Chơng IV Giải tích phi tuyến trong không gian định chuẩn i18. Đạo hàm và vi phân Trong giải tích cổ điển, các khái niệm đạo hàm và vi phân đóng vai trò trung tâm vì vậy, đơng nhiên, khi tổng quát hoá cho trờng hợp không gian định chuẩn, việc xây dựng phép tính vi phân vẫn tiếp tục là một trong những mục tiêu lớn. tuy nhiên, đay là một lĩnh vực đầy khó khăn và phức tạp. Vì vậy ,ở đây ta chỉ làm quen với một số khái niệm đơn giản nhất. 1. Đạo hàm và vi phân . Cho f là ánh xạ từ một tập hợp mở o trong không gian định chuẩn m vào không gian định chuẩn n . ta sẽ nối f làm n hàm hay đơn giản là hàm xác định trên 0 . Định nghĩa 1: ta nói hàm f khả vi tại điểm a 0 , nếu với mọi x 0 đều có: f(x) - f (a) += La(x-a) + (x, x-a) (1) trong đó La là toán tử tuyến tính trên trục từ M vào N, La (x - a) là ảnh của x - a qua La, (a, x-a) là một đại lợng (với giá trị thuộc N) sao cho: ( ) )2(0 , = ax axa ax him Đại lợng La(x-a) (với giá trị thuộc N) gọi là vi phân của hàm f tại a. Bản thân toán tử tuyến tính La gọi là đạo hàm của f tại a và ký hiệu là f'(a) Chú ý: với mỗi a thì La hay f'(a) là toán tử tuyến tính từ M vào Na nhng hàm đạo hàm f': a f'(a) hay f: x f'(x) nói chung là ánh xạ phi tuyến. 2. Đạo hàm định nghĩa nh trên còn gọi là hàm mạnh trong đạo hàm Jreschat Để hiểu rõ khái niệm ta hãy bắt đầu từ trờng hợp đơn giản nhất M = N = R Giả sử f là hàm số xác định trên (, ). Theo định nghĩa, f khả vi tại a, nếu: f(x) - f(a) = La(x-a) + (a, x-a) với (a, x-a) là vô cùng bé cấp cao so với x - a(khi x a). Trong R thì toán tử La đợc xác định bởi một số La: ảnh của x - a qua toán tử tuyến tính La chính là tich (x-a). Nh vậy, tính khả thi và đạo hàm ở đây đơn giản là trùng với các khái niệm đã định nghĩa trong giải tích cổ điển!. Bây giờ ta xét trờng hợp tổng quát hơn một chút: f là ánh xạ từ tập mở O trong R n vào R m . Phần tử của R m hoặc R n sẽ đợc viết dới dạng các cột. Trong trờng hợp này f(x) thực chất là cột gồm m số f 1 (x 1 ) f m (x). Mỗi ánh xạ fk thực chất lại là hàm n biến x 1 , . x n , nếu x = n x x 1 . Do toán tử tuyến tính từ R n đợc thể hiện bởi một ma trận (phụ thuộc )( 1 n a a a = ) nêu đẳng thức (1) đợc tách thành m đẳng thức sau (i = 1, m) 58 ),().()()()( 1 axaaxajafixfi ijj n j += = Nh vậy, f khả vi tại a, nếu mỗi hàm fi đều khả vi tại a, đồng thời y (a) chính là đạo hàm (riêng) của hàm fi theo biến số thứ j. )()( a xj fi aij = (hay tốt nhất ký hiệu là: y (a) = (D j fi)(a)) Bây giờ ta xác lập vài sự kiện đơn giản liên quan đến đạo hàm l. Nếu f(x) = b (ccó định) với mọi O thì f(x) O (tức là toán tử tuyến tính biến mọi h E, thành O F). 2. Đạo hàm của toán tử tuyến tính tại mọi điểm a đều tính toán từ đó. Thật vậy. giả sử L là toán tử tuyến tính từ E vào F. Khi đó, L(x) - L(a) = L(x-a) + (a, x-a) Với (a, x-a) 0 Điều này chứng ypt L'(a) = L với mọi a. Chú ý: 1. Trong trờng hợp M = N = R thì điều này có nghĩa là: đạo hàm của hàm f : x x bằng (tức là f'(x) = hay f'(x) = f vì ánh xạ f đợc thể hiện bởi số ). Việc ở vế trái của đẳng thức có mặt biến x, còn ở vế trái không có x, không có gì là lạ. điều này chỉ có nghĩa là f'(x) không phụ thuộc x. Mặt khác, việc vế trái là giá trị của một ánh xạ tại x, còn vế phải là bản thân ánh xạ (nh một quy luật!) cũng không có gì vô lý, vì f' có giá trị tại x là một ánh xạ (tuyến tính)!. 2. Cần nhấn mạnh thêm khẳng định vừa nêu trên. Ta nói: đạo hàm của toán tử tuyến tính f tại mọi điểm a đều chính là f. Điều này có nghĩa là: giá trị của hàm đạo hàm f' tại a là f. Không đợc hiểu điều này có nghĩa là f' = f (!) Đẳng thức f' = f hoàn toàn sai, chỉ đẳng thức f'(a) = f(a) mới đúng!. Trong trờng hợp tổng quát, cần chú ý rằng hàm f' có miền xác định của f. Nhng toán tử La = f'(a) thì khác hẳn mền xác định của nó là toàn bộ M. Tiếp theo với f là ánh xạ từ tập A (mở) trong R vào R thì f' là ánh xạ từ B A cũng vào R, tức là f(a) và f'(a) đều là các số thực. Trong trờng hợp tổng quát f(a) và f'(a) là hai đối tợng hoàn toàn khác nhau f(a) N còn f'(a) là phần tử của không gian các toán tử liên tục từ M vào N (trong trờng hợp M = R n , N = R n thì f(a) là "vectơ m chiều" còn f'(a) là ma trận dạng m x n. Ta hãy xét một ví dụ tìm đạo hàm trong không gian vô hạn chiều. Xét (phiếu) hàm phi tuyến trên C[0,1] nh sau: (f) = 2 1 0 2 ))(( fdxxf = Ta có: 59 ( ) 2 000000 000000 0 ,,2 ,,2,2,02,,)()( ffffLfffffff ffffffffffffff f +=+= +== Trong đó 0 Lf là toán tử tuyến tính từ C[0,1] vào R (tức là phiếm hàm tuyến tính) biến mỗi g C[0,1] thành 2f 0 , g = 1 0 0 )()(2 dxxgxf . Nh vậy )(' 0 f là phiếm hàm tuyến tính biến mỗi hàm g thành 1 0 0 )()(2 dxxgxf . Nhận xét: Kết quả này có thể tổng quát hoá: nếu là phiếm hàm xác định trên không gian Euclide E, biến mỗi x E thành qxq 2 thì (x 0 ) là phiếm hàm tuyến tính biến mỗi y E thành 2(x 0 , y). Chú ý rằng ánh xạ )(' xx lại không phải là phiếm hàm tuyến tính. Chính giá trị )(' x mới là phiếm hàm tuyến tính (trong khi )(x là số thực không âm!) 2. Các phép toán đối với đạo hàm 1. Cho f và g là hai hàm cùng xác định trên tập mở A trong không gian định chuẩn M và cùng nhận giá trị trong không gian định chuẩn N. Nếu f và g khả vi tại a A thì f và g ( , là hai số) cùng khả vi tại a; ngoài ra: (f + g)' (a) = f' (a) + g'(a). 2. Cho f và g là hai hàm cùng xác định trên tập mở A trong M và nhận giá trị tơng ứng trong các không gian định chuẩn N và P. Nếu f và g cùng khả vi tại a A thì ánh xạ: h : A N x P Cũng khả vi tại a và: h'(a) = (f'(a), g'(a)). ở đây, ta có thể coi N x P là không gian định chuẩn với chuẩn của (a, b) N x P là: ( ) ( ) 22 ,,max),( babahoặcbaba +== 3. Cho f là ánh xạ từ tập mở A trong M vào N. g là ánh xạ từ tập mở B trong N vào P sao cho f(A) B; h = gf: A P. Khi đó, nếu f khả vi tại a, g khả vi tại b = f(a) thì h khả vi tại a và: )3()(')).((')(' afafgah = Tính ở vế phải phải đợc hiểu là tính ánh xạ (theo nghĩa tác dụng liên tiếp): với mỗi x A M thì h'(a)(x) nhận đợc bằng cách sau: trớc hết tác dụng f'(a) lên x, đợc y = f'(a)(x) N sau đó tác dụng g'(b) = g'(f(a)) lên y, ta đợc h'(a)(x) P. Riêng trong trờng hợp M = N = P = R thì tính g'(f(a)). f'(a) là tính các số. 4. Bây giờ xét trờng hợp f, g xác định trên A M nhng đều nhận giá trị trong không gian Euclide E. Xét ánh xạ: : A R )(),( xgxfx 60 Giả sử: f, g cũng khả vi tại a A. )4();(0))(('),()(),)((' );(0))(('),();(0))((')(),()(' );()).(('),()(),;())((' )()(),()(),()( )(),()(),()(),()(),( )(),()(),()()( axaaxagafagaxaf axaaxagafaxaaxagagaxaf axaoaxagafxgaxaoaxaf agxgafxgafxf agafxgafxgafxgxf agafxgxfax ++= ++++= +++= += += = Trong đó o(a,b) là vô cùng bé cấp cao so với h : o(a;b) 0. h h. Xét ánh xạ L a : M R biến mỗi h thành f'(a)(h), g(a) + f(a), g'(a)(b). Rõ ràng ánh xạ này là phiếm hàm tuyến tính trên trục. Mặt khác, (4) có thể viết thành. (x) - (a) = L a (x-a) + o(a; x-a) Nh vậy, khả vi tại a và '(a) = L a Với M = R đẳng thức (4) có thể viết thành: );(0)()('),()(),(')()( axaaxagafagafax ++= Nên ta có công thức quan trọng sau: )(),()(),()(),( a dx dg afaga dx df xgxf dx d ax += = Nhận xét: Nh trên đã nói, nếu f là phiếm hàm trên M và f'(a) tồn tại thì f'(a) là phiếm hàm tuyến tính trên M. Với M là không gian Hilbert thì có thể coi nh f'(a) là phần tử của M. Bài tập: Tính đạo hàm của phiếm hàm f cho bởi công thức: ( ) )(; Mxxxf = i19. Đạo hàm bậc cao Trong bài này, ta nên khái niệm đạo hàm bậc n tuỳ ý của một hàm cho trớc theo hai cách và chỉ rõ mối liên hệ giữa hai cách định nghĩa đó. 1. Định nghĩa hình thức đạo hàm bậc cao Cho f là hàm xác định trên miền mở O trong không gian định chuẩn M và lấy giá trị trong không gian định chuẩn N. Giả sử với mỗi x O thì f'(x) đều tồn tại. Khi đó, nếu chính f' lại khả vi tại a O thì đạo hàm của nó tại a đợc gọi là đạo hàm cấp 2 của f tại a. Cứ tiếp tục nh trong giải tích cổ điển, ta có thể định nghĩa f (n) (a) (đạo hàm cấp n tuỳ ý). Ta đã biết rằng với mỗi a thì f'(a) là phần tử của Ê(M,N). Vì chính f' lại là ánh xạ từ M vào Ê(M,Ê(M,N) và f (n) (a) là phần tử Ê(M,Ê(M,, Ê(M, Ê(M,N)))) điều này cho thấy tính phức tạp ghê ghớm của lý thuyết vi phân trong không gian nhiều chiều và vô hạn chiều, đặc biệt khi phải làm việc với đạo hàm bậc cao. 61 Dới đây, ta sẽ nêu ra một cách để khắc phục khó khăn này: thiết lập mối tơng quan giữa các phân tử của Ê(M, Ê(M,Ê(M,Ê(M,N))) với các ánh xạ đa tuyến tính. 2. ánh xạ đa tuyến tính Định nghĩa: cho M và N là hai không gian tuyến tính. ánh xạ P : M n N (coi nh hàm n biến) đợc gọi là đa tuyến tính (cụ thể hơn là n - tuyến tính) nếu nó là ánh xạ tuyến tính theo mỗi biến x 1 M. Hợp M, N là không gian định chuẩn và xét với n = 1, P là ánh xạ tuyến tính. Với n = 2, P đợc gọi là song tuyến tính. Từ nay trở đi, ta chỉ xét trờng ánh xạ đa tuyến tính liên tục. Dễ chứng minh rằng P là n- tuyến tính và liên tục khi và chỉ khi tồn tại số thực không âm P sao cho: )1( ), .,( 11 nn xxpxxP với mọi (x 1 , x n ) M n Infimum của tập hợp các số p thoả mãn bất đẳng thức (1) đợc gọi là chuẩn của P, ký hiệu là P. Ký hiệu tập hợp mọi ánh xạ n-tuyến tính liên tục từ M n vào N là P(M n , N) và xét ánh xạ :Ê(M,Ê(M,N)) P(M n ,N) biến (n lần M) Mỗi A Ê(M,Ê(M,N)) thành P p(M n , N), trong đó: ( ) ( )( ) )2( , . 21 1 nxn xxAxxP = Để có thể hiểu đợc những điều sắp trình bày, trớc hết ta cần chú ý nghĩa của biểu thức ở vế phải của (2) để đỡ phức tạp, ta xét trờng hợp n = 2. Khi đó, (2) có dạng )3()(),( 2121 xAxxx = Vì A là toán tử từ M vào Ê(M, N) nên nó biến x1 M thành toán tử Ax1 Ê(M, N); tiếp theo toán tử Ax1 lại biến x2 M thành (Ax1)x2 N. Ta có định lý sau: Định lý 1: ánh xạ biến A thành P theo công thức (2) là đẳng cự. Chứng minh: Ta thực hiện việc chứng minh cho trờng hợp n = 2. Trờng hợp tổng quát giải quyết tơng tự. Tính tuyến tính của ánh xạ là hiển nhiên. Tiếp theo với P xác định bởi A theo (3) ta có: APrasuyxxAxAxxxP = : )(,( 212121 Mặt khác, với P là phần tử tuỳ ý của P(M 2 , N) xét toán tử phụ thuộc x 1 nh sau: ),( : 212 1 xxPx NMA x Rõ ràng: 1 x A Ê(M, N). Mặt khác cũng dễ thấy ánh xạ A : M Ê (M, N) x 1 A x1 là phần tử của Ê(M, Ê(M, N)) và P. Xác định bởi A qua (3). Do đó, là toán tính (tuyến tính và liên tục). 62 Lại có: )5(.,()(sup 121 1 21 1 1 22 PAnenxPxxPSupxAxAx xx == == Từ (4) và (5) suy ra là đẳng cự, (đpcm). Nhận xét: Định lý trên cho phép ta định nghĩa đạo hàm bậc 2 của hàm f từ O M vào N nh phần tử của P(M2, N), tức là dạng song tuyến tính; đạo hàm bậc 3 nh phần tử của P(M3, N), tức là dạng tam tuyến tính v.v 3. Định thức Taylon Định lý 2: Cho f là hàm xác định trên O M và lấy giá trị trong N. Giả sử f(n)(x) tồn tại với mọi x O và liên tục đều trên O. Khi đó = += n k lank k axaaxaxaf k xf 0 )( ),(); .()( 1 1 )( Trong đó x, a O vào (a,x-a) là vô cùng bé cấp cao so với qx-aq. Chứng minh: Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. Với n = 1, đẳng thức là hiển nhiên. Giả sử khẳng định đúng với n 1, tức là với bất kỳ một hàm g nào trên O mà g(m1) (y) tồn tại với mọi y O và liên tục đều trên O, đều có: = += 1 0 )( ),(), .()( ' 1 )( n k lank k ayaayayag k yg Ta phải chứng minh (6) (với mọi f thoả mãn điều kiện của định lý). Thật vậy, áp dụng (7) cho g(y) = f(y). ta có: = + += 1 0 )1( ),(), .()( ' 1 )(' n k lank k ayaayayaf k yf Suy ra, với mọi t [0;1] thì: f(a+ t(x-a)) ; = + + 1 0 )1( ))(;(); .()( ' n k k k axtaaxaxaf k t Cho hai vế của đẳng thức này (nh hai toán tử) tác dụng lên x-a rồi lấy tính phân theo t từ 0 đến 1, ta đợc: )8();(; .)( ! ),(), .,()( )1( )())((')(()( 1 )( 1 0 1 )1( 1 1 0 axaaxaxaf k t axaaxaxaf k t dtaxaxtafafxf lank n k k k n k lank k k += + + = =+ = = + + + Trong đó (a;x-a) = 1 0 )))((;( dtaxaxta Chuyển f(a) từ vế trái của (8) sang vế phải (thành f(a)), ta có (6) (đpcm). i20. Cực trị của phiếm hàm 63 Một trong những hớng tổng quát hoá bài toán cực trị của hàm số là tìm cực trị của phiếm hàm bài toán qua trọng nhất của phép tính biến phân. Tuy nhiên, trong phép tính biến phân. tuy nhiên, trong phép tính biến phân, các phiếm hàm đợc nghiên cứu th- ờng có tính chất đặc biệt và do đó với chúng có thể dùng những th pháp đặc biệt. ở đây ta xét bài toán cực trị của hiếm hàm ở dạng chung nhất. 1. Phát biểu bài toán, điều kiện cần để có cực trị Cho f là phiếm hàm thực trên không gian. Ta nói f đạt cực tiểu tại a, nếu tồn tại r > 0 sao chio bên trong B(a, r) thì f(a) là giá trị nhỏ nhất của f (f(a) f(x) với x B(a, r)). Cực đại của f định nghĩa tơng tự. Định lý: Nếu phiếm hàm f đạt cực trị (cực đại hoặc cực têỉu) tại a và f(a) tồn tại thì f(a) = 0 Chứng minh: ta có f(x) f(a) = f(a) (x-a) + 0(x-a) (1) Giả sử f(a) 0. Lấy x = a+ t.h (t là số thực) Khi đó: f(x) f(a) = f(a+t.h) f(a) = f(a) . t.h + 0(t.h) (2) Vì vế phải của (2) là hàm thực biến thực nên suy ra: tồn tại sao cho khi t < và t 0 thì f(x) f(a) cùng dấu với f(a) t.h. Nhng vì có t có thể lấy hai dấu khác nhau nên f(x) f(a) cũng thế, tức là f(a) không phải cực trị. Suy ra f(a) = 0 (đpcm). Ví dụ: Xét ánh xạ : C[0, 1] R, biến mỗi f C[0,1] thành ( ) + 1 0 22 )( dxxxf Ta có: +=+=+= +++=+ 1 0 1 0 2 1 0 22 2 1 0 2 1 0 22 .2)()().(2))()()(2( ))(())()(()()( hhfdxxhdxxhfxdxxhxfxh dxxxfdxxxhxffhf Do đó, có thể đạt cực trị phải thoả mãn điều kiện (f) = 0 hay 2f = 0 tức là f = 0 (f(x) 0 trên [0,1]). Điều này cũng có thể thấy trực tiếp từ dạng của phiếm hàm vì + 1 0 22 ))(( dxxxf rõ ràng nhỏ nhất khi và chỉ khi f(x) 0, và đây là cực trị duy nhất. Định lý 2: Giả sử phiếm hàm thực f trên không gian Banach M khả vi tới cấp hai tại và đạt cực tiểu (cực đại) tại a. Khi đó f(a) (h,h) 0 ( 0) với mọi h M. Chứng minh. Ta có: 2 2 (0),)(('' 2 1 0),)(('' 2 1 a)-f(a)(x f(a) f(x) axaxaxaf axaxaxaf += ++= Giả sử tồn tại h sao cho f(a)(h,h) < 0 khi đó, với x = a + t.h, ta có: 64 )(0),)(('' 2 )().( 2 2 thhaf t afhtaf +=+ tức là f(a+t.h) < f(a) với t đủ nhỏ, mâu thuẫn với giả thiết, từ đó suy ra đpcm. 2. Điều kiện đủ để có cực trị Đối với trờng hợp M là không gian hữu hạn chiều, nh ta biết, điều kiện f(a) = 0 và f(a) (h,h) > 0 với mọi h 0 là đủ để f đạt cực tiểu tại a. Tuy nhiên, đối với trờng hợp vô hạn chiều thì không phải nh vậy. ở đây ta cần một điều kiện mạnh hơn liên quan đến khái niệm tính dơng mạnh. Định nghĩa: Phiếm hàm song tuyến tính P trên M 2 đợc gọi là dơng mạnh, nếu tồn tại c > 0 sao cho với mọi x M đều có: )3(),( 2 xcxP Định nghĩa 3: Nếu f(a) = O và f(a) là phiếm hàm song tuyến dơng mạnh thì tại a phiếm hàm f đạt cực tiểu (Điều kiện tơng tự có thể phát biểu cho cực đại) Chứng minh: Do f(a) = 0 nên )4()(0),)(('' 20 1 f(a) f(x) 2 axaxaxaf += Chọn r > 0 đủ nhỏ sao cho khi qx-aq < r thì 22 4 )(0 ax c ax , với c là số d- ơng sao cho: fâ(x,x) c, qxq 2 . Khi đó: f(x) f(a) 222 242 ax c ax c ax c = từ đó suy ra đpcm. Sau đây là một ví dụ chứng tỏ điều kiện f(a)(h,h) > 0 với mọi h 0 (cùng với điều kiện f(a) = 0) cha đủ để f đạt cực tiểu tại a. Xét ánh xạ f : l 2 R biến phần tử x = (x 1 , x n ) thành: = = 1 ) 4 3 2 ()( n n x n n n x xf Ta có: = , .) 3 4 3 2 , ., 3 1 4 1 1 2 )(' n x n n x x x xf còn f(x) là ma trận đờng chéo cấp vô hạn mà phần tử thứ n trên đờng chéo là: n x n 12 2 3 Do đó: f(0) = 0 và f(0) là ma trận đờng chéo mà phân tử thứ n trên đờng chéo là 3 2 n . Vì vậy, f(0)(h,h) = 0 2 1 2 > = n n n h với mọi h = (h 1 , h n ) 0. Mặc dù vậy, với x (n) = 0, 0, n 1 , 0) trong đó n 1 đứng ở vị trí thứ n, ta có: ( ) 0 11 45 )( <= nn xf n vì với n lớn, x (n) gần 0 bao nhiêu tuỳ ý nên f(0) không thể là giá trị cực tiểu! (Ví dụ này lấy từ các yếu tố lý thuyết hàm và giải tích hàm của A. Kolmogorov và S. Fomin, NXB Nauka Moskva, 1972, bản tiếng Nga). 65 i21.đạo hàm và vi phân yếu Đạo hàm và vi phân đã xét ở Đ9. Còn gọi là đạo hàm và vi phân mạnh (hay đạo hàm và vi phân Freschet). ở đây ta sẽ định nghĩa một loại đạo hàm khác gọi là đạo hàm yếu và xét mối liên hệ cảu nó với đạo hàm mạnh. 1. Định nghĩa đạo hàm và vi phân yếu Cho f là ánh xạ từ tập mở A trong không gian Banagh B vào không gian Banach B. Giả sử với a A và qhq đủ nhỏ, giới hạn t afthaf him t )()( 0 + tồn tại (trong đó t là tham số thực). Khi đó, giới hạn này đợc gọi là vi phân yếu của f tại a (ứng với gia lơng h) và ký hiệu là Df(a,h). Chú ý rằng Df(a,h) có thể không tuyến tính đối với h. Trong trờng hợp Df(a,b) tuyến tính theo h, tức là: Df(a,h) = L a (h) Với L a là toán tử tuyến tính từ E vào F thì L a thì đợc gọi là đạo hàm yếu của f tại a và ký hiệu là f n (a). Bây giờ ta giả sử a và x là hai điểm trong A sao cho đoạn thẳng: [a,b] = { + x + (1-t)a a t 1} Nằm trọn trong A, ngoài ra f có đạo hàm yếu tại mọi điểm y [a, x] xét phiếm hàm tuyến tính liên tục trên B và đặt g(t) = (f(a+t)(x-a)). Đây là hàm xác định trên [0, 1] và lấy giá trị bằng số. Ta có: +++ = +++ = + t axtafaxtaxtaf t axtafaxttaf t tgttg ))((())()(( ))((()))(((()()( Cho t 0, ta có: g(t) = (f (a+t(x-a))(x-a)) áp dụng định lý Lagrange cho hàm g(t), ta có: g(1) g(0) = g(Q), với a Q 1. Hay: (f(x) f(a)) = (f (a+Q(x-a)(x-a)) Suy ra: axaQafafxf Q + .))(sup))()(( ' 10 Nếu thoả mãn điều kiện: )()(.)()(( afxfafxf = Thì từ (1) ta có: )2())((sup)()( ' 10 axaxQafafxf Q + 66 Trong (2) nếu thay f(x) bởi f(x) f (a)(x-a) thì f(a) thay bởi f(a) = f (a)(a-a) = f(a), nên (2) trở thành: qf(a) f(a) = f (a)(x-a)q )3()())((sup '' 10 axafaxQaf n Q + 2. Liên hệ giữa đạo hàm yếu và đạo hàm mạnh Định lý 1: Nếu f(a) tồn tại thì f (a) tồn tại và chúng bằng nhau Chứng minh: Thật vậy, theo giả thiét thì: f(a+t.h) f(a) = f(a)(t.h) + 0(th) = t(f(a)(h) + (th) nên: ))((' )(0 ))((' )(( haf t th haf t athaf += + Chứng tỏ f khả vi yếu tại a và f (a) = f(a). Bây giờ ta xét ví dụ khi đạo hàm yếu tồn tại nhng đạo hàm mạnh không tồn tại. Xét hàm hai biến: == + + = 0y x nếu y2 x2 nếu 0 ),( 24 3 yx yx yxf Hàm này liên tục trên toàn mặt phẳng Mặt khác (với h = (l,m)) ta có: 0 )( .0),()0().0( 342 3 2244 33 242 + = + = + = + mlt mtl tmtlt tmlk mlt tmtlf t fhtf Vậy f (0) tồn tại và bằng 0 (chính xác: phiếm hàm tuyến tính biến h thành 0) Theo định lý vừa chứng minh, nếu f(0) tồn tại thì nó cũng phải bằng 0 (phiếm hàm tuyến tính 0) . Do đó: f(x,y) f(0,0) f(x,y) = 0 + 0( ) 22 yx + Tuy nhiên, điều này không đúng, ví dụ khi y = x 2 , ta có: ( ) 42 4 5 2 0 22 ),( xx x x x xxf +== Dựa vào ví dụ này, bạn đọc hãy tự tìm một ví dụ khác cho trờng hợp B là không gian vô hạn chiều. Định lý 2: Nếu f (x) tồn tại với mọi x thuộc một lân cận của a và là hàm trên đồng thời liên tục tại a thì f(a) tồn tại (và bằng f (a)). Chứng minh: Theo giả thiết từ Df(a,h) tồn tại và bằng f (a)(h). Chọn h sao cho qhq đủ nhỏ, ta sẽ có a + th với mọi t [0,1]. Xét biểu thức. (a,h) = f(a+h) f(a) f (a)(h) (4) Nếu là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên B thì từ (4) ta có 67 [...]... một ánh xạ tuyến tính liên tục từ B vào B và nói chung là phi tuyến tính mà f(x) mới là ánh xạ tuyến tính ánh xạ f là ánh xạ từ [a,b] vào không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ B vào B và nói chung là phi tuyến, còn f(x): B B': y f ( x)( y ) k là tuyến tính) Khi đó, công thức g(t) = f(a+z(b-a)) (b-a) cho ta một ánh xạ g: [0,1] B' 1 g (t )dt là tích phân từ a đến Nếu hàm này khả tích nh