SỰ VA CHẠM CỦA VẬT RẮN A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các toán có va chạm vật rắn thường toán học thuộc loại khó học sinh thường xuất kỳ thi học sinh giỏi vật lý cấp Mặc dù sách giáo khoa thường đề mục chi tiết nội dung này, học sinh thường lúng túng không định hướng cách giải gặp dạng tập có va chạm vật rắn Tất nhiên mức độ khó toán phụ thuộc vào mức độ phức tạp va chạm Nhưng việc giải toán không phụ thuộc khả tư học sinh mà vào kỹ năng: học sinh làm quen với số toán va chạm vật rắn họ định hướng gặp toán thuộc dạng Chính chọn đề tài để nghiên cứu Hy vọng bổ ích cho bạn đồng nghiệp em học sinh Mục đích đề tài Đề tài trình bày cách đầy đủ vấn đề lí thuyết có liên quan đến va chạm vật rắn, định luật; định lí áp dụng hệ thu Ngoài đề tài giới thiệu số tập kinh điển cập nhật hay hấp dẫn liên quan đến vấn đề nêu B NỘI DUNG I PHẦN KIẾN THỨC CHUNG Cơ chế va chạm Thí nghiệm chứng tỏ rằng, hai vật va chạm nhau, chúng bị biến dạng nhẹ; bị dẹt lúc chúng có vận tốc Sau chúng lấy lại hình dạng ban đầu với mức độ nhiều khác xảy giật lùi xa Như va chạm bao gồm hai pha: pha nén pha dãn Thời gian va chạm nhỏ so với toàn thời gian phân tích tượng Do coi va chạm xảy điểm không gian Ngoài biến thiên vận tốc hai vật lớn lực tương tác chúng lớn Các định luật động lực học áp dụng cho va chạm hai vật rắn ∆ p = ∑ Fex ∆t (1) ∆ L = ∑ M ex ∆t ( 2) Công thức (1) rút từ định luật II Newton áp dụng cho khối tâm, có liên quan đến chuyển động tịnh tiến khối tâm, với Fex ngoại lực tác dụng lên khối tâm Còn công thức (2) liên quan đến chuyển động quay Khảo sát va chạm phương diện lượng 3.1 Định lí động ∆K = Aex + Ain Trong ngoại lực nhỏ nhiều so với nội lực nên công không đáng kể công lực va chạm công âm ma sát hệ chịu biến dạng chỗ tiếp xúc hệ tiêu thụ phần động năng: ∆K = Ain ≤ 3.2 Sự va chạm đàn hồi không đàn hồi 3.2.1 Định nghĩa: Sự va chạm đàn hồi động toàn phần hai vật bảo toàn: ∆K = Trong tất trường hợp khác, va chạm không đàn hồi Phần động cho phép thay đổi tính chất hai vật cách làm cho chúng biến dạng, làm vỡ chúng thành mảnh hay làm tăng nhiệt độ chúng Trong nhiệt động lực học, người ta nói nội hệ thay đổi tương tác 3.2.2 Hệ số hồi phục lượng: Va chạm không đàn hồi đặc trưng tỉ số: ε= K' với < ε < K ε=1: va chạm đàn hồi ε=0: va chạm hoàn toàn không đàn hồi, toàn động sử dụng bị 3.2.3 Hệ số hồi phục thành phần pháp tuyến vận tốc tương đối e=− (v'1 − v'2 ) n u' =− u (v1 − v2 ) n 3.2.4 Cách xác định hệ số hồi phục thực nghiệm Người ta thả rơi cầu từ độ cao h xuống phẳng nằm ngang cố định đo độ cao h’ mà vật nảy lên được: ε= v '12 h' v' = →e= = ε v1 h v1 II MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP VA CHẠM THƯỜNG GẶP Va chạm trực diện 1.1 Định nghĩa Sự va chạm coi trực diện nếu: * tiếp xúc xảy đường thẳng nối hai khối tâm G1 G2 * pháp tuyến chung chỗ tiếp xúc đường thẳng nối khối tâm G1 G2 * lúc va chạm hai vật chuyển động tịnh tiến song song với đường thẳng 1.2 Bài toán đặt là: Xác định vận tốc sau va chạm hai vật v'1 , v'2 theo vận tốc trước va chạm v1 ,v2 Trước tiên ta áp dụng công thức ∆ L = M G ∆t Trước va chạm hai vật chuyển động tịnh tiến mô men động lượng Khi va chạm, lực vật tác dụng lên vật có giá qua khối tâm nên mô men lực khối tâm G Do vậy, sau va chạm mômen động lượng hai vật chuyển động tịnh tiến Tiếp đến ta áp dụng công thức: ∆ p = F ∆t Bằng cách chiếu phương trình lên trục vuông góc với trục G 1G2 ta suy chuyển động tịnh tiến hai vật rắn sau va chạm song song với G 1G2 Bằng cách chiếu ∆ p = F ∆t lên trục G1G2 ta được: m1 (v'1 −v1 ) = F ∆t (1) m2 (v'2 −v2 ) = − F ∆t (2) Ngoài ra, ta cần có thêm phương trình liên quan đến mức độ đàn hồi va chạm: v '2 −v '1 = −e(v2 − v1 ) (3) Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ta được: v '1 = m1v1 + m2v2 em2 − (v1 − v2 ) m1 + m2 m1 + m2 v '2 = m1v1 + m2v2 em1 + (v1 − v2 ) m1 + m2 m1 + m2 F ∆t = −(1 + e) K1 − K = m1m2 (v1 − v2 ) m1 + m2 m1m2 (v1 − v2 ) 2 m1 + m2 Xét trường hợp e=1 e=0 ta suy phương trình tương ứng quen thuộc mà ta biết Va chạm thẳng không xuyên tâm Trong trường hợp hai vật chuyển động tịnh tiến song song với đường va chạm đường không qua hai khối tâm Gọi M điểm tiếp xúc, pháp tuyến với mặt phẳng tiếp xúc chung M không qua G1 lẫn G2 Trước hết ta áp dụng phương trình ∆ p = F ∆t ta được: m1 (v'1 −v1 ) = F ∆t (1) m2 (v'2 −v2 ) = − F ∆t (2) Trong v’1, v’2 vận tốc khối tâm G1, G2 sau va chạm tức vận tốc phần chuyển động tịnh tiến Vì lực F –F không qua khối tâm nên vật quay quanh trục qua khối tâm vuông góc với mặt phẳng qua G đường va chạm Áp dụng công thức ∆ L = M G ∆t ta có: I1ω1 = F a1.∆t (3) I 2ω = F a2 ∆t (4) Từ ta có phương trình với ẩn số Do muốn giải ta cần phải biết đến mức độ đàn hồi va chạm Gọi M 1, M2 hai điểm thuộc hai vật tiếp xúc M; u 1, u2 hình chiếu vận tốc chúng sau va chạm lên hướng F ta có: u − u1 = −e(v2 − v1 ) Như biết, sau va chạm hai vật chuyển động vừa tịnh tiến vừa quay quanh khối tâm nên ta có: u1 = v'1 +ω1a1 (*) u = v '2 +ω a2 (v '2 +ω a2 ) − (v'1 +ω1a1 ) = −e(v2 − v1 ) Với phương trình ta giải toán chuyển động thẳng không xuyên tâm Tuy nhiên ta tính u1, u2 theo cách sau Kết hợp (1) với (*) ta được: v'1 = u1 − ω1a1 m1 (v'1 −v1 ) = m1 (u1 − ω1a1 − v1 ) = F ∆t Kết hợp với (3) ta có được: F ∆t.a12 m1u1 − m1 − m1v1 = F ∆t I1 m1 (u1 − v1 ) = F ∆t ( m1a12 + 1) I1 Đặt I1 = m1k12 ta được: m1 (u1 − v1 ) = F ∆t ( → a12 + 1) k12 m1 (u1 − v1 ) = F ∆t a12 1+ k1 Tương tự: m2 (u − v2 ) = − F ∆t a22 1+ k2 So sánh hai biểu thức ta có nhận xét: ta thay hai khối lượng m m2 m1 m2 2 + a1 + a2 vận tốc u1 u2 nhận giống công thức k12 k 22 cho va chạm trực diện III MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Một cầu nhỏ đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R = 0,1 m thả rơi từ độ cao h = m với vận tốc ban đầu tâm cầu không xuống mặt sàn cố định (Hình 1) Nếu lúc đầu (khi bắt đầu thả) cầu không quay sau va chạm với h mặt sàn bị nảy lên theo phương thẳng đứng tới độ cao cực đại 0,81 m Nếu lúc đầu cầu quay quanh trục nằm ngang qua tâm cầu với vận tốc góc ω0 = 60 rad/s sau va chạm với Hình mặt sàn, cầu chuyển động nào? Tìm khoảng cách điểm va chạm lần thứ lần thứ hai cầu với mặt sàn Cho hệ số ma sát cầu sàn µ = 0,2; g = 10m/s2 Bỏ qua lực cản không khí Giải: Nếu lúc đầu cầu không quay, vận tốc trước sau va chạm lần thứ v = gh = m / s , u = g.0,81h = 0,9 gh = 3,6 m / s Nếu cầu quay với vận tốc góc ω0: ∆t Theo phương thẳng đứng: ∫ Ndt = m( gh + gh' ) ∆t µ ∫ Ndt = mv x → v x = µ ( gh + gh' ) (1) Ta tìm ω0 =ω1 ban đầu để tượng vừa lăn vừa trượt dừng trình va chạm vừa kết thúc Ta có: ∆t µ ∫ Ndt = mv x (2) ∆t v   Rµ ∫ Ndt =  ω1 − x  (3) R  Giải hệ (1), (2) (3) ta có ω1 = µ (v + u )( I + mR ) µ (v + u ) = = 53,2 rad / s < ω0 IR 2R Vậy cầu vừa lăn vừa trượt đến có vận tốc góc ω’ (ứng với vận tốc theo phương ngang v’x =ω’R) ngừng trượt lăn không trượt Tìm v'x ∆t µ ∫ Ndt = mv' x (3) ∆t v'   Rµ ∫ Ndt =  ω0 − x  (4) R  v' x = RIω0 = Rω0 I + mR Khi vận tốc cầu theo phương thẳng đứng u = 2gh' Quả cầu bắn lên hợp với phương thẳng đứng góc α xác định phương v Rω y trình tan α = v = Quỹ đạo cầu parabol Khoảng cách hai gh' x điểm va chạm với sàn là: l = v' x 2v y g = Rω0 gh' ≈ 1,24 m 7g Bài 2: Một khung hình chữ thập đặt mặt phẳng nằm A ngang nhẵn quay không ma sát quanh trục thẳng đứng cố định qua A (Hình 2a) Mỗi  v0 A 3r P r Hình 2a khung chữ thập đồng chất, Hình 2b tiết diện có khối lượng m chiều dài 4r Một đĩa tròn bán kính r, khối lượng m chuyển động tịnh tiến thẳng v với vận tốc v0 đến va chạm vào điểm P khung vị trí hình vẽ Cho biết hệ số khôi phục e va chạm không ma sát Hãy xác định: a) Tốc độ góc ω1 khung chữ thập vận tốc khối tâm đĩa v1 sau va chạm b) Tỷ số m1 cho khung quay góc 900 đến vị trí hình 2b lại va chạm m vào đĩa Giải: a) Hệ khảo sát khung chữ thập đĩa tròn Điểm P tâm va chạm Áp dụng định lý biến thiên mô men động lượng ta có: 3rmv0 = 3rmv1 + I Aω1 (1) với I A = 4m1 (4r ) 64m1r = 3 Mặt khác, hệ số khôi phục: e = − (2) v1 − vP' , đó: vP = 0; vP' = 3rω1 v0 − v P Suy ra: v1 = 3rω1 − ev0 (3) 3rm(1 + e) 9r m − eI A ω = v v = Từ (1) (3) ta có: 9r m + I 9r m + I A A (4) b) Để cho chữ thập quay quanh A ngược chiều kim đồng hồ góc 90 đến vị trí lại va đập vào đĩa tròn khoảng thời gian khối tâm đĩa phải di chuyển đoạn 2r π v1 4r Ta có: τ = = 2r ⇒ ω = π (5) ω1 v1 4r 9r m − eI A ⇒ I A = 4r m [ 3π − 4(1 + e)] = Thay (4) vào (5) ta được: π 3rm(1 + e) eπ Từ (2) (6) suy ra: (6) m1 9[ 3π − 4(1 + e)] = m 64eπ Bài 3: Một cầu đặc đồng chất có khối ω0 lượng m, bán kính R Cho cầu quay quanh trục nằm ngang qua tâm đứng yên với tốc độ góc ω0 buông nhẹ cho h θ rơi xuống sàn nằm ngang Độ cao điểm a2h thấp cầu bắt đầu rơi h (hình 3) Quả cầu va chạm vào sàn nẩy lên tới độ cao a2h, tính cho điểm thấp Hình Trong thời gian va chạm cầu trượt sàn Bỏ qua lực cản không khí biến dạng cầu sàn va chạm Thời gian va chạm bé hữu hạn Gia tốc trọng trường g, hệ số ma sát trượt cầu sàn µ Hãy tìm: a) điều kiện ω0 để xẩy trượt trình va chạm b) tanθ, với θ góc nẩy lên hình c) quãng đường nằm ngang d mà tâm cầu lần va chạm thứ đến lần va chạm thứ hai Giải: Vận tốc khối tâm trước va chạm là: v0 = gh (1) Gọi vận tốc khối tâm sau va chạm theo trục Ox nằm ngang Oy theo phương thẳng đứng là: vx, vy, thời gian va chạm ∆t Áp lực cầu lên sàn va chạm N >> mg nên ta bỏ qua mg Áp dụng định luật bảo toàn năng: mv y2 = mga h → v y = −a gh (2) Theo trục 0y: mv0 − mv y = N ∆t → m(1 + a) gh = N ∆t (3) Theo trục 0x: mvx = Fms ∆t = µN ∆t (4) Áp dụng phương trình động lực học vật rắn: ∆L = M ∆t → I (ω0 − ω ) = RFms ∆t = µRN ∆t (5) Từ (3) (4) → v x = µ (1 + a) gh (6) Từ (3) (5) → I (ω0 − ω ) = µmR(1 + a) gh → ω = ω0 − 5µ (1 + a ) gh (7 ) 2R a) Quả cầu trượt suốt thời gian va chạm: ωR > vx → ω0 > v x b) Góc nảy: tan θ = − v = y µ (1 + a ) gh 2R µ (1 + a ) a c) Khoảng thời gian nảy lên rơi xuống là: ∆t = − 2v y g Quãng đường nằm ngang hai lần va chạm: d = v x ∆t = 4µ (1 + a)ah Bài 4: Một cầu đặc, đồng chất, khối lượng m bán kính R quay với tốc độ góc ω0 quanh trục qua khối tâm cầu lập với phương thẳng đứng góc α Tốc độ tịnh tiến ban đầu khối tâm cầu không Đặt nhẹ cầu lên mặt bàn nằm ngang Hãy xác định tốc độ khối tâm cầu động cầu thời điểm ngừng trượt mặt bàn Bỏ qua ma sát lăn Giải: Phân tích ω0 thành hai phần: * Thành phần ω1 = ω0 cosα hướng theo phương thẳng đứng, thành phần có giá trị không đổi (do lực gây mômen cản trở thành phần chuyển động quay này) Động ứng với thành phần là: 12 E Đ1 = I1ω12 = mR 2ω02cos 2α = mR 2ω02 cos α 25 * Thành phần ω2 = ω0 sin α thay đổi mômen lực ma sát trượt Fms, gọi v ω tốc độ tịnh tiến khối tâm tốc độ góc theo phương ngang cầu bắt đầu lăn không trượt, ta có: v = ωR Phương trình chuyển động quay: Fms R = −I2 (*) dω dω dω = − mR ⇒ Fms = − mR dt dt dt dv Phương trình định luật II Newton: Fms = m dt ; ω v 2 Suy ra: dv = - Rd ω ⇒ ∫ dv = − R ∫ dω ⇒ v = R(ω2 − ω) 5 ω (**) 2 7 Từ (*) (**) rút ω = ω2 = ω0 sin α v = R ω = Rω0 sin α Vậy động cầu thời điểm ngừng trượt là: EĐ = EĐ1 + mv + I 2ω2 2 2 1 2  2  = mR 2ω02 cos α + m  Rω0 sin α ÷ + mR  ω0 sin α ÷ 7    = mR 2ω02 (5cos 2α + 2) mR 2ω02 cos α + m(Rω0 sin α) = 35 35 Vậy vận tốc động cầu thời điểm ngừng trượt là: v= mR 2ω02 (5cos α + 2) Rω0 sin α EĐ = 35 Bài 5: A Một AB đồng chất, tiết diện đều, chiều dài l, khối lượng m, đứng mặt phẳng ngang nhẵn Một v 10 Hình B r cục nhựa đường nhỏ có khối lượng m, bay với vận tốc v vuông góc với AB đến va chạm mềm vào đầu B (Hình 4) a) Tính vận tốc khối tâm hệ sau va chạm b) Tính tốc độ góc thanh, vận tốc đầu A sau va chạm phần động bị va chạm c) Ngay sau va chạm có điểm C có vận tốc tuyệt đối không Xác định vị trí C Giải: a) Trước va chạm có khối tâm nằm trung điểm O Ngay sau va chạm hệ có khối tâm G, chuyển động tịnh tiến với vận tốc vG chuyển động quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục quay qua khối tâm Áp dụng công thức xác định vị trí khối tâm hệ ta tìm vị trí khối tâm hệ nằm cách B l/4 Hệ kín nên động lượng hệ bảo toàn: mv=(M+m)vG → VG=v/2 (1) b) Mômen động lượng hệ trước sau va chạm là: L1=mvl/4, L2=Iω I momen quán tính hệ trục quay qua G Áp dụng định lí Stainơ ta có: I=m l2 l l + m( ) + m( ) = ml 12 4 24 Áp dụng định luật bảo toàn momen động lượng ta có: L2= L1 → ωI=mvl/4 → ω 6v ml = mvl/4 → ω= 24 5l Vận tốc tuyệt đối đầu A: ur ur ur V A = V A / G + V G ; VG vận tốc G sàn ur ur Do V A / G ↑↓ V G nên VA=VA/G-VG=ω.GA-v/2= 6v 3l v 2v - = 5l Động bị va chạm là: ∆Wđ=Wđ0-Wđ= mv v ω mv − m( ) − I = 2 2 10 c) Vận tốc tuyệt đối điểm C cách G khoảng x là: vC=vG-x.ω Vì VC = → vG = x.ω → x = vG/ω = 5l 12 M Bài 6: O Một mảnh đồng chất khối lượng M chiều dài L=0,3 m quay không ma sát quanh trục O cố định nằm ngang qua 11 m2 k m Hình đầu Từ vị trí nằm ngang, đầu lại thả Khi tới vị trí thẳng đứng va chạm hoàn toàn đàn hồi với vật nhỏ (coi chất điểm) khối lượng m1 = M nằm mặt bàn Cho m1=m=120g, gia tốc trọng lực g=10 m/s2 Mômen quán tính trục quay qua đầu O I = ML2 a) Xác định vận tốc vật m1 sau va chạm b) Vật m1 gắn với m2=m1 qua lò xo có độ cứng k=150 N/m, khối lượng không đáng kể (Hình 5) Xác định biên độ dao động m m2 sau va chạm Bỏ qua ma sát Giải: a) Động quay M trước va chạm: I ω = MgL → ω = 2 MgL 3g = I L Động m1 M sau va chạm: 1 mv + I ω '2 = I ω (1) 2 Mômen động lượng sau va chạm: MvL + I ω ' = I ω (2) Từ (1) (2) ta có: v = M gL = 3m / s M + 3m b) Sau va chạm, khối tâm G hệ (m1+m2) chuyển động với vận tốc V mà: 2mV=mv → V = v = 1,5m / s Trong HQC gắn với khối tâm G, hai vật có khối lượng nên ta xem dao động m1, m2 dao động m gắn với lò xo có đầu G cố định có độ cứng k’=2k Gọi A biên độ dao động vật, theo định luật bảo toàn ta có: 1 mv = 2mV + k ' A2 → A = 0, 03m 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bồi dưỡng HSG Vật lí THPT – Cơ học – GS Tô Giang – NXBGD 2009 Chuyên đề va chạm vật rắn – GS Tô Giang 12 ... dao động vật, theo định luật bảo toàn ta có: 1 mv = 2mV + k ' A2 → A = 0, 03m 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bồi dưỡng HSG Vật lí THPT – Cơ học – GS Tô Giang – NXBGD 2009 Chuyên đề va chạm vật rắn – GS... tâm hệ sau va chạm b) Tính tốc độ góc thanh, vận tốc đầu A sau va chạm phần động bị va chạm c) Ngay sau va chạm có điểm C có vận tốc tuyệt đối không Xác định vị trí C Giải: a) Trước va chạm có khối... Trước va chạm hai vật chuyển động tịnh tiến mô men động lượng Khi va chạm, lực vật tác dụng lên vật có giá qua khối tâm nên mô men lực khối tâm G Do vậy, sau va chạm mômen động lượng hai vật chuyển