Về những bài toán tổ hợp và xác suất

88 71 0
  • Loading ...
Loading...
1/88 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/05/2017, 13:21

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN LU N VĂN TH C SĨ "V NH NG BÀI TOÁN T XÁC SU T" H C VIÊN: NGUY N THANH TÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P MÃ S : 60460113 CÁN B HƯ NG D N: PGS TS NGUY N MINH TU N HÀ N I - 2015 HP L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành dư i s ch b o hư ng d n c a PGS TS Nguy n Minh Tu n Th y dành nhi u th i gian hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t trình làm lu n văn T t n đáy lòng em xin bày t s bi t ơn sâu s c đ n th y M c dù r t nghiêm túc trình tìm tòi, nghiên c u ch c ch n n i dung đư c trình bày lu n văn không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đư c s đóng góp c a quý th y cô b n đ lu n văn c a em đư c hoàn thi n Hà N i, tháng năm 2015 Tác gi Nguy n Thanh Tân M cl c M đu Chương 1: Nh ng toán đ m 1.1 Cơ s lý thuy t t h p 1.1.1 Quy t c c ng quy t c nhân 41.1.2 Giai th a hoán v 51.1.3 Ch nh h p 51.1.4 T hp 61.1.5 Ch nh h p có l p, hoán v có l p t h p có l p 1.2 Các d ng toán đ m 1.2.1 Các phương pháp đ m 71.2.2 Các toán đ m Chương 2: Nh ng toán v xác su t 2.1 2.2 23 Cơ s lý thuy t xác su t 23 2.1.1 M t s đ nh nghĩa b n c a xác su t 23 2.1.2 Quan h gi a bi n c 2.1.3 Các công th c tính xác su t 28 26 M t s toán xác su t 31 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 Tính xác su công th c c ng nhân xác su t 37 Tính xác su t b ng công t b ng đ nh th c xác su t có u ki n 44 Tính xác su t b ng công th c nghĩa c n xác su t đ y đ Bayes 48 Tính xác su t b ng công th c Becnoulli 57 Tính xác su t b ng đ nh nghĩa hình 31 Tính xác h c 62 Các toán v bi n ng u nhiên r i r c su t b ng 67 K t lu n 72 Tài li u tham kh o 73 M đu T h p xác su t m t nh ng lĩnh v c toán h c đư c nghiên c u t s m, đư c khai thác ng d ng r t nhi u vào đ i s ng s n xu t Hi n giáo d c ph thông, t h p xác su t m t nh ng n i dung quan tr ng, thư ng xuyên xu t hi n đ thi đ i h c, cao đ ng, th m chí kỳ thi h c sinh gi i qu c gia qu c t M c dù n i dung không khó h c sinh thư ng xuyên g p khó khăn gi i quy t toán này, nh t toán liên quan đ n xác su t Lu n văn ch y u t p trung vào d ng toán xác su t, t giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c v toán liên quan đ n xác su t Lu n văn đư c chia thành hai chương Chương Nh ng toán v t h p Chương Nh ng toán v xác su t T t c toán t h p chương n n móng đ xây d ng gi i quy t m t s toán xác su t chương Hy v ng s m t tài li u h u ích gi ng d y h c t p c a th y, cô em h c sinh Chương Nh ng toán đ m Chương ta s nh c l i m t s lý thuy t v t p h p lý thuy t b n c a t h p hoán v , ch nh h p, t h p, m t s nguyên lý đ m t p có liên quan chương trình ph thông 1.1 1.1.1 Cơ s lý thuy t t h p Quy t c c ng quy t c nhân Quy t c c ng Gi s m t công vi c có th th c hi n theo phương án A ho c phương án B, có n cách th c hi n phương án A, m cách th c hi n phương án B Khi công vi c có th đư c th c hi n b i n + m cách T ng quát, gi s môt công vi c có th th c hi n theo m t k phương án A1, A2, , Ak, có n1 cách th c hi n phương án A1, n2 cách th c hi n phương án A2, , nk cách th c hi n phương án Ak Khi công vi c có th đư c th c hi n b i n1 + n2 + • • • + nk cách Bi u di n dư i d ng t p h p S ph n t c a t p h u h n A đư c kí hi u |A| N u A1, A2, , An n t p h u h n, t ng đôi m t không giao |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An| = |A1| + |A2| + • • • + |An| hay n n |Ak| Ak = k=1 k=1 Quy t c nhân Gi s công vi c bao g m hai công đo n A B, công đo n A có th làm theo n cách, công đo n B có th làm theo m cách Khi công vi c có th th c hi n theo nm cách T ng quát, gi s m t công vi c bao g m k công đo n A1, A2, , Ak, ông đo n A1 có th th c hi n theo n1 cách, công đo n A2 có th th c hi n theo n2 cách, công đo n A3 có th th c hi n theo n3 cách, , công đo n Ak có th th c hi n theo nk cách Khi công vi c có th th c hi n theo n1n2 nk cách Bi u di n dư i d ng t p h p N u A1, A2, , An n t p h u h n v i |Ak| = mk (k = 1, 2, , n) Khi n |A1 ⋅ A2 ⋅ • • • ⋅ An| = m1 ⋅ m2 ⋅ • • • ⋅ mn = mk k=1 1.1.2 Giai th a hoán v Giai th a Đ nh nghĩa n giai th a, kí hi u n! tích c a n s t nhiên liên ti p t đ n n n! = • • • • • (n − 1) • (n), n ∈ N∗ Quy c 0! = 1, 1! = Hoán v Đ nh nghĩa Cho t p h p A g m n ph n t (n ≥ 1) M t cách s p th t n ph n t c a t p h p A đư c g i m t hoán v c a n ph n t Kí hi u Pn s hoán v c a n ph n t Pn = n! = • • • • (n − 1)n 1.1.3 Ch nh h p Đ nh nghĩa Cho t p h p A g m n ph n t (n ≥ 1) K t qu c a vi c l y k ph n t khác t n ph n t c a t p h p A s p x p chúng theo m t th t đư c g i m t ch nh h p ch p k c a n ph n t cho Công th c Ak = (n n!k)! = n(n − 1)(n − k + 1) (v i ≤ k ≤ n) n − Chú ý M t ch nh h p ch p n c a n ph n t m t hoán v c a n ph n t A n = Pn = n! n 1.1 T hp Đ nh nghĩa Gi s t p A g m n ph n t n ≥ M i t p g m k ph n t c a A đư c g i m t t h p ch p k c a n ph n t cho (1 ≤ k ≤ n) Kí hi u Ck (1 ≤ k ≤ n) s t h p ch p k c a n ph n t n C ôn g th c Ck = k! (nn− k)! ! n Chú ý C0 =1n Ck = Cn−k (0 ≤ k ≤ n) n n Ck + Ck+1 = Ck+1 (1 ≤ k ≤ n) n n n+ 1.1.5 Ch nh h p có l p, hoán v có l p t hp có l p m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t Chú ý S ch nh h p l p ch p k c a n ph n t nk Hoán vlp Đ nh nghĩa Hoán v m i ph n t xu t hi n nh t m t l n đư c g i hoán v l p Chú ý S hoán v l p c a n ph n t th c k lo i, mà ph n t t lo i i (1 ≤ i ≤ k) xu t hi n n l n đư c kí hi u P (n1, n2, , nk) đư c tính b ng C h c n h n h th ô g c p P (n1, n2, , nk) = n ! c ó n n.! n ! 2! l p Đ nh nghĩa Gi s tpAgmn ph n t (n ≥ 1) M i dãy có đ dài k ph n t c a A, mà m i ph n t có th l p l i nhi u l n đư c s p x p theo m t th t nh t đ nh đư c g i k N u np + p − ∈ N, m0 = np + p − N u np + p − ∈ N, / m0 = [np + p − 1] + V y toán s có kh nh t m0 = [100.0, + 0, − 1] + = 10 P100(10; 0, 6) = C10 0, 1100, 990 100 Nh n xét Dãy phép th Becnoulli k t h p v i toán liên quan đ n h bi n c đ y đ đ t o m t toán hay ph c t p Bài t p t gi i Bài t p 2.46 (xem [7]) Gieo m t xúc x c liên ti p l n Tính xác su t đ nh t có m t l n "l c" Bài t p 2.47 Hai đ u th A B thi đ u c Xác su t th ng c a A m t ván 0,6 (không có ván hòa) Tr n đ u bao g m ván, ngư i th ng m t s ván l n ngư i th ng cu c Tính xác su t đ B th ng cu c Bài t p 2.48 T l ngư i b lao vùng n 0,001 Tìm xác su t đ khám cho 10 ngư i a) Có ngư i b lao b) Có nh t ngư i b lao c) S ngư i không b lao có kh nh t Bài t p 2.49 (xem [7]) M t bác sĩ ch a b nh Xác su t ch a kh i b nh 0,8 Có ngư i nói r ng c 10 ngư i đ n ch a ch c ch n có ngư i kh i b nh Đi u kh ng đ nh hay sai? Vì sao? Bài t p 2.50 Hai đ u th c ngang tài ngang s c thi đ u v i H i kh th ng ván ván có cao kh th ng ván ván hay không? 61 2.2.6 Tính xác su t b ng đ nh nghĩa hình h c Đây ph n xác su t nâng cao nh m b i dư ng h c sinh gi i, giúp em có tư sâu s c v xác su t Các toán xác su t hình h c s đơn gi n r t nhi u n u ti p xúc, làm quen nhìn nh n t ng v n đ n ch a Bài t p 2.51 Hai ngư i b n h n g p t i m t đ a m đ nh trư c kho ng th i gian t 19h đ n 20h Hai ngư i đ n ch h n đ c l p v i quy c r ng ngư i đ n trư c s ch đ i ngư i đ n sau 10 phút, n u không g p s Tính xác su t đ hai ngư i có th g p L i gi i Đây toán quen thu c m đ u cho ph n tính xác su t theo đ nh nghĩa hình h c G i A = {hai ngư i g p nhau}, ta c n tính P (A) G i x s phút t i th i m ngư i th nh t đ n m h n, ≤ x ≤ 60 y s phút t i th i m ngư i th hai đ n m h n, ≤ y ≤ 60 N u ta bi u di n s phút x theo tr c hoành s phút y theo tr c tung s phút lúc đ u c a c hai ngư i đư c bi u di n b ng m t m có t a đ (x, y) n m hình vuông c nh 60 (ta l y phút làm đơn v ) Đó mi n Ω Ω = {(x, y) : ≤ x ≤ 60, ≤ y ≤ 60} Đ hai ngư i g p s phút lúc đ n x, y c a m i ngư i ph i th a mãn |x − y| ≤ 10 ⇔ x − 10 ≤ y ≤ x + 10 Ta có hình bi u di n 62 V y m (x, y) thích h p cho vi c g p n m ph n g ch chéo gi a hai đư ng th ng y = x − 10 y = x + 10 Theo công th c xác su t hình h c ta có P (A) = di n tích mi n A = 602 − 502 = 11 = 0, 3056 di n tích mi n Ω 602 36 Bài t p 2.52 Xét hình vuông (H) gi i h n b i ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ hai đư ng cong y = x2 y = √x L y ng u nhiên m t m M thu c hình vuông (H) Tìm xác su t đ M thu c hình gi i h n b i đư ng cong L i gi i Ta có di n tích hình vuông (H) b ng S = Hai đư ng cong y = x2, y = √ x c t t i O(0, 0) A(1, 1) hai đ nh c a hình vuông (H) D √ ( x − x2)dx = x32 − x3 3 = V y xác su t c n tìm P = S = ≈ 0, 33 S Bài t p 2.53 M t đo n th ng có đ dài l B gãy ng u nhiên thành đo n Tìm xác su t đ đo n t o thành m t tam giác 63 L i gi i Đ t m chia OM = x, ON = y, < x < y < l Ta có đo n x, y − x, l − y Xét M(x, y) m t ph ng t a đ Vì < x < y < l nên không gian m u tam giác OAB có di n tích S = 1l2 Đi u ki n đ đo n t o thành tam giác x + y − x > l − y  x  y+ (lx−+ )(l> yy−> x y (−) −) x y > l ⇔    y 1) c) Tính kỳ v ng, phương sai đ l ch chu n c a X 67 L i gi i Gieo môt đ ng tiên ba l n không gian m u có 23 = ph n t a) T p giá tr c a X {0, 1, 2, 3} Ta có P (X = 0) = 1, P (X = 1) = , P (X = 2) = 3, P (X = 3) = 8 8 B ng ph n b xác su t c a X X