Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong CÁC PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN  “Phương Pháp Loại Suy” làm trắc nghiệm Khi làm trắc nghiệm, bạn không chắn đáp án sử dụng “phương pháp loại trừ” Phỏng đoán, loại trừ khơng có nghĩa bạn đốn “bừa” mà phải dựa liệu có suy luận cách logic, khoa học giúp ta tăng khả lựa chọn đáp án  Bước 1: đầu tiên, liệt kê điều kiện mà có đáp án Sắp xếp theo thứ tự “dễ kiểm tra” đến “khó kiểm tra”  Bước 2: Kiểm chứng loại trừ phương án dựa theo điều kiện xếp bước cịn phương án đáp án Lưu ý: ● Khi các điều kiện nêu “ít ỏi” chưa đủ để “định hình” đáp án khơng nên sử dụng phương pháp loại trừ ● Trường hợp loại phương án, ta sử dụng “phương pháp thử chọn” hai phương án Nếu thỏa mãn điều kiện tốn chọn làm đáp án ngược lại chọn phương án cịn lại làm đáp án Ví dụ Trong khơng không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  3; 5;  B  1; 1;  Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với AB A 2x  3y  z  17 B 2x  3y  z  19 C 2x  3y  z  7 D 2x  3y  z  Hướng dẫn: ta thấy có mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề phải đáp ứng đồng thời điều kiện sau: Mặt phẳng (P) qua điểm A  thay tọa độ A vào phương án để thử AB vecto pháp tuyến nP (P)  AB phương với nP   dùng dãy tỉ số tọa độ để thử Nhận xét: dấu hiệu 1, dễ kiểm tra nên ưu tiên thực trước (loại phương án A D) Theo dấu hiệu 2, ta có AB   4; 6;   2  2; 3; 1 (loại phương án C) Chọn B Ví dụ Đồ thị đồ thị hàm số y  a x (với B A C a1 )? D Hướng dẫn: ta thấy có đồ thị phương án thỏa mãn yêu cầu đề phải đáp ứng đồng thời điều kiện sau: Hàm số có tập xác định x a   y  ax   phần đồ thị có y  bị loại CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong Hàm số có a1   dùng đạo hàm hàm mũ để kiểm tra nên hàm đồng biến giả sử số a thỏa a1 để kiểm tra Nhận xét: dấu hiệu 1, dễ kiểm tra nên ưu tiên thực trước (loại phương án A B) Theo dấu hiệu 2, ta có y '  ax ln a  (do a  1) (loại phương án D) Chọn C Ví dụ Cho tích phân I   x(1  x)4dx đặt t   x Chọn khẳng định đúng? 1 A I   (1  t )t dt B I    (1  t )t dt C I   (1  t )t dt 1 D I    (1  t )t dt 1 Hướng dẫn: ta thấy có biểu thức phương án thỏa mãn yêu cầu đề phải đáp ứng đồng thời điều kiện sau: Hai cận tích phân thay đổi thỏa  t   x  thay cận để kiểm tra Kết hai tích phân sau hai phép đổi biến  sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra f  x   f t  thông qua phép đổi biến  t   x  thay vào để kiểm tra Nhận xét: dấu hiệu 1, ta có x   t  0, x   t  1 (loại phương án A B) 1 Theo dấu hiệu 3, ta có I   x(1  x)4 dx  I   (1  t )t dt Chọn C Ví dụ (Đề minh họa Bộ GD&ĐT lần 2) Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d có đồ thị hình vẽ Mệnh đề ? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Hướng dẫn: quan sát dáng điệu đường cong đồ thị hình vẽ ta thấy a0 (loại C) Hay đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ âm  y    d  (loại C) a0 Đồ thị có hai điểm cực trị có hồnh độ trái dấu  ac   c  (loại D) Nhận xét hoành độ cực tiểu lớn  hoành độ cực đại lớn Do ta có tổng hồnh b a a0  b  (loại B) Chọn A độ cực trị dương  S  xCT  xCD     CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện S.ABC có tọa độ đỉnh A  3; 3; 1 , B  0; 0; 1 , C  0; 3;  S  3; 0;  Biết hình chóp S.ABC ngoại tiếp mặt cầu (R) Viết phương trình mặt cầu  R 2 2 2 A  R  :  x     3  5 27 y  z   2 2 2   C  R  :  x    B  R  :  x    2 2 2  5  3 y  z   2 2 2   D  R  :  x    3  5 y  z   2 2 2     5  3 27 y  z   2 2 2   Hướng dẫn: ta thấy có phương trình phương án thỏa mãn yêu cầu đề phải đáp ứng đồng thời điều kiện sau: Mặt cầu không qua tọa độ đỉnh hình chóp (SABC) (rất nhiều bạn nhằm lẫn với mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đọc khơng kỹ đề)  thay tọa độ đỉnh vào để kiểm tra Mặt cầu tiếp xúc với mặt hình chóp  viết nhanh phương trình mặt kiểm tra điều kiện tiếp xúc Nhận xét: ta có tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (R) phương án A (loại A)  A   ABC  3a  3b  c  d a    d 1   b    ABC  : x  y  z   Mặt khác: ta có  B   ABC   c  d  3b  4c  d c    C   ABC  Tương tự: ta có SAB : x  y  z   Kiểm tra  r  d I ;  ABC      r  d I ;  SAB       ta thấy có phương án C thỏa mãn Chọn C Cách khác: Chiều cao h tứ diện V  h AB2 AB h h r  4 Lưu ý: ta thấy việc sử dụng “phương pháp loại suy” so với cách làm tự luận tốn “nhiều thời gian” tình ta nên hạn chế sử dụng phương pháp  “Phương Pháp Thử Chọn Kết Hợp Máy Tính Cầm Tay” làm trắc nghiệm Với tốn mà kết cần tìm dạng giá trị khoảng giá trị hàm số hay biểu thức ẩn dạng phụ thuộc theo tham số m ta sử dụng chức TABLE CALC máy tính cầm tay để kiểm tra Lưu ý: việc thử chọn q lâu máy tính cầm tay khơng có chức hỗ trợ ta nên kết hợp phương pháp khác giải tự luận ● Khi làm trắc nghiệm, bạn thấy hai phương án đối ngẫu ví dụ: Có  khơng, dấu cộng  dấu trừ, hai số đối, hai số nghịch đảo, hai tập bù nhau, hai mệnh đề phủ định nhau,… Chúng ta ý hai phương án đó, thường có sai đáp án thường rơi vào hai ý Với suy nghĩ này, câu đánh đố có nhiều hội chọn (50%) Ví dụ (Thi thử lần – THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội) Cho f  x   x2 e x Tìm tập nghiệm phương trình f '  x   CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên toán hợp tác Hứa Lâm Phong A S  2 ; 0 B S  2 D S  0 C S   Hướng dẫn: Ta dùng chức tính đạo hàm điểm máy tính cầm tay (MTCT) Cách bấm: nhập SHIFT + d dx + f  X    x  ? ta thử phương án lên, phương án cho f '  x   thỏa mãn yêu cầu toán Ta thấy f '    