CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO: MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Hình học phẳng lĩnh vực quan trọng toán sơ cấp bậc trung học phổ thông Chúng ta gặp toán hình học phẳng nhiều kì thi quan trọng: thi học sinh giỏi tỉnh, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Tuy nhiên để làm toán không đơn giản, đòi hỏi phải có vốn kiến thức phong phú tư linh hoạt Bài viết giới thiệu phương pháp giải toán hình học phẳng phương pháp tọa độ Trong nhiều toán hình học đưa phương pháp tọa độ làm sáng sủa rõ ràng cách mà dùng tính chất hình học túy Ta thấy phương pháp tọa độ không đơn áp dụng cho toán liên quan đến hình vuông, hình chữ nhật mà áp dụng cho toán liên quan đến tam giác, đến đường tròn… Phương pháp - Chọn hệ trục tọa độ thích hợp tùy theo toán cho việc tính toán đơn giản - Tìm tọa độ đối tượng cho đối tượng liên quan theo hệ trục chọn - Chuyển tính chất hình học giả thiết điều cần chứng minh theo công thức tọa độ - Chứng minh toán theo phương pháp tọa độ Trước hết ta xét số liên quan đến hình vuông Hệ trục tọa độ lấy gốc bốn đỉnh hình vuông tâm hình vuông Ta xét hai toán sau Bài (Iran, 2001) Về phía bên hình vuông ABCD, ta dựng tam giác ABK, BCL, CDM, DAN Chứng minh trung điểm KL, LM, MN, NK trung điểm AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN tạo thành đa giác 12 cạnh Lời giải Gọi O tâm hình vuông, lập hệ trục xOy cho điểm A, B, C, D có tọa độ (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1) Khi đó, dễ dàng tính tọa độ điểm K, L, M, N (0; -2k), (2k; 0), (0; 2k), (-2k; 0) với k= −1 Từ ta có tọa độ trung điểm E, F, G, H tương ứng KL, y B A M N O x L K C D LM, MN, NK (k; -k), (k; k), (-k; k), (-k; -k) Suy khoảng cách từ E, F, G, H đến O k , đồng thời vectơ gốc O, điểm mút tương ứng E, F, G, H hợp với trục hoành góc 315o , 45o , 135o , 225o Tiếp đến, từ tọa độ xác định điểm trên, ta dễ dàng tình tọa độ tương ứng trung điểm P, Q, R, S, R, U, V, X cạnh AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN (h; j), (-h; j), (-j; h), (-j; -h), (-h; -j), (h; -j), (j; -h), (j; h), h = , j = − Suy điểm P, Q, R, S, R, U, V, X cách O đoạn h2 + j = −1 = k 2 Các điểm đầu mút vectơ gốc O hợp với trục hoành góc tương ứng 15o , 165o , 105o , 255o , 195o , 345o , 285o , 75o Tiếp đến ta cần xét góc tam giác vuông có cạnh k, h, j Góc x j k h k h k có s inx = , cos x = Do sin x = 2sin x cos x = 2hj = Suy k2 x = 15o Như 12 điểm nói cách gốc tọa độ O đầu mút vectơ gốc O hợp với trục hoành góc 15o + 30n với n=0, 1, 2,…, 11 Từ suy chúng lập thành đa giác 12 cạnh Bài Cho hình vuông ABCD, E trung điểm BC Điểm M tùy ý thuộc AB, P giao điểm AE CM, N giao điểm MD AE, H giao điểm DP CN, I giao điểm đường trung trực PH đường vuông góc với AH H Chứng minh I thuộc đường cố định Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy có O trùng với A, trục Ox qua B, Oy qua D Giả sử cạnh hình vuông Suy A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1), E(1; ½) Phương trình đường thẳng AE: x - 2y = Phương trình đường thẳng DM: x + my – m = Phương trình đường thẳng CM: x + (m-1)y – m = y D C I E H N P B x m   2m ; Vì N giao điểm MD AE suy N  ÷ P giao điểm m+2 m+2 m   2m ; AE CM suy P  ÷  m +1 m +1 A M Đường thẳng DP có phương trình: x + 2my - 2m = Đường thẳng NC có phương trình: 2x + (m-2)y - m(m-2) =   ; H giao DP CN suy H  ÷ m + m +   AH có phương trình 3x - 4y = Ta thấy ID = IH hay ID = d(I, AD) Từ suy I thuộc đường parabol với tiêu điểm D, AH đường chuẩn 4m m Phương pháp tọa độ áp dụng với toán tam giác Với tam giác vuông ta thường chọn hệ trục tọa độ có hai trục hai cạnh góc vuông, với tam giác thường có sẵn hai đường vuông góc điểm giả thiết chọn hai đường hai trục tọa độ, chưa có ta nên kẻ thêm đường cao chọn hệ trục có trục đường cao, trục cạnh tương ứng tam giác Ta xét toán sau Bài ( VMO 2007-2008) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Một đường thẳng d vuông góc với AD Xét M thuộc d Gọi E, F trung điểm MB, MC Đường thẳng qua E, vuông góc với d cắt AB P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vuông góc với PQ qua điểm cố định M thay đổi d Lời giải y P A x M E F B C D Q Rõ ràng cần xét d ⊥ AD D đủ Chọn hệ trục Dxy hình vẽ cho A(0; a), C(2m; 2n), M(2xo, 0) Do B, C đối xứng với qua D nên B(-2m; -2n) Phương trình AB: (2n+a)x – 2my + 2ma = Phương trình AC: (2n - a)x – 2my + 2ma = Từ suy (2n − a )( xo − m) (2n − a )( xo + m)     P  xo − m; + a ÷, Q  xo + m; +a÷ 2m 2m     uuur ax ⇒ PQ (2m;2n − o ) m Đường thẳng qua M, vuông góc với PQ có phương trình ax   2m( x − xo ) +  2n − o ÷ y = m    4mn 4m  ;− Dễ thấy đường thẳng qua S  với xo Ta có điều a ÷  a  phải chứng minh Bài (VMO 2006 - 2007) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Gọi H, G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A biết trung điểm K HG thuộc đường thẳng BC Lời giải Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC, trục Ox đường thẳng BC Đặt BC = 2a > Khi B(-a; 0), C(a; 0) Giả sử A(xo; yo) yo ≠ y A G B K O x C H Khi trực tâm H nghiệm hệ phương trình  x = xo  a − xo  ⇒ H  xo ;  ÷ yo  ( x + a )( a − xo ) − yo y =   xo 3a − 3xo2 + yo2   xo yo  G ; K ; Trọng tâm   ÷ ÷, suy trung điểm yo  3   K thuộc đường o thẳng BC o x y − = 1( yo ≠ 0) a 3a x2 y Vậy quỹ tích điểm A Hyperbol − = bỏ hai điểm B, C a 3a 3a − 3xo2 + yo2 = ⇔ Bài Cho tam giác ABC nhọn , d đường thẳng thay đổi Gọi D, E, F hình chiếu vuông góc A, B, C d Biết AD tan A+BE tan B + CF tan C = S ∆ABC Tìm vị trí d để AD đạt giá trị lớn Lời giải Gọi AO đường cao tam giác ABC Chọn hệ trục Oxy có Ox qua C, Oy qua A Ta chứng minh đường thẳng d qua trực tâm H tam giác ABC Giả sử A(0; a), B(-b; 0), C(c; 0) tan B = a a , tan C = b c t anA = − tan( B + C ) = S∆ABC = ac + ab a − bc a (b + c ) Gọi phương trình đường thẳng d α x + β y + γ = 0(α + β ≠ 0) y E A D H F O B C x Ta có AD = βa +γ , BE = αb + γ , AD = αc + γ α2 + β bc β + γ = Từ suy d Đẳng thức đề cho tương đương với a  bc  qua điểm H  0; ÷ Dễ chứng minh H trực tâm tam giác ABC  a  Ta có AD ≤ AH Vậy ADmax = AH d đường thẳng qua H α2 + β2 α2 + β song song với BC Bài Cho tam giác ABC vuông cân A, gọi M trung điểm BC, G điểm cạnh AB cho GB=2GA Các đường thẳng GM CA cắt D Đường thẳng qua M vuông góc với CG E cắt AC K Gọi P giao điểm DE GK Chứng minh rằng: a) DE = BC b) PG = PE Lời giải Chọn hệ trục Oxy hình vẽ, giả sử AB =AC=1 Ta có A(0; 0), B(0; 1),  1 1 1 C(1; 0), G  0; ÷, M  ; ÷, D( −1;0) Gọi (d) đường thẳng qua M  3 2 2 vuông góc với GC Đường thẳng (d) có phương trình: 3x – y – = Đường thẳng GC có phương trình: x + 3y -1 =  1 E = ( d ) IGC ⇒ E  ; ÷  5 Suy BC = DE = y B M G E P D C K A x   b) Vì K  ;0 ÷ ⇒ GK PBC 3  Phương trình đường thẳng GK: 3x − y + = Phương trình đường thẳng DE: − x + y − =   Vì P giao điểm DE GK nên suy D  ; ÷ 6 6 1 Do PG = PE = Bài Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI tam giác ABC K Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích A biết IH song song với KC Lời giải y A H B K I C x Chọn hệ trục Oxy với O trùng I, trục Ox đường thẳng BC Đặt BC=2a > Khi B(-a; 0), C(a; 0) Giả sử A (x o; yo), yo ≠ Khi trực tâm H  x = xo  a − xo2  ⇒ H  xo ; nghiệm hệ phương trình  ÷ yo  ( x + a )( a − xo ) − yo y =   y  K giao d AI nên K  −a; −a o ÷, xo ≠ xo   uuur uuur Theo giả thiết ta có IH phương với KC Điều tương đương với 2 yo a − xo2 xo2 yo2 a xo − 2a = ⇔ + = Vậy quỹ tích điểm A Elip x + y = xo yo a 2a a 2a bỏ bốn điểm B, C, A1 (0; −a 2), A2 (0; a 2) Ngoài ra, phương pháp tọa độ áp dụng với toán hình tròn Gốc tọa độ thường chọn tâm hình tròn Bài (IMO, 1999) Cho hai đường tròn (C1) (C2) nằm bên tiếp xúc với đường tròn (C) theo thứ tự M N Giả sử (C 1) qua tâm (C2) Đường nối hai điểm chung (C 1), (C2) cắt (C) A B Các đường thẳng MA, MB cắt (C1) tương ứng E F Chứng minh đường thẳng EF tiếp tuyến (C2) N A E M I Y X V W K B F O Gọi O, K, I, r1, r2, r3 tâm bán kính đường tròn (C), (C 1), (C2) tương ứng Giả sử EF cắt KI W, đặt IW = x Ta cần x = r Chọn hệ trực chuẩn có gốc I, IK trục hoành, giả sử O(a; b) Giả sử AB cắt IK V Gọi X giao điểm (C 1) (C2), Y trung điểm r2 IV IY = Tam giác KYI XVI đồng dạng suy r1 IX IO r Phép vị tự tâm M, tỉ số r biến K thành O, biến EF thành AB Do r EF ⊥ IK Cũng khoảng cách từ K đến EF lần khoảng cách từ O r r r  đến AB, suy r1 − x =  a − ÷ (*) Bây ta cần xác định a Bằng cách r r1  IX Dễ thấy IV = tính khoảng cách từ O đến I K ta nhận hai phương trình chứa a b sau đây: ( r − r1 ) = ( r − a ) + b ( r − r2 ) = a + b Khử b từ hai phương trình ta có a = r22 r + r − r Thay vào (*) ta nhận r1 r1 x = r2 Ta có điều phải chứng minh Bài (Olympic 30-04, 2001, đề đề nghị) Cho tứ giác IAJB có góc A, B vuông, IA>IB Chứng minh với M đường thẳng IJ ta có JA MA IA ≤ ≤ JB MB IB Lời giải y A O I M J x B Vì góc A, B vuông nên IAJB tứ giác nội tiếp Giả sử IAJB nội tiếp đường tròn có tâm O trung điểm IJ bán kính R=1 Ta chọn hệ trục tọa độ vuông góc hình vẽ Khi đó, ta có I(-1; 0), J(1; 0) Do A, B thuộc đường tròn nên A(cosa, sina), B(cosb, sinb), a, b ∈ (0;2π ) Ta có IA > IB ⇔ IA2 > IB ⇔ ( −1 − cos a )2 + sin a > ( −1 − cos b) + sin b ⇔ cos a > cos b MA2 x − x cos a + = Giả sử M(x; 0), ta có MB x − x cos b + x − x cos a + Xét hàm số y = x − x cos b + Ta có 2( x − 1)(cos a − cos b) y'= ( x − x cos b + 1) y ' = ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên: −∞ x y’ + -1 - +∞ + y y(-1) y(1) Ta có + cos a − cos a > 1, y (1) = b Xét tất điểm P, Q cho AP=a, AQ=b đường thẳng d phân giác góc PAQ Ứng với cặp điểm P, Q xét điểm M uuuur uuur uuur cho AM = AP + AQ Tìm quỹ tích điểm M Bài Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N, P cho CP ⊥ MN , CP = MN MB NC PA = = Chứng minh MC NA PB Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh AB=AC IE vuông góc với CD Bài Cho hình bình hành ABCD thay đổi A, D cố định thỏa mãn AC BD = Tìm tập hợp điểm B, C AD BA Bài 10 Cho đường tròn ( C ) tâm O tiếp tuyến d tiếp xúc với (C) điểm A cố định (C) M điểm mặt phẳng, kẻ tiếp tuyến MT với (C) ( T tiếp điểm), gọi H hình chiếu vuông góc M d a) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn MT=MH b) Chứng minh đường tròn tâm M bán kính MT tiếp xúc với đường tròn cố định  ... bỏ bốn điểm B, C, A1 (0; −a 2), A2 (0; a 2) Ngoài ra, phương pháp tọa độ áp dụng với toán hình tròn Gốc tọa độ thường chọn tâm hình tròn Bài (IMO, 1999) Cho hai đường tròn (C1) (C2) nằm bên tiếp... đường parabol với tiêu điểm D, AH đường chuẩn 4m m Phương pháp tọa độ áp dụng với toán tam giác Với tam giác vuông ta thường chọn hệ trục tọa độ có hai trục hai cạnh góc vuông, với tam giác thường... định Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy có O trùng với A, trục Ox qua B, Oy qua D Giả sử cạnh hình vuông Suy A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1), E(1; ½) Phương trình đường thẳng AE: x - 2y = Phương