Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

46 82 0
  • Loading ...
Loading...
1/46 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/05/2017, 13:27

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - TR NH TH NG C TÍNH N Đ NH H TUY N TÍNH KHÔNG ÔTÔNÔM NG D NG TRONG ĐI U KHI N Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C S KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: GS.TSKH Vũ Ng c Phát Hà N i - Năm 2015 M cl c M ĐU CƠ S TOÁN H C 1.1 H phương trình vi phân 1.1.1 H phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm 61.1.2 Các đ nh lý t n t i nh t nghi m 1.2 Tính n đ nh h phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán n đ nh h phương trình vi phân 71.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 M t s b đ b tr Tính n đ nh c a h phương trình vi 2.1 H n tính ôtônôm 2.1.1 M t s đ nh lý s 2.1.2 Bài toán n đ nh hóa 2.2 H n tính không ôtônôm 2.2.1 Bài toán n đ nh 2.2.2 Bài toán n đ nh hóa K T LU N Tài li u tham kh o phân n tính 6 7 10 12 13 13 13 18 20 22 26 36 37 M ĐU Bài toán n đ nh m t nh ng toán quan tr ng lý thuy t đ nh tính phương trình vi phân tích phân Nói m t cách hình tư ng, m t h th ng đư c g i n đ nh t i tr ng thái cân b ng n u nhi u bé u ki n ban đ u ho c c u trúc c a h th ng không làm cho h th ng thay đ i nhi u so v i tr ng thái cân b ng Đư c b t đ u nghiên c u t nh ng năm cu i th k XIX b i nhà toán h c V Lyapunov, đ n lý thuy t n đ nh Lyapunov tr thành m t b ph n nghiên c u không th thi u lý thuy t phương trình vi phân, lý thuy t h th ng ng d ng Đ c bi t t nh ng năm 60 c a th k XX, v i s phát tri n c a lý thuy t u n, ngư i ta b t đ u nghiên c u tính n đ nh c a h u n hay g i tính n đ nh hóa c a h u n, tính n đ nh mà Lyapunov đ xư ng trư c th hi n t m quan tr ng c a s phát tri n liên t c c a toán h c.Vì nh ng lý v a phân tích mà cho đ n tính n đ nh đư c nghiên c u phát tri n m t lý thuy t toán h c đ c l p có nhi u ng d ng h u hi u t t c lĩnh v c t kinh t đ n khoa h c kĩ thu t Như bi t, có nhi u phương pháp đ nghiên c u tính n đ nh h phương trình vi phân Ch ng h n như: phương pháp th nh t Lyapunov (hay g i phương pháp s mũ đ c trưng), phương pháp th hai Lyapunov (hay g i phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp x p x , phương pháp so sánh, M i phương pháp đ u có ưu c m riêng Trong lu n văn này, nghiên c u tính n đ nh h n tính không ôtônôm ng d ng u n theo phương pháp th hai: phương pháp hàm Lyapunov Lu n văn đư c chia thành hai chương: Chương Cơ s toán h c Chương trình bày m t s ki n th c s chu n b cho n i dung c a lu n văn C th trình bày nh ng M ĐU khái ni m b n v h phương trình vi phân, toán n đ nh, phương pháp hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh c a h phương trình vi phân Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Chương trình bày m t s k t qu v tính n đ nh c a h phương trình vi phân N i dung c a chương trình bày u ki n c n đ tính n đ nh c a h n tính không ôtônôm Đ ch ng minh, s d ng phương pháp hàm Lyapunov kĩ thu t đánh giá b t đ ng th c ma tr n n tính