BÀI tập lớn xác SUẤT THỐNG kê

26 99 0
  • Loading ...
Loading...
1/26 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 03/05/2017, 01:07

Xác suất thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng của chúng vào thực tế. Nói một cách đại khái thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiên tượng ta không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảng như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Chẳng hạn, ta không nói trước một hạt giống có nảy mầm hay không khi gieo xuống đất canh tác nhưng nếu gieo nhiều hạt thì ta có thể rút ra được chất lượng tốt hay xấu của hạt giống. Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng “tưởng chừng” như không có quy luật. Hiểu được vai trò của xác suất thống kê như vậy, tôi càng thấy được tầm quan trọng cần phải trang bị cho sinh viên các trường sư phạm một lượng vững kiến thức vững chắc về xác suất thông kê. Bản thân tôi là một sinh viên chuyên nghành sư phạm toán, tôi hiểu rõ việc cần trang bị kiến thức về xác suất thống kê là rất cần thiết. Chính vì vậy ta chọn đề tài: “Bài tập về không gian xác suất tổng quát” để nghiên cứu rõ hơn về môn học xác suất thống kê. MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Xác suất thống phận tốn học, nghiên cứu tượng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế Nói cách đại khái tượng ngẫu nhiên hiên tượng ta khơng thể nói trước xảy hay khơng xảy thực lần quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hồn cảng nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận khoa học tượng Chẳng hạn, ta khơng nói trước hạt giống có nảy mầm hay khơng gieo xuống đất canh tác gieo nhiều hạt ta rút chất lượng tốt hay xấu hạt giống Lý thuyết xác suất nhằm tìm quy luật tượng “tưởng chừng” khơng có quy luật Hiểu vai trò xác suất thống vậy, tơi thấy tầm quan trọng cần phải trang bị cho sinh viên trường sư phạm lượng vững kiến thức vững xác suất thơng Bản thân tơi sinh viên chun nghành sư phạm tốn, tơi hiểu rõ việc cần trang bị kiến thức xác suất thống cần thiết Chính ta chọn đề tài: “Bài tập khơng gian xác suất tổng qt” để nghiên cứu rõ mơn học xác suất thống Mục đích đề tài Trên sở nghiên cứu đề tài, tơi muốn giới thiệu đến bạn tập phần “khơng gian xác suất tổng qt” Từ bạn hiểu rõ kiến thức khơng gian xác suất tổng qt, nắm vững tốt kiến thức vận dụng vào tốn liên quan khác Lịch sử vấn đề phát vấn đề Sau thời gian học tập trường đại học Hồng Đức, tơi nhận thấy xác suất thống mơn học khó đa dạng phức tạp Đặc biệt ứng dụng chúng Chính vậy, tơi định chọn đề tài “Bài tập khơng gian xác suất tổng qt” với mục đích nêu Đối tượng nghiên cứu nội dung nghiên cứu Xác suất thống Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài tơi sử dụng phương pháp nhiên cứu sau: - Tham khảo tài liệu có sẵn - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp phân tích - Phương pháp tổng hợp - Phương pháp khát qt hóa - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Nội dung Gồm phần: - Phần 1: Mở đầu - Phần 2: Nội dung cụ thể - Phần 3: Kết luận NỘI DUNG I Tóm tắt lý thuyết W w Giả sử tập khơng rỗng, phần tử kí hiệu Tập hợp P ( W) Ì P ( W) W gồm tập kí hiệu Một tập � gọi nửa đại số (i) (ii) WỴ � A, B Ỵ C, A Ì B A1, ,A n tồn tập đơi Ak Ỵ i = 1, 2, ., n khơng giao nhau, �, cho n U Ak k =1 B\A= Ì P ( W) Lớp A gọi đại số A1 ) WỴ � A2 ) A Ỵ Þ A = W\ A Ỵ � � A3 ) A, B Ỵ Þ ẰB Ỵ � � Á Ì P ( W) sLớp gọi đại số A1 ) W Ỵ Á A ) A Ỵ Á Þ A = W\ A Ỵ Á n U Ak A3 ) A1, A , Ỵ Á Þ Ỵ P ( W) Ỵ Á k =1 Á Ì P ( W) s- Giả sử � Một đại số bé chứa � sÁ s gọi đại số sinh � viết = ( �) W W Nếu khơng gian tơpơ � lớp gồm tập mở W s sthì ( �) gọi đại số tập Borel , kí hiệu B ( W) ( W, Á ) W Giả sử đại số tập Cặp gọi P: Á ® R khơng gian đo Hàm tập hợp thõa mãn ba điều kiện: Á s- P1 ) P ( A) ³ "A Ỵ Á P2 ) P ( W) = P3 ) Nếu A n Ỵ Á, n = 1, 2, 3, đơi khơng giao, ỉ¥ ÷ ÷ Pç A = ç U n÷ ç ÷ ç èn=1 ø ¥ å P ( An ) n=1 Được gọi độ đo xác suất Bộ ba ( W, Á, P) gọi khơng gian xác suất W gọi wỴ W khơng gian mẫu hay khơng gian biến cố sơ cấp, gọi điểm mẫu hay biến cố sơ cấp A Ỵ Á Tập gọi biến cố, P(A) gọi xác suất biến cố A II Bài tập áp dụng Bài 1: Giả sử 4}, W= {1, 2, 3, 4, 5, 6} � = {A, B} A = {2, 3, B = {4, 6} Hãy σ(�) Lời giải: Xét AB = { 4} ,AB = { 6} , AB = { 2,3} ,AB = { 1,5} Khi đó: σ(�) = {∅, Ω, {4}, {6},{2, 3}, {1, 5}, {4, 6}, {2, 3, 4}, {1, 4, 5}, {2, 3, 6}, {1, 5, 6}, {1, 2, 3, 6}, {2, 3, 4, 6}, {1, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}} Bài 2: Giả sử � = {A1, A2…, An} phân hoạch Ω (nghĩa n UA AiAj = ∅ với i ≠ j)   ℑ = UA i | I ⊂ { 1,2, , n}   i∈I  i =1 i =Ω Chứng minh họ σ-đại số sinh C Lời giải: A = UA j ⇒ A = j∈Ik Nếu UA j∈I − j i Bk = UA i ,I k ⊂ I, i∈Ik Nếu IkI1 = ∅ với k ≠ 1, k = 1, …, m m m UB = UA , J = UI k k =1 i i∈J k k =1 Ngồi Ω ∈ ℑ Như ℑ đại số hữu hạn σđại số Bài 3: Giả sử Ak ⊂ Ω, k =1, 2, …, n Chứng minh σ({A1, …, An}) trùng với họ tất tập B biểu diễn dạng hợp số tập hợp đơi khơng giao có (Ai )  (A j ) dạng B = i∈I j∉I đó, I ⊂ {1, 2, …, n} Lời giải: Tập hợp tập khơng rỗng có dạng     B =  I Ai ÷I  I A j ÷  i∈I   j∉I  W Do theo kết lập thành phân hoạch tập ta σ({A1, …, An}) trùng với họ tất tập B biểu diễn dạng hợp số tập hợp đơi (Ai )  (A j ) khơng giao có dạng B = i∈I j∉I I ⊂ {1, 2, …, n} ∞ W Bài 4: Cho dãy (An), An ⊂ Đặt ∞ limA n = UI A n , limA n = I m =1 n ≥m UA n m =1 n ≥ m Chứng minh rằng: a) limAn ⊂ limA n b) Nếu An ⊃ An+1, n ≥ 1, (tương ứng, An ⊂ An+1, n ≥ 1) ∞ ∞ limA n = limA n = I A n n =1 UA (tương ứng, n =1 n ) Lời giải: a) Hiển nhiên b) Nếu An ⊃ An+1, n ≥ ∞ liminf A n = I ∞ UA k = I A k n =1 k ≥ n k =1 ∞ ∞ limsup A n = UI A k = UA k n =1 k ≥ n Từ đó: k =1 limA n = limA n Bài 5: Giả sử A n chẵn An =  B n lẻ Chứng minh rằng: limA n = A ∪ B, limA n = A ∩ B Lời giải: UA Vì k≥n nên k I =A∪B limA n = A ∪ B, Ak = A ∩ B k≥n với n limA n = A ∩ B Bài 6: Giả thiết (Ω, ℑ, P) khơng gian xác suất cố định A, B, C, Ai ∈ ℑ, i ≥ Chứng minh rằng: P ( AB ) − P ( A ) P ( B ) ≤ a) b) P(A∪B) P(AB) ≤ P(A)P(B) c) |P(AB) - P(AC)| ≤ P(B ∆ C) d) P ( AB ) + P ( AB ) + P ( AB ) + P ( AB ) = , P(A) =P(B) = P(AB) = dấu “=” xảy Lời giải: a) Giả sử P(B) ≤ P(A) P(AB) ≤ P(B) nên P(AB) - P(A)P(B) ≤ P(B) - P(A)P(B) = P(B)(1 - P(A)) ≤ P(B)(1 - P(B)) ≤ b) Đặt P ( AB ) = a, P ( BA ) = b, P ( AB ) = c Ta có: P(A ∪ B)P(AB) = (a + b + c)c = ac + bc + cc ≤ ab + ac + bc + ac ≤ (a + c)(b + c) = P(A)P(B) Đó điều cần chứng minh C c) Rõ ràng P(AB) = P(ABC) + P(AB ), B P(AC) = P(ABC) + P(A C) Từ C B P(AB) - P(AC) = (P(AB ) - P(A C) ≤ P(B ∆ C) Tương tự P(AB) - P(AB) ≤ P(B ∆ C) d) Đặt ( ) P ( AB ) = x, P ( AB ) = y, P ( AB ) = z, P AB = u Như x + y + z + u = Bất đẳng thức cần chứng minh suy từ bất đẳng thức Bunhiacovski: x + y2 + z2 + u ≥ 1 ( x + y + z + u) = 4 x=y=z=u= Dấu xảy khi: hay 1 P ( A ) = P ( B ) = , P ( AB ) = Bài7: Giả thiết ( W, Á, P) khơng gian xác suất cố định A, B, C, Ai ∈ ℑ, i ≥ 1.Chứng minh rằng: n n i =1 i1 0, ta có: ∞ ∞ ∑ P ( A ) ≤ P ( Ω) = k =1 A = UA k * k k =1 với ∞  ∞   * d  A, UA k ÷ = P  ∑ P ( A k ) ÷< ε  k =n +1   k =1  với n đủ lớn Vậy A ∈ ℑ ∞ UA Bây giả thiết A ∈ ℑ cần chứng tỏ d ( A n Bn ) < cho, tồn dãy (Bn) ⊂ � cho ∞ Lúc theo b) Đặt P ( A ) = P* ( A ) d ( A, B ) ≤ ∑ d ( A n , Bn ) < ε P Với ε > ε 2n với A ∈ ℑ Rõ ràng Còn lại cần chứng minh ∈ ℑ ∞ B = UBn ∈ ℑ n =1 n n =1 n =1 P( A) ≥ P ( Ω ) = hàm σ-cộng tính Đầu tiên, giả sử A, B ∈ ℑ, AB = ∅ Khi tồn (An), (Bn) ⊂ � cho d(A, An), d(B, An) → Khi |P*(A ∪ B) - P*(An ∪ Bn)| ≤ d(A, An) + d(B, Bn) → Nhưng P*(An ∪ Bn) = P(An ∪ Bn) = P(An) + P(Bn) - P(AnBn) 14 P(An) → P(A), + P(Bn) → P(B), P(AnBn) ≤ P*(An A B ) + P*(Bn ) ≤ P* ( A n A ) + P* ( Bn B ) ≤ d ( A n A ) + d ( A n ,B ) → P*(A ∪ B) = P*(A) + P*(B) Từ đó: Cuối cùng, giả sử (An) ⊂ ℑ đơi khơng giao ∞ A = UA k k =1 Đặt  ∞  n P ( A ) = P  U A k ÷≥ ∑ P ( A k )  k =n +1  k =1 Từ với n, rút ∞ ∑ P( A ) ≤ P( A) n =1 n ∞ ∞ n =1 n =1 P ( A ) = P* ( A ) ≤ ∑ P* ( A n ) = ∑ P ( A n ) Mặt khác Bài 11: Giả sử �= {[a, b): -∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞} Kí hiệu � tập hợp gồm tập hợp số hữu hạn nửa khoảng rời thuộc � Chứng tỏ � đại số tập hợp Lời giải: Rõ ràng (-∞, +∞) ∈ � n A = U[a i , bi ); • Nếu i =1 bi ≤ a i +1 , 15 i = 1, , n n −1 R \ A = U[bi ,a i+1 ) ∪ ( −∞,a1 ) ∪ [b n , +∞) i =1 ∈ � n m i =1 j=1 A = U[a i ,bi ),B = U[ci ,d j ) • Nếu A, B ∈ �, n m A ∩ B = UU[a i , bi ) ∩ [ci ,d j ) i =1 j=1 ∈ � Vậy � đại số Bài 12: Giả sử P Q hai độ đo xác suất (Ω, ℑ) a) Giả sử P(A) = Q(A) với A ∈ ℑ với P(A) ≤ Chứng minh P(A) = Q(A) với A ∈ ℑ b) Cho ví dụ chứng tỏ P(A) = Q(A) với A ∈ ℑ mà P(A) < P ≠ Q ℑ Lời giải: a) Nếu A ∈ ℑ, P(A) ≤ Nếu P(A) ≤ 2 P(A) = Q(A) theo giả thiết A A thì, P( ) = Q( ) P(A) = Q(A) b) Lấy Ω = {a, b} ℑ = (Ω) Đặt 16 P ( { a} ) = , Q ( { a} ) = , P ( { b} ) = ; Q ( { b} ) = Rõ ràng P, Q thoả mãn u cầu tốn Bài 13: (Vitali - Hahn - Saks) Giả sử (P n) dãy độ đo xác suất khơng gian đo (Ω, ℑ) hội tụ điểm A ∈ ℑ tới hàm tập hợp P Chứng minh P độ đo xác suất Lời giải: Rõ ràng P(∅) = 0, P(Ω) = 1, P cộng tính hữu hạn Giả sử P I khơng σ-cộng tính Khi đó, có dãy (A n) cho lim P ( A n ) = ε > n n An = ∅ Đặt m1 = k1 = Nếu mi, ki xác định với i ≤ n, chọn mn+1 đủ lớn cho mn+1 > mn 7ε ≤ Pmn +1 A k n < +∞ ( Đặt B n = A k n \ A k n +1 ) ε Pmn +1 A k n +1 ≤ ( Pmn +1 ( Bn ) ≤ Lúc Từ với i ≥   3ε Pm j  U B2n ÷≥  2n ≥i  (j lẻ, j > i) 17 ) 3ε Do   3ε P  U B2n ÷ ≥  2n ≥i  (i > 1) (*) Tương tự (*) với hợp Bn mà n lẻ:   3ε P  U B2n +1 ÷ ≥  2n +1≥i  , i≥1 (**) Cộng (*) (**), ta nhận   3ε P A ki = P  ∑ Bn ÷ ≥ , i ≥  n ≥i  ( ) Bài 14: Cho (Ω, ℑ, P) khơng gian xác suất (A i, i ∈ I) ⊂ ℑ Giả sử A ∈ ℑ thoả mãn ∀B ∈ ℑ, (∀i ∈ I, Ai ⊂ B hầu chắn ⇔ A ⊂ B h.c.c.) (*) (ở C ⊂ D hầu chắn nghĩa P(C \ D) = 0) Ta gọi tập A = esssup A i A cận cốt yếu họ (Ai) viết: i∈I A = UA i a) Chứng minh I khơng q đếm i∈I b) Chứng tỏ ln tồn cận cốt yếu A ∈ ℑ họ (Ai, i ∈ I) ⊂ ℑ A xác định sai