Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LƢƠNG VĂN CHẤT NGHIÊN CỨU CÁC THUẬT TOÁN LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG DẠY TIN HỌC CHUYÊN THPT Chuyên ngành : Khoa học máy tính Mã số : 60.48.01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT Đà Nẵng - Năm 2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Phản biện : PGS.TS VÕ TRUNG HÙNG Phản biện : TS TRẦN THIÊN THÀNH Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 19 tháng 01 năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng; - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng; Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu có từ lâu đời có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đươc đề xuất từ năm đầu kỷ 18 nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler Chính ông người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng cầu thành phố Konigsberg Từ lý thuyết đồ thị ngày khẳng định vị trí quan trọng việc áp dụng để giải toán thực tế nhờ vào việc tìm ngày nhiều định lý, công thức thuật toán Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng thực tế mà công cụ đắc lực cho ngành công nghệ thông tin Nó giúp cho mô tả cách dễ dàng toán phức tạp cụ thể, để từ ta mã hoá toán vào máy tính Ngoài lý thuyết đồ thị sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Hiện có nhiều tài liệu, sách, giáo trình viết lý thuyết đồ thị với nội dung, đầy đủ giúp cho người muốn nghiên cứu lý thuyết đồ thị tham khảo Tuy nhiên hầu hết tài liệu nghiên cứu lý thuyết xây dựng thuật toán chung cho toán mà chưa có nhiều tài liệu viết ứng dụng thuật toán để giải toán ứng dụng cụ thể Là giáo viên giảng dạy THPT, cần thiết tài liệu viết ứng dụng thuật toán để giải số toán ứng dụng lý thuyết đồ thị Bộ môn Tin học ngày phát triển, học sinh ngày có nhu cầu tìm hiểu môn để phục vụ cho việc học Tuy nhiên, phục vụ cho việc tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT chủ yếu bồi Footer Page of 126 Header Page of 126 dưỡng thuật toán giải thuật Lý thuyết đồ thị mảng lớn việc giải toán Tin học, đặc biệt giúp cho học sinh có nhận biết ứng dụng thực tế đồ thị Xuất phát từ nhu cầu chọn đề tài: “Nghiên cứu thuật toán lý thuyết đồ thị ứng dụng dạy tin học chuyên THPT” nhằm mục đích phục vụ tốt cho giáo viên học sinh, đồng thời hướng nghiên cứu tốt cho công tác giảng dạy thân Mục tiêu nghiên cứu Mục đích đề tài là: Nghiên cứu lý thuyết đồ thị số thuật toán ứng dụng đồ thị việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Tin học trường THPT - Nắm khái niệm lý thuyết đồ thị - Xây dụng số thuật toán đồ thị - Ứng dụng số thuật toán đồ thị giải số toán liên quan đến đồ thị - Nhận dạng số toán Tin học sử dụng phương pháp đồ thị Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Lý thuyết đồ thị ứng dụng đồ thị b Phạm vi nghiên cứu Trong khuôn khổ luận văn thuộc loại nghiên cứu ứng dụng, giới hạn nghiên cứu vấn đề sau: + Lý thuyết đồ thị, ứng dụng + Xây dựng hệ thống hóa số ứng dụng thuật toán liên quan đến đồ thị nhằm phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THPT Footer Page of 126 Header Page of 126 Phƣơng pháp nghiên cứu a Phương pháp nghiên cứu lý thuyết + Nghiên cứu lý thuyết đồ thị, thuật toán ứng dụng đồ thị + Hệ thống hóa số ứng dụng đồ thị b Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết kết hợp với nghiên cứu thực nghiệm: + Thiết kế thuật toán ứng dụng + Viết chương trình cho toán ứng dụng cụ thể + Chạy thử nghiệm lưu trữ kết đạt được, đánh giá lại kết Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận Toàn nội dung luận văn chia thành chương sau : Chƣơng : Trình bày nội dung nghiên cứu tổng quan lý thuyết đồ thị: Các định nghĩa, loại đồ thị, bậc đồ thị, đường chu trình đồ thị, đồ thị con, đồ thị phận tính liên thông đồ thị, phương pháp biểu diễn đồ thị, đồ thị Euler, đồ thị nửa Euler đồ thị Hamilton Chƣơng : Giới thiệu số thuật toán đồ thị: + Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu, tìm kiếm theo chiều rộng + Tìm đường kiểm tra tính liên thông + Đồ thị có trọng số toán tìm đường ngắn nhất: Thuật toán Ford – Bellman; thuật toán Dijkstra; thuật toán Floyd – đường ngắn tất cặp đỉnh + Thuật toán tìm luồng cực đại mạng Footer Page of 126 Header Page of 126 + Thuật toán Kruskal, thuật toán Prim tìm khung nhỏ Chƣơng : Trong chương giới thiệu số toán, đồng thời hệ thống hóa, phân loại dạng toán ứng dụng thuật toán đồ thị Ngoài chương giới thiệu số toán ứng dụng thực tế kỳ thi chọn học sinh giỏi, olympic CHƢƠNG ĐẠI CƢƠNG VỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ 1.1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa 1.1 : Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh đồ thị Các loại đồ thị khác phân biệt kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị x u y - Nếu cạnh u = (x,y) mà x y hai đỉnh phân biệt ta nói x, y hai đỉnh kề - Nếu u = (x,x) u cạnh có hai đỉnh trùng ta gọi khuyên - Nếu u = (x,y) mà x,y cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hướng từ x đến y u cung, x gốc y x đỉnh ra, y đỉnh vào - Khi cặp đỉnh (x, y) có nhiều cạnh ta nói cạnh cặp đỉnh cạnh song song cạnh bội 1.1.2 Các loại đồ thị a Đồ thị vô hướng Đồ thị G= gọi đồ thị vô hướng tất cạnh u U mà cặp đỉnh thuộc u = (x,y) (trong x,y Footer Page of 126 X) Header Page of 126 không phân biệt thứ tự Đồ thị vô hướng đồ thị cung b Đồ thị có hướng Đồ thị G = gọi đồ thị có hướng tất cạnh u U mà cặp đỉnh thuộc u = (x, y) (trong x,y X) có phân biệt thứ tự Đồ thị có hướng đồ thị mà u=(x, y) X cung c Đồ thị hỗn hợp 1.1.3 Bậc đồ thị a Bậc đồ thị vô hướng b.Bậc đồ thị có hướng 1.1.4 Một số đồ thị đặc biệt a Đồ thị b Đồ thị đầy đủ c Đồ thị bánh xe 1.2 ĐỒ THỊ CON, ĐỒ THỊ BỘ PHẬN VÀ TÍNH LIÊN THÔNG TRONG ĐỒ THỊ 1.2.1 Đồ thị con, đồ thị phận Cho đồ thị G = - Nếu đồ thị ta bỏ số đỉnh cạnh (cung) xuất phát từ đỉnh phần lại đồ thị gọi đồ thị đồ thị G cho - Nếu đồ thị G ta bỏ số cạnh giữ nguyên đỉnh phần lại đồ thị gọi đồ thị phận đồ thị G 1.2.2 Đƣờng đi, chu trình tính liên thông đồ thị 1.2.3 Đồ thị liên thông a Đồ thị vô hướng liên thông Footer Page of 126 Header Page of 126 Định nghĩa 1.4 : Đồ thị vô hướng G= gọi liên thông luôn tìm đường đỉnh đồ thị [8] Định lý 1.4: Nếu bậc đỉnh đồ thị vô hướng G= không nhỏ nửa số đỉnh đồ thị liên thông[8] b Đồ thị có hướng liên thông Định nghĩa 1.5 : Đồ thị có hướng G= gọi liên thông mạnh luôn tìm đường đỉnh [8] Định nghĩa 1.6 : Đồ thị có hướng G= gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng (tức đồ thị cho thay cung bỡi cạnh) với đồ thị liên thông [8] Định lý 1.5 : Đồ thị vô hướng liên thông định hướng cạnh nằm chu trình [8] 1.3 ĐỒ THỊ EULER, ĐỒ THỊ NỬA EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON 1.3.1 Đồ thị Euler, đồ thị nửa Euler a Đồ thị Euler Định nghĩa 1.7 : Cho đồ thị vô hướng G = Một chu trình đồ thị G gọi chu trình Euler qua tất cạnh G qua cạnh lần Đồ thị có chu trình Euler đồ thị Euler Đồ thị có đường Euler chu trình Euler gọi đồ thị nửa Euler [8] b Đường Euler Footer Page of 126 Header Page of 126 Định nghĩa 1.8 : Đường Euler đồ thị G = đường qua tất cạnh đồ thị, cạnh qua lần [4] Đinh lý 1.7 : Cho G = đồ thị vô hướng liên thông Điều kiện cần đủ để đồ thị có đường Euler số đỉnh bậc lẻ đồ thị [4] 1.3.2 Đồ thị Hamilton a Chu trình Hamilton Định nghĩa 1.9 : Giả sử G = đồ thị vô hướng Chu trình Hamilton chu trình qua tất đỉnh đồ thị, đỉnh lần [4] b Đường Hamilton Định nghĩa 1.10 : Đường Hamilton đồ thị G = đường qua tất đỉnh đỉnh lần [4] 1.4 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH 4.1.1 Biểu diễn ma trận kề 4.1.2 Danh sách cạnh (cung) 4.1.3 Danh sách kề 1.5 TÔ MÀU ĐỒ THỊ 1.5.1 Sắc số đồ thị 1.5.2 Tô màu đồ thị phẳng Định lý 1.10 (Định lý màu Kempe - Heawood) Mọi đồ thị phẳng có sắc số không lớn [3] 1.6 CÂY 1.6.1 Định nghĩa 1.11 : Cho đồ thị G = , G gọi G liên thông chu trình, với n = X > [4] Khi sáu tính chất sau tƣơng đƣơng (1) G đồ thị liên thông chu trình Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 (2) G chu trình có n - cạnh (3) G liên thông có n - cạnh (4) G chu trình thêm vào cạnh nối đỉnh không kề G xuất chu trình (5) G liên thông bỏ cạnh tuỳ ý đồ thị nhận không liên thông (6) Mỗi cặp đỉnh G nối với đường 1.6.2 Cây bao trùm Cho đồ thị G = với số đỉnh n lớn Giả sử G' đồ thị phận G (G' nhận từ G cách bỏ số cạnh giữ nguyên đỉnh) Nếu G' =