ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN SƠN TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP BẰNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà nội - 2017 Mục lục Một số kiến thức hình học xạ ảnh phẳng 1.1 Sơ lược nội dung phương pháp hình học xạ ảnh 1.1.1 Một số dạng hình học mặt phẳng 1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hơnh học xạ ảnh 1.2 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc 1.2.1 Tỉ số kép bốn phần tử 1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh hàng điểm chứm đường thẳng 1.2.3 Nghiên cứu ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc tọa độ Descartes 1.2.4 Phép biến đêi xạ ảnh dạng cấp một, bậc 1.3 Các đường cong bậc hai lớp bậc hai 1.3.1 Một số đành lờ liên quan đến đường cong bậc hai, lớp hai 1.3.2 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc hai, lớp hai 1.4 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp hai 1.4.1 Phép cộng tuyến hai trường điểm 1.4.2 Tọa độ xạ ảnh 1.4.3 Bổ sung phần tử ả o vào mặt phẳng xạ ả nh thực 1.4.4 Phép đối x ạ, nguyên tắc đối ngẫu 1.4.5 Cực đối cực Ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp 4 5 10 10 11 15 15 15 17 17 18 19 19 2.1 Một số toán chứng minh đồng quy song song, thẳng hàng 2.2 Một số toán chứng minhđại lượng không đổi chứng minh đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng 30 2.3 Bài toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định 2.4 Bài toán quỹ tích hình bao 2.5 Một số toán dựng hình 42 45 51 2.6 Một số tính chất Euclide đặc trưng phép biến đổi xạ ảnh eliptic đường thẳng đường tròn 2.7 Một số cách tiếp cận mở rộng hình học xạ ảnh 2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid 2.8 Dùng hình học afin hình học Euclide 2.8.1 Giải số toán hình học xạ ảnh 2.8.2 Phát kiện hình học xạ ảnh 2.9 Mở rộng định lý Steiner định lý Fre'gier Kết luận Tài liệu tham khảo 56 59 59 68 68 70 77 83 84 Mở đầu Hình học xạ ảnh môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính Nhiều định lý hình học tiếng nhiều toán hình học hay trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh công cụ hữu hiệu việc nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh khiếu hình học trường phổ thông Mục đích luận văn trình bày số khái niệm mặt phẳng xạ ảnh ảnh mặt phẳng afin, Euclide đặc biệt ứng dụng hình học xạ ảnh để định hướng cho lời giải sơ cấp toán hình học Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh phẳng Trong chương này, tác giả trình bày tóm lược kiến thức sở mặt phẳng xạ ảnh khái niệm xạ ảnh nghịch đảo, xạ ảnh hai dạng cấp bậc bậc hai, ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc hai Ngoài để khai thác nhiều ứng dụng hình học xạ ảnh, tác giả sử dụng mô hình xạ ảnh afin, Euclide có bổ sung phần tử vô tận Chương Ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp Đây chương luận văn trình bày ứng dụng mặt phẳng xạ ảnh mô hình mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh số định lý giải toán hình học sơ cấp thông qua ví dụ chọn phân loại thành dạng toán khác nhau, mục đề xuất chứng minh tính chất đặc trưng phép biến đổi xạ ảnh eliptic đường thẳng đường tròn Phần cuối chương trình bày mở rộng định lí Steiner, Fre'gier Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình PGS.TS Vũ Đỗ Long Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ quý báu Nhân tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Vũ Lương, Đỗ Thanh Sơn giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trình thực luận văn Mặc dù thân có cố gắng nhiều trình thực luận văn trách khỏi thiếu sót Rất mong bảo, góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp Xin chân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Người viết luận văn: Nguyễn Văn Sơn Chương Một số kiến thức hình học xạ ảnh phẳng 1.1 Sơ lược nội dung phương pháp hình học xạ ảnh Hình học xạ ảnh chuyên nghiên cứu tính chất xạ ảnh hình, tức tính chất bất biến qua phép chiếu xuyên tâm (xem mục 1.2.2), chẳng hạn tương quan đồng quy, thẳng hàng, tính chất chia điều hòa, tính suy biến hay không suy biến đường bậc hai, Các khái niệm xét định lí hình học xạ ảnh khái niệm xạ ảnh, chẳng hạn điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác toàn phần, đường cong bậc hai, tỉ số kép, Trong hình học xạ ảnh, người ta thường nghiên cứu ánh xạ từ tập hợp đối tượng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) sang tập hợp đối tượng khác Các tập hợp đối tượng gọi dạng 1.1.1 Một số dạng hình học mặt phẳng Các dạng cấp bậc Định nghĩa 1.1.1 Hàng điểm thẳng tập hợp tất điểm thuộc đường thẳng Đường thẳng gọi giá hàng điểm Mỗi giá chứa nhiều hàng điểm khác Định nghĩa 1.1.2 Chùm đường thẳng tập hợp tất đường thẳng mặt phẳng qua điểm Điểm gọi giá (hay tâm) chùm Mỗi giá chứa nhiều chùm đường thẳng khác Các dạng cấp hai Định nghĩa 1.1.3 Trường điểm tập hợp tất điểm thuộc mặt phăng cho Mặt phẳng gọi giá trường Một giá chứa nhiều trường điểm khác Định nghĩa 1.1.4 Trường đường thẳng tập hợp tất đường thẳng thuộc mặt phăng cho Mặt phẳng gọi giá trường Một giá chứa nhiều trường đường thẳng khác 1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hình học xạ ảnh Để nghiên cứu hình học xạ ảnh, dùng khái niệm tính chất không xạ ảnh hình học khác (hình học afin, hình học Euclide, ) làm phương tiện nghiên cứu độc lập Theo cách thứ nhất, ta xem tính chất xạ ảnh phận lẫn vào tính chất khác hình học afin hình học Euclide, sau sử dụng kiến thức hình học để nghiên cứu, sau cùng, ta thể kết thu dạng xạ ảnh để kết hình học xạ ảnh Theo cách thứ hai, ta xây dựng hình học xạ ảnh thành môn độc lập, hoàn toàn không dùng đến tính chất không xạ ảnh làm phương tiện Mỗi cách nói có ưu điểm riêng, cách thứ tự nhiên (phù hợp với lịch sử phát triển hình học) gần gũi với toán phổ thông hơn, cách thứ hai lại khoa học tiện lợi Những kiến thức trình bày chương theo đường lối thứ 1.2 1.2.1 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc Tỉ số kép bốn phần tử Định nghĩa 1.2.1 Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng đường thẳng ∆ CA Trên ∆ ta chọn đơn vị dài hướng dương Tỉ số hai tỉ số CB DA gọi tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D ký hiệu DB (ABCD) Như (ABCD) = CA DA (ABC) : = (ABD) CB DB Nếu tỉ số kép (ABCD) = −1 ta nói cặp điểm C, D chia điều hòa cặp điểm A, B Khi ta nói bốn điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa, hay cặp điểm A, B cặp điểm C, D liên hợp điều hòa với Định nghĩa 1.2.2 Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy điểm O Khi cát tuyến biến thiên, cắt chùm bốn đường thẳng bốn điểm A, B, C, D có tỉ số kép không đổi Tỉ số kép không đổi gọi tỉ số kép chùm bốn đường thẳng cho, ký hiệu (abcd) hay (OA, OB, OC, OD) Nếu tỉ số kép (abcd) = −1 ta nói cặp đường thẳng c, d chia điều hòa cặp đường thẳng a, b Khi ta nói bốn đường thẳng a, b, c, d lập thành chùm điều hòa, hay cặp đường thẳng a, b cặp đường thẳng c, d liên hợp điều hòa với Định lí 1.2.1 Trên đường chéo tứ giác toàn phần, hai đỉnh đối diện chia điều hòa hai giao điểm đường chéo với hai đường chéo lại Định lí 1.2.2 Tại điểm chéo hình bốn đỉnh toàn phần, hai cạnh chia điều hòa hai đường thẳng nối điểm chéo với hai điểm chéo lại 1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh hàng điểm chùm đường thẳng Định nghĩa 1.2.3 Cho hai đường thẳng d, d cắt điểm I điểm S nằm hai đường thẳng Với điểm M thuộc d, ta cho ứng với điểm M thuộc d cho S, M, M thẳng hàng Tương ứng song ánh từ d lên d , gọi phép chiếu xuyên tâm, với tâm S, từ d lên d Định nghĩa 1.2.4 Cho hai chùm đường thẳng tâm O O đường thẳng s không qua O, O Với đường thẳng m thuộc chùm (O), ta cho tương ứng với đường thẳng m chùm (O ) cho s, m, m đồng quy Tương ứng song ánh từ chùm (O) lên chùm (O ), gọi phép chiếu xuyên trục, với trục s, từ chùm (O) lên chùm (O ) Định nghĩa 1.2.5 Một song ánh hai dạng cấp gọi ánh xạ xạ ảnh bảo toàn tỉ số kép Theo định nghĩa phép chiếu xuyên tâm phép chiếu xuyên trục ánh xạ xạ ảnh Phép chiếu xuyên tâm phép chiếu xuyên trục gọi chung ánh xạ phối cảnh Sau số tính chất ánh xạ xạ ảnh ánh xạ phối cảnh Định lí 1.2.3 Mọi ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ hai đường thẳng ∆, ∆ với ∆ = ∆ tích hai phép chiếu xuyên tâm Định lí 1.2.3’ Mọi ánh xạ xạ ảnh f : O −→ O hai chùm đường thẳng tâm O, O với O = O tích hai phép chiếu xuyên trục Định lí 1.2.4 Điều kiện cần đủ để ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng phân biệt trở thành phép chiếu xuyên tâm giao điểm hai đường thẳng tự ứng Định lí 1.2.4’ Điều kiện cần đủ để ánh xạ xạ ảnh hai chùm đường thẳng phân biệt trở thành phép chiếu xuyên trục đường thẳng qua hai tâm chúng tự ứng Định lí 1.2.5 Cho ba điểm phân biệt A, B, C đường thẳng ∆ ba điểm phân biệt A , B , C ∆ Tồn ánh xạ xạ ảnh f biến A, B, C theo thứ tự thành A , B , C Định lí 1.2.5’ Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thuộc chùm (O) ba đường thẳng phân biệt a , b , c thuộc chùm (O ) Tồn ánh xạ xạ ảnh f biến a, b, c theo thứ tự thành a , b , c 1.2.3 Quan hệ ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc tọa độ Descartes Trong hình học xạ ảnh người ta thường dùng loại tọa độ riêng, tọa độ xạ ảnh Trong mục ta dùng tọa độ Descartes thông thường làm công cụ trung gian để nghiên cứu số tính chất ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc Tuy nhiên đây, đường thẳng Euclide bổ sung điểm xa vô tận mà ta gán cho hoành độ ∞ (−∞ hay +∞ điểm xa vô tận đường thẳng đó) Định lí 1.2.6 Cho hai điểm M, M nằm hai trục ∆, ∆ có hoành độ tương ứng x, x Điều kiện cần đủ để có ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ x x có liên hệ biến: x = ax + b , ad − bc = cx + d (1.1) Từ (1.1) ta thiết lập đặc trưng Euclide - đặc trưng hình học lượng theo nghĩa Euclide ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng, từ ta vận dụng vào lớp toán hình học sơ cấp Trước hết ta đưa định nghĩa sau điểm giới hạn Định nghĩa 1.2.6 Cho ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ Gọi J điểm hàng ∆ , ứng với điểm xa vô tận hàng điểm ∆ gọi I điểm hàng ∆, ứng với điểm xa vô tận hàng điểm ∆ Hai điểm I, J gọi hai điểm giới hạn Hệ thức sau thể đặc trưng lượng ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng Định lí 1.2.7 Cho ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ , M −→ M Nếu chọn điểm giới hạn I, J tương ứng ∆, ∆ làm gốc hoành độ ta có IM J M = const (1.2) Như mô hình afin hay mô hình Euclide mặt phẳng xạ ảnh, bất biến xạ ảnh (tỉ số kép) diễn tả bất biến lượng thông qua độ dài đoạn thẳng Từ ta áp dụng vào việc phát chứng minh hệ thức có dạng AM A M số (khi cặp điểm M, M chuyển động hai đường thẳng đó) Trường hợp đặc biệt hai điểm giới hạn I, J xa vô tận, hàm biến (1.1) trở thành hàm bậc b a x = x+ d d Do hai điểm M1 (x1 ), M2 (x2 ) có ảnh tương ứng M1 (x1 ), M2 (x2 ) ta có M1 M2 a (1.3) = = const d M1 M2 Định lí 1.2.8 Điều kiện cần đủ để ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng trở thành ánh xạ đồng dạng hai điểm giới hạn xa vô tận Dựa vào định lí ta đề xuất toán chứng minh hệ thức không đổi có dạng (1.3) Tuy nhiên muốn đặt toán chứng minh hệ thức không đổi có dạng (1.3) có dạng (1.2) ta cần có tiêu chuẩn nhận biết ánh xạ xạ ảnh hai hàng điểm Định lí 1.2.9 Nếu từ điểm M đường thẳng (hàng điểm) ∆, ta xác định điểm M đường thẳng (hàng điểm) ∆ phép dựng hình cho i) Giữa M M có liên hệ đối (kể phần tử ảo có), nói cách khác là, ánh xa f : ∆ −→ ∆ , M −→ M song ánh ii) Các đường mặt dùng phép dựng hình để xác định cặp điểm tương ứng M, M đường mặt đại số Khi ánh xạ f : ∆ −→ ∆ , M −→ M ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng Các định lí 1.2.6 1.2.9 hai chùm đường thẳng (đối ngẫu hai hàng điểm) Định lí 1.2.10 Cho hai đường thẳng m, m thuộc chùm tâm O, O có hệ số góc tương ứng k, k Điều kiện cần đủ để có ánh xạ xạ ảnh f : O −→ O k k có liên hệ biến: k = 1.2.4 ak + b , ad − bc = ck + d Phép biến đổi xạ ảnh dạng cấp một, bậc Phân loại phép biến đổi xạ ảnh dạng cấp một, bậc Định nghĩa 1.2.7 Một ánh xạ xạ ảnh hai hàng giá d (tương ứng, hai chùm tâm (O)) gọi phép biến đổi xạ ảnh (hay biến hình xạ ảnh) đường thẳng d (tương ứng, chùm (O)) Vì hai hàng giá hay hai chùm tâm nên xảy trường hợp hai phần tử tương ứng trùng Những phần tử gọi phần tử kép (hay phần tử bất động) Định nghĩa 1.2.8 Ta gọi phép biến đổi xạ ảnh đường thẳng (hay chùm đường thẳng) thuộc loại hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo có hai, hay điểm (hay đường thẳng) bất động thực Trường hợp phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic, phần tử bất động thực, ta bảo có hai điểm (hay đường thẳng) ảo liên hợp Một số tính chất đặc trưng Định lí 1.2.11 Trong phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic đường thẳng, hai điểm bất động với cặp điểm tương ứng tạo thành bốn điểm có tỉ số kép không đổi Định lí 1.2.11’ Trong phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic chùm đường thẳng, hai đường thẳng bất động với hai đường thẳng tương ứng tạo thành bốn đường thẳng có tỉ số kép không đổi Định lí 1.2.12 Điều kiện cần đủ để phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic đường thẳng trở thành biến đổi đồng dạng hai điểm bất động vô tận Định lí 1.2.13 Trong phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic đường thẳng ∆ tồn hai điểm đối xứng qua ∆ cho từ điểm nhìn đoạn thẳng M M nối cặp điểm tương ứng M, M góc định hướng không đổi Định lí 1.2.14 Bằng phép chiếu xuyên tâm ta biến phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic thành phép biến đổi đẳng cự đường thẳng Euclide Hệ 1.2.1 Nếu chọn điểm bất động phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic làm gốc hoành độ phép biến đổi parabolic có dạng 1 − = const x x Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp dạng cấp một, bậc Định nghĩa 1.2.9 Một phép biến đổi xạ ảnh f : d −→ d (tương ứng, f : (O) −→ (O)) gọi phép biến đổi xạ ảnh đối hợp đường thẳng d (tương ứng, chùm (O)) f = Idd Định lí 1.2.15 Một phép biến hình xạ ảnh khác phép đồng f : d −→ d (tương ứng, f : (O) −→ (O)) phép biến hình đối hợp có hai điểm phân biệt M, M cho f (M ) = M f (M ) = M (tương ứng, hai đường thẳng phân biệt m, m cho f (m) = m f (m ) = m) Định lí 1.2.16 Nếu phép biến hình đối hợp f , khác phép đồng nhất, có phần tử bất động có điểm bất động Khi cặp phần tử bất động chia điều hòa cặp phần tử tương ứng f Định lí 1.2.17 Một phép biến hình đối hợp f , khác phép đồng nhất, hoàn toàn xác định cho biết hai phần tử phân biệt ảnh chúng 1.3 1.3.1 Các đường cong bậc hai lớp hai Một số định lí liên quan đến đường cong bậc hai, lớp hai Định lí 1.3.1 (Định lí Steiner) Nếu f ánh xạ xạ ảnh hai chùm đường thẳng (A) (B), phép chiếu xuyên trục quỹ tích giao điểm hai đường thẳng tương ứng đường cong bậc hai không suy biến, đường cong tiếp xúc với ảnh tạo ảnh hai đường thẳng (AB), (BA) theo thứ tự B A Nếu f phép chiếu xuyên trục quỹ tích giao điểm nói cặp đường thẳng, có đường thẳng qua hai tâm A B 10 Định lí 1.3.1’ Nếu f ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng a b, phép chiếu xuyên tâm hình bao đường thẳng nối hai điểm tương ứng đường cong lớp hai Đường cong tiếp xúc với a, b điểm ảnh tạo ảnh a ∩ b Nếu f phép chiếu xuyên tâm hình bao nói cặp điểm, có điểm giao điểm hai giá a b Định lí 1.3.2 (Định lí Pascal) Một lục giác nội tiếp đường cong bậc hai ba cặp cạnh đối diện giao theo ba điểm thẳng hàng Định lí Pascal có nhiều áp dụng việc nghiên cứu đường cong bậc hai Khi đường cong bậc hai suy biến thành cặp đường thẳng ta tìm lại định lí Pappus Vậy định lí Pappus trường hợp riêng định lí Pascal Ngoài định lí Pascal áp dụng cho trường hợp đặc biệt, lục giác suy biến thành ngũ giác, tứ giác, tam giác Định lí đối ngẫu định lí Pascal định lí Brianchon Định lí 1.3.3 (Định lí Brianchon) Một lục giác ngoại tiếp đường cong lớp hai đường thẳng nối đỉnh đối diện đồng quy Định lí Brianchon có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu đường cong lớp hai Khi đường cong lớp hai suy biến thành cặp đường thẳng ta thu định lí đối ngẫu định lí Pappus Định lí Brianchon trường hợp lục giác suy biến thành ngũ giác, tứ giác, tam giác Định lí 1.3.4 Tồn đường cong bậc hai qua năm điểm mặt phẳng, ba điểm thẳng hàng, Định lí 1.3.4’ Tồn đường cong lớp hai tiếp xúc với năm đường thẳng cho trước, ba đường thẳng đồng quy Định lí 1.3.5 (Định lí Desargues thứ hai) Một đường cong bậc hai biến thiên chùm đường cong bậc hai vạch lên đường thẳng hàng điểm liên hệ xạ ảnh đối hợp với 1.3.2 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc hai, lớp hai Định nghĩa 1.3.1 Cho bốn điểm A, B, C, D thuộc đường cong bậc hai C không suy biến Theo định lí Steiner, với hai điểm P, P thuộc C, ta có (P )∧(P ), (P A, P B, P C, P D) = (P A, P B, P C, P D) Nghĩa (P A, P B, P C, P D) không đổi, không phụ thuộc vào điểm P Tỉ số kép không đổi gọi tỉ số kép bốn điểm A, B, C, D C, ký hiệu (ABCD)C hay (ABCD) (nếu không sợ nhầm lẫn) 11 Hình 1.1 Tương tự, theo định lí đối ngẫu định lí Steiner ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3.1’ Cho bốn tiếp tuyến a, b, c, d đường cong lớp hai C không suy biến Khi với tiếp tuyến p C, giả sử p cắt a, b, c, d A, B, C, D tỉ số kép (ABCD) không đổi Tỉ số kép không đổi gọi tỉ số kép bốn tiếp tuyến a, b, c, d C, ký hiệu (abcd)C hay (abcd) (nếu không sợ nhầm lẫn) Trước đưa định nghĩa ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc hai, ta đưa định nghĩa ánh xạ nghich đảo xạ ảnh hai dạng cấp bậc bậc hai (lớp lớp hai), trước hết ta có nhận xét sau: Nhận xét 1.3.1 Cho đường cong bậc hai C đường thẳng ∆, S điểm cố định C, xét tương ứng f : C −→ ∆, M −→ M , M khác S, M giao điểm SM với đường thẳng ∆ Nếu M trùng I SM//∆, f (I) điểm vô tận ∆ Nếu M trùng S f (S) giao điểm ∆ với tiếp tuyến S C Rõ ràng điểm M xác định nhất, ngược lại với điểm M ∆ có điểm M C cho f (M ) = M Như f song ánh, f f −1 song ánh bảo toàn tỉ số kép Hình 1.2 Tùy theo số giao điểm thực ∆ C mà f có hai, điểm bất động thực 12 Định nghĩa 1.3.2 Cho đường cong bậc hai C đường thẳng ∆, S điểm cố định C, xét tương ứng f : C −→ ∆, M −→ M , xác định nhận xét Khi f f −1 song ánh bảo toàn tỉ số kép gọi ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh tâm S đường cong bậc hai C đường thẳng ∆ Nhận xét 1.3.1’ Cho đường cong lớp hai C điểm O, s tiếp tuyến cố định C, xét tương ứng f : C −→ (O), m −→ m , m khác s, m đường thẳng nối giao điểm m ∩ s O Nếu m trùng i f (i) đường thẳng i qua O song song với s Nếu m trùng s f (s) đường thẳng qua O tiếp điểm s với C Rõ ràng đường thẳng m xác định nhất, ngược lại với đường thẳng m thuộc chùm (O) có đường thẳng m C cho f (m) = m Như f song ánh, f f −1 song ánh bảo toàn tỉ số kép Tùy theo số tiếp tuyến thực với C vẽ từ O mà f có hai, đường thẳng bất động thực Định nghĩa 1.3.2’ Cho đường cong lớp hai C chùm đường thẳng tâm O, C lấy tiếp tuyến s cố định, xét tương ứng f : C −→ ∆, M −→ M , xác định nhận xét Khi f f −1 song ánh bảo toàn tỉ số kép gọi ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh trục s đường cong lớp hai C chùm đường thẳng (O) Giả sử d, d hai đường thẳng C đường cong bậc hai cho trước Hai điểm S, S cố định nằm C Khi tích ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh tâm S từ d lên C ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh tâm S từ C lên d song ánh bảo toàn tỉ số kép d d Như ánh xạ xạ ảnh hai hàng điểm thẳng thiết lập cách lấy tích hai ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh Hình 1.3 Bây C, C hai đường cong bậc hai d đường thẳng cho trước Hai điểm S, S nằm C, C Khi tích ánh xạ nghịch 13 đảo xạ ảnh tâm S từ C lên d ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh tâm S từ d lên C song ánh bảo toàn tỉ số kép C C Vì đường thẳng có vô số phép biến đổi xạ ảnh nên dựa vào ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh, ta tạo vô số song ánh bảo toàn tỉ số kép hai đường cong bậc hai Tương tự, dựa vào ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh hai dạng cấp lớp lớp hai, ta thiết lập vô số song ánh bảo toàn tỉ số kép hai đường cong lớp hai Định nghĩa 1.3.3 Trong mặt phẳng, cho hai đường cong bậc hai (lớp hai) không suy biến C, C Một song ánh f : C −→ C bảo toàn tỉ số kép bốn phần tử gọi ánh xạ xạ ảnh hai đường cong bậc hai (lớp hai) C C Định lí 1.3.6 Một ánh xạ xạ ảnh hai đường cong bậc hai (lớp hai) xác định biết ảnh ba phần tử đôi không trùng Định nghĩa 1.3.4 Một song ánh f : C −→ C từ đường cong bậc hai (lớp hai) C lên nó, bảo toàn tỉ số kép bốn phần tử gọi phép biến đổi xạ ảnh đường cong C Tương tự phép biến đổi xạ ảnh dạng cấp bậc nhất, phép biến đổi xạ ảnh đường cong bậc hai (lớp hai) khác phép đồng có không hai phần tử bất động thực Định nghĩa 1.3.5 Ta gọi phép biến đổi xạ ảnh đường cong bậc hai (lớp hai) thuộc loại hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo có hai, hay điểm (hay đường thẳng) bất động thực Trường hợp phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic, phần tử bất động thực, ta bảo có hai điểm (hay đường thẳng) ảo liên hợp Định nghĩa 1.3.6 Một phép biến đổi xạ ảnh f đường cong bậc hai (lớp hai) gọi phép biến hình đối hợp f phép đồng Định lí 1.3.7 (Định lí Frégier) Nếu f : C −→ C phép biến hình đối hợp đường cong bậc hai C, khác phép đồng nhất, đường thẳng nối cặp điểm tương ứng qua điểm cố định Định lí 1.3.7’ Nếu f : C −→ C phép biến hình đối hợp đường cong lớp hai C, khác phép đồng nhất, giao điểm hai đường thẳng tương ứng nằm đường thẳng cố định 14 1.4 1.4.1 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp hai Phép cộng tuyến hai trường điểm Định nghĩa 1.4.1 Một song ánh hai trường điểm gọi phép cộng tuyến bảo toàn tính thẳng hàng ba điểm Định lí 1.4.1 Các phép cộng tuyến bảo toàn tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng (hay bốn đường thẳng đồng quy) Như phép cộng tuyến biến hàng điểm (hay chùm đường thẳng) thành hàng điểm (hay chùm đường thẳng) liên hệ xạ ảnh với hàng (hay chùm) cho Vì người ta nói phép cộng tuyến có tính chất xạ ảnh 1.4.2 Tọa độ xạ ảnh Tọa độ xạ ảnh điểm Định nghĩa 1.4.2 Cho hai trục Ox, Oy cắt đường thẳng thứ ba X, Y Chọn E điểm không nằm Ox, Oy XY Gọi Ey = EY ∩ Ox, Ex = EX ∩ Oy Ứng với điểm M mặt phẳng, gọi Mx = M X ∩ Oy, My = M Y ∩ Ox, ta có hai số x = (My Ey OX), y = (Mx Ex OY ) Cặp số (x, y) gọi tọa độ xạ ảnh điểm M tam giác tọa độ OXY kí hiệu M (x, y) Hình 1.4 Theo định nghĩa tọa độ điểm E E(1, 1), gọi điểm đơn vị Trong nhiều trường hợp, để tiện lợi, người ta thường dùng tọa độ xạ ảnh 15 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương, Kiều Huy Luân, Hoàng Trọng Thái (1999), Hình học 2, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Dũng (2007), Một số lớp đa giác phẳng đặc biệt (Các đa giác lưỡng tâm (lưỡng tiếp), nửa gần đều), Luận văn thạc sĩ khoa học, ĐHKHTN, Đại học quốc gia Hà Nội [3] Phạm Bình Đô (2002), Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học sư phạm [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2007), Hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo Dục [5] Nguyễn Đạo Phương, Phan Huy Khải (1994) Tuyển chọn toán ba đường cônic, NXB Giáo Dục [6] V.V Praxolov (2002), Các toán hình học phẳng, Tập II, NXB Hải Phòng [7] Nguyễn Cảnh Toàn (1963), Hình học xạ ảnh, NXB Giáo Dục [8] Tuyển tập 30 năm Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục, 2004 [9] Tạp chí toán học tuổi trẻ (2008), Tuyển chọn theo chuyên đề THTT, 3, NXB Giáo Dục [10] H.S.M Coxeter and S.L Greitzer (1967), Geometry Revisited, The Mathematical Association of America, Washington [11] Luigi Cremona (1885), Elements of Projective Geometry, Oxford Press [12] Tài liệu từ Internet 84 ... Một số cách tiếp cận mở rộng hình học xạ ảnh 2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid 2.8 Dùng hình học afin hình học Euclide 2.8.1 Giải số toán hình học xạ. .. đầu Hình học xạ ảnh môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính Nhiều định lý hình học tiếng nhiều toán hình học hay trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh. .. dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp Đây chương luận văn trình bày ứng dụng mặt phẳng xạ ảnh mô hình mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh số định lý giải toán hình học sơ cấp thông