Chuyên đề dao động nhiễu loạn Lời mở đầu Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia những năm gần thấy bắt gặp một số bài toán theo kiểu: Vật chuyển động ổn định ở quỹ đạo tròn thì có một tác động nhỏ làm cho vật dao động Tìm chu kì dao động Qua tìm hiểu thấy các bài toán là một các ví dụ liên quan đến lý thuyết dao động nhiễu loạn lĩnh vực học Đây là một lý thuyết rất hay và có rất nhiều ứng dụng thực tế, đặc biệt là các bài toán liên quan đến chuyển động của vệ tinh Để tìm được chu kì dao động nhiễu loạn thường có hai cách: Cách thứ nhất là dựa vào thế hiệu dụng, cách thứ hai dựa vào khai triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển động ổn định của vật Do thời gian có hạn xin trình bày theo cách thứ hai: tìm chu kì dao động nhiễu loạn bằng phương pháp triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển động ổn định của vật Nội dung chuyên đề gồm các phần sau: Phần 1: Cơ sở lý thuyết nhiễu loạn Phần 2: Các bài tập vận dụng với lời giải chi tiết Phần 3: Các bài tập ôn luyện và đáp số Phần 1: Cơ sở lý thuyết Trong dao động nhiễu loạn ta hay gặp bài toán chuyển động của hạt trường xuyên tâm Vì vậy ta nhắc lại một số lý thuyết liên quan Hệ tọa độ cực uuuur r r OM = r.er + z.ez Biểu thức vận tốc hệ tọa độ cực: r r r r r r r v = vr + vθ = vr er + vθ eθ = r ' er + rθ '.eθ Các đạo hàm của vecto đơn vị: r r r r eθ ' = −θ ' er ; er ' = θ ' eθ Biểu thức gia tốc tọa độ cực r r r r r a = ar + aθ = ar er + aθ eθ r r r r dv d (vr er ) d (vθ eθ ) a= = + dt dt dt r r d (eθ ) r d (vθ ) d (er ) r r d (vr ) a = er + vr + vθ + eθ dt dt dt dt r r r r r a = r ''.er + r 'θ ' eθ + rθ '2 ( −er ) + eθ (θ ' r '+ rθ '') r r r a = (r ''− rθ '2 ).er + (2r 'θ '+ rθ '')eθ Phương trình chuyển động của vật trường xuyên tâm Phương trình chuyển động của vật trường xuyên tâm viết trong hệ tọa độ cực r ''− rθ '2 = F (r ) dV (r ) =− m m dt 2r 'θ '+ rθ '' = d (r 2θ ') Ft = =0 r dt m r ( F (r ) là thành phần lực theo phương er ) r ( Ft là thành phần lực theo phương eθ ) Định luật bảo toàn momen động lượng trường xuyên tâm Từ biểu thức: 2r 'θ '+ rθ '' = d ( r 2θ ') ⇔ =0 r dt ⇔ L = r θ ' = C = hằng số (Định luật bảo toàn momen động lượng viết hệ tọa độ cực ) Sơ lược về lý thuyết nhiễu loạn Trong quá trình phân tích các hệ thống động học khía cạnh cân bằng và ta phải giải quyết bài toán về sự nhiễu loạn và các thông số biến đổi Lý thuyết nhiễu loạn được ứng dụng rộng rãi Chúng ta sẽ trình bày phần này một vài ý tưởng bản và một số ứng dụng cho các bài toán về tính chu kì dao động nhiễu loạn quanh quỹ đạo ổn định Đầu tiên chúng ta xem xét sự khai triển hàm F (α , β , γ ) quanh giá trị mốc F0 (α , β , γ ) Với α = α + δα ; β = β + δβ ( δα , δβ là rất nhỏ) Ta thừa nhận hàm này F (α , β , γ ) có đạo hàm ở mọi cấp Ta có thể viết:  ∂F   ∂F  F = F0 + δ F = F0 +  ÷ δα +  ÷ δβ +  ∂α α0  ∂β  β0 +   ∂2F   ∂2F   ∂ F   ∂F  δα + δα δβ  ÷ (δα ) +  ÷ (δβ ) +   +  ÷ ÷ 2!  ∂α α ∂β  β ∂α α0 ∂α ∂β α ,β     0 0  Bỏ qua số hạng vô cùng nhỏ bậc hai trở ta viết:  ∂F   ∂F  F = F0 + δ F = F0 +  ÷ δα +  ÷ δβ + ∂ α  α  ∂β  β0 Trong đó δ F là lượng thay đổi nhỏ của hàm F quanh giá trị mốc F0 các tham số α , β biến đổi nhỏ Trong một số trường hợp α , β , γ lại là hàm ẩn theo biến số khác (ví dụ theo thời gian) Phần 2: Bài tập vận dụng Bài 1: Một chất điểm khối lượng m chuyển động trường xuyên tâm O có biểu thức lực xuyên tâm có dạng F (r ) a) Ở quỹ đạo tròn ổn định, hạt có vận tốc v0 và bán kính quỹ đạo tròn là r0 Tìm liên hệ giữa v0 , r0 b) Một tác động nhỏ làm hạt lệch khỏi quỹ đạo ổn định Tìm điều kiện để hạt dao động quanh quỹ đạo ổn định và tìm tần số góc dao động đó Giải a) Tại quỹ đạo ổn định, lực xuyên tâm F (r ) đóng vai trò lực hướng tâm m v02 = − F ( r0 ) r0 b) Phương trình chuyển động theo phương bán kính là:  C2  F ( r ) = m r&& − rθ& = m  &&r − ÷ (với C = r0 v0 momen động lượng vật lúc ban đầu) r   ( )  r 2v  F ( r ) == m  r&& − ÷ r   Xét sự lệch nhỏ so với quỹ đạo tròn, ta viết: r = r0 1 + ε ( t )  Khai triển lực F (r ) quanh trị F (r0 ) ta được: F ( r0 ) m + ε r0 F ' ( r0 ) m + = r0ε&& − Sử dụng kết quả: m v02 ( − 3ε + ) r0 v02 = − F ( r0 ) ta viết lại biểu thức trên: r0  3v F ' ( r0 )    3F ( r0 ) ε&& +  20 − + F ' ( r0 ) ÷ε = ÷ε = → ε&& −  m  m  r0  r0  Vậy điều kiện để vật chuyển động quỹ đạo ổn định là: 3F ( r0 ) r0 + F ' ( r0 ) < Tần số góc dao động của hạt quanh quỹ đạo cân bằng là: ω=   3F ( r0 ) + F ' ( r0 ) ÷  m  r0  Bài 2: Một chất điểm khối lượng m chuyển động trường xuyên tâm O có biểu thức lực xuyên tâm có dạng F ( r ) = −K Một tác động nhỏ làm hạt lệch khỏi quỹ đạo ổn định Tìm điều kiện để hạt dao động rn quanh quỹ đạo ổn định Giải Các phương trình chuyển động của hạt viết hệ tọa độ cực là: K m &&r − rθ& + n = r 2θ& = h = const r ( )  h2  K Suy m  &&r − ÷+ n = r  r  Phương trình nhiễu loạn vật là:  3mh nK   2mh  && mδ r +  − n +1 ÷δ r =  ÷δ h = r   r   r (1) Tại quỹ đạo tròn ổn định ta có: K mh 2 & = mrθ = ⇒ K = mh r n −3 n r r 3mh mh n Điều kiện để quỹ đạo ổn định là hệ số của δr phải dương: > →n