CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI NĂM 2013 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP Chuyên ngành toán tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn lí thú Toán học nói chung toán rời rạc nói riêng Nội dung toán tổ hợp phong phú ứng dụng nhiều thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp xuất nhiều toán với độ khó cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt toán học không đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò công cụ đắc lực mô hình rời rạc giải tích, đại số, hình học Với vai tròn quan toán học nên hầu hết kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến tổ hợp thường toán khó, tập phân loại học sinh tốt Phương pháp giải toán tổ hợp thường phong phú đa dạng Nhìn chung để giải toán tổ hợp thông thường học sinh phải sáng tạo phương pháp cách thức tiếp cận toán Do giảng dạy phần tổ hợp điều quan trọng với toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải cách cụ thể để học sinh hiểu ý tưởng mục đích toán Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt kết tốt, mạnh dạn viết chuyên đề "sử dụng số phức để giải số dạng toán tổ hợp" để trao đổi với thầy, cô giáo phương pháp giảng dạy toán tổ hợp Trong chuyên đề này, số dạng tập chọn lọc đề kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên trường đại học giới năm gần Chuyên đề chia làm hai phần chính: I Phần tập minh họa II Phần tập tương tự Những toán tổ hợp xuất đề thi chọn học sinh giỏi năm gần thường tập hay khó, có độ phân hóa cao đối tượng học sinh Với thời gian ngắn học sinh thường khó để giải toán dạng vấn đề nan giải công tác ôn luyện học sinh giỏi đa số giáo viên Số lượng số dạng toán tổ hợp nhiều (có thể nói vô hạn) nên giáo viên dạy hết tất được, mà cần phải có phương pháp hiệu để trang bị cho học sinh cách tiếp cận kiến thức sở việc giải toán tổ hợp Chuyên đề hoàn thành với giúp đỡ nhiệt tình nội dụng hình thức thầy, cô giáo tổ toán - tin, BGH trường THPT chuyên XYZ Do thời gian trình độ có hạn nên viết đề cập đến khía cạnh nhỏ dạng toán tổ hợp, mong nhận góp ý phương pháp hiệu để việc giảng dạy phân môn có hiệu I MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài Cho tập hợp M tập hợp tập X có tính chất T nếu: tích phần tử phân biệt M không số phương Tìm số phần tử lớn M Lời giải Xét tập hợp rời có phần tử tích phần tử số phương: { 1, 4, 9} , { 2, 7,14} , { 5,12,15} , { 3, 6,8} Nếu tập hợp M có tính chất T có phần tử tập không thuộc M suy M ≤ 11 Giả sử M = 11 : Do M có tính chất T nên tập tập hợp { 1, 4, 9} , { 2, 7,14} , { 5,12,15} , { 3, 6,8} phải có hai phần tử thuộc M phần tử 10,11,13 ∈ M Khi với tập hợp { 5,12,15} ta xét trường hợp sau: +) 5,12 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 7,14 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 3, ∈ M Do 3.12 = 62 nên M không chứa phần tử { 1, 4,9} vô lí +) 5,15 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 6,8 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 7,14 ∈ M Do 7.14.8 = 282 vô lí +) 12,15 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 3,8 ∈ M Do 3.12 = 62 nên M không chứa phần tử { 1, 4,9} vô lí Vậy M ≤ 10 Mặt khác ta lấy M = { 1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14} Vậy số phần tử lớn tập hợp M 10 Bài Cho tập hợp X = { 1, 2,3, ,16} M tập hợp tập X có tính chất T nếu: M không chứa ba phần tử đôi nguyên tố Tìm số phần tử lớn M Lời giải Xét tập hợp số A = { 1, 2,3,5, 7,11,13} , ta thấy tập hợp M thỏa mãn tính chất T M chứa nhiều phần tử A ⇒ M ≤ 11 Mặt khác tập hợp gồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất T : { 2,3, 4, 6,8,9,10,12,14,15,16} Vậy số phần tử lớn M 11 Bài 3(VMO 2004) Cho tập hợp A = { 1, 2, 3, ,16} Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b thỏa mãn a + b số nguyên tố Lời giải Xét tập hợp B = { 2, 4, 6,8,10,12,14,16} , ta thấy a, b ∈ B ⇒ a + b số chẵn lớn nên k thỏa mãn yêu cầu toán k ≥ Ta chứng minh k = số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, ta chia tập hợp A thành cặp hai phần tử ( a, b ) cho a + b số nguyên tố: ( 1, ) , ( 2,3) , ( 5,8 ) , ( 6,11) , ( 7,10 ) , ( 9,16 ) , ( 12,13) , ( 14,15 ) Do theo nguyên tắc Dirichlet phần tử phân biệt tập hợp A phải tồn hai số thuộc cặp Vậy k nhỏ Bài Cho tập hợp M = { 1, 2, , n} , n ≥ Hãy tìm số m nhỏ cho tập chứa m phần tử M tồn hai số a, b mà số bội số   n + 1  n +    n + 1 , + 1, , n  M Do  > n nên M không Lời giải Xét tập M =             n + 1  n + 1 + m = có hai số mà số chia hết cho số Do m ≥  , ta chứng minh   +     số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, xét tập a1 , a2 , , a n +1  M Ta xét hai   +1    trường hợp n chẵn n lẻ b TH1 Nếu n = 2k , ta viết = i ci , ci số lẻ, i = 1, 2, , k + Do có k số lẻ nên tồn i ≠ j cho ci = c j ⇒ hai số , a j có số chia hết cho số b TH2 Nếu n = 2k + , ta viết = i ci , ci số lẻ, i = 1, 2, , k + Do có nhiều k+1 số lẻ nên tồn i ≠ j cho ci = c j ⇒ hai số , a j có số chia hết cho số  n + 1 +1 Vậy số nhỏ thỏa mãn yêu cầu m =    Bài Cho X tập tập { 1, 2,3, ,10000} , cho a, b nằm X ab không nằm X Tìm số phần tử lớn tập X Lời giải Xét tập hợp M = { 101,102, ,10000} { 1, 2,3, ,10000} , 1012 > 10000 nên tập hợp M thỏa mãn yêu cầu toán, tập hợp M có 9900 phần tử Ta chứng minh 9900 số lớn thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, xét tập A gồm có 9901 phần tử, ta chứng minh tập A không thỏa mãn yêu cầu toán Xét 100 số sau : ( 100 − i,100 + i, ( 100 − i ) ( 100 + i ) ) , ≤ i ≤ 99 Dễ thấy số thuộc A vô lý suy phải có số không thuộc A ⇒ A ≤ 10000 − 100 = 9900 , vô lí Vậy số phần tử lớn X 9900 Bài Cho A tập tập hợp { 1; 2;3; ;100} , A có phần tử nhỏ phần tử lớn 100 Giả sử A có tính chất: Với phần tử x A , x ≠ x tổng hai phần tử thuộc A hai lần phần tử thuộc A Tìm số phần tử nhỏ tập hợp A Lời giải Giả sử tập hợp A gồm n phần tử = x1 < x2 < < xn −1 < xn = 100 Với số ≤ i ≤ n ta có: xi = x j + xs ≤ xi −1 Do x2 ≤ x1 = 2, x3 ≤ x2 = 4, x4 ≤ x3 = , x5 ≤ x4 = 16, x6 ≤ x5 = 32, x7 ≤ x6 = 64 Vì n ≥ Nếu n = ⇒ x8 = 100 , kết hợp với x6 + x7 ≤ 64 + 32 = 96 ⇒ x8 = x7 ⇒ x7 = 50 Do x5 + x6 ≤ 48 ⇒ x7 = x6 ⇒ x6 = 25 Mặt khác x4 + x5 ≤ 24 ⇒ x6 = x5 ⇒ x5 = 25 vô lý Do n ≥ , với n = ta lấy tập hợp A = { 1, 2, 3,5,10, 20, 25,50,100} thỏa mãn yêu cầu toán Vậy số phần tử nhỏ tập hơp A Bài Cho tập hợp X có n ≥ phần tử Xét k ≥ tập X thỏa mãn X i ≠ X j , ∀i ≠ j, X i I X j ≠ ∅, ∀i, j = 1, 2, , k Tìm giá trị lớn có k Lời giải Xét k tập Y1 = X \ X , Y2 = X \ X , , Yk = X \ X k Do X i ≠ X j , ∀i ≠ j , X i I X j ≠ ∅, ∀i, j = 1, 2, , k nên Yi ≠ Y j , ∀i ≠ j , Yi I X j , ∀i, j = 1, 2, , k Do ta có 2k tập đôi phân biệt tập X Mặt khác số tập tập hợp X 2n Do 2k ≤ 2n ⇔ k ≤ 2n −1 Với k = 2n −1 , ta xét phần tử a ∈ X gọi 2n−1 tập X \ { a} A1 , A2 , , A2n−1 Khi X = A1 U{ a} , X = A2 U{ a} , , X 2n−1 = A2n−1 U{ a} 2n−1 tập X thỏa mãn yêu cầu toán Vậy giá trị lớn k = 2n −1 Bài Cho số nguyên dương, họ gồm Tìm số nguyên dương nhỏ tập hợp tập cho tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Lời giải Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau đây: Bổ đề Cho số nguyên Khi tồn họ tập tập hợp cho ba tập hợp phân biệt khác rỗng họ không thỏa mãn tính chất chúng hợp hai tập hợp lại Chứng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp sau: +) Khi đễ thấy thỏa mãn +) Ta giả sử bổ đề đến , tức từ tập hợp tồn tập hợp cho tập hợp hợp hai tập hợp phân biệt khác Ta xét tập hợp Khi tập sau: Thỏa mãn tập hợp hợp hai tập hợp phân biệt khác Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề Cho số nguyên tập hợp Chứng minh họ gồm tập hợp tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Chứng minh Ta chứng minh quy nạp toán học +) Khi đễ thấy bổ đề +) Giả sử bổ đề đến , tức họ tập tập hợp tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Ta chứng minh tập tập hợp tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Thật vậy, số tập chứa Gọi số tập tập tập hợp xét Khi ta xét trường hơp: TH1 Nếu TH2 Nếu theo giả thiết quy nạp ta có đpcm có xét Giả sử ta xét Đặt i) tập chứa tập dạng tập Nếu theo giả thiết quy nạp ta có đpcm ii) Nếu tồn cho khác rỗng Trong tập chọn phải có tập giả sử Nếu theo giả thiết quy nạp ta có đpcm Nếu ba tập thỏa mãn yêu cầu toán Vậy bổ đề chứng minh Trở lại BÀI dễ thấy nhỏ Bài 9(Bài toán khoảng cách Hamming) Cho tập hợp có phần tử Gọi tập hợp chứa xâu (mỗi kí tự phần tử X phần tử 0) có độ dài cách Hamming có độ dài không nhỏ Kí hiệu khoảng số phần tử lớn tập hợp Khi i) Nếu chẵn ii) Nếu lẻ thì iii) Nếu chẵn iv) Nếu lẻ Chứng minh Giả sử phân dạng xâu Ta đồng phần tử , vị trí thứ xâu C với xâu nhị vị trí thứ i) Ta đánh giá theo cách khác nhau, kí hiệu +) Số cách chọn có thứ tự +) Xét ma trận khoảng cách Hamming hai xâu suy ra: , dòng phần tử Gọi tương ứng cột thứ có số Do xét quan hệ hai