định... qhq, (chú ý: không phải vi phân mà chính là đạo hàm) i22 .Tích phân Riemann Lý thuyết tổng quát nhất về tích phân trên một tập hợp tuỳ ý đợc xây dựng nhờ khái niệm độ đo hoặc bằng phơng pháp tiên đề ở đây, ta chỉ hạn chế bởi việc xây dựng tích phân Rimann của hàm f xác định trên một đoạn thẳng và lấy giá trị trong một không gian Banach B 1 Định nghĩa tích phân 68 Xét một đoạn [a,b] của trục số thực Trong... ) = y 2 (10) 1 , còn vế trái là 1 xydx = y xdx 0 cũng bằng 0 y 2 Đẳng thức (10) cũng có thể nhận đợc bằng cách áp dụng(4) trong định lý ở trên Thật vậy với mỗi y, xét toán tử( phi u hàm tuyến tính) Ly: R là thác triển của phi u hàm trong C[0,1] biến mỗi hàm h C[ 0,1] thành h(y), ( nh vậy Ly(h) = h(y) nên ly(f(x)) = f(x)(y); đặc biệt, trong ví dụ trên thì ly(f(x)) = xy) Do đó, (10) chính là đẳng thức... ) dx a ( 2) (3) Trong đó: M =max f ( x) [ a ,b ] Định lý sau đây cho thấy một tính chất quan trọng của tích phân Định lý: Nếu L là toán tử tuyến tính liên tục từ B vào không gian Banach B và f: [a,b] B là hàm khả tính thì: b L( f ( x) )dx = L f ( x )dx a a b (4) Chứng minh: Không sa vào lý giải quá chi tiết, ta có thể trình bày sơ lợc( nhng rõ ràng) quá trình chứng minh nh sau: b Ta có: L(... xn-1) k Bây giờ xét hàm f: [a, b] B Ta nói f khả tích trên [a,b] nếu tồn tại phần tử I B thoả mãn điều kiện sau: với mọi > 0 đều tìm đợc > 0 sao cho khi (x1, xn-1) < và ( , n ) tuân theo (x1, xn-1) thì: 1 n ( xk xk 1) f (k ) I < k =1 (1) Khi đó, ta viết: I= him ( x , , x ) 0 1 n 2 (n + ) n (x x k =1 k k1 ) f ( k ) Đồng thời gọi I là tích phân (Riemann) của hàm f trên [a,b] và viết b... ) n n k =1 k =1 = l lim ( xk xk 1 ) f ( k ) = l f ( x)dx k =1 a n b 69 b Hệ quả: nếu b = /R và k là phần tử của B thì a b f ( x ).k dx = f ( x) dx k a 2 Một vài ví dụ về tính tích phẩn trong không gian vô hạn chiều: Ký hiệu H là bao đầy đủ của không gian Enclide C[0,1] xét ánh xạ f từ [0,1] vào H, biến mỗi x [ 0,1] thành f(x) [ 0,1] nh sau: f(x),(y) =xy (Chú ý: f là hàm trên... Chú ý rằng biểu thức f(x)dx, không phải là phân tử của B hay B nhng có thể thực hiểu đó là ảnh qua cách ánh xạ f(x) của phần tử dx B , tức là f(x)dx= f(x)(dx) B Công thức (11) vừa cho ta định nghĩa tích phân ở vế phải, vừa cho ta cách tính nó bằng việc đổi qua biến số thực 4 Công thức Newton leibnilz: 71 Quay lại trờng hợp f la hàm xác định liên tục trên [a,b] và lấy gia trị trong không gian b Xét . Chơng IV Giải tích phi tuyến trong không gian định chuẩn i18. Đạo hàm và vi phân Trong giải tích cổ điển, các khái niệm đạo hàm. tử tuyến tính từ C[0,1] vào R (tức là phi m hàm tuyến tính) biến mỗi g C[0,1] thành 2f 0 , g = 1 0 0 )()(2 dxxgxf . Nh vậy )(' 0 f là phi m hàm tuyến