0, f '     S  2; 0 Chọn A Ví dụ (Thi thử lần – THPT Quảng Xương, Thanh Hóa) Tất giá trị m để phương trình x  3x  m  có nghiệm phân biệt là: A m  B m  C  m  D 4  m  Hướng dẫn: Ta dùng chức “giải phương trình bậc ba” máy tính cầm tay (MTCT) (số nghiệm phương trình số giao điểm thỏa u cầu toán) Cách bấm: nhập MODE + (EQN) + chọn dạng phương trình bậc  m  ? Đến ta thấy phương án khoảng giá trị chứa tham số m Giả sử chọn m   4;    x3  3x2    có nghiệm (loại B) Giả sử chọn m  5   ; 0  x3  3x2    có nghiệm (loại A) Giả sử chọn m    0;   x3  3x2    có nghiệm (loại C) Do chọn D Lưu ý: chọn m  2   4;   x3  3x2    có nghiệm phân biệt nhận ln kết thúc việc thử chọn Ví dụ (Thi thử lần – ĐHSP Hà Nội) Hàm số y   x3  mx2  x  nghịch biến khi: A m  R\   1; 1 B m  R\ 1; 1 D m   1; 1 C m    1; 1 Hướng dẫn: Ta dùng chức lập bảng số liệu TABLE máy tính cầm tay (MTCT) để quan sát tính đơn điệu hàm số thử với giá trị tham số m cụ thể Cách bấm: nhập MODE + (TABLE) + nhập hàm f(X)  m  ? Giả sử Start : X  8  TABLE m   y   x  x  x     End : X  (quan Step : X   sát bảng ta thấy “giá trị x tăng lên giá trị y giảm dần) thỏa mãn nên ta loại hai phương án A D) Giả sử Start : X  8  TABLE m      End : X  (quan  1; 1  y   x  x   Step : X   sát bảng ta thấy thỏa mãn ta loại nốt phương án B Chọn đáp án C Ví dụ (THPT Đoan Hùng, Phú Thọ) Tìm tập xác định y  log D hàm số  x  1  log   x  A D   3;  B D   3;  C D   1;  D D  3;  Hướng dẫn: Ta dùng chức lập bảng số liệu CALC máy tính cầm tay (MTCT) CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên toán hợp tác Hứa Lâm Phong Cách bấm: nhập hàm f(X) x   Đến lưu ý điều kiện    x  (loại phương án D) 5  x  Kiểm tra với x   f    (xác định nên loại phương án B) Kiểm tra với x    MATH ERROR (không xác định nên loại phương án C) Chọn đáp án A b Ví dụ (THPT Chuyên Vị Thanh, Hậu Giang) Biết   x   dx  Khi b nhận giá trị bằng: A B b  0, b  b  1, b  C b  1, b  D b  0, b  Hướng dẫn: Ta dùng chức “tính tích phân” máy tính cầm tay (MTCT) để giải toán sau a Dễ thấy  f  x  dx  khả đáp án rơi vào hai phương án B D a Thử với b     x   dx  4 (không thỏa mãn nên loại B) Chọn D Ví dụ (THPT Chuyên Vị Thanh, Hậu Giang) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  iz   5i Số phức z cần tìm A z   4i B z   4i C z   3i D z   3i Hướng dẫn: Ta dùng chức “tính tốn tập hợp phức” máy tính cầm tay (MTCT) để giải toán sau: Cách bấm: MODE + (Complex) Biến đổi 2z  iz   X  Yi   i  X  Yi  Thử với phương án B: CALC X  3, Y  4  2z  iz  10  11i (không thỏa mãn nên loại B) Thử với phương án A: CALC X  3, Y   z  iz   5i (thỏa mãn nên chọn A) Lưu ý: qua ví dụ trên, biết kết hợp nhiều phương pháp lại, giúp ta tìm nhanh đáp án Khơng có phương pháp thật tối ưu mà việc vận dụng linh hoạt kết hợp chúng lại giúp bạn giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm Ví dụ (THPT Quảng Xương, Thanh Hóa ) Tất giá trị m để bất phương trình  m 1 12x    m  6x  3x  có nghiệm x  là: A  2;   B  ; 2  1   C  ;    1   D  2;   Hướng dẫn: Ta dùng chức “lập bảng giá trị (TABLE)” MTCT để giải toán sau: Cách bấm: MODE + (Table) + nhập hàm f  X    3m  1 12X    m  6X  3X  m  ? Nhận xét: Ta thấy phương án A B đối ngẫu phương án D tập phương án D Ta thử kiểm tra với m  2  f  X    5.12 X  4.6 X  X CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong Start : X      End : X  Step : X   X  quan sát bảng ta nhận thấy f  X   (thỏa mãn nên loại A D) Ta thử với m  1  f  X    2.12 X  3.6 X  X Start : X      End : X  Step : X  0,  X  quan sát bảng ta nhận thấy f  X   (không thỏa nên loại C) Chọn B Ví dụ Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z  i    i  z đường trịn có phương trình A C1  : x2  y  2x   B C2  : x2  y  y   D C4  : x2  y  y   C C3  : x2  y  2x   Hướng dẫn: kiến thức mà bạn sử dụng điểm biểu diễn số phức z  x  yi có tọa độ  x; y  dĩ nhiên tập hợp điểm chứa điểm thỏa mãn yêu cầu tốn tập hợp điểm cần tìm Ta thử  0; 1   C1  ,  C3   z  i  z  i    i  z   !!! (không thỏa nên loại A C) Ta thử A   AC  2; 1  C4    z   i   z  i  1  i  z   ( thỏa mãn) Chọn D Ví dụ (THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh ) Với giá trị a phương trình ax 4 x2a    A 4 có nghiệm a0 B a  C a0 D Không tồn a Hướng dẫn: ta thấy phương án B D đối ngẫu với Lúc ta chọn Ta thử a   2x 4 x2 a 1 để kiểm tra   22  x2  x    x2  x    có nghiệm nên khơng thỏa mãn (khơng thỏa nên loại A B)  24 x   22  4x   x   ( thỏa mãn nên loại D) Chọn C Ta thử a   Ví dụ 10 (THPT Đức Thọ , Hà Tĩnh) Tìm tập hợp tất giá trị m để hàm số y      m  sin x cos2 x nghịch biến  0;  A m1 B m2 C m  D m0 Hướng dẫn: ta sử dụng chức “lập bảng giá trị TABLE” MTCT Cách bấm: nhập MODE + (Table) + nhập hàm f  X   m  sin X  cos X 2  m  ? CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong Ta thử m   f  X   start : X   D : Degree : end : X  300  Step : X  30 : 15   quan start : X     R : Radian : end : X     Step : X  : 15  sin X  cos X  sát bảng ta thấy không thỏa mãn nên loại A B Ta thử  sin X m    f X   cos X 2 (thực tương tự từ liệu bảng ta thấy thỏa mãn nên loại D) Chọn C Ví dụ 11.(THPT Triệu Sơn, Thanh Hóa) Cho hàm số y  x4   m  1 x2  m2 Cm  Khi giá trị m để đồ thị Cm  có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân A m0 B m  1 C m1 D  m  1  m  Hướng dẫn: Ta nhận xét nhanh với m  1  y  x4  hàm số có cực trị (khơng thỏa u cầu toán nên loại phương án B D) Ta thử với x   y   m   y  x  x  y '  x  x   x   y  1 Vẽ  x  1  y  1 y '0 hình thỏa nên chọn A  “Phương Pháp Chuẩn Hóa Số Liệu” làm trắc nghiệm Với tốn dạng tổng qt, ta sử dụng đến phương pháp để giải đồng thời kết hợp với phương pháp khác Ý nghĩa phương pháp nằm chỗ, ta phải xét trường hợp đặc biệt cụ thể (với số liệu “đẹp”) để từ giải nhanh kết Lưu ý: phương pháp khác phương pháp thử chọn chỗ việc chọn số liệu không dựa phương án mà dựa vào điều kiện tốn tổng qt Ví dụ (Chun KHTN lần 1) Nếu số phức z thỏa mãn z  phần thực A B  C Hướng dẫn: Ta thấy với số phức z có z  phần thực Giả sử z   4i thỏa z  Khi 1 z D 2 số cố định 1 z 1 MTCT   i  chọn A  4i  1   5  CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong Ta thử chọn vài số phức khác chẳng hạn: z  1  2 i  1  1  i    1  i 2 Ví dụ (THPT Quảng Xương, Thanh Hóa) Cho a, b số thực dương ab  thỏa mãn logab a  giá trị logab a bằng: b A B Hướng dẫn: với điều kiện ban đầu ta chọn Khi log ab a2     2b   b  Thay a,b vào A  logab a  log b 3 0 C MTCT  zw  z.w a20 Chọn D Ví dụ Cho hai số phức z w thoả mãn z  w  số thực D thỏa ab  A  z.w  Số phức B số âm C số ảo D số ảo Hướng dẫn: với điều kiện ban đầu ta chọn z   4i 5 w   4i đồng thời thỏa  z.w  Khi  4i   4i       zw zw 5  5  MTCT       z.w  z.w  4i   4i  1   .   5  5  Chọn A Ví dụ (THPT Đức Thọ , Hà Tĩnh) Cho số m  0, n  0, p  thỏa mãn 4m  10n  25p Tính giá trị biểu thức T  n n  2m p B T  T 1 A T 10 C T  D 41  10n  n  log  p   p  log 25  4  25 Hướng dẫn: khơng tính tổng qt ta giả sử m    n 1 m 1 Thay vào biểu thức T  n  n   T      Chọn A 2m 2p 2 p Lưu ý: Bạn chọn giá trị khác tùy ý thỏa m  0, n  0, p  , 4m  10  1 m  log 10 n1   T   1 p p  log 10 m p  25  10 25    Ví dụ n    (kết không thay đổi) CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong thỏa mãn: a  1, b  x  y  Biết rằng: log a  x  y   ; log b  xy   Mệnh đề sau đúng? Ví dụ 5.(THPT Đức Thọ, Hà Tĩnh) Cho số thực dương a, b, x, y B a  1; b   a  1; b  A C  a  1;  b  a  1;  b  D Hướng dẫn: với điều kiện ta giả sử x  y   *  thỏa x2  y  Khi  a   loga  x  y    x  y  (không thỏa (*) nên loại A C Khi  b   logb  xy    xy  (khơng thỏa (*) nên loại D Chọn B Ví dụ 6.(Tuyển tập Oxyz, Thầy Hứa Lâm Phong) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình hai mặt phẳng  P  : x  z sin a  cos a  Q : y  z cos a  sin a  với a tham số Đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng  P   Q  Tính góc đường thẳng  trục Oz A 300 C 600 B 450 D 900 Hướng dẫn: Ta nhận thấy hệ số mặt phẳng (P) (Q) phụ thuộc vào góc a Tuy nhiên kết theo góc  trục Oz lại không phụ thuộc vào a Khơng tính tổng qt ta xét a để kiểm tra nP   1; 0;    u   nP ; nQ    0; 1; 1    Q  : y  z  nQ   0; 1; 1  P  : x   Ta thử a      Xét cos  ; Oz   cos u ; k   ; Oz   450 Chọn B  Ví dụ (Sưu Tầm, Facebook: Group Nhóm Tốn) Cho hàm số f  x  liên tục thỏa  f   x   f  x   cos x  f  x  dx Tính giá trị tích phân I   A I  B I  C I   2 D I  Hướng dẫn: Ta cần chọn hàm số f  x  thỏa f   x   f  x   cos x Do hàm cosin hàm chẵn nên ta có cos   x   cos x Ta chọn f  x   cos x thỏa  *  Khi đó: I    2  f  x  dx   cos xdx  I  MTCT   Chọn C Ví dụ (Tuyển tập Số phức, Hứa Lâm Phong) Cho số phức thỏa mãn điều kiện z   z 1 z Khi z  ? A z   B z   Hướng dẫn: Ta chọn số phức z   C z   i thỏa z  D z    z 1 z CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong Khi đó: z   3  i    Chọn D 2 4 Ví dụ 9.(Tuyển tập Oxyz, Thầy Hứa Lâm Phong) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S  0; 0; 1 , A  1; 1;  Hai điểm M  m; 0;  , N  0; n;  thay đổi cho m  n  m  0, n  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SMN  B d  A; SMN    A d  A; SMN    Hướng dẫn: Giả sử m  n  C d  A;  SMN    D d  A; SMN    1 thỏa m  n  1, m  0, n  y Khi phương trình mặt phẳng  SMN  SMN  :     x  y  z   x Xét d  A;  SMN     1 2  2  12 z  Chọn D Ví dụ 10 (THPT Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 1) Gọi z1 , z2 , z3 số phức thỏa mãn z1  z2  z3  z1  z2  z3  Khẳng định khẳng định sai? (Chuyên KHTN Hà Nội) 3 A z13  z23  z33  z1  z2  z3 3 C z13  z23  z33  z1  z2  z3 Hướng dẫn: Giả sử 3 3 B z13  z23  z33  z1  z2  z3 3 D z13  z23  z33  z1  z2  z3   z1  i   z1  z2  z3  i     z2  2  z1  z2  z3   i   z3    2 Khi dễ dàng suy phương án D sai Chọn D Ví dụ 11 (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần 1) Một phễu có dạng hình nón Người ta đỗ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao nước ? Biết chiều cao phễu 15 cm A 0,188  cm  B 0, 216  cm  C 0, 300  cm  D 0, 500  cm  CẨM NANG LUYỆN THI 2017 10 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong  u u3 u3 u1 u1 u2  u; v    ; ;    v  v3 v3 v1 v1 v2   u; v    u2 v3  u3 v2 ; u3 v1  u1 v3 ; u1 v2  v1u2    10* Tích có hướng hai vector n  u  n  u; v     n  v u   u ; u ; u   v   v1 ; v ; v  ● u; v    u, v phương   ●  AB; AC    A, B, C thẳng hàng   ● u; v    u; v không phương   ●  AB; AC    A, B, C không thẳng hàng   (Phương pháp chứng minh điểm lập tam giác) 11 Tích hỗn tạp ba vector u   u ; u ; u   v  v ; v ; v  3   w   a; b; c  12 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng   A  xA ; y A ; z A     B  xB ; y B ; z B  13 Tọa độ trọng tâm tam giác  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC  Tọa độ trọng tâm tứ diện  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC  D x ; y ; z   D D D 14 Tìm tọa độ trực tâm tam giác 15 Tìm tọa độ tâm đường trịn ngồi tiếp tam giác 16 17 Tìm tọa độ chân đường phân giác góc tam giác  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC   A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC   A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC  Công thức: u; v  w (tính tích có hướng trước,   nhân vô hướng sau) ●  AB; AC  AD   A, B, C , D đồng phẳng   ●  AB; AC  AD   A, B, C , D không đồng phẳng   (Phương pháp chứng minh điểm lập thành tứ diện) Gọi I trung điểm AB  x  xB y A  y B z A  z B   I  A ; ;  2   Gọi G trọng tâm tam giác ABC  x  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC  G  A ; ; 3     Gọi E trọng tâm tứ diện ABCD  x  x  x  x y  y  y  yD z A  zB  zC  z D   E  A B C D ; A B C ;  4   Gọi H  xH ; y H ; z H  trực tâm ABC  BH AC   BH  AC     CH  AB  CH AB   A , B , C , H dong phang  AB; AC  AH      Gọi I  xI ; yI ; z I  tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  AI  BI  IA  IB      IA  IC   AI  CI  A , B , C , I dong phang     AB; AC  AI  Tính AB  ?, AC  ? Gọi D  xD ; y D ; zD  điểm cần tìm  x  kxC yB  kyC zB  kzC AB DB   k  BD   kCD  D  B ; ; AC DC 1 k 1 k  1 k CẨM NANG LUYỆN THI 2017    66 Biên soạn: Nhóm giáo viên toán hợp tác Hứa Lâm Phong Tương tự với việc tìm tọa độ chân đường phân giác ngồi Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác 18 Diện tích tam giác 19 20 Diện tích hình bình hành Thể tích khối tứ diện 21  Tính độ dài AB, BC, CA Gọi J x J ; y J ; z J  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC   điểm cần tìm  BCx A  ACxB  ABxC xJ  BC  AC  AB  BCy A  ACy B  AByC   yJ  BC  AC  AB  BCz A  ACz B  ABzC  z J  BC  AC  AB   A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC   AB; AC    (tính tích có hướng trước, tính độ dài tích có hướng)  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC  SABCD   AB; AC     A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC  D x ; y ; z   D D D  AB; AC  AD   (tính tích hỗn tạp trước, lấy giá trị tuyệt đối) SABC  VABCD  Thể tích khối hộp 22 Cho tọa độ A,B,D,A’ VABCD A ' B ' C ' D '  [ AB, AD].AA ' (tính tích hỗn tạp trước, lấy giá trị tuyệt đối) 23 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC  R AB.BC.CA AB.BC.CA  4SABC  AB; AC    Dạng tổng quát:  x  a    y  b    z  c   R2 24* Phương trình mặt cầu (S) Phương trình mặt phẳng (P) 25* Tâm: I  a; b; c  Bán kính R 2 Dạng khai triển: x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  Với R  a2  b2  c  d  (Thường áp dụng viết mặt cầu qua điểm) a  x  xM   b  y  yM   c  z  zM   M  xM ; y M ; z M  n   a; b; c   Hay ax  by  cz  d   A  a; 0;    P   Ox  x y z Đặc biệt  B  0; b;    P   Oy   P  :    a b c  C  0; 0; c    P   Oz CẨM NANG LUYỆN THI 2017 67 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong 26* Phương trình đường thẳng (d)  x  x M  at  Dạng tham số:  y  y M  bt  t  R   z  z  ct M  M  xM ; y M ; z M  u   a; b; c   Dạng tắc: 27 28 29* Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng  x  x M  at   y  y M  bt  t  R   z  z  ct M  Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng ax  by  cz  d  Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng mặt phẳng x  xo a  y  yo b  z  zo c  a; b; c   N  d  N  xM  at; yM  bt; zM  ct  Chọn t  to (số cụ thể)  N  xM  ato ; yM  bto ; zM  cto  M   P   axM  byM  czM  Chọn tọa độ xM , yM số (thường số 0) để tìm tọa độ cịn lại  x  x M  at   y  y M  bt  t  R   z  z  ct M  Ax  By  Cz  D  x  xo  y  yo  z  zo a b c Ax  By  Cz  D  N  d  N  xM  at; yM  bt; zM  ct  Mặt khác N   P   A  xM  at   B  yM  bt   C  zM  ct   Giải phương trình tìm t  to (là số thực) Thay vào N  xM  at; yM  bt; zM  ct   N bx  ay  bxo  ay o  x  xo y  y o z  z o     Giải hệ  a b c  cy  bz  cyo  bzo  Ax  By  Cz  D     Ax  by  Cz   D Giả sử M  xM ; yM ; zM    P   Q 30 Tìm tọa độ điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ax  by  cz  d  (P) Ax  By  Cz  D   ax  by M  cz M  d  Ta có  M   AxM  By M  CzM  D  Ta cho tọa độ xM ; yM ; zM số (thường số 0, giải tìm tọa độ cịn lại) 31 32 33 34 35 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng mặt cầu (khi cắt nhau) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song  x  x M  at   y  y M  bt  t  R   z  z  ct M  Xét phương trình  xM  at  A2   yM  bt  B2   zM  ct  C 2  R2  x  a    y  b    z  c   R2 Giải phương trình ta tìm t  t1 , t  t2 Cho M  x M ; y M ; z M  d M;  P    P  : ax  by  cz  d  Cho N  xo ; yo ; zo  qua M  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a1 ; a ; a3   P  : ax  by  cz  d  Q  : ax  by  cz  e  de x  xo a  y  yo b  z  zo c  P  : ax  by  cz  d  Thay vào phương trình đường thẳng để tìm điểm     axM  by M  cz M  d a2  b2  c Nếu d M;  P    M   P  d  M;    u; MN    u Nếu d  M ;     M   (Phần thuộc chương trình nâng cao) Chọn điểm M thuộc mặt phẳng (Q) (xem lại stt 28)   d  P  ;  Q    d M ;  Q  (xem lại stt 32) Chọn điểm M thuộc đường d (xem lại stt 27)   d d;  P    d M ;  P  (xem lại stt 32) CẨM NANG LUYỆN THI 2017 68 Biên soạn: Nhóm giáo viên toán hợp tác Hứa Lâm Phong x  xA 36* Khoảng cách hai đường thẳng chéo a1  y  yA b1  z  zA c1  x  x B  a2 t   y  y B  b2t  t  R  z  z  c t B  d1 qua A  x A ; y A ; z A  có vtcp ud   a1 ; b1 ; c1  d2 qua B  xB ; y B ; z B  có vtcp ud   a2 ; b2 ; c  d  d1 ; d2    P   Q   e  a 37 Vị trí tương đối hai mặt phẳng u ; u  AB  d1 d2  u ; u   d1 d2  b c d   f g h  P  : ax  by  cz  d   P  / / Q   a  b  c  d e f g h Q : e x  fy  gz  h  a b c  P   Q     e  f  g Đặc biệt: Nếu  P   Q  ae  bf  cg   n     d (trùng) ●    M  d  hay N    38 Vị trị tương đối hai đường thẳng n  qua M  x1 ; y1 ; z    / / d (song song) ● d:  M  d  hay N     vtcp : u   a1 ; a ; a3   n  qua N  x2 ; y2 ; z     d   A (cắt nhau) ● : n MN   vtcp : v  b ; b ; b      Tính n  u; v    39 40 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Vị trí tương đối điểm mặt cầu  x  xo  At  d :  y  yo  Bt  z  z  Ct o   P : ax b y c z d   n    d chéo ●  n.MN  Đặc biệt u.v   d   (có thể cắt chéo nhau) Xét phương trình a  xo  At   b  yo  Bt   c  zo  Ct    *  ● pt  *   0t  (vô số nghiệm)  d   P  ● pt  *   0t  m ,  m   (vô nghiệm)  d / /  P  ● pt  *   t  m (có nghiệm)  d   P   M M  xo ; y o ; z o   MI  R  I S (điểm I nằm mặt cầu (S) S  :  tam : I  a; b; c   MI  R  I nằm mặt cầu (S) ban kinh : R  MI  R  I nằm mặt cầu (S)   ● d I ;  P   R   P  tiếp xúc với mặt cầu (S) 41 42 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu  P  : ax  by  cz  d  tam : I  a; b; c  S  :  điểm (P) gọi tiếp diện Tính d I ;  P   ?   ● d  I ;  P    R   P  cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến (xem lại 32) đường trịn (C) có tâm H hình chiếu I (P) ban kinh : R   qua M  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a1 ; a ; a3  ● d I ;  P   R   P  không cắt mặt cầu (S)  bán kính r thỏa mãn r  R2  d I ;  P    d  I ;    R   tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm Khi ta  gọi tiếp tuyến  d  I ;    R   không cắt mặt cầu (S) CẨM NANG LUYỆN THI 2017 69 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong tam : I  a; b; c  S  :  ban kinh : R Tính d  I ;    ? (xem lại 33) 43 44 44 Hình chiếu điểm lên trục tọa độ Hình chiếu điểm lên mặt phẳng tọa độ Hình chiếu điểm lên đường thẳng M  x M ; yM ; z M   d  I ;    R   cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B tạo thành dây cung AB M chiếu lên Ox  M '  xM ; 0;  M chiếu lên Oy  M '  0; y M ;  M chiếu lên Oz  M '  0; 0; z M  M  x M ; yM ; z M  M chiếu lên Oxy   M  xM ; yM ;  M chiếu lên Oyz   M  0; yM ; zM  M chiếu lên Oxz   M  xM ; yM ;  M  x M ; yM ; z M  qua A  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a; b; c    H   1 Gọi H hình chiếu M lên      MH     Từ (1) suy H  x1  at ; y1  bt ; z1  ct  Suy MH   x1  at  xM ; x2  bt  yM ; x3  ct  zM  Từ (2)  MH.u   t  to  H  ?; ?; ?  Gọi H hình chiếu M lên  P   MH   P   1   H  MH   P    46 Hình chiếu điểm lên mặt phẳng (bất kỳ) M  x M ; yM ; z M   P  : ax  by  cz  d   x  xM  at  MH qua M   MH : Từ (1)  y  y M  bt  z  z  ct M  Suy H  xM  at; yM  bt; zM  ct  Lại có H   P    t  to  H  ?; ?; ?  Sử dụng công thức giải nhanh: H  xM  ato ; yM  bto ; zM  cto   AxM  By M  Cz M  D  Với to      A  B2  C   Kiểm tra d   P   M hay d / /  P  (xem lại 39) 47 Viết phương trình hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng qua A  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a; b; c   P  : ax  by  cz  d   TH1: d   P   M , chọn thêm điểm N  d (xem lại 27) Tìm hình chiếu H N lên (P) (xem lại 46) Phương trình hình chiếu qua M N  TH2: d / /  P  , chọn thêm điểm N  d (xem lại 27) Tìm hình chiếu H N lên (P) (xem lại 46) Viết phương trình hình chiếu qua N // với d N điểm đối xứng M qua trục Ox  N  xM ;  y M ;  zM  48 Điểm đối xứng điểm qua trục tọa độ M  x M ; yM ; z M  P điểm đối xứng M qua trục Oy  P  xM ; yM ; zM  Q điểm đối xứng M qua trục Oz  Q   xM ;  y M ; z M  CẨM NANG LUYỆN THI 2017 70 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong N điểm đối xứng M qua trục Oxy  N  xM ; yM ; zM  49 Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ M  x M ; yM ; z M  P điểm đối xứng M qua trục Oyz  N  xM ; yM ; zM  Q điểm đối xứng M qua trục Oxz  N  xM ; yM ; zM  50 Điểm đối xứng điểm qua đường thẳng 51 Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng M  x M ; yM ; z M  qua A  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a; b; c  M  x M ; yM ; z M   P  : ax  by  cz  d  Gọi N điểm đối xứng M qua  Tìm tọa độ điểm H hình chiếu M lên  (xem 44) Khi H trung điểm MN Gọi N điểm đối xứng M qua  P  Tìm tọa độ điểm H hình chiếu M lên  P  (xem 45) Khi H trung điểm MN  TH1:    P    M  , chọn điểm N   (xem lại 27), 52 Viết phương trình đường thẳng đối xứng đường thẳng khác qua mặt phẳng qua A  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a; b; c   P  : ax  by  cz  d  tìm điểm N’ đối xứng N qua (P) (xem lại 51) đường thẳng d cần tìm MN’  TH2:  / /  P  , chọn điểm N   (xem lại 27), tìm điểm N’ đối xứng N qua (P) (xem lại 51) Khi đường thẳng d cần tìm qua N’ song song với   TH1:  P    Q    (xem lại 37) B1: Tìm M, N hai điểm chung (P) (Q) (xem lại 30) B2: Chọn điểm I   P  (xem lại 28) 53 Viết phương trình mặt phẳng đối xứng mặt phẳng qua mặt phẳng  P  : ax  by  cz  d  Q : e x  fy  gz  h  B3: Tìm điểm I’ đối xứng I qua (Q) (xem lại 51) B4: Mặt phẳng cần tìm qua điểm M, N, I’  TH2:  P  / /  Q  (xem lại 37) B1: Chọn điểm I   P  (xem lại 28) B2: Tìm điểm I’ đối xứng I qua (Q) (xem lại 51) B3: Mặt phẳng cần tìm qua I’ song song (P)  TH3:  P    Q  (xem lại 37) 54 55 56 Viết phương trình mặt cầu đối xứng mặt cầu qua mặt đường thẳng Viết phương trình mặt cầu đối xứng mặt cầu qua mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng chắn trục tọa độ qua điểm đặc biệt (trọng tâm) qua A  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a; b; c  tam : I  a; b; c  S  :  ban kinh : R  P  : ax  by  cz  d  tam : I  a; b; c  Phương trình đối xứng (P) qua (Q) (P) B1: Tìm điểm I’ đối xứng I qua đường  (xem lại 50) tam : I ' B2: Khi  S '  :  ban kinh : R'  R B1: Tìm điểm I’ đối xứng I qua đường  P  (xem lại 51) S  :  tam : I ' B2: Khi  S '  :  ban kinh : R'  R Cho G  xG ; yG ; zG   A  a; 0;    P   Ox  Ta có  B  0; b;    P   Oy G trọng tâm ABC  C  0; 0; c    P   Oz ban kinh : R CẨM NANG LUYỆN THI 2017 71 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong Viết phương trình mặt phẳng chắn trục tọa độ qua điểm đặc biệt (trực tâm) Cho H  xH ; y H ; z H  58 Viết phương trình mặt phẳng chắn trục tọa độ qua điểm đặc biệt (tâm đường tròn ngoại tiếp) Cho I  xI ; y I ; z I  59 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; yB ; z B  57 60 61 Viết phương trình đoạn vng góc chung đường thẳng chéo Các tốn liên quan đến góc đường đường, đường mặt, mặt mặt  a  xG y y x   b  yG   ABC  :    (xem lại x y z G G G c  z G  25) Cách 1: giải tự luận (xin dành cho bạn đọc) Cách 2: dùng công thức giải nhanh (phần c/m dành cho bạn)  P  : xH x  y H y  z H z  xH  y H  z H  A  a; 0;    P   Ox  Ta có  B  0; b;    P   Oy I tâm ngoại tiếp  C  0; 0; c    P   Oz ABC   AI  BI a  ?    b  ? Khi đó:  AI  CI x c  ? y z  I  I  I 1   a b c qua I la trung diem AB Ta có  P  mp cần tìm thỏa  vtpt : n  AB B1: n  u; v  vtcp đường thẳng qua   qua M  x1 ; y1 ; z  d1  đoạn vng góc chung  vtcp : u   a1 ; a ; a3  d2    n  n; v     qua N  x2 ; y2 ; z  B2: Viết pt   :  d2  d1     N  d2  N    vtcp : v   b ; b ; b   qua M  x1 ; y1 ; z  d1  vtcp : u   a1 ; a ; a3  qua N  x2 ; y2 ; z  d2  vtcp : v   b1 ; b2 ; b3   P  : ax  by  cz  d  Q : e x  fy  gz  h  B3: Tìm A  d1     A     cos  d1 ; d   cos u; v  u.v (Cùng loại Cos) u.v   cos  P  ;  Q    cos nP ; nQ  nP nQ (Cùng loại nP nQ Cos)   sin d1 ;  P    cos u; nP  u.nP (khác loại sin) u nP MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CĨ SỬ DỤNG ĐẾN TÍCH CĨ HƯỚNG 62 (P) qua ba điểm khơng thẳng hàng  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC  qua A  hoac qua B hoac qua C   Cách 1:  P  :  n   AB; AC  Cách 2: Gọi phương trình  P  : ax  by  cz  d   A   P  ax  by  cz  d  a  ? A A A    d 1 B  P  ax  by  cz  d       B B B  b  ?  ax  by  cz  d  c  ? C C   C C   P  CẨM NANG LUYỆN THI 2017 72 Biên soạn: Nhóm giáo viên toán hợp tác Hứa Lâm Phong A  xA ; y A ; zA  64 (P) qua điểm vng góc với mặt phẳng (Q) (R) qua A Q : ax  by  cz  d   P  :  P   Q   qua A    n  nQ ; nR   R  : e x  fy  gz  h  P  R      A  xA ; y A ; zA  65 66 67 (P) qua điểm song song với đường thẳng khác (P) qua hai điểm vng góc với mặt phẳng khác (P) qua hai điểm song song với đường thẳng khác 68 (P) qua điểm chứa đường thẳng khác 69 (P) chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác 70 (P) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác qua M  x1 ; y1 ; z  d1  vtcp : u   a1 ; a ; a3  qua N  x2 ; y2 ; z  d2  vtcp : v   b1 ; b2 ; b3   A  x A ; y A ; z A    B  xB ; yB ; zB  Q : ax  by  cz  d  qua A qua A   P  :  P  / / d1  n  u; v       P  / / d2 qua A  hay qua B    qua A , B qua A  hay qua B    P  :  P  Q  n  AB n  n ; AB         Q n  nQ Cho tọa độ A B qua A  hay qua B   qua A, B  qua A  hay qua B    P  :  P / /   n  AB    n  u; AB n  u A  xA ; y A ; zA  qua A  hay qua M  qua A qua A  hay qua M       P  :    P   n  AM m    n  u; AM   n  u qua M  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a1 ; a ; a3  qua M  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a1 ; a ; a3  qua M  x1 ; y1 ; z  d1  vtcp : u   a1 ; a ; a3  qua N  x2 ; y2 ; z  d2  vtcp : v   b1 ; b2 ; b3   M  d1  M   P  qua M   d1   P     n  u  P :     n  u; v  d2 / /  P  n  v    qua M  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a1 ; a ; a3  M    M   P  qua M      P     n  u   P :  n  u; nQ     Q    P  n  n    Q : ax  by  cz  d  Q     MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CĨ LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH CĨ HƯỚNG A  xA ; y A ; zA  71 72 (d) qua M vng góc với hai đường thẳng khác (d) qua M, song song với mặt phẳng (Q) vng góc với đường thẳng khác qua M  x1 ; y1 ; z  d1  vtcp : u   a1 ; a ; a3  qua N  x2 ; y2 ; z  d2  vtcp : v   b1 ; b2 ; b3  A  xA ; y A ; zA  qua A A  d qua A   d : d  d1  ud  u   u  u; v  d  d   d   u  v   d A  d qua M  x1 ; y1 ; z   : d : d    d / / Q vtcp : u   a1 ; a ; a3     Q : ax  by  cz  d  qua A qua A    ud  u   u  u; nQ      d  u  n  Q  d CẨM NANG LUYỆN THI 2017 73 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong 73 (d) giao tuyến hai mặt phẳng Q : ax  by  cz  d   R  : e x  fy  gz  h  B1: tìm M điểm chung (P) (Q) (xem lại 30) qua M M  d qua M      B2: d : d   Q   ud  nQ   u  n ; n      d  Q R d  R   u  n    R  d B1: Tìm giao điểm I   Q   I  d  (xem lại 29) qua M  x1 ; y1 ; z  : qua I I  d qua I  74 vtcp : u   a1 ; a ; a3     B2: d : d   Q   ud  nQ   u  n ; u d     Q : ax  by  cz  d   d  Q  u  u    d MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CĨ LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ HĨA TỌA ĐỘ (KHI ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐƯỜNG THẲNG KHÁC) (d) nằm mặt phẳng (P), cắt vng góc với đường thẳng khác A  xA ; y A ; zA  75 (d) qua điểm cắt hai đường thẳng khác B1: Lấy B  d1 , C  d2 có tọa độ thỏa phương trình qua M  x1 ; y1 ; z  tham số d1 , d2 (hai tham số t1 ; t2 ) d1  vtcp : u   a1 ; a ; a3  B2: MN qua A nên AB , AC phương (xem lại 7), giải tìm t1 ; t2  B, C qua N  x2 ; y2 ; z  d2  vtcp : v   b1 ; b2 ; b3  (d) song song d3 với 76 77 78 đường thẳng cắt hai đường thẳng khác d1 , d2 (d) qua điểm, vng góc cắt đường thẳng khác (d) vng góc với mặt phẳng cắt hai đường thẳng khác qua M  x1 ; y1 ; z  B1: Lấy B  d1 , C  d2 có tọa độ thỏa phương trình d1  vtcp : u   a1 ; a ; a3  tham số d1 , d2 (hai tham số t1 ; t2 ) qua N  x2 ; y2 ; z  d2  vtcp : v   b1 ; b2 ; b3  qua P  x3 ; y3 ; z  d3   vtcp : w   c1 ; c ; c  A  xA ; y A ; zA  qua M  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a1 ; a ; a3  79 B2: Do BC / / d3 nên BC , ud phương (xem lại 7), giải tìm t1 ; t2  B, C B3: Viết phương trình d (song song d3 , qua B qua C) B1: Lấy M   (có tọa độ thỏa pt tham số  ) B2: AM  d  AM.u   t  ?  M  ?; ?; ?  B3: Viết phương trình d qua điểm M A B1: Lấy B  d1 , C  d2 có tọa độ thỏa phương trình tham qua M  x1 ; y1 ; z  d1  số d1 , d2 (hai tham số t1 ; t2 ) vtcp : u   a1 ; a ; a3  B2: Do BC   P  nên BC , nP phương (xem lại qua N  x2 ; y2 ; z  d2  vtcp : v   b1 ; b2 ; b3   P  : ax  by  cz  d  (d) nằm mặt phẳng cắt hai đường thẳng khác B3: Viết phương trình d qua điểm B C qua M  x1 ; y1 ; z  d1  vtcp : u   a1 ; a ; a3  qua N  x2 ; y2 ; z  d2  vtcp : v   b1 ; b2 ; b3  7), giải tìm t1 ; t2  B, C B3: Viết phương trình d (có ud  nP , qua B qua C) B1: Tìm giao điểm B  d1   P  C  d2   P  B2: Khi đường thẳng d qua điểm B C  P  : ax  by  cz  d  MỘT SỐ DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC 80 Viết phương trình đường trung tuyến Cho tọa độ đỉnh Gọi M trung điểm BC  M  ?; ?; ?  Viết phương trình đường thẳng AM CẨM NANG LUYỆN THI 2017 74 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong 81 Viết phương trình đường cao  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC  B1: Tính nABC   AB; AC    B2: Gọi AH đường cao ABC Ta có  AH   ABC  uAH  nABC   uAH  nABC ; BC     AH  BC u  BC   AH B3: AH qua A nhận uAH làm vtcp B1: Tính nABC   AB; AC  M trung điểm BC  82  B2: Gọi d đường trung trực BC u  n  d   ABC   ABC  d  ud  nABC ; BC  Ta có    d  BC u  BC     d Viết phương trình đường trung trực B3: d qua M nhận ud làm vtcp B1: Tính AB; AC tính e1  83 Viết phương trình đường phân giác AB AB , e2  AC AC vecto đơn vị đường AB, AC B2: Khi e  e1  e2 vtcp đường phân giác BAC B3: d qua A nhận e làm vtcp MỘT SỐ DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THƯỜNG GẶP 84 Mặt cầu (S) có tâm qua điểm 85 Mặt cầu (S) nhận đoạn làm đường kính 86 Mặt cầu (S) có tâm tiếp xúc với mặt phẳng Tâm I  a; b; c  A  xA ; y A ; zA   A  x A ; y A ; z A    B  xB ; yB ; zB  tâm I  a; b; c   P  : ax  by  cz  d  Cho tọa độ điểm 87 88 89 Mặt cầu (S) qua điểm Mặt cầu (S) qua điểm có tâm thuộc mặt phẳng Mặt cầu (S) qua điểm tâm thuộc đường thẳng  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC  D x ; y ; z   D D D  A  xA ; y A ; z A    B  xB ; y B ; z B   C  xc ; yC ; zC   P  : ax  by  cz  d   A  x A ; y A ; z A    B  xB ; yB ; zB  A  S   IA  R   x  a    y  b    y  c   R2 2 B1: tính I trung điểm AB độ dài AB  ? B2: Do mặt cầu  S  nhận AB làm đường kính   S  có tâm I R  AB   B1:  P  tiếp xúc  S   R  d I ;  P  (xem lại 32) B2: Viết pt mặt cầu có tâm I  a; b; c  , bán kính R 2 Gọi pt mặt cầu S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d   A   S  a  ?   B  S  b  ?  I  a; b; c      C   S  c  ?  R  a  b2  c  d D  S   d  ?  2 Gọi pt mặt cầu S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d   A   S  a  ?   B  S  b  ?  I  a; b; c     C   S  c  ?  R  a  b  c  d I  P  d  ?    B1: tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng  (tham số t)  A   S   R2  AI  BI  t  ?  I  ?; ?; ?  B2:   B   S  CẨM NANG LUYỆN THI 2017 75 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong qua M  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a1 ; a ; a3  90 91 Mặt cầu (S) qua điểm, có tâm thuộc đường thẳng tiếp xúc với mặt phẳng Mặt cầu (S) có tâm, bị cắt mặt phẳng theo giao tuyến đường trịn có diện tích (hoặc chu vi) A  xA ; y A ; z A  qua M  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a1 ; a ; a3   P  : ax  by  cz  d  tâm I  a; b; c   P  : ax  by  cz  d   C  : có diện tích S (hoặc chu vi p) tâm I  a; b; c  92 Mặt cầu (S) có tâm, bị cắt đường thẳng hai điểm phân biệt qua M  x1 ; y1 ; z  : vtcp : u   a1 ; a ; a3   A; B    S  B3: Viết pt mặt cầu (S) có I R B1: tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng  (tham số t) B2:  A   S   IA  R   AI  d2  I ;  P    R  d I ; P P tiep xuc S         Giải phương trình tìm t  ?  I  ?; ?; ?    B3: Viết pt mặt cầu (S) có I R Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến S   r r ? B1: tính d I ;  P   ? (xem lại 32) từ   p  2 r     B2: Ta có R2  d I ;  P   r  R  ? B3: Viết pt mặt cầu (S) có I R B1: tính d  I ;   (xem lại 33) AB2 R? B3: Viết pt mặt cầu (S) có I R B2: Ta có R2  d2  I ;    AB  k MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ TRONG OXYZ B1: xét vị trí tương đối A, B với mặt phẳng (P) Gọi g  x; y; z   ax  by  cz  d Cho  P  : ax  by  cz  d  hai điểm A, B Tìm M   P     MA  MB  ycbt ● g  xA ; yA ; zA  g  x B ; yB ; zB   : A B phía so với (P) ● g  xA ; yA ; zA  g  x B ; yB ; zB   : A B trái phía so với (P) TH1: A B trái phía so với (P) Với 93 M   P  : MA  MB  AB   MA  MB  AB    M , A , B thẳng hàng hay M  AB  P (viết phương trình AB tìm giao điểm AB (P)) TH2: A B phía so với (P) B2.1: Tìm B’ đối xứng B qua (P) (xem lại 51) B2.2: với M   P  : MA  MB  MA  MB '  AB'   MA  MB '  Cho  P  : ax  by  cz  d  hai điểm A, B 94  MA  MB Tìm M   P   ycbt max  AB ' (tương tự TH1) B1: xét vị trí tương đối A, B với mặt phẳng (P) TH1: A B phía so với (P) Với M   P  : MA  MB  AB  MA  MB max  AB    M , A , B thẳng hàng hay M  AB  P (viết phương trình AB tìm giao điểm AB (P)) TH2: A B trái phía so với (P) B2.1: Tìm B’ đối xứng B qua (P) (xem lại 51) CẨM NANG LUYỆN THI 2017 76 Biên soạn: Nhóm giáo viên toán hợp tác Hứa Lâm Phong B2.2: với M   P  : MA  MB  MA  MB '  AB '  MA  MB '  AB ' (tương tự TH1) 95 qua M o  x1 ; y1 ; z  Cho  :  hai điểm A, B  vtcp : u   a1 ; a ; a3  Tìm M      MA  MB ycbt 96 qua M  x1 ; y1 ; z  Cho  :  hai điểm A, B vtcp : u   a1 ; a ; a3  B1: tham số hóa điểm M theo đường  (tham số t)  MA  MB  f  t   g  t    B2: biểu diễn   MA  MB  f  t   g  t      f t  at  b  c  a   at  b; c       Biến đổi  Đặt  b   et  f ; g   g  t    et  f   g B3: Sử dụng bất đẳng thức vecto a  b  ab  a  b ycbt Tìm M     MA  MB max B4: Dấu xảy a phương b  k  R* : a  kb hay hai vecto 97 qua M o  x1 ; y1 ; z  Cho  :  hai điểm A, B  vtcp : u   a1 ; a ; a3  ycbt Tìm M     P  mMA2  n.MB2 tìm P  hay max P  với m, n  R B1: tham số hóa điểm M theo đường  (tham số t) B2: biểu diễn P  t   mMA2  n.MB2 theo tham số t B3: dùng phương pháp khảo sát hàm số tìm minP max P Lưu ý: xem lại cách làm dạng 100 Gọi I( xI ; yI ; z I ) điểm thỏa mãn n “ Cho n điểm Ai (i  1,2, , n) n số thực 98 Tìm tọa độ điểm M đường thẳng n qua M o  x1 ; y1 ; z  cho S   MAi : i 1  vtcp : u   a1 ; a ; a3  đạt giá trị nhỏ a1 IA1  a2 IA2   an IAn    IAi  Khi đó: i 1 S n  MAi i 1 S  a1 ( MI  IA1 )  a2 ( MI  IA2 )   an ( MI  IAn ) n  MI  S  MI i 1 Khi M hình chiếu I lên đường thẳng  (xem lại 44) Gọi I( xI ; yI ; z I ) điểm thỏa mãn n “ Cho n điểm Ai (i  1,2, , n) n số thực Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 99  P  : ax  by  cz  d  cho S  n  MAi i 1 đạt giá trị nhỏ a1 IA1  a2 IA2   an IAn    IAi  Khi đó: i 1 S n  MAi i 1 S  a1 ( MI  IA1 )  a2 ( MI  IA2 )   an ( MI  IAn ) n  MI  S  MI i 1 Khi M hình chiếu I lên mặt phẳng (P) (xem lại 45) “ Cho n điểm Ai (i  1,2, , n) n số thực 100 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu n tam I  a; b; c  cho S   MAi đạt S  :   i 1 ban kinh R giá trị nhỏ Gọi H( xI ; yI ; zI ) điểm thỏa mãn n a1 HA1  a2 HA2   an HAn    HAi  i 1 CẨM NANG LUYỆN THI 2017 77 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong n  Khi đó: S   MAi i 1 n n i 1 i 1  n    MH  HAi i 1  S   MH   HAi Do S  MHmin const Khi M, H, I thẳng hàng hay M1 ; M2   IH  S  (tìm giao điểm đường thẳng mặt cầu xem lại 31) Giả sử HM1  MH2  MHmin  HM1 Cho mặt phẳng Q : ax  by  cz  d  , tọa độ hai điểm A  xA ; yA ; zA  , B  xB ; yB ; zB  ycbt 101   viết phương trình đường thẳng d thỏa d/ /  Q   A  d  d B; d max hay d  B; d min   d   P  B1: Viết phương trình mặt phẳng  P  :   P  / /  Q  B2: Tìm H hình chiếu B lên mặt phẳng (P) (xem lại 46) B3: Kẻ HK vng góc d K  d  B; d   BK ● TH1: BHK vng H có BK  BH  BK  BH (khi d qua điểm A H) ● TH2: BAK vuông K có BK  BA  max BK  BA (khi d vng AB hay A  K ud  nQ ; AB    qua M o  x1 ; y1 ; z  Cho đường thẳng  :  , tọa  vtcp : u   a1 ; a ; a3  độ hai điểm A  xA ; yA ; zA  , B  xB ; yB ; zB  102 ycbt   viết phương trình đường thẳng d thỏa d    A  d  d B; d max hay d  B; d min   d   P  Dựng mặt phẳng phụ  P  :  (làm tương tự dạng  P    101) Cho mặt cầu (S) có tâm I bán kính R Điểm A thuộc mặt phẳng (P) nằm mặt cầu (S) ycbt 103   viết phương trình đường thẳng d thỏa d   P    MN max   A  d  MN  M; N  d  S     B1: (P) cắt (S) theo đường trịn (C) có tâm J bán kính r B2: Ta có M, N thuộc (C) Gọi H trung điểm MN  JH  MN MN  2HM CẨM NANG LUYỆN THI 2017 78 Biên soạn: Nhóm giáo viên tốn hợp tác Hứa Lâm Phong ● TH1: JAH vuông H nên JH  JA  MNmin  JHmax  JH  JA  H  A hay d  JA (khi d có vtcp ud  nP ; JA  ) ● TH2: MNmax    MN  2r  d qua điểm J A Cho mặt cầu (S) có tâm I bán kính R Điểm A nằm mặt cầu (S) ycbt 104   viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ (hay diện tích nhỏ nhất, chu vi nhỏ nhất) ● Gọi J hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P)   Suy d I ;  P   IJ ● IJA vuông J nên IJ  IA  IJ max  IJ  IA  J  A Ta có:  RC     Khi IA   P   nP  IA Ta có: A  a; 0;    P   Ox , B  0; b;    P   Oy , C  0; 0; c    P   Oz với a, b, c  Cho điểm M  x M ; y M ; z M  không thuộc trục mặt phẳng tọa độ ycbt   viết pt mặt phẳng (P) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho VO ABC nhỏ 105 x y z    a b c x y z M   P  M  M  M  a b c Ta có  P  : Khi ta có  abc  xM  yM  a b 27 xM yM zM zM c  33 x M y M z M abc 27 xM yM zM V  6 27 xM y M z M  V  xM y M z M    a b c Do phương trình mặt phẳng có cơng thức là:  P  : 3x x M  y 3yM  z 1 3zM TH1:  P   S  C  (cắt theo đường trịn giao tuyến có tâm J, bán kính r) 106 Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R phương trình mặt phẳng (P) ycbt   Tìm điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến (P) lớn (nhỏ nhất)   d M ;  P   Khi  d M ;  P  max  M2 J min  M1 J (xem hình vẽ) TH2:  L    S    M1  (tiếp xúc điểm)   d M ;  L   Khi  d M ;  L  max  M2 M1 (xem hình vẽ) min  CẨM NANG LUYỆN THI 2017 79 Biên soạn: Nhóm giáo viên toán hợp tác Hứa Lâm Phong TH3:  Q    S    (nằm nhau)     d M ;  Q   HM1  max Khi đó:  (xem hình vẽ) d M ;  Q   HM Lưu ý: việc tìm tọa độ M xin dành cho bạn đọc CẨM NANG LUYỆN THI 2017 80 ... chọn (50%) Ví dụ (Thi thử lần – THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội) Cho f  x   x2 e x Tìm tập nghiệm phương trình f ''  x   CẨM NANG LUYỆN THI 2017 Biên soạn: Nhóm giáo viên toán hợp tác Hứa Lâm...  vơ nghiệm có nghiệm kép a0 CẨM NANG LUYỆN THI 2017 20 Biên soạn: Nhóm giáo viên toán hợp tác Hứa Lâm Phong a0 y  ax  bx  c ,  a   y ''  có nghiệm phân biệt y ''  có nghiệm a0 a0 Lưu... trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm phương trình  *  số giao điểm hai đồ thị  Số giao điểm đồ thị  C  hàm bậc ba với trục hoành số nghiệm phương trình ax  bx  cx  d   1 Một số dạng câu