Ngoài ra, trình bày ng d ng c a h không ôtônôm toán n đ nh hóa h u n Đóng góp c a lu n văn trình bày m t cách h th ng toán n đ nh, n đ nh hóa h n tính không ôtônôm v i ví d minh h a m i L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n nhi t tình nghiêm kh c c a GS.TSKH Vũ Ng c Phát Th y dành nhi u th i gian hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t trình làm lu n văn Tôi mu n bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n th y Qua đây, xin g i t i quý th y cô Khoa Toán-Cơ-Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, th y cô tham gia gi ng d y khóa cao h c 2012- 2014, l i c m ơn sâu s c nh t đ i v i công lao d y d su t trình h c t p c a t i nhà trư ng Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè b n đ ng nghi p thân m n quan tâm, t o u ki n c vũ, đ ng viên đ hoàn thành t t lu n văn c a Hà N i, tháng năm 2015 Tác gi lu n văn Tr nh Th Ng c B ng kí hi u R Rn R+ Không gian s th c Không gian vecto n chi u T p h p s th c không âm R AT I λ(A) λmax(A) A≥0 A>0 BM +(0, ∞) b ch n (0, ∞) Không gian ma tr n n ⋅ r chi u Ma tr n chuy n v c a ma tr n A Ma tr n đơn v T p t t c giá tr riêng c a A max {Reλ, λ ∈ λ(A)} Ma tr n A xác đ nh không âm Ma tr n A xác đ nh dương T p hàm ma tr n đ i x ng, xác đ nh không âm n ⋅r C([a, b], Rn) T p t t c hàm liên t c [a, b] nh n giá tr n R Chu n ph c a ma tr n A, A = λmax(AT A) A BC([0, ∞), Rn⋅m) T p t t c ma tr n hàm c p n ⋅ m, liên t c b ch n [0, ∞) BC+([0, ∞), Rn⋅m) T p t t c ma tr n hàm đ i x ng, xác đ nh dương c p n ⋅ m, liên t c b ch n R+ L2([t, s], Rn) T p t t c không gian kh tích Rn nh n giá tr [t, s] Chương CƠ S TOÁN H C Trong chương này, trình bày nh ng ki n th c s v h phương trình vi phân: khái ni m b n v h ôtônôm, không ôtônôm n đ nh h phương trình vi phân, có trình bày phương pháp th hai c a Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov đ i v i toán n đ nh h phương trình vi phân Chúng nh c l i m t s k t qu làm s cho n i dung nghiên c u chương sau N i dung chương đư c trình bày t tài li u [1, 2, 5] 1.1 1.1.1 H phương trình vi phân H phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm R t nhi u trình t nhiên, v t lý, h c, sinh h c đư c mô t b i phương trình vi phân Các phương trình vi phân th hi n m i quan h gi a bi n th i gian, tr ng thái c a h th ng v n t c thay đ i c a tr ng thái t i m t th i m ta phân làm hai lo i: h phương trình vi phân ôtônôm h phương trình không ôtônôm M t h phương trình vi phân ôtônôm h phương trình vi phân có d ng: x(t) = f (x), ˙ t ≥ 0, x ∈ Rn; f (.) : Rn → Rn Hay nói cách khác, h phương trình vi phân ôtônôm h phương trình vi phân mà v ph i không ph thu c vào bi n th i gian t Ngư c l i, h phương trình vi phân không ôtônôm h phương trình vi phân mà v ph i ph thu c vào bi n th i gian t, t c phương trình c a có d ng x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ 0, (1.1) Chương CƠ S TOÁN H C v i x ∈ Rn; f (.) : [0, +∞) ⋅ Rn → Rn 1.1.2 Các đ nh lý t n t i nh t nghi m Xét phương trình vi phân không ôtônôm (1.1), f xác đ nh liên t c mi n G = (a, b) ⋅ {y ∈ Rn : y − y0 ≤ r} Cùng v i phương trình (1.1) ta xét toán Cauchy : t ≥ 0, x(t) = f (t, x(t)), ˙ x(t0) = x0 (1.2) Đ nh lý sau kh ng đ nh s t n t i nghi m x(.) m t lân c n c a t0 Đ nh lý 1.1 (Đ nh lý t n t i đ a phương) Gi s f ánh x liên t c t G sang Rn th a mãn u ki n sau v i m i t ∈ (a, b), x, y ∈ Bn(x0) = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ η} f (t, x) ≤ M1, f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , M1, M2 h ng s không ph thu c vào t, x, y Khi đó, t n t i s δ > (δ = M1 , M2 ) cho v i m i t0 ∈ (a, b), kho ng η (t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) toán Cauchy (1.2) có m t nghi m x(t) th a mãn φ(t) − x0 ≤ η Đ nh lý 1.2 (Đ nh lý t n t i toàn c c) Gi s f (.) : R+ ⋅ Rn → Rn liên t c th a mãn u ki n sau : ∀t ∈ R+, x ∈ Rn, f (t, x) ≤ M1 + M0 x , ∀t ∈ R+, x ∈ Rn f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , Khi đó, v i b t kì m x0 ∈ Rn, t0 ∈ R+, t n t i nh t m t nghi m x(t) c a toán Cauchy c a phương trình (1.2) toàn kho ng R+ 1.2 1.2.1 Tính n đ nh h phương trình vi phân Bài toán n đ nh h phương trình vi phân Xét h phương trình vi phân không ôtônôm x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ 0, (1.3) Chương CƠ S TOÁN H C f : R+ ⋅ Rn → Rn Gi s f th a mãn u ki n c n thi t đ toán Cauchy (1.2) có nghi m nh t R+ Gi s x = η(t) nghi m c a (1.3) xác đ nh R+ Ta đ t y = x − η(t), t c y đ l ch c a nghi m x v i nghi m η(t) Vì η˙(t) = f (t, η(t)) nên ta nh n đư c phương trình vi phân đ i v i y: y˙ = g(t, y), g(t, 0) = nên h phương trình y˙ = g(t, y) có nghi m t m thư ng y = ng v i nghi m cho x = η(t) c a phương trình x = f (t, x) ˙ Như v y vi c nghiên c u tính n đ nh c a nghi m x = η(t) không gian Rn đư c đưa v nghiên c u tính n đ nh c a nghi m t m thư ng y = Rn Do đó, không m t tính t ng quát, ta gi s phương trình (1.1) có nghi m t m thư ng x = 0, t c f (t, 0) = Đ nh nghĩa 1.1 Nghi m t m thư ng x = đư c g i n đ nh n u ∀ε > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0) > cho t b t đ ng th c x(t0) ≤ δ suy x(t) < ε, v i ∀t ≥ t0 Đ nh nghĩa 1.2 Nghi m t m thư ng x = đư c g i n đ nh ti m c n n u n đ nh m i nghi m x(t) th a mãn: lim t→+∞ x(t) = Đ nh nghĩa 1.3 Nghi m t m thư ng x = đư c g i n đ nh mũ n u ∃M > 0, α > cho v i m i nghi m x(t) c a phương trình (1.1) th a mãn: − x(t) M x(t0) e α(t−t0), ∀t ≥ t0 Ta quy c thay nói nghi m t m thư ng c a h (1.1) n đ nh ( n đ nh ti m c n, n đ nh mũ ) ta nói r ng h (1.1) n đ nh ( n đ nh ti m c n, n đ nh mũ ) Ví d 1.1 Xét h phương trình vi phân sau Rn x(t) = αx(t), ˙ t ≥ Chương CƠ S TOÁN H C Nghi m x(t), v i x(t0) = x0 cho b i công th c α x(t) = x0e t, Khi h t ≥ n đ nh (ti m c n, mũ) n u α < N u α = h n đ nh Ví d 1.2 Xét phương trình vi phân t ≥ 0, x(t) = a(t)x(t), ˙ đó, a(t) : R+ → R hàm liên t c, nghi m x(t) c a h v i u ki n ban đ u x(t0) = x0 cho b i t x(t) = x0 a(t)dt t0 Do d ki m tra đư c h n đ nh n u t t0 a(τ )dτ ≤ µ(t0) < +∞, ∀ t ≥ t0 n đ nh ti m c n n u t lim t→∞ t0 a(τ )dτ = −∞ Đ gi i toán n đ nh h phi n, Lyapunov đưa hai phương pháp: - Phương pháp th nh t: N i dung c a phương pháp nghiên c u tính n đ nh thông qua s mũ Lyapunov ho c thông thư ng d a vào h x p x n tính N u v ph i đ t t tính n đ nh s đư c rút t tính n đ nh c a x p x n tính - Phương pháp th hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp đư c xem cách ti p c n nghiên c u v tính n đ nh N i dung c a phương pháp d a vào s t n t i c a m t l p hàm toàn phương đ c bi t (g i hàm Lyapunov) mà tính n đ nh c a h cho đư c ki m tra tr c ti p qua d u c a đ o hàm (d c theo qu đ o xét) c a hàm Lyapunov tương ng Hi n chưa có m t thu t toán t ng quát đ tìm đư c hàm Lyapunov cho t t c phương trình Sau xin trình bày nh ng k t qu c a phương pháp Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Lt (P ) = P (t) P (t) + Q ˙ P (t) 00 Khi tính n đ nh mũ c a h tương đương v i u ki n zT Lt(P )z < 0, Ntz = 0, t ∈ R+ T M nh đ 2.2 Đ nh lý 2.3, ta đưa h qu cho tính n đ nh mũ c a h LTV (2.12) sau H qu 2.1 [7] Cho A ∈ BC([0, ∞)Rn⋅n), u ki n sau tương đương (i) H LTV (2.12) n đ nh mũ, t c zT Lt(P )z < 0, (ii) ∃β > 0, ∀t ∈ R+ : t ∈ R+ Ntz = 0, z = 0, Lt(P ) − βNtT Nt < (iii) ∃M ∈ R2n⋅n, ∀t ∈ R+ : Lt(P ) + M Nt + NtT M T < 2.2.2 Bài toán n đ nh hóa Xét h u n n tính không ôtônôm x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), , ˙ x(0) = x0, (2.14) ∀t ≥ x(t) ∈ Rn vectơ tr ng thái, u(t) ∈ Rm vectơ u n, A(t) ∈ Rn⋅n, B(t) ∈ Rn⋅m ma tr n hàm Xét h u n liên h ngư c u(t) = K(t)x(t), t ≥ (2.15) Đ nh nghĩa 2.5 H u n (2.14) n đ nh hóa đư c n u có hàm u n liên h ngư c (2.15) cho h đóng x(t) = [A(t) + B(t)K(t)]x(t), ˙ n đ nh ti m c n 26 t ∈ R+ (2.16) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Đ nh lý 2.6 H (2.14) n đ nh hóa đư c n u t n t i ma tr n P (t) đ i x ng, xác đ nh dương đ u, b ch n ma tr n h ng s Q > th a mãn phương trình Riccati sau : P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)BT (t)P (t) + Q = 0, hàm u n liên h ngư c là: t ≥ u(t) = −1BT (t)P (t)x(t), Ch ng minh Xét hàm Lyapunov cho h đóng (2.14): V (t, x(t)) =< P (t)x(t), x(t) >, ta có ngay: α2 x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ α1 x(t) 2, : α1 = sup P (t) t≥0 α2 = c, (< P (t)x, x >≥ c x 2, ∀t, ∀x) Đ o hàm theo t c a hàm V (.) ta có: V˙ (t, x(t)) =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), x(t) > ˙ =< P˙ (t)x(t), x(t) > + < (AT (t)P (t) + P (t)A(t))x(t), x(t) > − < P (t)B(t)BT (t)x(t), x(t) > = − < Qx(t), x(t) > ≤ −λmin(Q) x(t) V y V (t, x(t)) hàm Lyapunov ch t c a h đóng Đ nh lý đư c ch ng minh Ví d 2.8 Xét tính n đ nh c a h sau:  ˙  x  =− et − 1x  t t 2− e − e t 2et 27 y Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Khi :  −et − A(t) =    2et e t − et −  , 2et Vì ma tr n P (t) = e0 e0t , t ma tr n đ i x ng, xác đ nh dương đ u ma tr n h ng s B(t) = t , Q= , 01 th a mãn phương trình Riccati: P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)BT (t)P (t) + Q = 0, V y h n đ nh hóa Sau ta xét toán n đ nh hóa đư c thông qua u n liên h ngư c theo đ u u(t) = F y(t) cho h u n quan sát sau x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), ˙ y(t) = C(t)x(t), t ≥ 0, đó, y(t) ∈ RP bi n quan sát đ u ra, C(t) ∈ Rp⋅n Đ nh nghĩa 2.6 H (2.17) n đ nh hóa đư c b i ma tr n n đ nh liên h ngư c theo đ u u(t) = K(t)y(t), n u h đóng: x(t) = [A(t) + B(t)K(t)C(t)]x(t), ˙ n đ nh ti m c n Ta gi s ma tr n hàm A(t), B(t), C(t) liên t c t ∈ R+, hàm u n u(t) ∈ L2([0, T ], Rm), ∀T > Do v i m i x0 ∈ Rn v i m i u n u(t), nghi m c a h (2.17) đư c cho b i x(t) = Φ(t, 0)x0 + t Φ(t, s)B(s)u(s)ds, φ(t, s) ma tr n chuy n n đ nh c a h 28 (2.17) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Đ nh nghĩa 2.7 [6] H [A(t), B(t)] u n đư c hoàn toàn v th i gian h u h n n u v i m i x0 ∈ Rn, ∃T > u n u(t) cho Φ(N, 0)x0 + T Φ(T, s)B(s)u(s)ds = Đt N CT = Φ(T, s)B(s)BT (s)ΦT (s)ds, M (t) = [M0(t), M1(t), , Mn−1(t)], M0 = B(t), d Mi+1(t) = −A(t)Mi(t) + dtMi(t), i = 0, 1, , n − M nh đ 2.3 [6] H u n [A(t), B(t)] u n đư c hoàn toàn v th i gian h u h n n u ch n u th a mãn m t u ki n sau: (i) Ma tr n CT xác đ nh dương v i T > (ii) A(t), B(t) hàm kh tích rank M (t0) = n v i t0 > Cùng v i h [A(t), B(t)] ta xét RDE sau: P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)BT (t)P (t) + Q(t) = 0, (2.18) P (.), Q(.) ∈ Rn⋅n M nh đ 2.4 [3] N u h [A(t), B(t)] u n đư c hoàn v th i gian h u h n, v i m i ma tr n Q(t) đ i x ng, xác đ nh dương phương trình RDE (2.18) có nghi m P (t) ∈ M ([0, +∞), Rn ) + M nh đ 2.5 [7] V i m i ma tr n th c A(t) ∈ Rn⋅n, t n t i ma tr n Q(t) ≥ cho Q(t) − A(t) ≥ 0, ∀t ≥ 29 Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Ch ng minh Cho αt = (α1(t), α2(t), , αn(t) ∈ Rn, t ∈ R+, ta đ t  α (t) 0  α2(t) 0 Q ( α t) =    0 αn(t) Ta s ch r ng t n t i s αi(t), i = 1, 2, , n cho Q(α(t) − A(t) ≥ Đ t A(t) = [aij(t)], i, j = 1, 2, , n V i m i vectơ x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, ta có n < A(t)x, x >= i=1 n a2 (t)x2 + ij i i=j [aij(t) + aji(t)]xixj n Đt αi(t) = aii(t) + j=i a2 (t) + n − 1, ij Ta th y n < (Q(α(t)) − A(t))x, x >= (xi − 1aji(t)xj)2 ≥ i,j=1,i=j v i m i x ∈ Rn Đ t αi(t) ≥ max {αi(t), 0} M nh đ 2.6 [4] Cho A, B ∈ Rn⋅n ma tr n th c Khi u ki n sau tương đương: (i) AB + BA ≥ 0, n u A ≥ 0, B ≥ 0, (ii) λmin(A) ≥ 0, n u A ≥ đ i x ng Xét h u n n tính (2.17), A(t) ∈ Rn⋅n, B(t) ∈ Rn⋅m hàm liên t c Ta s s d ng gi thi t sau cho đ u c a n đ nh hóa: H.1 H u n n tính [A(t), B(t)] u n đư c hoàn toàn v th i gian h u h n H.2 Có D ∈ Rn⋅r cho DC đ i x ng th a mãn λmax(I − D(t)C(t)) ≤ ∀t ∈ R+ Đ nh lý sau ch r ng u n đư c hoàn toàn v đ m b o cho tính n đ nh hóa ngư c c a h (2.14) 30 (2.19) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Đ nh lý 2.7 [7] Gi s r ng gi thi t H.1 H.2 th a mãn Khi h n tính (2.17) n đ nh Đi u n ngư c n đ nh đư c cho b i : ∀t ∈ R+, u(t) = −1BT (t)[P (t) + I]D(t)y(t), P (t) nghi m c a RDE (2.18) v i Q(t) = Q(αt) + I, > 0, th a mãn Q(αt) ≥ A(t) + AT (t) − B(t)BT (t)D(t)C(t) (2.20) Ch ng minh Cho D(t) ∈ Rn⋅r ma tr n xác đ nh t gi thi t H.2 T M nh đ 2.6 có αt ≥ cho ma tr n Q(αt) ≥ th a mãn u ki n (2.20) V i > 0, t tính u n đư c hoàn toàn v c a h [A(t), B(t)] v i h RDE (2.18), Q(t) = Q(αt) + I, t M nh đ 2.5, có nghi m P (t) ∈ M ([0, ∞), Rn ).Cho: + sup P (t) ∞ t∈R+ = p < +∞ Xét hàm sau: V (t, x) =< P (t)x, x > + x Ta s ch r ng hàm V (t, x) hàm Lyapunov c a h đóng (2.17) v i u n ngư c t ∈ R+ , u(t) = −1BT (t)[P (t) + I]H(t)x(t), H(t) = D(t)C(t) Th t v y, ta có V (t, x) ≤ p x +x = (p + 1) x M t khác, t P (t) ≥ 0, ta có V (t, x) =< P (t)x, x > + x ≥ x 2, Khi x ≤ V (t, x) ≤ (p + 1) x 2, 31 ∀x ∈ Rn Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính L y đ o hàm c a V (.) d c theo nghi m x(t) c a h (2.17), ta đư c V˙ (t, x) =< P˙ x, x > +2 < P x, x > +2 < x, x > ˙ ˙ T T = − x − < (Q − A − A + BB H)x, x > + < P BBT P x, x > − < P BBT P Hx, x > − < [P BBT H + BBT P H]x, x > = − x 2− < (Q − A − AT + BBT H)x, x > + < W P BBT P x, x > − < RHx, x >, (2.21) W = I − H, R = P BBT + BBT P , ý r ng < RHx, x > =< P BBT (I − H)x, x > + < BBT P (I − H)x, x > − < (P BBT + BBT P )x, x > =< W BBT P x, x > + < W P BBT x, x > − < Rx, x > Vì P (t), H(t) đ i x ng Khi t (2.21) ta có V˙ (t, x) = − x 2− < (Q − A − AT + BBT H)x, x > + < W P BBT P x, x > + < W BBT P x, x > + < W P BBT x, x > − < Rx, x > S d ng m nh đ 2.6 (ii), ta có V˙ (t, x) ≤ x 2+ < (Q − A − AT + BBT H)x, x > +λmax(W ) < P BBT P x, x > + λmax(W ) < P BBT x, x > +λmax(W ) < BBT P x, x > − < Rx, x > ≤ λmax(W )[< P BBT P x, x > + < Rx, x >]− < Rx, x > Hơn n a, ta có : < Rx, x >=< [P (t)B(t)BT (t) + B(t)BT (t)P (t)]x(t), x(t) >≥ Vì λmax(W ) ≤ 0, < P BBT x, x >≥ 0, < Rx, x >≥ 0, T (2.22) ta có: V˙ (t, x) ≤ − x 2− < (Q − A − AT + BBT H)x, x > S d ng u ki n (2.19) (2.20) ch n Q(t) trên, ta có < 0, ∀t, x, V˙ (t, x) ≤ − x 32 (2.22) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính M t khác, V (t, x) ≤ (p + 1) x 2, ∀t ≥ Nên ta có ∀t ≥ V˙ (t, x(t)) ≤ −p− 1V (t, x(t)), + Đ nh lý đư c ch ng minh H qu 2.2 N u C(t) = I, ta có th l y D = I, u ki n (2.19) đư c th a mãn Trong trư ng h p này, Đ nh lý 2.7 ch r ng h [A(t), B(t)]- h u n đư c hoàn toàn v n đ nh b i u n liên h ngư c Tuy nhiên, − n u C(t) có h ng đ y, đ C(t)CT (t) kh ngh ch, D = CT (CCT ) 1, ta có D(t)C(t) = I, t c W = u ki n (2.19) th a mãn T ch ng minh c a Đ nh lý 2.7, ta t ng bư c tìm đư c u n ngư c c a h (2.15) Bư c Th l i tính u n đư c hoàn toàn v c a h (2.15) b i nh ng u ki n M nh đ 2.4 Bư c Xác đ nh D(t) th a mãn u ki n H.2 sau Q(αt) ≥ th a mãn u ki n (2.20) Ma tr n Q(αt) có th tìm đư c t M nh đ 2.6 Bư c Gi i RDE (2.18), Q(t) = Q(αt) + I ∀ > Bư c Đi u n liên h ngư c theo đ u đư c xác đ nh b i (2.16), K(t) = −1BT (t)[P (t) + I]D(t), t ∈ R+ Ví d 2.9 Xét h (2.14) R2, − 0.0625e t − 0.5et + 0.5 A(t) = B(t) = 005 e0 t , 0.5e C(t) = −2 − 0.5 , t (t + 1) , − 1 Vì A(t), B(t) kh vi, ta có rank M(0)=2 xét R2 M (0) = [M0(0), M1(0)] mà M0(0) = B(0) = 005 , nên ta có rankM0(0) = 33 Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Hơn n a: M1(0) = −A(0)M0(0) + dtM0(0) = 0.46875 , d nên rankM1(0) = V y rank M(0) = 2, t c h [A(t), B(t)] b i M nh đ 2.4 u n đư c hoàn toàn v V i λ(A(0)) = λ 0.0625 = 0.0625 0 ma tr n A(t) không n đ nh t+1 , H(t) = I, th W (t) = Tuy nhiên, ta tìm đư c D(t) = 0 N u ta l y αt = (0.45, 0.95), ta có Q(αt) ≥ A(t) + AT (t) − B(t)BT (t)H(t) Ly = 0.05, cho Q(t) = Q(αt) + 0.05I, RDE (2.18) có nghi m − 0.5e t P(t) = Vì th , h n đ nh v i u n liên h ngư c theo đ u u(t) = K(t)y(t), − K(t) = −t+1(0.125e t + 0.25) − −e t V i u n liên h ngư c theo đ u trên, h đóng có nghi m x(t), x(0) = (x1, x2) vectơ tr ng thái ban đ u D dàng ch đư c 00 r ng − − |x1(t)| ≤ |x1|e 0.125t, |x2(t)| ≤ |x2|e 0.5t 0 Khi h đóng n đ nh mũ Ví d 2.10 Xét h u n (2.14), R2, A(t), B(t) xác đ nh ví d 1+t C(t) = −t −1 −(1 + e ) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính − T C(t)CT (t) kh ngh ch, ta l y D = CT (CCT ) v i − D= (1+t)(1+e t)2−(1+t) − (1+t)2(1+e t)2−(1+t)2 − −(1+t)(1+e t) −t 2 (1+t) (1+e ) −(1+t)2 − −(1+t) (1+e t) − (1+t)2(1+e t)2−(1+t)2 Trong trư ng h p ta có DC = 0 , − −(1+e t)2 − (1+e t)2−1 0 W (t) = I − D(t)C(t) = − (1+e t)2 V y u ki n (2.19) đư c th a mãn.Đi u n liên h ngư c theo đ u − −0.−125e t −−0.25 u(t) = t −t t − e (1+t) (1+e t) − (1+t)2(1+e t)2−(1+t)2 e (1+t)(1+e ) − (1+t)2(1+e t)2−(1+t)2 35 y(t) K T LU N Lu n văn gi i thi u m t cách t ng quan v n đ sau: Các ki n th c s v h phương trình vi phân, h phương trình vi phân u n, khái ni m v tính n đ nh, tính n đ nh hóa c a h phương trình vi phân ôtônôm không ôtônôm Trình bày m t s k t qu v tính n đ nh b ng phương pháp hàm Lyapunov v i ví d minh h a m i M t s k t qu v toán n đ nh hóa h u n 36 Tài li u tham kh o [1] Nguy n Th Hoàn Ph m Phu, Cơ s phương trình vi phân lý thuy t n đ nh, NXB Giáo D c, 2000 [2] Vũ Ng c Phát , Nh p môn lý thuy t u n toán h c , NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2001 [3] A Bensoussan et al, Representation and Control of Infinite- Dimensional System , Vol II, Birkhauser, Boston, 1993 [4] P Finsler, Uber das Vokommen definiter und semidefiniter Formen in Scharen quadratischer Formen, Comment Math Helv (1973), 1432-1436 [5] J Klamka, Controllability of Dynamical Systems, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1991 [6] V N Phat, Global stabilization for linear continuous time-varying systems, Appl Math Comput 175 (2006) 1730-1743 [7] V N Phat and V Jeyakumar, Stability, stabilization and duality for linear time-varying systems, optimization, 59 (2010), 447-460 37 ... Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Trong chương này, trình bày m t s k t qu v tính n đ nh h phương trình vi phân n tính ôtônôm, không ôtônôm tính n đ nh hóa h u n không ôtônôm. .. ki n c n đ tính n đ nh c a h n tính không ôtônôm Đ ch ng minh, s d ng phương pháp hàm Lyapunov kĩ thu t đánh giá b t đ ng th c ma tr n n tính Ngoài ra, trình bày ng d ng c a h không ôtônôm toán... a phương pháp nghiên c u tính n đ nh thông qua s mũ Lyapunov ho c thông thư ng d a vào h x p x n tính N u v ph i đ t t tính n đ nh s đư c rút t tính n đ nh c a x p x n tính - Phương pháp th hai:
- Xem thêm -

Xem thêm: Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển , Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển , Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay
Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập