NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn Bài 1: Nguyên hàm A- Tóm tắt lí thuyết: 1, Định nghĩa và tính chất: 2, Bảng các nguyên hàm: 3, Các nguyên hàm mở rộng: ( với các điều kiện thích hợp) 1. Cbax na dxbax nn ++ + =+ + ∫ 1 ).( 1 1 . 1 .)( 2. ∫ ++= + Cbax a dx bax ln. 1 . 1 3. ∫ += ++ Ce a dxe baxbax . 1 . 4. Cbax a dxbxa ++=+ ∫ )sin(. 1 ).cos( 5. Cbax a dxbxa ++−=+ ∫ )cos(. 1 ).sin( 6. ∫ ++= + Cbaxtg a dx bax )(. 1 . )(cos 1 2 7. ∫ ++−= + Cbaxg a dx bax )(cot. 1 . )(sin 1 2 B- Bài tập: 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: A. f(x) = (2x 3 – 1) 2 B. f(x) = 3 4 xx C. f(x) = 2 2x .3 x .5 x D. f(x) = sin 4 x G. f(x) = x xx 2 66 cos cossin + E. f(x) = tg 2 x F. f(x) = sinx.sin3x.sin5x 2. Tìm họ nguyên hàm của: A. f(x) = 21 1 −+− xx B. f(x) = 2 2 −− xx x 3. Tìm họ nguyên hàm của: A. f(x) = 12 164 2 + ++ x xx B. f(x) = 352 1 2 ++ xx C. f(x) = 1 1 4 − x 4. Cho hàm số: f(x) = 23 333 3 2 +− ++ xx xx . Xác định các h số A, B, C để: f(x) = 2 )1( 2 + + − + x C x BAx , từ đó tìm ra nguyên hàm của hàm số f(x). 5. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: A. f(x) = x 2 1 x − B. f(x) = 1 2 2 ++ xx x C. f(x) = 1 1 2 + xx D. f(x) = xx − 3 2 1 6. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: A. f(x) = tgx C. f(x) = xsin 1 D. f(x) = x 4 sin 1 B. f(x) = cos 3 x 7. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: A. f(x) = lnx B. f(x) = x 2 .sinx C. f(x) = x 2 .e -2x D. f(x) = e x .cosx E. f(x) = x.lnx F. f(x) = e x .sinx C- Luyện tập: NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn 8. f(x) = (2 x + 3 x ) 2 9. f(x) = cos 4 x 10. f(x) = sin 2 x.cos 4 x 11. f(x) = (2tgx + cotgx) 2 12. f(x) = sin(2x+1).cos(3x-1) 13. f(x) = x xx 2 44 sin cossin + 14. f(x) = 12 144 23 + −+ x xx 15. f(x) = 56 1 2 +− xx 16. f(x) = 2343 1 −−+ xx 17. f(x) = 1 2 3 + x x 18. f(x) = x 4 cos 1 19. f(x) = sin 3 x 20. f(x) = )3)(2)(1( +++ xxx x 21. f(x) = 3 cossin cossin xx xx − + 22. f(x) = x 4 cos 1 23. f(x) = x x sin cos 3 26. f(x) = tg 5 x 24. f(x) = xx cos sin 1 4 25. f(x) = xx 42 cos sin 1 Bài 2: Tích phân A- Tóm tắt lí thuyết: 1. Định nghĩa: cho: ∫ += CxFdxxf )()( . Khi đó: ∫ −= b a aFbFdxxf )()()( 2. Tính chất: B- Bài tập: 1. ∫ π 0 4 .cos dxx 4. ∫ + 2ln 0 5 x e dx 7. ∫ − 2 1 4 3 1 3 )( x dxxx 10. ∫ π 2 0 2 .cos dxxx 2. ∫ − 1 0 3 1 dxxx 5. ∫ 4 0 . π dxtgx 8. ∫ + 2 0 2cos2 .cos π x dxx 11. ∫ 0 1 ).sin(ln dxx 3. ∫ +− + 1 0 2 53 )13( xx dxx 6. ∫ − 2 0 2 1dxx 9. ∫ − 2ln 0 . dxex x 12. Tính I = ∫ 2 0 42 .cos.sin π dxxx và J = ∫ 2 0 24 .cos.sin π dxxx 13. I = ∫ + dx xx x 33 3 sincos cos 14. Cho f(x) là hàm lẻ, liên tục trên [-a; a]. CMR: 0).( = ∫ − a a dxxf 15. Cho f(x) là hàm chẵn, liên tục trên [-a; a]. CMR: ∫∫ = − aa a dxxfdxxf 0 ).(2).( C- Luyện tập: 25. ∫ − 3 6 ).sincos( π π dxxx 28. ∫ + 2 0 sincos sin π dx xx x 31. ∫ + 1 0 3 )1(x xdx NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn 26. ∫ −++ 1 0 11 xx dx 29. dxxxx ).cos.(sin2cos 2 0 44 ∫ + π 32. ∫ +− + 1 0 2 65 )32( xx dxx 27. ∫ − −−+ 5 3 ).22( dxxx 30. ∫ − − 2 2 4 1dxx 33. ∫ − − 3 3 2 1dxx 34. ∫ ++ + 2ln 0 2 2 23 3 dx ee ee xx xx 45. ∫ + 2 0 cossin .sin π xx dxx nn n 56. ∫ − 1 0 2 1 dxx 35. ∫ + 4 0 2 cos1 .4sin π x dxx 46. ∫ + 2 0 3 cos1 .sin4 π x dxx 57. ∫ 2 0 ln e xx dx 36. ∫ +− − 1 0 2 65 )21( xx dxx 47. ∫ − 1 2 2 2 2 1 dx x x 58. ∫ + 2 0 cos2 π x dx 37. ∫ + − 2 1 3 3 )1( 1 dx xx x 48. ∫ + + 2 1 2 ln )1( xxx dxx 59. ∫ + 4 0 cossin cos π xx xdx 38. ∫ e x dxx 1 )sin(ln 49. ∫ + 32 0 2 4x dx 60. ∫ 3 6 3 sin .cos π π x dxx 39. ∫ ++ 1 0 2 3 1 dx xx x 50. ∫ − −− 2 2 2 2 dxxx 61. ∫ 8 3 8 22 cos.sin π π xx dx 40. ∫ + 8 3 1x xdx 51. ∫ + − )13ln( 2ln 1dxe x 62. ∫ − π 0 .2cos1 dxx 41. ∫ ++ 2 0 3cos2sin π xx dx 52. ∫ 2 0 2 sin . π x dxx 63. ∫ ++ 1 0 544 x dx 42. ∫ + π 2 0 sin1 dxx 53. ∫ + 2ln 0 2 )1( dx e e x x 64. ∫ 2 0 5 sin π xdx 43. ∫ −       − + 2 1 2 1 1 1 ln.cos dx x x x 54. ∫ − ++ 1 1 2 )1ln( dxxx 65. ∫ + 2 1 2 1 xx dx 44. ∫ + 2 0 2 )cos1(sin π dxxx 55. ∫ 83 6 22 cos.sin π π xx dx 66. ∫ + 2 0 2sin1 π x dx NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn Bài 3: Ứng dụng của tích phân A- Tóm tắt lý thuyết: 1. Diện tích hình phẳng: 1, Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong (C): y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) là: S = ∫ b a dxxf )( 2, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C 1 ): y = f(x), (C 2 ): y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) là: S= ∫ − b a dxxgxf )()( 2. Thể tích vật tròn xoay quanh trục Ox: 1, Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi đường cong (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là: V = [ ] ∫∫ = b a b a dxxfdxy 2 2 )( ππ 2, Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi 2 đường cong (C 1 ): y = f(x); (C 2 ): y = g(x) (f(x) và g(x) cùng dấu) và 2 đường thẳng: x = a, x = b. Thể tích vật tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là: V = [ ] ∫∫ −=− b a b a dxxgxfdxyy |)]([)(||| 2 22 2 2 1 ππ B- Bài tập: 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a, x = 0, x = 2 1 , trục Ox, y = 4 1 x x − b, x = -2, x = 2, y = -x 3 + 3x + 1, y = x 2 + x + 1 c, x = 1, x = e, y = 0, y = x xln1 + d, x = -1, x = 2, y = xe x , trục Ox 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a, y = -x và y = 2 – x 2 c, y = x 3 – x 2 – 8x + 1 và y = x 2 -7x – 1 b, y = 5 – x và y = x 2 – 2x + 3 d, y = x 2 – 2x + 2 và y = - x 2 – x +3 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a, (C): y = x 3 – 3x và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = - 2 1 b, (P): y = 2 1 x 2 – 2x + 4 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ M( 2 5 ; 1) c, (P): y = x 2 – 4x + 5 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ 2 điểm A(1; 2), B(4; 5) d, (C): y = x 3 – 2x 2 + 4x – 3, trục Ox và tiếp tuyế của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn e, y = - 2 4 x − ; x 2 + 3x = 0 f, y = x 2 , y = 27 2 x , y = x 27 g, (P): y 2 = 2x và (C): x 2 + y 2 = 8 4. Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox: a, y = x 3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1 e, x 2 + (y – 1) 2 = 4, trục Ox b, y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e f, x 2 + y – 5 = 0, x + y – 3 = 0 c, y = -3x 2 + 3x + 6, y = 0 g, y = x 2 , y = x d, y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2 5. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y = tgx, x = 0, x = 3 π , y = 0 a, Tính diện tích của (D) b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox 6. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = -x 2 + 4 và trục hoành a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy 7. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y 2 = 8x và đường thẳng x = 2 a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy 8. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = x và đường thẳng y = 2 a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy . cos sin 1 Bài 2: Tích phân A- Tóm tắt lí thuyết: 1. Định nghĩa: cho: ∫ += CxFdxxf )()( . Khi đó: ∫ −= b a aFbFdxxf )()()( 2. Tính chất: B- Bài tập: 1. ∫. bax )(. 1 . )(cos 1 2 7. ∫ ++−= + Cbaxg a dx bax )(cot. 1 . )(sin 1 2 B- Bài tập: 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: A. f(x) = (2x 3 – 1) 2 B. f(x)