xâu , số số cột thứ có tính đối xứng nên suy Do từ hai cách đánh giá ta được: Hay Kết hợp với giả thiết suy đpcm ii) Lặp lại cách chứng minh tương tự tập Một số toán áp dụng toán khoảng cách Hamming Bài 10 (Vĩnh Phúc 2012, vòng 2) Có em học sinh lập thành nhóm hoạt động ngoại khóa, học sinh tham gia nhiều nhóm hoạt động Biết với hai nhóm tùy ý có học sinh tham gia vào hai nhóm đó.Tìm giá trị lớn (Gợi ý: Giả sử học sinh , đặt nhóm chứa Ta coi nhóm xâu dạng , nhóm không chứa Khi theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ Áp dụng kết phần 2.i với ta đánh giá dễ dàng dấu bằng) Bài 11 (PTNK TPHCM 2012) Cho tập hợp không giống Hai tập , mà phần tử tập gồm gọi Cho tập hợp phần tử đôi không giống a) Chứng minh b) Chứng minh (Gợi ý: ta coi tập xâu dạng , trong không chứa Khi theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ chứa , Áp dụng kết phần 2.ii với ta đánh giá dễ dàng dấu bằng) Nhận xét Như với cách tạo khoảng cách Hamming hai đối tương ta dạng tập tương đối khó Trong tất dạng tập liên quan đến khoảng cách Hamming ví dụ thật tinh tế sâu sắc II BÀI TẬP Bài 12 Cho A1 , A2 , , An tập hợp có hữu hạn phần tử cho A1 = A2 = An n UA = S i i =1 Giả sử có số nguyên dương ≤ k ≤ n thỏa mãn hợp k tập hợp họ S, hợp nhiều k − tập họ cho tập thực S Tìm số phần tử nhỏ S Bài 13 Cho ( X i ) 1≤i ≤ k họ tập có h phần tử tập hợp X Chứng minh k UX i i =1 h số nguyên dương m nhỏ cho k ≤ Cm Bài 14 Cho n số nguyên dương cho trước A = ( Ai ) 1≤i ≤3n , B = ( Bi ) 1≤i ≤3n , C = ( Ci ) 1≤i ≤3n ba phân hoạch tập hợp hữu hạn X Giả sử ta có bất đẳng thức sau với i, j , k = 1, 2, ,3n : Ai I B j + Ai I Ck + B j I Ck ≥ 3n Tìm số phần tử nhỏ có tập hợp X Bài 15(Định lí Sperner) Cho X tập hợp có n phần tử, G = { A1 , A2 , , Ap } họ tập n X thỏa mãn tính chất Ai ⊄ A j , ∀i , j = 1, 2, , p , i ≠ j Chứng minh max p = C   n Bài 16(Định lí Erdos – Ko - Rado) Cho X tập hợp có n phần tử, G = { A1 , A2 , , Ap } họ tập X thỏa mãn điều kiện sau: n , ∀i = 1, 2, , p b) Ai I A j ≠ ∅, ∀i , j = 1, 2, , p r −1 Chứng minh max p = Cn −1 Bài 17 Cho X tập hợp có n phần tử, Y tập có k phần tử X Chứng minh a) Ai = r ≤ số lớn tập đôi khác tập X, tập có r phần tử Y hai tập  n−k  không chứa C r C   k n−k Bài 18(Balkan MO 2005) Cho n ≥ số nguyên S tập tập hợp { 1, 2, , n} cho S chứa hai phần tử mà phần tử bội phần tử kia, chứa hai phần tử nguyên tố Tìm số phần tử lớn tập hợp S Bài 19(Balkan MO 1997) Cho tập hợp A có n phần tử S = { A1 , A2 , , Ak } họ tập hợp tập hợp A Nếu với hai phần tử x, y ∈ A có tập Ai ∈ S chứa phần tử hai phần tử x, y Chứng minh n ≤ 2k 1996 Bài 20(Balkan MO 1996) Cho tập X = { 1, 2, , − 1} , chứng minh tồn tập A X thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) ∈ A, 21996 − ∈ A; b) Với phần tử khác A viết thành tổng hai (có thể nhau) phần tử thuộc A; c) Số phần tử lớn tập A 2012 Bài 21(Balkan MO 1989) Cho F họ tập tập hợp { 1, 2, , n} thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) Nếu A thuộc F, A có phần tử; b) Nếu A B hai phần tử khác S, A B có nhiều phần tử chung n − 4n n2 − n Kí hiệu f ( n ) số phần tử lớn có F Chứng minh ≤ f ( n) ≤ 6 Bài 22 Cho S tập tập hợp { 1, 2, ,1989} S thỏa mãn tính chất S hai phần tử mà hiệu chúng Tìm số phần tử lớn S? Bài 23 (Iran TST 2013) Cho F = { A1 , A2 , , Ap } họ tập tập { 1, 2,3, , n} thỏa mãn tính chất: Ai ⊂ Aj Ai − A j ≥ Tìm số lớn có p Bài 24 (Moldova TST 2013) Tìm số lớn cặp phân biệt ( xi , yi ) cho xi , yi ∈ { 1, 2, , 2013} , xi + yi ≤ 2013, ∀i ≠ j , xi + yi ≠ x j + y j Bài 25 (China 1996) Cho 11 tập hợp M , M , , M 11 , tập có phần tử thỏa mãn M i I M j ≠ ∅, ∀i ≠ j; i, j = 1, 2, ,11 Gọi m số lớn cho tồn tập M i1 , M i2 , , M im Trong số tập cho cho m I k =1 M ik ≠ ∅ Hỏi giá trị lớn m bao nhiêu? Bài 26 (AIME 1989) Cho tập hợp X = { 1, 2,3, ,1989} Xét tập S X thỏa mãn tính chất: hai phần tử S đơn vị Hỏi số phần tử lớn S bao nhiêu? Bài 27 Cho số nguyên dương n ≥ tập hợp X = { 1, 2, , n} Tìm số nguyên dương n nhỏ cho với cách chia tập hợp X thành hai tập rời A, B tồn tập chứa ba số lập thành cấp số cộng Bài 28 (IMO 1991) Cho tập hợp S = { 1, 2, , 280} Tìm số nguyên dương nhỏ n cho tập n phần tử S chứa số đôi nguyên tố Bài 29 Cho m, n số tự nhiên cho m > n > 2m Tìm số nguyên dương k lớn cho tồn k tập rời A1 , A2 , , Ak tập { 1, 2, , n} thỏa mãn Ai ∈ { m, m − 1} với i = 1, 2, , k TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc số vấn đề liên quan, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội [3] Trần Nam Dũng (chủ biên), Chuyên đề toán học số 8, 9, Trường PTNK - ĐHQG TP Hồ Chí Minh [4] Le Hai Chau - Le Hai Khoi, Selected Problems of the Vietnamese Maththematical Olympiad (1962 - 2009), World Scientific [5] Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Crux - Canada, AMM - USA [6] Titu Andresscu - Zuming Feng, A path to combinatorics for underfrduates, Birkhauser [7] Arthur Engel, Problem - Solving Strategies, Springer [8] Titu Andreescu and Zuming Feng 102 combinatorial problems from the training of the USA IMO team [9] Phạm Minh Phương Một số chuyên đề toán học tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam [10] Các nguồn tài liệu từ internet www.mathscope.org; www.mathlinks.org; www.imo.org.yu ... bổ đề đến , tức từ tập hợp tồn tập hợp cho tập hợp hợp hai tập hợp phân biệt khác Ta xét tập hợp Khi tập sau: Thỏa mãn tập hợp hợp hai tập hợp phân biệt khác Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề Cho số. .. tức họ tập tập hợp tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Ta chứng minh tập tập hợp tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Thật vậy, số tập chứa...I MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài Cho tập hợp M tập hợp tập X có tính chất T nếu: tích phần tử phân biệt M không số phương Tìm số phần tử lớn M Lời giải Xét tập hợp rời có phần tử tích phần tử số