = α Fn+1 + β Fn+1 ( ) Do (1) chứng minh + Từ (1), ta có + an = an = + α Fn + β Fn = α Fn + β Fn ) số phương (đpcm) Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n ≥ Fn + không số nguyến tố Hướng dẫn giải Ta có đẳng thức Fn4 − = Fn − Fn −1Fn +1Fn + (1) Giả sử tồn n ≥ cho Fn + số nguyên tố Khi từ (1) Fn + chia hết số Fn − ; Fn −1; Fn +1; Fn + Nhưng Fn + > Fn − ; Fn + > Fn −1 nên Fn + 1| Fn +1 Fn + 1| Fn + Trong trường hợp Fn + 1| ( Fn + Fn −1 ) ⇒ Fn + 1| ( ( Fn + 1) + ( Fn −1 − 1) ) ⇒ Fn + 1| Fn −1 − (vô lí) Trong trường hợp thứ hai Fn + 1| ( Fn + Fn +1 ) ⇒ Fn + 1| 2( Fn + 1) + Fn −1 − ⇒ Fn + 1| Fn −1 − (vô lí) 49 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Vậy Fn + hợp số với n ≥ Bài toán (VMO 1989) Xét dãy số Fibonacci xác định a1 = a2 = 1, an + = an +1 + an với n ≥ Đặt f ( n ) = 1985n + 1956n + 1960 Chứng minh có vô hạn số hạng F dãy cho f ( F) chia hết cho 1989 Chứng minh không tồn số hạng G dãy cho f(G)+2 chia hết cho 1989 Hướng dẫn giải Đặt g ( n ) = 4n + 33n + 29 ( ) Khi g ( n ) = 1989 n + n + − f ( n ) , f ( n ) chia hết cho 1989 g(n) chia hết cho 1989 Xét dãy sau -1, 1, 0, 1, 1, 2,… kí hiệu F ( n ) , n ≥ Với dãy mới, ta có Fn +1 = Fn + Fn −1, n ≥ Gọi ri số dư phép chia Fi cho 1989, ≤ ri ≤ 1988 Trong 19892 + cặp ( r0 , r1 ) , ( r1, r2 ) , ( ) ( ) có hai cặp trùng Giả sử rp , rp +1 = rp +l , rp + l +1 , nghĩa rp = rp + l , rp +1 = rp + l +1 Chú ý Fn −1 = Fn +1 − Fn nên ta có rp −1 = rp + l −1, rp − = rp + l − , , r1 = rl +1, r0 = rl Từ suy ri = ri + l , ∀i ≥ Vì r0 = rl = r2l = = rkl , ∀k ≥ Do đó, ta có Fkl = 1989t + r0 = 1989t − 1, t ∈ N Suy g ( Fkl ) = g ( 1989t − 1) = ( 1989t − 1) + 33 ( 1989t − 1) + 29 = 1989 A, A ∈ N Mặt khác, Fkl , k ≥ tất số hạng dãy Fibonacci, có vô hạn số F dãy Fibonacci cho f(F) chia hết cho 1989 50 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai ( ) ( ) 2 Ta có f ( n ) + = 1989 n + n + − 26 ( n + 1) − 4n + n + Lại có 1989 26 chia hết cho 13 Dễ dàng với n ∈ N 4n + 17 n + không chia hết cho 13 ( ) Thật vậy, 16 4n + n + = ( 8n + ) − − 13.2 Đặt 8n + = 13t ± r ( ≤ r ≤ ) , t , r số nguyên Ta có ( 8n + ) = ( 13t ± r ) = ( 13t ) ± 13tr + r = 13 ( 13t ± 2tr ) + r , ( ) 16 4n + n + = r − + 13m với m số nguyên Thử trực tiếp ta có r − không chia hết cho 13 với r ∈ { 0,1, 2, ,6} Do f(n)+2 không chia hết cho 1989 với n Từ ta có điều phải chứng minh Bài tập rèn luyện Bài Cho dãy Fibonacci ( Fn ) Chứng minh F5n = 5Fn qn với qn không chia hết cho Fn M5k ⇔ nMk Fn M2 ⇔ nM3 Fn M4 ⇔ nM6 Fn có tận nM15 Fn có tận hai chữ số nM150 Bài Cho dãy số (an ) xác định a1 = a2 = 1; a3 = an + = 2an + + 2an +1 − an với n nguyên dương Chứng minh an số phương với n ≥ 51 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 Bài Giả sử Fk số hạng thứ k dãy Fibonacci Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 3, số An = Fn − Fn Fn + Fn + + số phương Bài Chứng minh số Fibonacci liên tiếp có tổng số Fibonacci III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Hiệu kinh tế Trên Internet số sách tham khảo có đề cập nhiều tính chất số học dãy số hạn chế sơ sài, chưa chuyên sâu Tác giả hy vọng sáng kiến kinh nghiệm tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai tài liệu tốt cho thầy cô, em học sinh lớp chuyên Toán đặc biệt em đội tuyển học sinh giỏi quốc gia, giúp em tự tin giải toán loại Hiệu mặt xã hội Chuyên đề tính chất số học dãy số chuyên đề hay khó chương trình toán THPT thường xuất đề thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia quốc tế Để giải toán tính chất số học dãy số đòi hỏi học sinh phải có kiến thức đa dạng tổng hợp phần dãy số số học Bản báo cáo sáng kiến tác giả sử dụng để giảng dạy cho em học sinh đội tuyển học sinh giỏi quốc gia Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định đạt hiệu tốt Học sinh đội tuyển thi học sinh giỏi cấp tiếp thu tốt, có khả nghiên cứu sáng tạo cao, với khả tự học vốn có, hướng dẫn định hướng giáo viên, kết đạt tốt, học sinh say mê nghiên cứu, tìm tòi tài liệu, hứng thú, chủ động sáng tạo thực lời giải tập Tác giả mong muốn nội dung sáng kiến tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp em học sinh Tuy nhiên, kinh nghiệm chưa nhiều thời gian hạn chế nên viết nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp để viết hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! VI CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tôi cam kết không chép vi phạm quyền tác giả khác CƠ QUAN ĐƠN VỊ TÁC GIẢ SÁNG KIẾN 52 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai ÁP DỤNG SANG KIẾN (Ký tên) (xác nhận) Nguyễn Thị Giang SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO (Xác nhận, đánh giá xếp loại) Danh mục tài liệu tham khảo: 53 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai - Số học dãy số - Phan Huy Khải Chuyên đề số học – Văn Phú Quốc Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung Tạp chí Toán học tuổi trẻ Trang Website: http://www.mathlinks.ro Trang Website: http://imo.math.ca Trang Website: http://www.mathscope.org 54 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ 2016 ... NĐ Tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2016 Từ ta có điều phải chứng minh 2.2 Sử dụng tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Việc tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp. .. thứ hai: Một số phương pháp giải toán tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 2.1 2.1 2.3 Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số Sử dụng tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Một số. .. tuyến tính cấp hai số dãy số biến đổi dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Nội dung xuất nhiều đề thi học sinh giỏi Một số toán tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đề thi học sinh giỏi: