Nhập môn TOPO bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

48 186 0
  • Loading ...
Loading...
1/48 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 03/05/2017, 10:43

Nhập môn TOPO bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc.Trân trọng.ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢOhttp:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htmhoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên) ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG NHẬP MÔN TÔ PÔ LIÊN VƯƠNG LÂM Tổ Toán- Lý Quảng Ngãi - 2015 ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG NHẬP MÔN TÔ PÔ LIÊN VƯƠNG LÂM Tổ Toán- Lý Quảng Ngãi- 2015 Mục lục Mở đầu Không gian metric 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian metric hội tụ 1.1.1 Khái niệm không gian metric 1.1.2 Một số ví dụ không gian metric 1.1.3 Sự hội tụ không gian metric Tập đóng tập mở 1.2.1 Hình cầu lân cận 1.2.2 Tập mở- Tập đóng 1.2.3 Phần bao đóng 1.2.4 Tập hợp trù mật- Không gian khả li Ánh xạ liên tục 10 1.3.1 Ánh xạ liên tục 10 1.3.2 Ánh xạ liên tục 12 1.3.3 Phép đồng phôi- Phép đẳng cự 13 Không gian metric đầy đủ 14 1.4.1 Khái niệm không gian metric đầy đủ 14 1.4.2 Nguyên lý Cantor 15 1.4.3 Nguyên lý Baire phạm trù 16 i ii 1.5 1.4.4 Nguyên lý ánh xạ co 16 1.4.5 Bao đầy không gian metric 18 Không gian metric compact 19 1.5.1 Khái niệm tập compact 20 1.5.2 Một số đặc trưng tập compact không gian compact 20 Tính chất hàm số liên tục tập compact 22 Không gian ánh xạ liên tục 25 1.6.1 Không gian C ♣X, Y q 25 1.6.2 Định lý Arzela-Ascoli 26 1.6.3 Định lý Stone- Weierstrass 27 1.5.3 1.6 Không gian Tô Pô 2.1 2.2 2.3 29 Một số khái niệm 29 2.1.1 Khái niệm không gian tô pô 29 2.1.2 Lân cận 30 2.1.3 Tập đóng, phần trong, bao đóng 31 2.1.4 Ánh xạ liên tục 32 Cơ sở Tô pô 34 2.2.1 Định nghĩa sở Tô pô 34 2.2.2 Xây dựng tô pô 35 2.2.3 Tô pô đầu- tô pô cuối 36 Phân loại không gian tô pô 37 2.3.1 T1 không gian 37 2.3.2 T2 - không gian hay không gian Hausdorff 38 2.3.3 Không gian quy không gian chuẩn tắc 38 2.4 Không gian Compact 40 2.4.1 Định nghĩa không gian compact 40 2.4.2 Một số tính chất không gian compact 41 Tài liệu tham khảo 42 Lời nói đầu Nhập môn tô pô môn học dành cho sinh viên năm thứ ngành Cao đẳng sư phạm Toán Có nhiều sách tài liệu tham khảo dành cho môn học Tuy nhiên sách viết tiếng Anh, viết để phục vụ cho chuyên ngành sâu Do đó, sinh viên Cao đẳng sư phạm toán việc tiếp cận học tập môn không dễ Qua thực tiễn nhiều năm giảng dạy tham khảo sách, biên soạn tài liệu " Bài giảng nhập môn tô pô" nhằm trình bày hệ thống cách tiếp cận dễ dàng Bắt đầu không gian cụ thể không gian metric Sau trình bày không gian tô pô Các kết tài liệu đại cương với tinh thần " nhập môn" Độc giả tham khảo sâu thêm tài liệu trích dẫn Tài liệu hoàn thành với giúp đỡ đồng nghiệp Tổ Toán- Lý, trường Đại học Phạm Văn Đồng Cho phép chân thành cảm ơn Cuối cùng, tài liệu không tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý chân thành quý độc giả Mọi góp ý xin gởi về: mr.lvlam@gmail.com Tôi xin chân thành cảm ơn Chương Không gian metric 1.1 Không gian metric hội tụ 1.1.1 Khái niệm không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp khác rỗng Hàm số d : X ✂ X Ñ R gọi metric X tính chất sau thỏa mãn: i) d♣x, y q ➙ với x, y € X d♣x, yq ✏ x ✏ y ii) d♣x, y q ✏ d♣y, xq- tính chất đối xứng iii) d♣x, z q ↕ d♣x, y q   d♣y, z q với x, y, z € X Nếu d metric X ta nói cặp ♣X, dq không gian metric Mỗi phần tử x € X gọi "điểm" Số d♣x, y q gọi khoảng cách hai điểm x y Nhận xét ⑤d♣x, zq ✁ d♣x, yq⑤ ↕ d♣y, zq, ❅x, y, z € X 1.1.2 Một số ví dụ không gian metric Ví dụ 1.1 Cho X tập khác rỗng Hàm số d xác định X ✩ ✫0 d♣x, y q ✏ ✪1 ✂X nếux ✏ y nếux ✘ y Kiểm tra d metric X gọi metric rời rạc X Hơn nữa, ♣X, dq gọi không gian metric rời rạc Ví dụ 1.2 Hàm số d♣x, y q thông thường R ✏ ⑤x ✁ y⑤ metric R, gọi metric Ví dụ 1.3 Hàm số d♣x, y q ✏ ❛⑤x ✁ y⑤ metric R Ví dụ 1.4 Cho C trường số phức Với cặp số phức z z✶ ✏ x✶   iy✶ ta định nghĩa d♣z, z ✶ q ✏ ❛ ✏ x   iy ♣x ✁ x✶q2   ♣y ✁ y✶q2 Kiểm tra ♣C, dq không gian metric gọi metric thông thường C Ví dụ 1.5 Cho Rn không gian vector thực n-chiều Với cặp phần tử x ✏ ♣x1 , x2 , , xn q, y ✏ ♣y1, y2, , ynq ta định nghĩa d1 ♣x, y q ✏ d2 ♣x, y q ✏ ♣ ➳ n i✏1 ➳ n ⑤xi ✁ yi⑤, ♣xi ✁ yiq2q1④2, i✏1 d✽ ♣x, y q ✏ max ⑤xi ✁ yi ⑤ 1↕i↕n Khi d1 , d2 , d✽ metric Rn Trong d2 thường gọi metric Euclide Rn Ví dụ 1.6 Cho C ra, bs không gian hàm liên tục đoạn ra, bs Với cặp hàm số x♣tq, y ♣tq € C ra, bs ta định nghĩa d♣x, y q ✏ max ⑤x♣tq ✁ y ♣tq⑤ t€ra,bs dL ♣x, y q ✏ ➺ b ⑤x♣tq ✁ y♣tq⑤dt Kiểm tra d dL metric C ra, bs Ví dụ 1.7 Cho ♣X, dq không gian metric A ⑨ X tập khác a rỗng Trên A ta định nghĩa dA ♣x, y q ✏ d♣x, y q, ❅x, y € A Khi ♣A, dA q không gian metric gọi không gian metric ♣X, dq Ví dụ 1.8 Cho ♣X, dX q ♣Y, dY q không gian metric Trên tích Descartes ta định nghĩa d♣♣x, y q, ♣x✶ , y ✶ qq ✏ maxtdX ♣x, x✶ q, dY ♣y, y ✶ q✉ Khi ♣X ✂ Y, dq không gian metric gọi không gian metric tích hai không gian ♣X, dX q ♣Y, dY q Ví dụ 1.9 Cho ♣X, dq không gian metric Ta định nghĩa ánh xạ l : X ✂ X Ñ R xác định l♣x, y q ✏ mint1, d♣x, y q✉ a Chứng minh l metric X b Có thể thay ”1” số dương khác hay không để l metric X Ví dụ 1.10 Cho ♣X, dq không gian metric Ta định nghĩa ánh xạ l:X ✂ X Ñ R xác định d♣x, y q l♣x, y q ✏   d♣x, y q Khi l metric X 1.1.3 Sự hội tụ không gian metric Trong phần này, trình bày số vấn đề hội tụ không gian metric tính chất hội tụ Định nghĩa 1.1.2 Cho ♣X, dq không gian metric Dãy điểm txn ✉ gọi hội tụ đến điểm x € X lim d♣xn , xq ✏ 0, nghĩa là, với nÑ✽ → tồn số tự nhiên n0 cho với n → n0 d♣xn , xq ➔ Ta viết lim xn nÑ✽ ✏ x Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian metric, giới hạn dãy hội tụ Chứng minh Phản chứng Giả sử txn ✉ hội tụ đến hai điểm phân biệt x, y Khi ↕ d♣x, y q ↕ d♣x, xn q   d♣xn , y q Ñ Ta có điều vô lí Mệnh đề 1.1.2 Cho X tập hợp với metric rời rạc Giả sử txn ✉ € X xn Ñ a Khi tồn n0 cho với n ➙ n0 xn ✏ a Chứng minh Vì xn Ñ a với d♣xn , aq ➔ Suy d♣xn , aq ✏ (???) xn ✏ 21 , tồn n0 cho n ➙ n0 ✏ a, ❅n ➙ n0 Mô tả hội tụ không gian Rn với metric Euclide C ra, bs với metric ’max’? 1.2 Tập đóng tập mở 1.2.1 Hình cầu lân cận Định nghĩa 1.2.1 Giả sử ♣X, dq không gian metric, a r → Ta định nghĩa tập hợp B ♣a, rq ✏ tx € X : d♣a, xq ➔ r✉, € X 28 xấp xỉ với dãy đa thức, nghĩa với → tồn đa thức P cho ⑤f ♣xq ✁ P ♣xq⑤ ➔ ; ❅x € ra; bs Khi nghiên cứu mở rộng kết Weierstrass, người ta mở rộng định lý trường hợp X không gian metric compact Chương Không gian Tô Pô 2.1 Một số khái niệm Không gian Tô pô tổng quát hóa không gian metric Trong không gian tô pô, số khái niệm tính chất không gian metric " chuyển tải" mà không cần đến yếu tố khoảng cách 2.1.1 Khái niệm không gian tô pô 2.1.1.1 Định nghĩa không gian tô pô Định nghĩa 2.1.1 Cho X tập hợp Một họ τ tập X gọi tô pô X ba điều kiện sau thỏa mãn: ❍ € τ X € τ ; 2) Nếu A, B € τ A ❳ B € τ ; 3) Nếu Aα € τ ❨α€I Aα € τ 1) Ta nói ♣X, τ q không gian tô pô, tập hợp X gọi không gian phần tử điểm, tập hợp thuộc τ gọi tập mở Nhận xét định nghĩa không gian tô pô giao hữu hạn tập thuộc τ tập thuộc τ (So sánh với không gian metric?) 29 30 Định nghĩa 2.1.2 (So sánh hai tô pô tập hợp) Giả sử τ τ ✶ tô pô X Khi ta nói τ mạnh hơn τ ✶ τ ✶ ⑨ τ 2.1.1.2 Một số ví dụ không gian tô pô Ví dụ 2.1 Cho X tập hợp Khi τ ✏ t❍, X ✉ tô pô X Tô pô gọi tô pô thô X Nhận xét tô pô thô tô pô yếu tập hợp X Ví dụ 2.2 Cho X tập hợp bất kỳ, cho họ τ ✏ P ♣X q tập tất tập X Khi P ♣X q tô pô X gọi tô pô rời rạc X Nhận xét P ♣X q tô pô mạnh tất tôpô X (vì sao?) Ví dụ 2.3 Cho ♣X, ρq không gian metric Họ τ gồm tất tập mở X tô pô X Tô pô gọi tô pô sinh metric Ví dụ 2.4 Cho tập X khác rỗng Họ τ ✏ tG ⑨ X : G ✏ ❍ X ③G hữu hạn.✉ Kiểm tra τ tô pô X Thật vậy, + G € τ theo định nghĩa X € τ X ③X hữu hạn + Nếu A, B € τ X ③A X ③B hữu hạn cho nêu X ③♣A ❳ B q ✏ ♣X ③Aq ❨ ♣X ③B q hữu hạn + Nếu Aα € τ X ③♣❨α€I Aα q hữu hạn 2.1.2 Lân cận Định nghĩa 2.1.3 Tập U không gian tô pô X gọi lân cận điểm x € X tồn tập mở G cho x € G ⑨ U Gọi Ux tập tất lân cận x Khi đó, Ux có tính chất sau: Mệnh đề 2.1.1 Trong không gian tô pô X, i) Nếu U € Ux x € U 31 € Ux U ⑨ V V € Ux iii) Nếu U, V € Ux U ❳ V € Ux iv) Nếu U € Ux tồn W € Ux cho W € Uy với y € W ii) Nếu U 2.1.3 Tập đóng, phần trong, bao đóng Định nghĩa 2.1.4 Tập A không gian tô pô X gọi tập đóng phần bù X ③A tập mở Mệnh đề 2.1.2 Trong không gian tô pô : i) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng; ii) Giao tùy ý tập đóng tập đóng Vì không gian metric không gian tô pô với họi tập mở nên mệnh đề không thay hợp hữu hạn hợp vô hạn ( Cho ví dụ???) Định nghĩa 2.1.5 Cho X không gian tô pô A tập X x € X Ta nói: a) x điểm tập hợp A tồn tập mở U chứa x cho U ⑨ A b) x gọi điểm dính tập hợp A với lân cận U x X U ❳ A ✘ ∅ c) x gọi điểm biên tập hợp A với lân cận U x U ❳ A ✘ ∅ U ❳ ♣X ③Aq ✘ ❍ d) x gọi điểm tụ tập hợp A với lân cận U x U ❳ ♣A③tx✉q ✘ ❍ - Tập tất điểm tập hợp A gọi phần tập hợp A kí hiệu Int♣Aq A0 - Tập tất điểm dính tập hợp A gọi bao đóng tập hợp A kí hiệu A 32 - Tập tất điểm biên A gọi biên tập hợp A kí hiệu ❇ A - Tập tất điểm tụ tập hợp A gọi dẫn xuất tập hợp A viết A✶ Mệnh đề 2.1.3 Cho X không gian tô pô A, B tập X Khi đó: a) int♣A ❳ B q ✏ int♣Aq ❳ int♣B q b) A ❨ B ✏ A ❨ B c) Nếu A ⑨ B A ⑨ B int♣Aq ⑨ int♣B q Mệnh đề 2.1.4 Cho A tập không gian tô pô X Khi X ③A ✏ X ③♣int♣Aqq Mệnh đề 2.1.5 Cho X không gian tô pô Với tập A X ta định nghĩa α♣Aq ✏ int♣Aq Khi ⑨ X A ⑨ B α♣Aq ⑨ αB b) Nếu A mở A ⑨ α♣Aq c) Với tập A ⑨ X α♣α♣Aqq ✏ α♣Aq d) Nếu A, B tập rời α♣Aq α♣B q tập rời a) Nếu A, B 2.1.4 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 2.1.6 Cho ♣X, τ q ♣Y, θq không gian tô pô Ánh xạ f :X ÑY gọi ánh xạ liên tục điểm x € X với lân cận V f ♣xq Y tồn lân cận U x X cho f ♣U q ⑨ V Ví dụ 2.5 Cho τ θ tô pô tập hợp X Khi ánh xạ đồng id : ♣X, τ q Ñ ♣Y, θq liên tục θ ↕ τ 33 Tương tụ không gian metric, phép chứng minh ta thay hình cầu tập mở Khi ta có định lý sau Định lý 2.1.6 Cho X, Y không gian tô pô ánh xạ f : X Ñ Y Khi khẳng định sau tương đương: a) f liên tục; b) f ✁1 ♣Gq mở X với tập mở Y c) f ✁1 ♣F q đóng X với tập đóng Y Định lý 2.1.7 Cho f : X ÑY g : Y Ñ Z ánh xạ liên tục Khi Ñ Z ánh xạ liên tục Mệnh đề 2.1.8 Cho ánh xạ f : X Ñ Y Khi f liên tục với tập A X f ♣Aq ⑨ f ♣Aq Định nghĩa 2.1.7 Một song ánh f : X Ñ Y gọi phép đồng ánh xạ g0 f : X phôi f f ✁1 liên tục Nếu tồn phép đồng phôi không gian tô pô X Y ta nói hai không gian X Y đồng phôi với Mệnh đề 2.1.9 Một song ánh f : X ÑY phép đồng phôi f liên tục f ánh xạ mở (hoặc đóng) Trong ánh xạ f gọi mở f ♣Gq mở Y với tập mở G X Ví dụ 2.6 Trên R ta xét không gian tô pô cảm sinh metric thông thường Khi ánh xạ f : ♣0; 1q Ñ ♣a; bq xác định f ♣tq ✏ ♣b ✁ aqt   a song ánh liên tục có ánh xạ ngược liên tục Nêu hai khoảng ♣0; 1q ♣a; bq đồng phôi với Ví dụ 2.7 Trong R2 xét đường tròn đơn vị S ✏ t♣x, y q : x2   y ✏ 1✉ Ánh xạ f : r0; 1q Ñ S xác định f ♣tq ✏ ♣cos♣2πtq, sin♣2πtqq song ánh không phép đồng phôi f ✁1 ♣0, 0q không ánh xạ liên tục 34 Ví dụ 2.8 Cho hàm số thực f : R Ñ R xác định f ♣xq ✏ x2 Khi f không ánh xạ mở Thật vậy, bạn đọc kiểm tra f ♣✁1; 1q không tập mở Ví dụ 2.9 Cho ánh xạ f : R2 Ñ R xác định f ♣x, y q ✏ x Khi f ánh xạ liên tục không ánh xạ đóng Thật vậy, bạn đọc kiểm tra f ♣R ✂ r0; 1sq 2.2 Cơ sở Tô pô 2.2.1 Định nghĩa sở Tô pô Định nghĩa 2.2.1 Cho ♣X, τ q không gian tô pô Họ B gọi sở tô pô tô pô τ với G D B cho G✏ ↕ B €D €τ ⑨τ tồn họ B Khi ta nói B sở không gian tô pô X Mệnh đề 2.2.1 (Tiêu chuẩn để họ tạo nên sở tô pô) Cho ♣X, τ q không gian tô pô B ⑨ τ Họ B lập nên sở không gian tô pô với G € τ với x € G tồn B € B cho x € B ⑨ G € τ x € G Do B sở tô pô tồn ➈ họ D ⑨ B cho x € G ✏ B €D B Cho nên tồn B € D cho x € B ⑨ G Ngược lại, với G € τ theo giả thiết với x € G tồn Bx € B cho x € Bx ⑨ G Do ↕ G ✏ tBx : x € G✉ Chứng minh Giả sử G hay G biểu diễn hợp tập thuộc B Do B sở tô pô τ 35 Ví dụ 2.10 Cho ♣X.dq không gian metric X không gian tô pô sinh tập mở X Họ tất hình cầu mở lập nên sở tô pô X Trên không gian tô pô ♣X, τ q tồn sở tô pô B Khi ta kiểm tra số tính chất không gian X " cần sở tô pô" Định lý sau cho ví dụ Định lý 2.2.2 Giả sử ánh xạ f : ♣X, τ q Ñ ♣Y, θq ánh xạ hai không gian tô pô Giả sử B sở tô pô Y Khi đó, ánh xạ f liên tục f ✁1 ♣Gq tập mở X với U € B Chứng minh Dành cho sinh viên??? 2.2.2 Xây dựng tô pô Giả sử X tập hợp cho trước, X chưa có tô pô Giả sử có họ tập X B Yêu cầu đặt tìm điều kiện họ B để tồn tô pô X nhận B " sở tô pô" Định lý sau điều kiện Định lý 2.2.3 Cho tập hợp X khác rỗng Một họ B tập X sở tô pô tô pô X hai điều ✏ ➈B€B B; kiện sau thỏa mãn: 1) X 2) Với U, V x€W ⑨ U ❳ V € B x € U ❳V tồn W € B cho Chứng minh Giả sử B sở tô pô tô pô X Khi hiển nhiên ↕ B €B ✏ ➈B€B B B ⑨ X Hơn nữa, X tập mở tồn D Do đóX ⑨ B cho X ✏ ➈B€D ⑨ ➈B€B B 36 € B x € U ❳ V Vì U ❳ V tập mở tồn D ⑨ B ➈ cho U ❳ V ✏ B €D B Vì x € U ❳ V nên tồn B € D để x € B Do W ✏ B x € W ⑨ U ❳ V Giả sử U, V Bây giờ, giả sử B họ có tính chất 1) 2) Ta gọi τ họ tất tập hợp biểu diễn dạng hợp tập hợp thuộc họ B hay τ ✏ tG ✏ ↕ B €DD:D⑨B ✉ Kiểm tra τ tô pô X họ B lập nên sở tô pô (Dành cho sinh viên.) Ví dụ 2.11 (Đường thẳng Sorgenfrey) Trên tập số thực R, xét họ B tập R có dạng ra; bq với a, b € R a ➔ b Ta kiểm tra họi B thỏa mãn điều kiện 1) 2) nên họ B sở tô pô R Không gian R với tô pô gọi đường thẳng Sorgenfrey kí hiệu Rl Yêu cầu: So sánh tô pô với tô pô thông thường R 2.2.3 Tô pô đầu- tô pô cuối Cho f : ♣X, τ q Ñ ♣Y, θq ánh xạ liên tục Khi ta nhận xét τ ✶ ➙τ θ✶ ↕ θ ánh xạ f liên tục Do đó, X ta trang bị tô pô rời rạc Y ta trang bị tô pô thô ánh xạ f liên tục Yêu cầu đặt làm " yếu có thể" tô pô X " mạnh có thể" tô pô Y để ánh xạ f liên tục Để làm điều đó, người ta có kết hai định lý sau Định lý 2.2.4 Cho X tập hợp tXα , τα ✉α€I họ không gian tô pô , họ ánh xạ fα : X Ñ Xα Khi đó, tất tô pô X tồn tô pô yếu cho tất 37 ánh xạ fα liên tục Hơn nữa, tô pô nhận họ B tập có dạng ↔ α €H fα✁1 ♣Gα q H tập hữu hạn I, Gα tập mở Xα sở tô pô Tô pô xác định gọi tô pô đầu sinh họ fα Định lý 2.2.5 Cho tXα , τα ✉α€I họ khác rỗng không gian tô pô Cho X tập hợp họ fα : Xα Ñ X ánh xạ Khi tồn tô pô mạnh X cho ánh xạ fα liên tục Hơn nữa, tô pô xác định τ 2.3 ✏ tV ⑨ X ⑤fα✁1♣V q € τα, ❅α € I ✉ Phân loại không gian tô pô 2.3.1 T1 không gian Khi xét không gian tô pô ta thường có tính chất tập điểm tập đóng Tuy nhiên, không gian có tính chất Ví dụ không gian tô pô thô X có nhiều phần tử tập điểm không tập đóng (Vì sao???) Định nghĩa 2.3.1 Không gian tô pô X gọi T1 không gian € X x ✘ y tồn hai lân cận U x V cho x ❘ V y ❘ U với x, y Y Với định nghĩa không gian tô pô T1 không gian tập điểm tập đóng Cụ thể ta có định lý sau: Định lý 2.3.1 Không gian tô pô X T1 không gian tập điểm tập đóng Chứng minh Giả sử X T1 không gian x € X Ta chứng minh X ③tx✉ tập mở Thật vậy, y € X ③tx✉ y ✘ x Vì X T1 không 38 gian tồn lân cận U y cho x ❘ U Hay y € U ⑨ X ③tx✉ Ngược lại, giả sử tập điểm tập đóng X Khi với x, y € X x ✘ y Đặt U ✏ X ③ty ✉ V ✏ X ③tx✉ lân cận x y thỏa mãn yêu cầu T1 không gian 2.3.2 T2 - không gian hay không gian Hausdorff Định nghĩa 2.3.2 Không gian tô pô X gọi T2 - không gian € X x ✘ y tồn cho x € U y € V thỏa U ❳ V ✏ ❍ hay không gian Hausdorff với x, y tập mở U V Ví dụ 2.12 Mọi không gian metric không gian Hausdorff Nhận xét không gian Hausdorff T1 không gian Tuy nhiên, tồn không gian tô pô T1 không gian không không gian Hausdorff Thật ta xét Ví dụ 2.13 Cho X tập hợp vô hạn với tô pô đối hữu hạn Khi X T1 không gian không T2 không gian (Sinh viên kiểm tra???) Mệnh đề 2.3.2 Mọi không gian không gian Hausdorff không gian Hausdorff Mệnh đề 2.3.3 Cho không gian tô pô X Khi X không gian Hausdorff tập ∆ ✏ t♣x, xq : x € X ✉ tập đóng X ✂ X 2.3.3 Không gian quy không gian chuẩn tắc 2.3.3.1 Không gian quy Định nghĩa 2.3.3 Không gian tô pô X gọi quy với tập đóng B X x € X x ❘ B tồn tập mở V chứa x U chứa B cho U ❳ V ✏ ❍ 39 Mệnh đề 2.3.4 Không gian không gian quy quy Định lý 2.3.5 Không gian tô pô X quy với tập mở G X điểm x € G tồn tập mở U cho x€U ⑨ U ⑨ G Chứng minh Giả sử X không gian quy G tập mở X € G Khi B ✏ X ③G tập đóng không chứa x Vì tính chất quy X nên tồn hai tập mở rời U V cho x € U B ⑨ V Suy X ③V đóng U ⑨ X ③V ⑨ X ③B ✏ G hay x x€U Ngược lại, giả sử x €X ⑨ U ⑨ X ③V ⑨ G B tập đóng X không chứa x Ta có ✏ X ③B tập mở chứa x Theo giả thiết tồn tập mở U chứa x cho U ⑨ G Khi đó, U V ✏ X ③U hai tập mở rời chứa G x B Vì vậy, X không gian tô pô quy 2.3.3.2 Không gian chuẩn tắc Định nghĩa 2.3.4 Không gian tô pô X gọi chuẩn tắc A B tập đóng X A ❳ B ✏ ❍ tồn tập mở U V cho A ⑨ U , B ⑨ V thỏa U ❳ V ✏ ❍ Tương tự không gian tô pô quy, không gian tô pô chuẩn tắc ta có kết Định lý 2.3.6 Không gian tô pô X chuẩn tắc với tập đóng A tập G -mở , A ⑨ G tồn tập mở U cho A⑨U ⑨ U ⑨ G Mệnh đề 2.3.7 Mọi không gian metric không gian chuẩn tắc 40 Chứng minh Giả sử ♣X, ρq không gian metric A, B tập đóng rời X Khi X ③B tập mở nên với x € A tồn hình cầu B ♣x, rx q ⑨ X ③B hay B ♣x, rx q ❳ B ✏ ❍ Tương tự với y € B tồn hình cầu B ♣y, ry q cho B ♣y, ry q ❳ A ✏ ❍ Đặt U ✏ ↕ x€ A B ♣x, rx ④2q; V ✏ ↕ y €B B ♣y, ry ④2q Khi U V tập mở chứa A B Ta kiểm tra U ❳ V ❍ Vậy X không gian chuẩn tắc ✏ Ví dụ 2.14 Không gian Rl chuẩn tắc không khả metric Chứng minh Giả sử A B tập đóng tren Rl Rõ ràng tập gồm điểm đóng Rl Do với điểm a có lân cận ra, giao với B điểm b € B có lân cận rb, U ✏ ↕ a€A ra, aq V b a q không q không giao với A Từ ↕ ✏ rb, bq b€B hai tập rời Rl chứa A B Định nghĩa 2.3.5 T1 không gian X gọi T3 -không gian X quy, gọi T4 -không gian X chuẩn tắc Nhận xét T4 -không gian T3 -không gian Về mối liên hệ hai lớp không gian ta có kết sau Định lý 2.3.8 Mỗi không gian quy đếm thứ hai chuẩn tắc 2.4 Không gian Compact 2.4.1 Định nghĩa không gian compact Định nghĩa 2.4.1 Cho ♣X, τ q không gian tô pô A họ tập mở G ✏ tGα✉α€I ⑨ X Một X gọi phủ mở A A⑨ ➈ α€I 41 Gα Phủ mở tập A gọi hữu hạn tồn tập hữu hạn H I cho tGα ✉ với α € H phủ mở A Định nghĩa 2.4.2 Tập A không gian tô pô X gọi compact phủ mở tập A chứa phủ hữu hạn Không gian X gọi compact X tập compact Ví dụ 2.15 Nếu X gồm hữu hạn phần tử không gian X compact với tô pô X Không gian tô pô rời rạc X compact X có hữu hạn phần tử Ví dụ 2.16 Đường thẳng thực R không compact họ ♣✁n; nq phủ mở R không chứa phủ hữu hạn Ví dụ 2.17 Giả sử τ tô pô tập X sinh metric ρ A ⑨ X Khi A compact A compact theo dãy (nghĩa dãy A có dãy hội tụ đến phần tử thuộc A) Ví dụ 2.18 Giả sử txn ✉ dãy hội tụ đến x không gian tô pô X Khi tập hợp txn ✉ ❨ tx✉ compact 2.4.2 Một số tính chất không gian compact Giống tập compact không gian metric, tập compact không gian tô pô compact có tính chất đẹp sau Mệnh đề 2.4.1 Tập đóng không gian tô pô compact compact Mọi tập compact không gian tô pô Hausdorff đóng Định lý 2.4.2 Ảnh tập compact qua ánh xạ liên tục compact Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê (chủ biên), Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm Tập 1, NXB Giáo dục 2001 [2] Thái Thuần Quang (2011), Bài giảng không gian vector topo, Trường Đại học Quy Nhơn [3] Meise, R., Vogt, D (1997), Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press, Oxford 42 ... nói đầu Nhập môn tô pô môn học dành cho sinh viên năm thứ ngành Cao đẳng sư phạm Toán Có nhiều sách tài liệu tham khảo dành cho môn học Tuy nhiên sách viết tiếng Anh, viết để phục vụ cho chuyên... chuyên ngành sâu Do đó, sinh viên Cao đẳng sư phạm toán việc tiếp cận học tập môn không dễ Qua thực tiễn nhiều năm giảng dạy tham khảo sách, biên soạn tài liệu " Bài giảng nhập môn tô pô" nhằm trình...ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG NHẬP MÔN TÔ PÔ LIÊN VƯƠNG LÂM Tổ Toán- Lý Quảng Ngãi- 2015 Mục lục Mở đầu Không gian
- Xem thêm -

Xem thêm: Nhập môn TOPO bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng, Nhập môn TOPO bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng, Nhập môn TOPO bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng, Không gian các ánh xạ liên tục, Tập đóng, phần trong, bao đóng

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Từ khóa liên quan

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay
Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập