CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI NĂM 2013 HỆ THỐNG BÀI TẬP ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ LÍ TƯỞNG A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Việc viết chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi hàng năm việc làm cần thiết giáo viên giảng dạy trường chuyên Hưởng ứng phong trào viết chuyên đề Hội trường chuyên Duyên hải, xin trao đổi với đồng nghiệp hệ thống tập nâng cao phần Nhiệt học Các tập sưu tầm tích lũy từ nhiều nguồn khác Các tập có đáp án chi tiết II Mục đích đề tài: Xây dựng hệ thống tập “ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ LÍ TƯỞNG” để bồi dưỡng học sinh giỏi cấp B PHẦN NỘI DUNG Phần 1: Cơ sở lý thuyết I Phương trình trạng thái Phương trình Cla pê rôn - Men đê lê ep (phương trình C – M) m pV = RT ; R: số khí R = 8,31J / mol.K µ ⇒ Với lượng khí xác định ( m, µ = cos nt ): pV = const T II Nguyên lí I Công thức nguyên lí I ∆U = Q + A ∆U : Độ biến thiên nội hệ Q: Nhiệt lượng mà hệ nhận A: Công mà hệ nhận Công nhiệt lượng a Công: Công A’ mà hệ sinh trình đẳng áp A' = p (V2 − V1 ) Công A’ mà hệ sinh trình cân bất kì: V2 A' = ∫ pdV V1 Có thể xác định A’ đồ thị Công mà hệ nhận được: A = − A' b Nhiệt lượng δQ +) Nếu truyền nhiệt lượng δQ cho hệ làm nhiệt độ hệ tăng lên dT tỉ số C = dT gọi nhiệt dung hệ +) C = υC1mol ; C1mol: nhiệt dung mol +) C = mc ; c: nhiệt dung riêng +) Nhiệt dung phụ thuộc trình biến đổi hệ VD: mol khí nhiệt dung mol đẳng áp Cp khác với nhiệt dung mol đẳng tích CV Ứng dụng nguyên lý I a Độ biến thiên nội Áp dụng nguyên lí I cho trình đẳng tích ⇒ Độ biến thiên nội chất khí nhiệt độ thay đổi từ T1 đến T2: ∆U = υCV (T2 − T1 ) i CV = R ; i: Số bậc tự Với khí đơn nguyên tử: i = Với khí lưỡng nguyên tử: i = b) Hệ thức May – e Cp CV C p − CV = R c) Quá trình đoạn nhiệt cân pV γ = const C i+2 γ= p = CV i III Áp dụng nguyên lí I cho chu trình Chu trình trình mà trạng thái cuối trùng với trạng thái đầu Chu trình cân biểu diễn đồ thị đường cong khép kín Lượng khí biến đổi theo chu trình gọi tác nhân Theo nguyên lí I: ∆U = Q + A = Q − A' mà ∆U = ⇒ Q = A' : Tổng đại số nhiệt lượng nhận Q = tổng đại số công sinh A’ Công A’ mà tác nhân sinh có độ lớn diện tích bao quanh đường biểu diễn chu trình hệ (p,V), có dấu (+) chu trình diễn biến theo chiều kim đồng hồ đường biểu diễn ngược lại Động nhiệt a Nguyên tắc hoạt động Tác nhân nhận nhiệt lượng Q1 từ nguồn nóng biến phần thành công A’ tỏa nhiệt lượng Q' cho nguồn lạnh Nguồn nóng T1 Q1 Tác nhân A’ Q2’ Nguồn lạnh T2 b Hiệu suất H= A' Q1 − Q2 ' = Q1 Q1 Nhắc lại: Nhiệt lượng trình +) Quá trình đẳng nhiệt: Q = A' ⇒ Khi dãn đẳng nhiệt khí nhận nhiệt , nén đẳng nhiệt khí tỏa nhiệt +) Quá trình đẳng tích: Q = ∆U ⇒ Khi nung nóng đẳng tích khí nhận nhiệt, làm lạnh đẳng tích khí tỏa nhiệt +) Quá trình đẳng áp: Q = ∆U + A' = CV (T2 − T1 ) + p(V2 − V1 ) ⇒ Khi nung nóng đẳng áp khí nhận nhiệt, làm lạnh đẳng áp khí tỏa nhiệt Chu trình Các – nô Chu trình Các – nô chu trình gồm có hai trình đẳng nhiệt xen kẽ với hai trình đoạn nhiệt Nếu động nhiệt hoạt động theo chu trình Các – nô H= A' Q1 − Q2 ' T1 − T2 = = Q1 Q1 T1 Phần 2: Hệ thống tập I Áp dụng phương trình trạng thái Bài Người ta chứa 20g khí heli xi lanh có pittong cho lượng khí biến đổi chậm từ trạng thái có V1 = 32l ; p1 = 4,1atm sang trạng thái có V2 = 9l ; p = 15,5atm Biết hệ trục (p,V) đồ thị biểu diễn trình biến đổi khí có dang hình vẽ Tìm nhiệt độ lớn mà khí đạt Đáp án: p Từ đồ thị có: p = aV + b (1) với a = 0,5atm / l ; b = 20atm Áp dụng phương trình C-M: pV = m RT (2) µ V thay (2) vào (1) µa µb V + V mR mR ⇒ Tmax = 490 K T= Bài 2: Có ba bình thể tích V1 = V , V2 = 2V , V3 = 3V thông với cách nhiệt Ban đầu bình chứa khí nhiệt độ T0 áp suất p0 Người ta hạ nhiệt độ bình xuống T1 = T0 nâng nhiệt độ bình lên T2 = 1,5T0 , bình lên T3 = 2T0 Tính áp suất p? Đáp án Gọi n số mol khí ba bình tích V1 + V2 + V3 = 6V , áp suất p0 nhiệt độ 6p V T0 Ta có n = RT Về sau, bình (thể tích V) chứa n1 mol khí áp suất p nhiệt độ n1 = T0 Ta có 2 pV RT0 p.3V pV p.2V pV = Tương tự có n2 = R.1,5T = 3RT ; n3 = R.2T0 RT0 0 6p V pV pV pV Có n = n1 + n2 + n3 ⇒ RT = RT + 3RT + RT 0 0 ⇒ p= 36 p0 29 Bài 3: Hai bình tích V1 = 40dm V2 = 10dm thông với ống có khóa ban đầu đóng Khóa mở p1 ≥ p2 + 105 Pa p1 áp suất khí bình 1; p2 áp suất khí bình Ban đầu, bình chứa khí áp suất p0 = 0,9.10 Pa nhiệt độ T0 = 300 K Trong bình chân không Người ta nung nóng hai bình từ T0 lên T = 500 K a) Tới nhiệt độ khóa mở? b) Tính áp suất cuối bình Đáp án: a) Khóa ban đầu đóng mở p1 = p2 + 10 Pa ; ban đầu p2 = ⇒ p1 = pm = 105 Pa Từ ban đầu khóa mở, khí bình bị nung nóng đẳng tích Có p0 p m = ⇒ Tm = 333K T0 Tm Khóa mở, khí bình lọt sang bình làm cho áp suất bình ( p1 ) tụt xuống nên ∆p = p1 − p2 nhỏ 105 Pa khóa lại đóng lại Nhưng tiếp tục nung p1 lại tăng, khóa lại mở Có thể coi khóa giữ cho chênh lệch áp suất ∆p = 105 Pa b) Tới nhiệt độ T = 500 K áp suất bình p , bình ( p + ∆p) Gọi n tổng số mol khí, n1 n2 số mol khí hai bình lúc Lúc đầu: Số mol khí bình n; số mol khí bình Áp dụng phương trình trạng thái: pV bình lúc đầu p0V1 = nRT0 ⇒ n = RT bình lúc sau ( p + ∆p)V1 = n1 RT ⇒ n1 = bình lúc sau p V2 = n2 RT ⇒ n2 = Có n = n1 + n2 ⇒ ( p + ∆p)V1 RT p V2 RT p V2 p0V1 ( p + ∆p)V1 = + RT0 RT RT Thay số, rút p = 0,4.10 Pa Vậy áp suất bình p = 0,4.10 Pa ; bình p + ∆p = 1,4.10 Pa Bài 4: Hai bình giống nối với ống có van cho khí từ bình sang bình hiệu áp suất ∆p ≥ 1,1atm Lúc đầu bình chân không, bình khí lí tưởng nhiệt độ t1 = 27 C áp suất p1 = 1,00atm Sau đó, hai bình đốt nóng tới nhiệt độ t = 107 C Hãy tìm áp suất khí bình mà trước chân không Đáp án µp V Từ phương trình trạng thái suy m = RT Tại nhiệt độ T2, bình có m1 = µ ( p + ∆p)V RT2 µpV bình có m2 = RT Vì m1 + m2 = m ⇒ p1 p + ∆p p p + ∆p = + = T1 T2 T2 T2  1 pT ⇒ p =  − ∆p   T1  Thay số p ≈ 0,0833atm Bài 5: Hình bên sơ đồ nén không khí vào bình tích V bơm tích v Khi pittông sang bên phải van A đóng không cho không khí thoát A khỏi bình đồng thời van B mở cho V không khí vào xi lanh B Khi pittông sang bên trái van B đóng, van A mở, pittông nén không khí vào bình a) Ban đầu, pittông vị trí áp suất bình p0, áp suất khí pk Tính số lần phải ấn pittông để áp suất bình có giá trị cuối pc Người ta ấn chậm để nhiệt độ bình không đổi b) Bố trí lại van hình bên rút không khí bình Ban đầu, pittông A vị trí áp suất bình p0, Tính số V lần cần kéo pittông để áp suất bình giảm r lần, pc = p0 Áp dụng số r = 100 ; r B V = 10v Đáp án Gọi m khối lượng khí xi lanh (thể tích v, áp suất pk); µ khối lượng mol m không khí Có pk v = µ RT (1) Tại thời điểm đó, gọi M không khí có bình (thể tích V, áp M suất p) pV = µ RT (2) Mỗi lần ấn pittông, đưa vào bình lượng không khí có khối lượng m ⇒ khối lượng khí bình ( M + m) áp suất tăng thêm ∆p Phương trình trạng thái sau lần ấn pittông ( p + ∆p)V = M +m RT (3) µ Đặt (1), (2) vào vế phải (3) ( p + ∆p )V = pV + pk v ⇒ ∆p = p k.v V Sau lần ấn pittông áp suất bình tăng thêm ∆p Vậy số lần cần ấn pittông n= pc − p0 ( pc − p0 )V = ∆p pk v b) Gọi p áp suất bình trước kéo pittông, M khối lượng không khí M Có pV = µ RT (4) Khi kéo, thể tích V thành (V + v) ; áp suất thành p' ; khối lượng không khí M M Ta có p' (V + v) = µ RT (5) Đặt (4) vào vế phải (5) p ' (V + v) = pV ⇒ p' V = p V +v  V   Nếu pn V + v  Tức sau lần kéo pittông, áp suất khí lại giảm theo tỉ số  áp suất sau kéo n lần pn p p p  V  = n n −1 =   p0 p n−1 p n−2 p0  V + v  n log r n p0 V +v ⇒ n=  V + v  Nếu pn = r =   log   r V    V  Áp dụng số n ≈ 48 lần Bài 6: Một xi lanh kín hình trụ chiều cao h , tiết diện S = 100cm đặt thẳng đứng Xi lanh chia thành hai phần nhờ pittông cách nhiệt khối lượng m = 500 g , kích thước pittông không đáng kể Khí hai phần loại nhiệt độ 27 C có khối lượng m1 , m2 với m2 = 2m1 Pittông cân cách đáy 3h đoạn h2 = m1 m2 h1 h2 h a) Tính áp suất khí hai phần xi lanh Lấy g = 10m / s b) Để pittông cách hai đáy xi lanh phải nung nóng phần nào, đến nhiệt độ bao nhiêu? (Phần lại giữ nhiệt độ không đổi) Đáp án: a) Có h2 = 0,6h ⇒ h1 = 0,4h t1 = 27 C ⇒ T1 = 300 K Áp dụng phương trình Men đê lê ép – Cla pê rôn cho khí hai phần nhiệt độ T1 = 300 K p1V1 = p2V2 = m1 m RT1 ⇒ p1 0,4hS = RT1 µ µ m2 m RT1 ⇒ p2 0,6hS = RT1 µ µ Chia vế cho vế 0,4 p1 m1 = = ⇒ p = p1 (1) 0,6 p m2 Khi pittông cân bằng: p2 = p1 + mg (2) S Giải hệ hai phương trình (1) (2) 3mg 4mg = 1500( Pa ) ; p = = 2000( Pa) S S b) Do h1 < h2 nên phải nung nóng phần khí (m1) p1 = Với khối khí có nhiệt độ không đổi nên: p 2V2 = p' V '2 ⇒ p Sh2 = p' Sh'2 mà h2 = 0,6h ; h'2 = 0,5h p2 = 2400( Pa) mg = 1900( Pa) Có p1 ' = p2 '− S ⇒ p'2 = Áp dụng phương trình trạng thái cho khối khí trên: p1V1 p '1 V '1 p' V ' p ' 0,5hS = T1 = 475 K ⇒ T '1 = 1 T1 = T1 T '1 p1V1 p1 0,4hS ⇒ t '1 = 202 C Bài 7: Một xilanh đặt thẳng đứng, kín hai đầu, chia thành hai phần pittông khối lượng M, cách nhiệt Pittông di chuyển không ma sát Người ta đưa vào phần khí hiđrô nhiệt độ T , áp suất p ; phần khí oxi nhiệt độ 2T Lật ngược đáy lên Để pittông vị trí chia xilanh thành hai phần nhau, người ta hạ nhiệt độ khí oxi đến T Nhiệt độ khí hiđrô giữ cũ Hãy xác định áp suất khí oxi trạng thái ban đầu lúc sau 5 ĐS: p1 = p ; p2 = p Đáp án: Khí hiđro có nhiệt độ thể tích không đổi nên áp suất hai trạng thái Gọi p1, p2 áp suất khí oxi trạng thái Phương trình cân pittong hai trạng thái: ( p1 − p ) S = Mg ( p − p ) S = Mg (S: tiết diện pittong) ⇒ p1 + p2 = p (1) Áp dụng phương trình Men đê lê ép – Cla pê rôn cho khí oxi hai trạng thái: p1V = υR.2T T p 2V = υR ⇒ p1 = p2 (2) Giải hệ (1) (2) được: p1 = p ; p2 = p Bài 8: Một pittông nặng dịch chuyển không ma sát xilanh thẳng đứng Trên pittông chứa mol chất khí V1 V1 Khi nhiệt độ T, tỉ số thể tích V = Hỏi cần tăng V2 nhiệt độ lên lần để tỉ số 1,5? Bỏ qua dãn nở xilanh Đáp án Gọi p1 , p2 , p1 ' , p2 ' , V1 , V2 , V1 ' , V2 ' áp suất thể tích ngăn ngăn ứng với nhiệt độ T T’ p − p1 = p2 '− p1 ' = p pt (1) p1V1 = p1 (2) V2 p'1 V '1 (3) = p'1 p1 'V '1 = p2 'V '2 = RT ' ⇒ p '2 = V '2 (4) V1 + V2 = V '1 +V2 ' ⇒ V1 = V '1 p' Thay (2) (3) vào (1) p1 = (5) p1V1 = p 2V2 = RT ⇒ p = Nhân (5) với (4) theo vế 5 T ' 18 p1V1 = p '1 V '1 ⇒ RT = RT ' ⇒ = = 1,8 6 T 10 Bài 9: Trong ống hình trụ thẳng đứng với hai tiết diện khác có hai pittông nối với sợi dây nhẹ, căng, không dãn Giữa hai pittông có mol khí lí tưởng Pittông có tiết diện lớn pittông ∆S = 10cm Áp suất khí bên p0 = 105 Pa a) Tính áp suất p khí hai pittông b) Phải làm nóng khí thêm độ để pittông dịch chuyển lên đoạn l = 5cm Biết khối lượng tổng cộng hai pittông m = 5kg Khí không lọt Đáp án a) Có S1 − S = ∆S m = m1 + m2 Điều kiện cân hai pit tông: m1 g T + ⇒ T = S1 ( p − p0 ) − m1 g (1) S1 S1 m g T p + = p0 + ⇒ T = S ( p − p0 ) + m2 g (2) S2 S2 Từ (1) (2) ⇒ ( S1 − S )( p − p0 ) = (m1 + m2 ) g = mg mg ⇒ p= + p0 ≈ 1,5.10 Pa ∆S p = p0 + b) Khi làm nóng khí pittông dịch chuyển lên đoạn l Muốn pittông cân vị trí p ' = p (p’: áp suất chất khí sau dịch pittông) Theo phương trình C – M: pV = RT p ' (V + ∆V ) = R (T + ∆T ) ∆V p ⇒ ∆T = T = ∆V V R mà ∆V = l.∆S ∆S l ⇒ ∆T = p ≈ 0,9 K R Bài 10: Một bình dạng hình trụ ngăn thành hai phần pittông nhẹ, dẫn nhiệt Pittông chuyển động không ma sát Một phần bình chứa không khí, phần chứa nước nước Nung nóng từ từ toàn bình, pittông bắt đầu chuyển động Khi dừng lại, phần thể tích bình có tỉ lệ 1:3 Hãy xác định tỉ số khối lượng nước khối lượng nước ban đầu Cho hai phần bình nhiệt độ Thể tích nước nhỏ Đáp án m V h +) Ban đầu nước trạng thái p1V1 = µ RT1 ; V1 = với V0 thể tích bình +) Khi nung nóng, nước bay hơi, thể tích nước tăng, pit tong dừng lại nước bay hết mn + mh 3V RT2 ; V2 = µ p1V1 p 2V2 p1 p2 Do (mn + mh ) T = mh T ⇒ (mn + mh ) T = mh T (1) 2 Có p2V2 = +) Khí phần bình kia: p1 (V0 − V1 ) p (V0 − V2 ) p p2 = (2) ⇒ 1= T1 T2 T1 T2 Từ (1) (2) suy ra: mn + mh = 3mh mn Vậy m = h Bài 11 : Trong xi lanh đặt thẳng đứng có chứa lượng khí, đậy phía pittông khối lượng m = 1kg , diện tích S = 10cm Pittông giữ lò xo L nhẹ, dài, độ cứng k = 100 N / m , đầu lò xo móc vào đinh cố định có độ cao khác hình vẽ Ban đầu, khí xi lanh tích 0,5l nhiệt độ 270 C Lò xo móc vào điểm O, bị nén đoạn 10cm 1) Nung nóng khí xi lanh đến nhiệt độ 1270 C Để vị trí pittông xi lanh không đổi, cần móc đầu lò xo vào điểm M cách O đoạn bao nhiêu, phía nào? 2) Nung nóng khí xi lanh lên đến nhiệt độ 2270 C Để pittông nằm vị trí phía cách vị trí ban đầu đoạn 50cm , phải móc đầu lò xo vào điểm N cách O đoạn bao nhiêu? Về phía nào? Biết áp suất khí p0 = 105 N / m Lấy g = 10m / s Đáp án: 1) Gọi p áp suất lúc đầu khí xi lanh Khi pit tong cân bằng: p = mg k∆l + + p0 = 1,2.10 ( N / m ) S S pit tong không dịch chuyển nên trình biến đổi trạng thái khí trình đẳng tích Áp suất khí lúc sau: T2 p = 1,6.10 ( N / m ) T1 mg k∆l ' + + p0 ⇒ ∆l '= 50cm Có p' = S S Vậy lúc sau lò xo bị nén 50cm ⇒ phải móc lò xo vào điểm M phía O cách O khoảng OM = 40cm V 2) Chiều cao ban đầu cột khí: h = = 50cm S p' = Khi pit tong dịch chuyển lên đoạn 50cm thể tích khí tăng gấp hai: V3 = 2V pVT Từ phương trình trạng thái ⇒ p3 = TV = 10 ( N / m ) Khi pit tong nằm cân bằng: p3 = mg k∆l3 + + p0 ⇒ ∆l3 = −10cm ⇒ lò xo dãn 10cm S S Vậy phải móc lò xo vào điểm N phía cách O khoảng ON = 50 + 10 + 10 = 70(cm) II Áp dụng nguyên lí I Bài 1: Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử chuyển từ trạng thái 1( p1 = p0 ;V1 = V0 ) sang trạng thái 2( p = p0 ;V2 = 2V0 ) với đồ thị đoạn thẳng cho hình vẽ Hãy xác định: a) Thể tích V’ nhiệt độ chất khí lớn b) Thể tích V * cho V1 < V < V * chất khí thu nhiệt V * < V < V2 chất khí tỏa nhiệt Đáp án p p0 p0 O V0 2V0 V 10 a) p = aV + b trạng thái 1: p0 = aV0 + b trạng thái 2: p0 = a 2V0 + b ⇒ p=− p0 V + p0 V0 pV Đối với mol khí pV = RT ⇒ T = R ⇒ (pV) đạt max ⇔ V ' = V0 (Suy điều cách: Cách 1: Xét tam thức bậc 2: pV = f (V ) = − p0 V + p0V V0 a < nên đạt max V ' = − b = V0 2a Cách 2: Trên đồ thị diện tích pV lớn V ' = V0 b) Xét trình từ V1 đến V Nhiệt lượng nhận Q = ∆U + A' 3 3 − p0V + p0V0 )V − p1V1 V0 đó: ∆U = R(T − T1 ) = pV − p1V1 = ( p0 + p p 15 p0 11 p0V0 V− ⇒Q=− 0V + 2V0 2 A' = (V − V0 ) Sau Q đạt max, V tiếp tục tăng Q giảm ⇒ từ trạng thái ứng với Qmax trở đi, chất khí thu nhiệt Vậy V* giá trị ứng với Qmax Vì Q(V) parabol có a'< ⇒ V * = − b' 15 = V0 2a ' thấy V * > V ' Bài 2: Với mol khí lí tưởng đơn nguyên tử, người ta thực trình hình vẽ p1 = 2atm = 2.10 Pa ; V1 = 1l ; p = 1atm ; V2 = 3l Hãy tính công mà khí thực trình khí nhận nhiệt Đáp án Xét xem giai đoạn khí nhận nhiệt +) Có : p = aV + b trạng thái 1: = a + b trạng thái 2: = 3a + b p p1 p2 V1 V2 V ⇒ p = −0,5V + 3,5 +) Xét trình từ V1 đến V Nhiệt lượng mà khí nhận Q = ∆U + A' = −V + 8,25V − 5,75 11 Qmax ↔ V = V0 = 4,125l Thấy V0 > V2 nên trình từ đến 2, Q tăng nên khí nhận nhiệt Do đó, công trình khí nhận nhiệt công toàn trình từ đến A = ( p1 + p2 )(V2 − V1 ) = 300 J Bài 3: Cho mol khí lí tưởng biến đổi theo chu trình − − − đồ thị p(T ) đó: − đoạn thẳng kéo dài qua O − đường thẳng song song với OT − cung parabol qua O Biết T1 = T3 = 300 K ; T2 = 400 K Tính công mol khí sinh Đáp án Cách 1: Tính công trình Cách 2: Xét đồ thị biểu diễn chu trình hệ (p,V) +) Quá trình – có phương trình T = − a p + b p ( Vì đồ thị qua gốc O) +) Phương trình C – M cho mol: pV = RT ⇒ p = − T T2 T1 O p p p2 p1 V b + a.R a O V3 V2 V Đây phương trình đường thẳng hệ (p,V) +) Chu trình 1-2-3-1 biểu diễn hệ (p,V) +) Công khí sinh chu trình A' = − S123 = − ( p2 − p1 )(V2 − V3 ) TT = − R(T2 − T1 − T3 + ) = −104( J ) T2 Bài 4: Tính hiệu suất chu trình cấu tạo từ hai đường đẳng áp hai đường đẳng nhiệt, tác nhân sinh công khí lí tưởng đơn p nguyên tử Cho biết T1 , T2 nhiệt độ p trình đẳng nhiệt − − , p11 , p áp suất hai trình đẳng áp 1− − Đáp án: Q2 Hiệu suất H = − Q Có Q1 = Q12 + Q23 với Q12 = υ R(T2 − T1 ) V3 p1 Q23 = υRT2 ln = υRT2 ln V2 p2 p2 O V1 V4 V2 V3 V 12 5 p  ⇒ Q1 = υR  (T2 − T1 ) + T2 ln  p2  2 Có Q2 = −(Q34 + Q41 ) 5 2 Tương tự, tính Q2 = υR  (T2 − T1 ) + T1 ln H= Từ suy T 2−T1 5(T2 − T1 ) T2 + p ln p2 p1   p2  Bài 5: Một hình trụ cách nhiệt chia thành hai phần tích V1; V2 nhờ cách nhiệt Phần chứa khí nhiệt độ T1 áp suất p1 Phần thứ chứa khí nhiệt độ T2 áp suất p2 Tìm nhiệt độ hình trụ bỏ cách nhiệt Đáp án Vì hình trụ làm vật liệu cách nhiệt nên áp dụng phương trình cân nhiệt cho hệ khí hai phần ta có cm1 (T − T1 ) = cm2 (T2 − T ) (1) Trong c nhiệt dung riêng khí ; m1, m2 khối lượng khí tương ứng hai phần hình trụ T nhiệt độ thiết lập hình trụ cân m1 T1 + T2 m2 Từ (1) suy T = m 1+ m2 Áp dụng phương trình trạng thái cho khí hai phần trước bỏ cách nhiệt: m1 m RT1 ; p2 V2 = RT2 µ µ m pVT ⇒ = 1 m2 p 2V2T1 T T ( p V + p2V2 ) ⇒T = 1 p1V1T2 + p 2V2T1 p1 V1 = Bài 6: Cho bình chân không cách nhiệt, bao quanh khí lí tưởng đơn nguyên tử có nhiệt độ T0 Tại thời điểm người ta mở van khí chiếm đầy bình Tìm nhiệt độ khí bình sau khí chiếm đầy bình Đáp án Khi mở van, khí tràn vào bình Quá trình diễn nhanh nên bỏ qua trao đổi nhiệt khí vào bình với khí bao quanh với thành bình Áp dụng nguyên lí I nhiệt động lực cho khí vào bình: A = ∆U (1) Trong A công áp lực khí bao quanh bình đặt vào khí có bình Khi lấp đầy bình, áp suất nhiệt độ khí bao quanh không thay đổi Để tìm công A, ta tưởng tượng bình nằm hình trụ lớn có pittông di động 13 Lực tác dụng lên pittông thực công A = p0V0 Với V0 thể tích quét pittông dịch chuyển, V0 không trùng với thể tích bình Công công áp lực khí bao quanh bình đặt vào khí có bình Áp dụng phương trình trạng thái có A = p0V0 = υRT0 (2) ∆U độ biến thiên nội khí vào bình ∆U = υ R (T − T0 ) (3) Thay (2), (3) vào (1) T = T0 Nhiệt độ khí chiếm đầy bình lớn nhiệt độ khí bao quanh bình Kết nhận không phụ thuộc thể tích bình áp suất p0 Nhiệt độ khí bình không phụ thuộc lấp đầy khí vào bình xẩy đến mà áp suất bình có áp suất khí môi trường bao quanh hay không van đóng trước đóng muộn Bài 7: Hai bình cách nhiệt nối với ống nhỏ có khóa Bình thứ tích V1 = 500l , chứa m1 = 16,8kg Nitơ áp suất p1 = 3.10 Pa Bình thứ hai tích V2 = 250l , chứa m2 = 1,2kg Argon áp suất p = 5.10 Pa Hỏi sau mở khóa cho hai bình thông nhau, nhiệt độ áp suất khí bao nhiêu? Cho biết nhiệt dung mol đẳng tích Nitơ C1 = R ; Argon C2 = R Khối lượng mol Nitơ µ1 = 28 g / mol , Argon µ = 40 g / mol Đáp án Gọi T1 T2 nhiệt độ tuyệt đối Nitơ Argon chưa mở khóa Ta có m pV 1 Số mol Nitơ là: µ = RT 1 m pV 2 Số mol Argon là: µ = RT 2 Nội Nitơ : U = m1 p V 5p V C1 T1 = C1 1 = 1 (1) µ1 R m1 p2V2 p2V2 Nội Argon : U = µ C2 T2 = C2 R = (2) Gọi T C nhiệt độ nhiệt dung đẳng tích hỗn hợp khí Nội hỗn hợp khí : m  m U = CT =  C1 + C T (3) µ2   µ1 Khi mở khóa, khí dãn nở không sinh công, hai bình lại cách nhiệt nên theo nguyên lí I nhiệt động lực học, nội bảo toàn : U = U + U (4) 14 p1V1 p2V2 + 2 = 306,7 K Từ (1), (2), (3) (4) ⇒ T = m m C1 + C µ1 µ2 Áp dụng phương trình trạng thái cho hỗn hợp khí : m m   m m  RT p (V1 + V2 ) =  +  RT ⇒ p =  +  = 2,14.10 Pa µ µ µ µ V + V     Bài 8: Một bóng đá khối lượng 800 g , đường kính 22cm bơm căng đến áp suất 2atm Tính nhiệt độ khí bóng lúc tiếp đất sau bóng rơi thẳng đứng từ độ cao 25m Cho vỏ bóng hoàn toàn mềm cách nhiệt Nhiệt độ ban đầu bóng 27 C Bỏ qua sức cản không khí Nhiệt dung mol đẳng tích không khí CV = 2,5R R = 8,31J / mol.K ; g = 10m / s ; 1atm = 10 Pa Đáp án Số mol khí bóng 4 d 3 p. π   pV υ= =  = 0,447 mol RT RT Khi bóng tiếp đất, bị bẹp, khí bóng bị nén đẳng tích đoạn nhiệt Áp dụng nguyên lí I nhiệt động lực học A = ∆U mgh = υCv ∆T mgh = 21,5( K ) ⇒ ∆T = υC v Vậy Tsau = 321,5( K ) hay 48,50 C Bài 9: Một xilanh cách nhiệt nằm ngang, thể tích V1 + V2 = V0 = 80l chia thành hai phần không thông với pittông cách nhiệt (hình vẽ) Pittông chuyển động không ma sát Mỗi phần xilanh có chứa mol khí lí tưởng đơn nguyên tử Ban đầu, pittông đứng yên, nhiệt độ hai phần khác Truyền cho khí bên trái nhiệt lượng Q = 120 J Hỏi có cân bằng, áp suất xi lanh lớn áp suất ban đầu bao nhiêu? V1 V2 Đáp án Gọi U U nội khí hai phần xi lanh Q = ∆U + ∆U = R( ∆T1 + ∆T2 ) (1) pV = Lúc đầu, có: 2RT1 pV2 = 2RT2 (2) Sau cung cấp nhiệt lượng có cân thể tích phần V1 + ∆V = V2 − ∆V Có: ( p + ∆p )(V1 + ∆V ) = R (T1 + ∆T1 ) (3) 15 ( p + ∆p )(V2 − ∆V ) = R (T2 + ∆T2 ) (4) Từ (2), (3) (4) suy ra: p∆V + V1∆p + ∆p.∆V = R∆T1 − p∆V + V2 ∆p − ∆p.∆V = R∆T2 ⇒ (V1 + V2 ).∆p = R (∆T1 + ∆T2 ) ⇒ ∆p = 2Q = 10 ( N / m ) 3V0 Bài 10: Một xilanh đặt cố định nằm ngang Xilanh chia làm hai phần pittông Phần xilanh bên trái chứa mol khí lí tưởng đơn nguyên tử Phần bên phải xilanh chân không, phần có lò xo gắn vào pittông thành xi lanh Ban đầu pittông giữ vị trí lò xo không biến dạng, khí có áp suất p1 , nhiệt độ T1 Sau đó, thả pittông Bỏ qua lực ma sát Sau thời gian chuyển động, pittông nằm yên vị trí cân Lúc đó, khí có áp suất p , nhiệt độ T2 thể tích tăng gấp đôi so với ban đầu Cho biết xi lanh cách nhiệt với môi trường ngoài; nhiệt dung xi lanh, pittông lò xo nhỏ, bỏ qua Hãy tính áp suất p nhiệt độ T2 Đáp án: Áp dụng nguyên lí I cho mol khí: Q = ∆U + A' (1) Với ∆U = CV (T2 − T1 ) ; A' = kx 2 Trạng thái cuối mol khí: p 2V2 = RT2 (2) ⇒ p 2 Sx = RT2 Khi pit tông vị trí cân bằng: RT2 2x RT Vậy A' = kx = p2 S = Từ (1) có CV (T2 − T1 ) + RT2 = ⇒ T2 = T1 Trạng thái đầu mol khí V p1V1 = RT1 ⇒ p1 = RT1 (3) Từ (2) (3) suy ra: p2 = p1 Bài 11: Một xi lanh kín hình trụ đặt thẳng đứng, bên có mộtpit tông nặng, trượt không ma sát Pittông đáy xi lanh nối với lò xo, khoảng 16 có chứa n = 2mol khí lí tưởng đơn nguyên tử thể tích V1 , nhiệt độ T1 = 27 C Phía chân không Ban đầu lò xo trạng thái không biến dạng Sau đó, truyền cho khí nhiệt lượng Q thể tích khí lúc V1 , nhiệt độ T2 = 147 C Cho thành xi lanh cách nhiệt, mát nhiệt không đáng kể R = 8,31( J / mol.K ) , CV = R Tìm Q nhiệt lượng truyền cho khí Đáp án: gọi m, S, k khối lượng, tiết diện pit tông, độ cứng lò xo Các trạng thái khí lúc đầu lúc sau (p1, V1, T1) (p2, V2, T2) Sau truyền cho khí nhiệt lượng pit tông dịch chuyển lên đoạn x V −V V2 − V1 1 ⇒x= = S S V ⇒ V1 = 3xS hay x = 3S Xét cân pit tông, có p1 = mg mg + kx ⇒ kx = ( p − p1 ) S ; p2 = S S Công mà khí thực được: 1 1 A' = mgx + kx = p1V1 + ( p − p1 )V1 = υR ( T1 + T2 ) 6 Độ biến thiên nội khí ∆U = υ R (T2 − T1 ) 13 Có Q = A'+ ∆U = υR( T2 − T1 ) = 4695,15( J ) Bài 12: Trong xi lanh thẳng đứng, thành cách nhiệt, có hai pittông: pittông A nhẹ (trọng lượng bỏ qua) dẫn nhiệt, pittông B nặng cách nhiệt B Hai pittông đáy xilanh tạo thành hai ngăn, ngăn chứa mol khí lí tưởng lưỡng nguyên tử có A chiều cao h = 0,5m Ban đầu, hệ trạng thái cân nhiệt Làm cho khí nóng lên thật chậm cách cho khí (qua đáy dưới) nhiệt lượng Q = 100 J Pittông A có ma sát với thành bình không chuyển động, pittông B chuyển động không ma sát với thành bình Tính lực ma sát tác dụng lên pittông A Đáp án Gọi nhiệt độ ban đầu hệ T0 , nhiệt độ sau T1 Áp suất ban đầu khí hai ngăn p0 Khí ngăn nóng đẳng áp từ nhiệt độ T0 đến nhiệt độ T1 , thể tích tăng từ V0 T đến V1 = V0 T , công A mà khí sinh 17 A = p0 (V1 − V0 ) = p0V0 ( T1 − 1) = R (T1 − T0 ) T0 T Khí ngăn nóng đẳng tích từ T đến T1 , áp suất tăng từ p0 đến p1 = p0 T Áp dụng nguyên lí I: Q = A + ∆U Mà ∆U = 2CV (T1 − T0 ) = 5R(T1 − T0 ) Vậy Q = R(T1 − T0 ) Lực ma sát tác dụng lên pit tông A T V F = ( p1 − p0 ) S = p0  − 1 = R (T1 − T0 ) h  T0  h Q 100 ⇒F= = N 6h Bài 13: Một xi lanh nằm ngang, bên có pittông ngăn xi lanh làm hai phần: Phần bên trái chứa khí lí tưởng đơn nguyên tử, phần bên phải chân không Hai lò xo k1 , k gắn vào pittông đáy xi lanh A hình vẽ Lúc đầu, pittông giữ vị trí mà hai lò xo chưa bị biến dạng, trạng thái khí lúc ( P1 , V1 , T1 ) Giải phóng pittông pittông vị trí cân bằng, trạng thái khí ( P2 ,V2 , T2 ) với V2 = 3V1 Bỏ qua lực ma sát Xilanh, pittông lò xo cách nhiệt P2 k1 k2 B T2 Hãy tính P T 1 Đáp án Khi pit tông VTCB, độ biến dạng lò xo x Có x = V2 − V1 2V1 = S S p S − k1 x = k x ⇒ p = (k1 + k ) x ( k + k )V = 2 (1) S S Áp dụng phương trình trạng thái T2 p p 2V2 p1V1 p pV p = = ⇒ = 1= ⇒ T1 p1 T2 T1 T2 T1V2 3T1 (2) Hệ không trao đổi nhiệt Q = ∆U + A = ⇒ A = −∆U 2(k1 + k )V12 1  2V1  mà A = (k1 + k ) x = (k1 + k )  = 2 S2  S  3 ∆U = υR (T2 − T1 ) = ( p2V2 − p1V1 ) = (3 p2 − p1 )V1 2 2 2(k1 + k )V1 ⇒ = ( p1 − p )V1 2 S 18 2(k1 + k )V1 (3) = ( p1 − p2 ) S p2 3 Thế (1) vào (3) ⇒ p2 = p1 − p2 ⇒ p = 11 2 T2 (2) ⇒ T = 11 ⇒ Bài 14: Xi lanh hình trụ, pittông vách ngăn (hình vẽ) chế tạo từ vật liệu cách nhiệt Van vách ngăn mở (1) (2) áp suất bên phải lớn áp suất bên trái Khi van mở không đóng lại Trong trạng thái đầu phần bên trái hình trụ dài l = 11,2dm có m1 = 12 g Heli; phần bên phải độ dài có m2 = g Heli Từ hai phía nhiệt độ 0 C Áp suất p0 = 105 Pa Nhiệt dung riêng Heli thể tích không đổi CV = 3,15.10 J / kg.đô , áp suất không đổi C p = 5,25.10 J / kg.đô Pittông dịch lại chậm theo hướng tới vách ngăn (có nghỉ nhỏ van mở ra) dịch sát tới vách ngăn Cho diện tích pittông S = 10 −2 m Tính công mà pittông thực Đáp án Xét khí xi lanh Công toàn phần thực khí: A = A1 + A2 (1) Với A1 công pittông thực A2 công áp lực khí quyển: A2 = p0 Sl (2) Độ biến thiên nội khí ∆U = Cv (m1 + m2 )(T − T0 ) ; T0, T nhiệt độ lúc đầu lúc sau khí Vì hệ cách nhiệt nên theo nguyên lí I ∆U = A ⇒ A1 = Cv (m1 + m2 )(T − T0 ) − p0 Sl (*) Trong biểu thức đại lượng T chưa biết Để tìm T cần phải xét giai đoạn trình Ban đầu, áp suất phần bên trái lớn phần bên phải: p1 = m1 RT0 m RT > p2 = µ lS µ lS Trong chuyển động pittông tới vách ngăn, khí phần bên phải hình trụ bị nén áp suất p1 van mở Gọi V1 , T1 thể tích nhiệt độ khí phần bên phải van bắt đầu mở Vì nén xảy đoạn nhiệt nên: p1V1γ = p2 V0γ γ = Cp Cv - hệ số đoạn nhiệt, V0 = lS γ γ ⇒ V = V  p  = V  m2  0  m   p1   1 19 Áp dụng phương trình trạng thái:  m γ p1V1 m2 pV µ pV = ⇒ T1 = 1 = 1 T0 = T0   RT1 µ Rm2 p 2V0  m1  −1 Khi áp suất phần bên phải phần bên trái van vách ngăn mở chất khí trộn lẫn vào (lúc pittông không dịch chuyển) Gọi T2 nhiệt độ hỗn hợp khí có cân nhiệt Có: c.m1 (T2 − T0 ) = c.m2 (T1 − T2 )   m1T0 + m2T1 m1   m2  γ   ⇒ T2 = = T0 1+  m1 + m2 m1 + m2   m1     Sau trộn lẫn, toàn khí có khối lượng m = m1 + m2 bị nén đoạn nhiệt từ thể tích V = V1 + V0 đến thể tích V0 , nhiệt độ biến đổi từ T2 đến T Ta có: TV0γ −1 = T2V γ −1 Từ rút T, thay vào biểu thức A1, tính A1 ≈ 3674 J C PHẦN KẾT LUẬN Trong trình ôn thi học sinh giỏi, nhận thấy việc xây dựng hệ thống tập cho phần cho thật nhiều, thật đa dạng điều cần thiết Vì phong trào viết chuyên đề Hội trường chuyên Duyên hải việc làm thiết thực, trường chia sẻ tài liệu cho nhau, giúp giáo viên dạy trường chuyên bớt nhọc nhằn công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Với kinh nghiệm dạy ôn thi học sinh giỏi thời gian hạn hẹp chắn hệ thống tập đưa chưa thật đầy đủ Rất mong nhận góp ý, giúp đỡ thầy cô giáo đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! 20 ... trường chia sẻ t i liệu cho nhau, giúp giáo viên dạy trường chuyên bớt nhọc nhằn công tác b i dưỡng học sinh gi i V i kinh nghiệm dạy ôn thi học sinh gi i th i gian hạn hẹp chắn hệ thống tập đưa... = R c) Quá trình đoạn nhiệt cân pV γ = const C i+ 2 γ= p = CV i III Áp dụng nguyên lí I cho chu trình Chu trình trình mà trạng th i cu i trùng v i trạng th i đầu Chu trình cân biểu diễn đồ thị...+) Nhiệt dung phụ thuộc trình biến đ i hệ VD: mol khí nhiệt dung mol đẳng áp Cp khác v i nhiệt dung mol đẳng tích CV Ứng dụng nguyên lý I a Độ biến thiên n i Áp dụng nguyên lí I cho trình