khác tương đương Lời giải: Kí hiệu J họ gồm tất tập đếm I Đặt   a = sup P  UA i ÷ ≤ J∈ℑ  i∈ℑ  18 Khi với n ≥ 1, tồn In ∈ ℑ cho:   P  UAi ÷≥ a − n  i∈J n  J = UJ n Đặt: n Rõ ràng:   P  UA i ÷ ≥ a − , ∀n ÷ n i ∈ J   P = UA i = a Từ i∈J A = UAi Đặt i∈J0 Rõ ràng A thoả mãn điều kiện (*) Bây C thoả mãn (*) theo định nghĩa A ⊂ C hầu chắn tương tự C ⊂ A hầu chắn Vậy A = C hầu chắn Bài 15: Giả sử (Ω, ℑ, P) khơng gian xác suất, A B ∈ ℑ Ta nói A = B hầu chắn P(A ∆ B) = Dễ thấy quan hệ quan hệ tương đương Tập A ∈ ℑ gọi ngun tử P(A) > B ∈ ℑ gọi ngun tử P(A) > B ∈ ℑ, B ⊂ A P(B) = B = A (hầu chắn) a) Chứng minh ℑ chứa khơng q đếm lớp tương đương ngun tử b) Giả sử (Ω, ℑ, P) khơng có ngun tử Chứng tỏ với a ∈ [0, 1], tồn A ∈ ℑ cho P(A) = a 19 Lời giải : a) A B hai ngun tử Khi A = B h.c.c A ∩ B = ∅ hầu chắn Thật vậy, A ∩ B ⊂ C nên P(A ∩ B) = A ∩ B = ∅ hầu chắn P(A ∩ B) > hầu chắn Từ A ngun tử nên A ∩ B = A Tương tự A ∩ B = B hầu chắn Vậy A = B hầu chắn Giả sử (�n) tập hợp lớp tương đương ngun tử có xác suất nằm  1 ;   n + n  Rõ ràng �n gồm khơng q n lớp ngun tử Từ suy tập lớp ngun tử khơng q đếm b) Giả sử a ∈ (0, 1) với A ∈ ℑ, P(A) ≠ a Kí hiệu � = {A ∈ ℑ | P(A) < a} � khơng rỗng ∅ ∈ �, � tập thứ tự theo quan hệ bao hàm hầu chắn, đồng thời � tập thứ tự quy nạp, nghĩa phần � thứ tự tồn phần � chứa phần tử lớn A = esssup A i i Thật vậy, � = {i, i ∈ I} Đặt A = UA i 14) chọn tập đếm J ⊂ I cho 20 i∈J (xem tập Đánh số tập J i1 < i2 cho với n ≥ Khi đó: Bin ⊂ Bin +1 hầu chắn ( ) P ( B0 ) = lim P Bi n ≤ a n Nhưng dấu khơng đạt giả thiết Vậy B ∈ � Theo tiên đề Zorn, � có phần tử lớn B0 P(B0) < a Xét �’ = {A ∈ ℑ⃒A ⊃ B0 P(A) > a} Chứng minh tương tự �’ chứa phần tử bé Ta có C0 ⊃ B0 P(C0) > a Đặt D = C0 \ B0 Rõ ràng D ∈ ℑ, P(D) > Ta chứng tỏ D ngun tử Giả sử A ∈ ℑ, A ⊂ D Ta có: < a - P(B0) < Giả sử P(A) < - P(B0) Vì A ∩ B0 = ∅ nên P(B0 ∪ A) = P(B0) + P(A) < a B0 ∪ A ∈ � Từ B0 ∪ A ⊃ B0 nên phải có B0 ∪ A = B0 A = ∅ hầu chắn Giả sử P(A) > a - P(B 0) Khi P(B0 ∪ A) > a B0 ∪ A ⊂ C0 Vì B0 A rời nên A = C0 \ B0 = D h.c.c khơng có ngun tử Điều mâu thuẫn với giả thiết ℑ khơng có ngun tử III Bài tập tự giải Bài 1: Giả sử { Áa , a Ỵ I} W Chứng tỏ I I Áa là họ tùy ý s -đại số 21 s -đại số Bài 2: Giả sử � Ì P ( W) Á Ì P ( W) s lớp tùy ý Kí hiệu I tập hợp tất I Á -đại số mà chứa � Chứng minh ζ = s s -đại số bé chứa �, nghĩa ζ = ( �) Bài 3: Giả sử A k Ì W, k = 1, 2, ,n ÁỴ I Chứng minh s ( { A1, , A k } ) trùng với họ tất tập B biểu diễn dạng hợp số tập hợp đơi khơng giao có dạng ỉ ÷ ÷ B=ç A Ç ç I i÷ ç ÷ ç èiỴ I ø Trong đó, I Ì ỉ ÷ ç ÷, ç A I j÷ ç ÷ ç ÷ èjỴ I ø {1, 2, , n} Bài 4: Giả sử ( W, Á, P) khơng gian xác suất ( An ) Ì Á Chứng minh P ( limA n ) £ limP ( A n ) £ limP ( A n ) £ P ( limA n ) Bài 5: Chứng minh hệ thức sau: limA n È B n = limA n È limB n limA n Ç B n = limA n Ç limB n KẾT LUẬN Sau q trình làm việc ngiêm túc, đề tài nghiên cứu “Bài tập khơng gian xác suất tổng qt” hồn thành dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo Nguyễn Văn Cần 22 Đề tài nghiên cứu tập khơng gian xác suất tổng qt Đề tài nghiên cứu trình bày, cụ thể kiến thức giải tốn xác suất Đề tài nghiên cứu khơng giúp tơi tìm tòi, nghiên cứu bổ sung thêm phần kiến thức xác suất thống mà qua tơi có hội làm quen với hoạt động nghiên cứu khoa học Do trình độ hạn chế thời gian học tập nghiên cứu khơng nhiều nên nội dung đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận giúp đỡ bảo thầy giáo, giáo bạn sinh viên Cuối em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo Nguyễn Văn Cần tồn thể thầy giáo bạn sinh viên khoa khoa học tự nhiên 23 MỤC LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lý thuyết xác suất – Nguyễn Duy Tiến – Vũ Viết n – NXBGD, 2000 [2] Bài tập lý thuyết xác suất – Vũ Viết n – NX ĐHSP, 2006 [3] Bài tập xác suất – Đặng Hùng Thắng – NXBGD, 2008 [3] Xác suất thống –Phạm Văn Kiều – Lê Thiên Hương – NXBGD, 2008 24 Cán chấm thi thi Cán chấm Điểm:……………… Điểm:……………… Họ tên Họ tên (Kí tên) (Kí tên) 25 Kết luận: ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… 26 ... thuyết xác suất – Nguyễn Duy Tiến – Vũ Viết n – NXBGD, 2000 [2] Bài tập lý thuyết xác suất – Vũ Viết n – NX ĐHSP, 2006 [3] Bài tập xác suất – Đặng Hùng Thắng – NXBGD, 2008 [3] Xác suất thống kê –Phạm...chúng Chính vậy, tơi định chọn đề tài Bài tập khơng gian xác suất tổng qt” với mục đích nêu Đối tượng nghiên cứu nội dung nghiên cứu Xác suất thống kê Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài... ngiêm túc, đề tài nghiên cứu Bài tập khơng gian xác suất tổng qt” hồn thành dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo Nguyễn Văn Cần 22 Đề tài nghiên cứu tập khơng gian xác suất tổng qt Đề tài nghiên cứu
- Xem thêm -

Xem thêm: BÀI tập lớn xác SUẤT THỐNG kê, BÀI tập lớn xác SUẤT THỐNG kê, BÀI tập lớn xác SUẤT THỐNG kê, II. Bài tập áp dụng., III. Bài tập tự giải.

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay
Đăng ký
Đăng nhập