P 8 b) P (X > 1) = P (X = 2) + P (X = 3) = + = 88 8 c) Kỳ v ng E(X) = + 1.3 + 2.3 + = 1, 8 8 Phương sai V (X) = 02.1 + 12.3 + 22.3 + 32.1 − (1, 5)2 = 0, 75 8 8 Đ l ch chu n σ (X ) = V (X) = 0, 866 Bài t p 2.63 Gieo m t xúc s c cân đ i ba l n G i X s l n xúc s c xu t hi n m t sáu ch m a) L p b ng phân b x c su t c a X b) Tính E(X) V (X) L i gi i a) G i Ai bi n c "l n gieo th i cho ta m t ch m" (i = 1, 2, 3), H bi n c "có m t l n giéo xúc s c xu t hi n m t ch m" Ta có H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 P (X = 1) = P (H) = P (A1A2A3) + P (A1A2A3) + P (A1A2A3) 25 25 25 75 = 216 + 216 + 216 = 216 68 X P 125 216 75 216 15 216 216 T n g t P (X = 2) = 216 + P (X = 3) = 216 V y b n g p h â n p h i x c u s P 125 + nh u 2.216 iê + 0, 5n r t P c V a X c 0,3 có 0,2 0,05 i th ph ân b c nh K ỳ v n g E ( X ) = Bà it p 64 S ca c p c u m tb nh vi n ot i th m t bi n ng suât đ x y nh t 12 ng 75 75 su t 216 ) t i th b) Tính xác m t ca c p c u vào t 5) xá b thêm bác sĩ tr c vào 0,1 32 0,2 ph i tăng cư ng 02 b 22 l 0,15 ir a) Tính xác su t đ sa u Bi tr ng n u có hơ n ca c p c u L i gi i a) Vì n u có hai ca c p c u ph i tăng cư ng thêm bác sĩ tr c nên xác su t đ ph i t h ì tăng cư ng thêm bác p h i t ă n g c n g t h ê m b c s ĩ t r X c sĩ tr c vào t i th b y P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 0, + 0, + 0, 05 = 0, 35 b) Xác su t đ x y nh t m t ca c p c u vào t i th b y P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) 0, + 0, + 0, + 0, + 0, 05 = 0, 85 = 69 Bài t p 2.65 Anh A hàng ngày t nhà đ n quan ph i qua b n ngã tư có c t đèn tín hi u giao thông, xác su t g p đ n đ m i ngã tư 0,4 th i gian ch đèn đ trung bình m i l n ba phút a) L p b ng phân b xác xu t theo s l n anh A g p đèn đ b) H i trung bình m i l n t nhà t i quan anh A ph i ch đèn đ m t phút L i gi i a) G i X bi n ng u nhiên ch s ngã tư anh A g p đèn đ m i l n t nhà đ n quan, X nh n giá tr {0, 1, 2, 3, 4} Ta có P (X = k) = Ck0, 4k0, 64−k, k = 0, 1, 2, 3, 4 Vy P (X = 0) = C00, 400, 64 = 0, 1296, P (X = 1) = C10, 410, 63 = 0, 3456, P (X = 2) = C20, 420, 62 = 0, 3456, P (X = 3) = C30, 430, 61 = 0, 1536, P (X = 4) = C40, 440, 60 = 0, 0256 B ng phân b xác su t c a X X P 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 b) Kỳ v ng E ( X ) = x0 p + x1 p + x2 p + x3 p + x4 p = 0.0, 1296 + 1.0, 3456 + 2.0, 3456 + 3.0, 1536 + 4.0, 0256 = 1, V y th i gian trung bình m i l n t nhà đ n quan anh A ph i ch đèn đ 1, 6.3 = 48 70 Bài t p 2.66 (xem [2]) Hai x th đ c l p v i b n vào m t t m bia M i ngư i b n m t viên Xác su t b n trúng c a x th th nh t 0,7, c a x th th hai 0,8 G i X s viên đ n trúng bia Tính kỳ v ng c a X Bài t p 2.67 (xem [6]) Xác su t b n trúng vòng 10 c a An 0,4; An b n l n G i X s l n trúng vòng 10 a) L p b ng phân b xác su t c a X b) Tính E(X) V (X) Bài t p 2.68 Ch n ng u nhiên ba đ a tr sáu trai b n gái G i X s bé gái s ba đ a tr đư c ch n L p b ng phân b c a X, tính E(X), V (X) Bài t p 2.69 Có hai túi, túi th nh t ch a ba t m th đánh s 1, 2, túi th hai ch b t m th đánh s 4, 5, 6, Rút ng u nhiên t m i túi m t t m th r i c ng hai s ghi hai t m th v i G i X s thu đư c a) L p b ng phân b xác su t c a X b) Tính E(X), V (X), σ(X) Bài t p 2.70 M t tr c nghi m có b n câu M i câu có năm phương án tr l i ch có m t phương án N u tr l i đư c năm m, tr l i sai không đư c m An làm thi b ng cách ch n ng u nhiên m t phương án tr l i G i X t ng s m An nh n đư c a) L p b ng phân b xác su t c a X b) Tính E(X), V (X), σ(X) 71 K t lu n Lu n văn trình bày m t cách h th ng chi ti t v lý thuy t t h p xác su t Các t p ví d đư c tác gi ch n l c t m phong phú nh m làm n i b t ph n lý thuy t trình bày C th chương m t, tác gi phân tích m t s d ng toán t h p hay g p chương trình ph thông, đ ng th i k t h p v i m t s t p nâng cao nh m phát tri n tư cho h c sinh chương hai, tác gi sâu vào m t s d ng toán v xác su t, t đơn gi n đ n ph c t p, phù h p v i m i đ i tư ng h c sinh Đ c bi t ph n xác su t nâng cao, tác gi ch nhi u cách giái cho m t toán xác su t, t giúp ngư i đ c có nh n th c sâu s c v xác su t, m t m ng ki n th c mà h c sinh trung h c ph thông r t mơ h M c dù nghiêm túc, c g ng h t s c trình làm lu n văn th i gian l c c a b n thân nhi u h n ch nên lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót Tôi kính mong nh n đư c nh ng góp ý, b sung c a th y, cô b n đ c đ lu n văn đư c hoàn thi n 72 Tài li u tham kh o [1] Các chuyên đ t h p xác su t m ng internet [2] Nguy n Huy Đoàn, Nguy n Xuân Liêm, Nguy n Kh c Minh, Đoàn Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đ ng Hùng Th ng, Lưu Xuân Tình, "Bài t p đ i s gi i tích 11 nâng cao", NXB Giáo d c, 2007 [3] Đào H u H ,"Hư ng d n gi i toán xác su t ng d ng", NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 1996 [4] Đào H u H , "Xác su t th ng kê", NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 1996 [5] Hoàng H u Như, Nguy n Văn H u, "Bài t p xác su t th ng kê toán h c", NXB Đ i h c Trung h c chuyên nghi p Hà N i, 1976 [6] Lê Hoành Phò, "Phân lo i phương pháp gi i toán t h p xác su t", NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2008 [7] Đ ng Hùng Th ng, "M đ u v lý thuy t xác su t ng d ng", NXB Giáo d c Vi t Nam, 2012 73 ... khó khăn gi i quy t toán này, nh t toán liên quan đ n xác su t Lu n văn ch y u t p trung vào d ng toán xác su t, t giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c v toán liên quan đ n xác su t Lu n văn... 2.2.7 Tính xác su công th c c ng nhân xác su t 37 Tính xác su t b ng công t b ng đ nh th c xác su t có u ki n 44 Tính xác su t b ng công th c nghĩa c n xác su t đ y đ Bayes 48 Tính xác su... văn đư c chia thành hai chương Chương Nh ng toán v t h p Chương Nh ng toán v xác su t T t c toán t h p chương n n móng đ xây d ng gi i quy t m t s toán xác su t chương Hy v ng s m t tài li u h u
- Xem thêm -

Xem thêm: Về những bài toán tổ hợp và xác suất , Về những bài toán tổ hợp và xác suất , Về những bài toán tổ hợp và xác suất

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay
Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập