Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ————————— Trương Th Thùy Dung PHƯƠNG PHÁP H S PH N X , KHÚC X CHO MÔI TRƯ NG PHÂN L P TR C HƯ NG LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Hà N i - 2015 C I TI N Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ————————- Trương Th Thùy Dung PHƯƠNG PHÁP H S PH N X , KHÚC X CHO MÔI TRƯ NG PHÂN L P TR C HƯ NG Chuyên ngành: Cơ h c v t r n Mã s : 60440107 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: TS TR N THANH TU N Hà N i - 2015 C I TI N L I C M ƠN L i đ u tiên em mu n g i l i c m ơn chân thành t i th y hư ng d n Tr n Thanh Tu n - ngư i truy n cho em ni m đam mê khoa h c hư ng d n em t m , t n tình su t trình làm lu n văn Em xin bày t lòng bi t ơn t i nhóm Seminar t i b môn Cơ h c GS TS Ph m Chí Vĩnh ch trì, th y anh ch trang b cho em ki n th c n n t ng ngu n đ ng l c đ chúng em theo đu i nghiên c u khoa h c Đ c bi t, công th c m c 2.1 h c viên thu nh n đư c t gi ng c a nhóm seminar th y Ph m Chí Vĩnh trình bày Em xin c m ơn toàn th th y cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin h c, Đ i h c Khoa H c T Nhiên - Đ i H c Qu c Gia Hà N i truy n đ t ki n th c giúp em hoàn thành lu n văn Bên c nh đó, em c m ơn gia đình đ ng viên, t o u ki n t t nh t cho em su t trình h c t p th c hi n lu n văn Hà N i, tháng 12 năm 2015 Trương Th Thùy Dung M cl c L im đ u Phương pháp ma tr n h s ph n x , khúc x t ng quát hóa R/T 1.1 D ng ma tr n c a phương trình b n 1.2 Ma tr n h s ph n x , khúc x t ng quát hóa 15 1.3 1.2.1 Sóng qSH 15 1.2.2 Sóng qP-SV 20 Phương trình tán s c c a sóng Rayleigh 23 Phương pháp h s R/T toán tìm band-gaps c a sóng mt 26 2.1 Công th c tính v n t c sóng môi trư ng tr c hư ng 27 2.2 Bài toán ph band-gaps 30 2.3 Band-gaps c a sóng qSH sóng qP-SV 32 2.4 Tính toán s ph band-gaps c a sóng qP 34 K t lu n 37 Danh m c báo khoa h c 38 M CL C Tài li u tham kh o 38 L im đ u Trong l p toán ph n x khúc x c a sóng m t truy n qua môi trư ng phân l p, h s ph n x khúc x c n tìm s đư c tìm thông qua h s ph n x khúc x c a sóng t i qua t ng m t phân cách gi a l p b ng cách s d ng u ki n biên liên t c c a chuy n d ch ng su t Cách làm tương t phương pháp ma tr n chuy n đư c gi i thi u m t s sách chuyên kh o v sóng c a Achenbach (1975) [11], Brekhovskikh (1973) [2] Cách làm thu n ti n l p trình tính toán s đ i v i môi trư ng đ ng hư ng đư c g i phương pháp ma tr n chuy n hay "T-matrix" đư c s d ng nghiên c u v h s ph n x khúc x Golub c ng s (2012) [7, 8] kh o sát ph band-gaps c a sóng m t thành ph n SH, sóng hai thành ph n P − SV Tuy nhiên, phương pháp có m t c m c h u c a phương pháp ma tr n chuy n k t qu tính toán s có th không n đ nh đ i v i sóng t i có t n s cao đư c phân tích k báo c a Chen (1993) [21], phương pháp không ph n ánh đư c rõ ràng tính ch t v t lý c a toán ph n x khúc x đ c trưng c a sóng t i, sóng ph n x , khúc x (ví d biên đ , góc t i, góc ph n x , khúc x ) đư c chuy n qua đ i lư ng chuy n d ch ng su t t i b m t đ áp d ng u ki n biên liên t c Đi u làm cho hình nh v t lý v tính ph n x khúc x c a sóng l p không đư c tư ng minh Trong báo c a Chen (1993) [21] v phương pháp ph n x khúc x t ng quát hóa, hai c m đ c p đư c kh c ph c Phương pháp c a Chen s d ng tr c ti p h s ph n x khúc x t ng quát hóa (là h s ph n x , khúc x t i m t m t phân cách gi a hai bán không gian ch thông qua m t sóng t i) b ng cách s d ng tr c ti p tham s biên M CL C đ c a sóng t ng l p, tương t Kennett (1983) [12] s d ng công th c c a Luco Apsel (1983) [14] đ lo i tr h s tăng theo hàm mũ, h s gây m t n đ nh tính toán s đ i v i t n s cao Do đó, phương pháp không nh ng kh c ph c đư c c m m t n đ nh s đ i v i mi n t n s cao mà cung c p m t hình nh rõ ràng v s ph n x khúc x t ng l p V i nh ng ưu m này, phương pháp c a Chen đư c vi t thành m t ph n m m tính toán v sóng đư c s d ng m t cách r ng rãi Trong lu n văn này, phương pháp c a Chen đư c nghiên c u phát tri n cho l p v t li u b t đ ng hư ng, c th v t li u tr c hư ng Các phương trình c a Chen, ví d công th c c a h s ph n x , khúc x t ng quát hóa, công th c truy h i đ tính toán chúng, đư c vi t l i phù h p đ i v i môi trư ng v t li u tr c hư ng Các phương trình s đư c s d ng đ thi t l p phương trình tán s c c a sóng m t Rayleigh truy n môi trư ng phân l p, đư c s d ng đ nghiên c u toán ph n x , khúc x c a sóng truy n môi trư ng Lu n văn s t p trung vào tính toán s ph band-gaps c a sóng qSH (kí hi u q quasi) sóng qP − SV , (hay g i sóng t a SH sóng t a P − SV ), sóng tương t sóng SH P − SV môi trư ng đ ng hư ng, truy n qua môi trư ng phân l p tr c hư ng N i dung c a lu n văn ph n m đ u k t lu n g m hai chương Chương s thi t l p phương trình b n c a phương pháp ma tr n h s ph n x , khúc x t ng quát hóa R/T s thi t l p phương trình tán s c c a sóng m t Rayleigh truy n môi trư ng phân l p tr c hư ng Chương s s d ng k t qu c a Chương đ kh o sát toán tìm ph band-gaps c a sóng m t qSH qP − SV truy n qua môi trư ng phân l p tr c hư ng Chương Phương pháp ma tr n h s ph n x , khúc x t ng quát hóa R/T Mô hình t ng quát c a môi trư ng phân l p đư c nghiên c u lu n văn bao g m N l p song song đ ng nh t, tr c hư ng đ t gi a hai bán không gian (Hình v 1) Các tr c c a bán không gian l p đư c gi thi t phương Sóng ph ng truy n mô hình có t n s góc ω có s sóng theo phương ngang k Ch n h tr c t a đ cho tr c Ox song song v i l p có chi u hư ng theo phương truy n sóng phương c a m t hư ng c a v t li u Tr c Oz có chi u dương hư ng xu ng dư i có g c t a đ n m t i m t biên c a l p Trong m t s trư ng h p, đ cho công th c đơn gi n h t a đ (x, y, z) có th đư c thay b ng (x1, x2, x3) Các l p có tham s v t li u c(11), c(13), c(33), c(55), c(44), c(66) ρ(j), j = 1, , N s th t j j j j j j c a l p Bán không gian bên đư c coi l p th (0) bán không gian bên dư i đư c coi l p th (N + 1) Chương s trình bày h th c b n c a phương pháp h s ph n x , khúc x t ng quát hóa mô hình phân l p xét C th h s ph n x khúc x t ng quát hóa s đư c nh n t i m t phân cách gi a hai l p th (j) th (j + 1) Các công th c h s s đư c s d ng đ kh o sát toán truy n sóng m t Rayleigh toán ph n x , khúc x đư c trình bày chương l i Các n i dung c a chương đư c th c hi n tương t báo c a Chen (1993) [21] phát tri n cho v t li u tr c hư ng, thay v t li u đ ng hư ng, v i bi n đ i chi ti t CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S QUÁT HÓA R/T 1.1 PH N X , KHÚC X T NG D ng ma tr n c a phương trình b n Xét m t môi trư ng đàn h i tr c hư ng đ c trưng b i h ng s v t li u c11, c13, c33, c55, c44, c66 m t đ kh i c a môi trư ng ρ Gi thi t sóng ph ng truy n môi trư ng n m m t ph ng (0, x1, x3) Do Hình 1.1: Mô hình h t a đ c a môi trư ng tr c hư ng phân l p Các l p bán không gian có hư ng c a v t li u trùng thành ph n chuy n d ch c a sóng ph ng môi trư ng xét hàm ph thu c vào (x, z, t) hay (x1, x3, t) có d ng ui = ui(x1, x3, t) (1.1) đó, i = 1, 2, 3, ui thành ph n c a vector chuy n d ch Đ i v i sóng ph ng qP − SV ta có uj = uj(x1, x3, t) u2(x1, x3, t) = đó, j = 1, Phương trình tr ng thái bi u di n m i liên h gi a thành ph n c a ng su t thành ph n c a gradient chuy n d ch (ui,j = ∂ui ) môi ∂ xj (1.2) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP H S BAND-GAPS C A SÓNG M T R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM U = c11p2 + c55p2, V = (c13 + c55)p1p3, Z = c55p2 + c33p2 (2.7) Đ h hai phương trình n tính (2.6) đ i v i d1 d2 có nghi m không t m thư ng đ nh th c c a h ph i b ng 0, ta có (U − ρc2)(Z − ρc2) − V = 0, (2.8) hay (ρc2)2 − (U + Z)ρc2 + (U Z − V 2) = (2.9) Đây phương trình b c hai đ i v i ρc2 có hai nghi m √ c2P q = (U +Z)+ (U −Z)2+4V 2 √ ρ (U −Z)2+ 4V (2.10) c2SV = (U +Z)− 2ρ q Hai công th c s cho ta công th c tính v n t c sóng qP qSV tương ng Lý ch n nghi m cho sóng qP qSV thông thư ng coi sóng qP truy n nhanh sóng qSV Trong trư ng h p đ c bi t, gi s sóng qP − SV truy n theo m t hư ng c a v t li u, ví d theo phương 0x Khi ta có U = c11, V = 0, Z = c55 Khi đó, phương trình (2.9) tr thành (ρc2)2 − (c11 + c55)ρc2 + c11c55 = Phương trình (2.11) có đ nh th c ∆ = (c11 + c55)2 − 4c11c55 = (c11 − c55)2 T suy nghi m c a phương trình, (ρc2)2 = c11 (ρc2)2 = c55 Do c2P = c11 v n t c sóng d c môi trư ng c2SV = c55 v n t c sóng q q ρ ρ ngang môi trư ng Trong trư ng h p đ c bi t v t li u đ ng hư ng ta có c11 = λ + 2µ c55 = µ, nh n l i đư c công th c v n t c truy n sóng c a sóng P SV 29 (2.11) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP H S BAND-GAPS C A SÓNG M T 2.2 R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM Bài toán ph band-gaps Xét m t l p v t li u tr c hư ng, h u h n có c u trúc tu n hoàn theo phương 0z đ t gi a hai bán không gian tr c hư ng thu n nh t (Hình 2.1) Hai bán không gian dư i đư c kí hi u môi trư ng (1) (3) tương ng Và l p tu n hoàn gi a đư c kí hi u môi trư ng (2) Các tr c v t li u c a hai bán không gian l p đư c gi thi t có phương Xét toán truy n sóng sóng t i qSH (ho c qP − SV ) n m m t m t ph ng đ i x ng c a v t li u t bán không gian qua l p v t li u truy n vào bán không gian bên dư i Sóng t i có t n s góc ω T i m t phân cách gi a bán không gian l p v t li u, sóng t i s tách làm hai ph n M t ph n ph n x l i vào bán không gian trên, m t ph n s khúc x vào l p v t li u Thành ph n khúc x s truy n t i m t phân cách v i bán không gian dư i s khúc x qua m t phân cách Bài toán c n xét tìm biên đ c a sóng khúc x bán không gian dư i ph thu c vào biên đ c a sóng t i Hình 2.1: Mô hình m t l p v t li u phân l p tr c hư ng n m gi a hai bán không gian thu n nh t tr c hư ng Sóng t i qSH xu ng t bán không gian sinh h sóng ph n x khúc x Gi s sóng t i t bán không gian sóng qSH t o m t góc θ v i tr c z (hay tr c x3) có d ng uT qSH = TqSH eik1(x1p1 30 (1) +x3p(1)) (2.12) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP H S BAND-GAPS C A SÓNG M T R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM Hình 2.2: Mô hình m t l p v t li u phân l p tr c hư ng n m gi a hai bán không gian thu n nh t tr c hư ng Sóng t i qP xu ng t bán không gian sinh h sóng ph n x khúc x k1 = ω , (p(1), p(1)) vector đơn v c a hư ng truy n sóng, c(1) (1) cq S H qS H v n t c truy n sóng theo phương cho Vì sóng t i qSH t i b m t c a l p v t li u s sinh m t sóng ph n x qSH m t sóng khúc x qSH nên sóng ph n x khúc x có d ng sau (xem Hình v 2.1) uP qSH = PqSH eik1(x1q1 (1) +x3q(1) (3) uKqSH = KqSH eik3(x1p1 ) (2.13) ,3 +x3p(3) ) ,3 (2.14) PqSH , KqSH biên đ c a sóng ph n x khúc x c a sóng qSH , ω (3) k3 = , cSH s sóng v n t c c a sóng khúc x bán không gian cS(3) H dư i q(1), q(1) vector đơn v truy n sóng c a sóng ph n x p(1), p(1) vector đơn v truy n sóng c a sóng khúc x bán không gian dư i Bài toán đ t tìm t s gi a biên đ c a sóng khúc x sóng t i KqSH /TqSH Trong trư ng h p sóng t i sóng qP có d ng uT qP = TqP eik1(x1p1 (1) +x p (1)) 33 , đó, p1 = sin θ1, p3 = cos θ1, θ1 góc t i, k1 = ω/c(1) s sóng bán P 31 (2.15) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP H S BAND-GAPS C A SÓNG M T R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM không gian (1), c(1) v n t c sóng qP bán không gian (1) theo hư ng truy n P sóng Ch s dư i "T " công th c c a chuy n d ch bi u th sóng t i Sóng ph n x sóng khúc x c a sóng qP − SV đư c gi s có biên đ PqP , PqSV , KqP , KqSV có góc ph n x , khúc x đư c bi u di n Hình v 2.2 Các ch "P " "K" bi u th cho sóng ph n x sóng khúc x Đ đơn gi n, ta b qua nhân t e−iωt công th c chuy n d ch M c đích c a toán s tìm giá tr biên đ c a sóng khúc x |KqP | |KqSV | ph thu c vào biên đ c a sóng t i TqP Ph band-gaps c a sóng t i ph t n s biên đ c a sóng khúc x b tri t tiêu 2.3 Band-gaps c a sóng qSH sóng qP-SV Do toán truy n sóng môi trư ng không thu n nh t khó có th gi i đư c b ng phương pháp gi i tích nên ta s gi i quy t toán b ng cách x p x l p không thu n nh t thành m t chu i N l p m ng thu n nh t Khi đó, ta s coi bán không gian l p th (0), bán không gian dư i l p th (N + 1) N l p x p x s đư c đánh s t cho đ n N (xem Hình 2.3) Hình 2.3: Chia l p v t li u không thu n nh t thành N l p thu n nh t Đ tính h s khúc x qua l p v t li u ta s d ng công th c (1.50) 32 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP H S BAND-GAPS C A SÓNG M T R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM t i m t phân cách Gi s sóng t i sóng qSH , công th c (1.50)1 t i m t phân cách cho ta biên đ c a sóng khúc x vào l p th nh t (2.16) C(1) = Td(0)C(0) ˆ d d C(0) = TqSH Sóng khúc x s xu ng m t phân cách th hai ti p t c sinh sóng khúc x vào l p th ba có biên đ C(2) = T d d (1) (1) C = Td(1)Td(0)C(0) d ˆˆ ˆ d (2.17) d Quá trình ti p t c l p l i cho đ n m t phân cách th N ta có C(N+1) = T d d(N ˆ ) ( ) CN = Td(N)Td(N−1)Td(N−2) Td(0)C(0) d ˆ ˆ ˆ ˆ Vì v y, đ tính đư c biên đ c a sóng khúc x KqSH = C(N+1) c n tính tích (0) Td(N Td(N−1)Td(N−2) Td Giá tr s ) ˆ ˆ ˆ ˆ (2.18) d d đư c tính t công th c truy h i (1.53) giá tr đ u c a R(du ) Td(N) công th c truy h i (1.53) ˆN ˆ s đư c tính t u ki n sau T i m t phân cách gi a l p th N bán không gian, sóng t bán không gian dư i lên nên công th c h s ph n x khúc x (1.42) s tr thành (2.19) C(N+1) = Td(N)C(N), d d C(N) = R(du )C(N) N u d So sánh công th c v i công th c đ nh nghĩa c a h s R/T t ng quát hóa (1.50) ta có R(du ) = R(du ), Td(N) = Td(N) Nˆ ˆN (2.20) Tương t v y đ i v i sóng t i qP , công th c (1.62)1 t i m t phân cách cho ta biên đ c a sóng khúc x vào l p th nh t C(1) = T(0)C(0) d (2.21) ˆd d C(0) = TqP Sóng khúc x s xu ng m t phân cách th hai ti p t c sinh sóng khúc x vào l p th ba có biên đ d C(2) = T(1)C(1) = T(1)T(0)C(0) d ˆd d ˆ d ˆd d 33 (2.22) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP H S BAND-GAPS C A SÓNG M T R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM Quá trình ti p t c l p l i cho đ n m t phân cách th N ta có C(dN+1) = T(dN)C(dN) = T(dN)T(dN−1)T(dN−2) T(0)C(0) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d (2.23) Vì v y, đ tính biên đ c a sóng khúc x KqP = C(dN+1) c n tính tích T(dN)T(dN−1)T(dN−2) T(0) Giá tr s đư c tính t công th c truy h i (1.63) ˆ ˆ ˆ ˆ d b t đ u v i giá tr phương trình (1.67) 2.4 Tính toán s ph band-gaps c a sóng qP Do công th c tính toán h s khúc x c a sóng qSH qP − SV có d ng gi ng nên m c s minh h a ví d tính toán s ph band-gaps cho sóng t i qP Mô hình dùng cho tính toán s m t l p n m gi a hai bán không gian Bán không gian v t li u Graphite/epoxy bán không gian dư i v t li u Glass/epoxy v i tính ch t v t li u đư c cho B ng (xem Liu Xi, 2002, Chương [9]) L p gi a đư c gi s có tính ch t v t li u bi n thiên liên t c theo hàm sin t bán không gian xu ng bán không gian dư i S chu kỳ bi n đ i l p đư c gi thi t b ng N Đây m t mô hình gi thi t, nhiên mô hình có th đư c t o b ng cách cho hai bán không gian dư i có biên hình lư c phân b dày b ép đan xen vào Do áp l c c a l c ép, biên hình lư c có th b nén bi n đ i theo hàm sin v i N chu kỳ Khi mi n biên c a hai bán không gian có th đư c x p x b i m t l p có đ dày b ng đ cao c a biên có tính ch t bi n đ i theo hàm sin c u trúc hai l p bán không gian có biên phân chia d ng đư c nghiên c u Ph m Chí Vĩnh (2010) [18] Như v y tính ch t c a l p có th đư c tính theo công th c P (2)(x2) = P (1) + P (3) − P (1) sin (πx2/h) , (2.24) h đ dày c a m t chu kỳ, P đ i di n cho h ng s v t li u c a l p Chú ý r ng đ đ m b o tính liên t c c a tính ch t v t li u, ph n dư i c alp gi a ch g m m t n a chu kỳ c a l p v t li u Đ áp d ng phương pháp trình bày ph n trên, s chia m i chu kỳ bi n đ i c a l p thành M = 20 l p tr c hư ng thu n nh t S l p đ l n đ l p 34 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP H S BAND-GAPS C A SÓNG M T R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM không thu n nh t đư c x p x b i l p m ng thu n nh t S chu kỳ đư c ch n cho tính toán s c a m c N = 50 Các h ng s v t li u cij đư c tính toán qua thông s v t li u B ng (Ví d xem Ting, 1996 [17]) Trong trư ng h p ta có h ng s v t li u c a bán không gian c(1) = 30.04, 11 c(1) = 0.18, c(1) = 0.75, c(1) = 0.37 c a bán không gian dư i c(3) = 143.21, 13 (3) c 13 33 = 3.11, c(3) = 9.32, 33 66 c(3) 11 = 4.79 Hình 2.4 bi u th đư ng cong c a t s biên đ 66 sóng khúc x bên bán không gian dư i biên đ c a sóng t i qP bán không gian có góc nghiêng b ng 30o mi n t n s bi n thiên t Hz đ n Hz Chú ý r ng môi trư ng v t li u b t đ ng hư ng, v n t c c a sóng qP thay đ i theo góc t i đư c tính b i công th c (2.10) ho c b i công th c Chattopadhyay Rajneesh (2006) [4] Trong mi n t n s có th quan sát đư c có m t ph band gaps có đ r ng t kho ng Hz đ n 2.35 Hz Chú ý r ng, v m t lý thuy t, m t l p h u h n không th tri t tiêu hoàn toàn lư ng c a sóng khúc x Tuy nhiên, lư ng c a sóng khúc x có th r t nh thông thư ng tính toán, ph band gaps đư c tính t s biên đ c a sóng khúc x sóng t i nh 10−3 (xem Golub c ng s , 2014 [5]) Hình 2.4: T s biên đ c a sóng khúc x qP − SV v i biên đ c a sóng t i qP 35 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP H S BAND-GAPS C A SÓNG M T R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM Kí hi u E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) ν12 ρ(g/cm3) Graphite/epoxy 30 0.75 0.375 0.25 1.9 Glass/epoxy 142.17 9.255 4.795 0.334 1.9 B ng 1: Thông s v t li u c a Graphite/ epoxy Glass/ epoxy 36 K t lu n Lu n văn thi t l p phương trình b n c a phương pháp ph n x khúc x t ng quát hóa cho mô hình phân l p tr c hư ng nh n đư c công th c tính toán h s khúc x c a sóng truy n qua mô hình phân l p Các h th c nh n đư c k t qu m r ng cho môi trư ng đ ng hư ng đư c đưa b i Chen năm 1993 V i k t qu m i nh n đư c này, lu n văn tính toán s ph band gaps c a m t mô hình m t l p tr c hư ng có c u trúc tu n hoàn bi n đ i liên t c theo hình sin n m gi a hai bán không gian tr c hư ng Đây m t mô hình v nguyên t c có th t o b ng cách cho hai bán không gian tr c hư ng v i biên có đ nhám cao hình lư c b ép xen k vào Nh ng hư ng nghiên c u ti p theo: m r ng k t qu nghiên c u lu n văn đ i v i môi trư ng có tính b t đ ng hư ng có c n nh t 37 Danh m c công trình khoa h c công b Các công trình liên quan đ n lu n văn Tr n Thanh Tu n, Trương Th Thùy Dung (2013) S ph n x khúc x c a sóng SH môi trư ng phân l p không thu n nh t Tuy n t p h i ngh Cơ h c v t r n bi n d ng toàn qu c l n th XI, HCM 2013, pp 1265-1274 Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Mai, Tran Thanh Tuan (2014) Dispersion equation of Rayleigh surface waves in stratified layer by ray and R/T theories International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA-3) Hanoi, October 15-16, 2014, pp 602 - 608 Trương Th Thùy Dung, Tr n Thanh Tu n (2015) Phương pháp h s ph n x , khúc x (R/T ) t ng quát hóa cho môi trư ng phân l p tr c hư ng ng d ng toán tìm band-gaps c a sóng qP − SV Tuy n t p h i ngh Cơ h c v t r n bi n d ng toàn qu c l n th XII, Đà N ng 2015 (Accepted) Các công trình khác Tran Thanh Tuan, Raul Palau Clares, Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Thu, Tran Ngoc Trung (2014) Amplification of the surface layer to the body waves International Conference on Engineering Mechanics and Automa- tion (ICEMA-3) Hanoi, October 15-16, 2014, pp 588 - 594 Nguy n Th Lưu, Trương Th Thùy Dung, Lê Th Hu , Tr n Thanh Tu n (2015) Công th c xác x p x c a phương trình tán s c t s H/V c a sóng Rayleigh mô hình m t l p tr c hư ng đ t bán không gian tr c hư ng Tuy n t p h i ngh Cơ h c v t r n bi n d ng toàn qu c l n th XII, Đà N ng 2015.(Accepted) 38 Tài li u tham kh o [1] Aki, K and Richards, P G (1980), Quantitative Seismology: Theory and Methods, W H Freeman, San Francisco [2] Brekhovskikh, L M Waves in stratified media Izd Akad Nauk SSSR, Mos (1973) [3] Brillouin, L (1946) "Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices, ser" International Series in Pure and Applied Physics [4] Chattopadhyay and Rajneesh (2006) "Reflection and refraction of waves at the interface of an isotropic medium over a highly anisotropic medium", Acta Geophysica, 54 (3), pp 239-249 [5] Fomenko, S I., Golub, M V., Zhang, C., Bui, T Q., and Wang, Y S (2014) "In-plane elastic wave propagation and band-gaps in layered functionally graded phononic crystals" International Journal of Solids and Structures, 51 (13), 2491-2503 [6] Goffaux, C., Vigneron, J.P (2001) "Theoretical study of a tunable phononic band gap system" Physical Review B 64, 075118 [7] Golub, M.V., Fomenko, S.I., Bui, T.Q., Zhang, C., Wang, Y.S (2012) "Trans-mission and band gaps of elastic SH waves in functionally graded periodic laminates" International Journal of Solids and Structures 49, 344354 39 TÀI LI U THAM KH O [8] Golub, M.V., Zhang, C., Wang, Y.S (2012) "SH-wave propagation and scattering in periodically layered composites with a damaged layer" Journal of Sound and Vibration 331, 1829-1843 [9] G R Liu and Z C Xi (2002) Elastic waves in anisotropic laminates CRC press [10] Haskell, N A., (1953) "The dispersion of surface waves on multilayered media", Bull seism Soc Am., 43, 17-34 [11] J D Achenbach (1975) Wave Propagation in Elastic Solids, North-Holland publishing company Amsterdam, New York, Oxford [12] Kennett, B L N (1983), Seismic Wave Propagation in Stratified Media, Cambridge University Press, New York [13] Kushwaha, M.S (1999) "Band gap engineering in phononic crystals" Recent Research Developments in Applied Physics 2, 743-855 [14] Luco, J E and Apscl, R J., (1983) "On the Green's function for a layered half-space, Part I", Bull seism SOC Am., 73, 909-929 [15] Maldovan, M., Thomas, E.L (2009) Periodic Materials and Interference Lithography for Photonics, Phononics and Mechanics Wiley-VCH Verlag GmbH and Co KGaA, Weinheim, Germany [16] Thomson, W T., (1950) "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium", J uppl Phys., 21, 89-93 [17] Ting.T.C.T (1996) Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford Unversity Press NewYork [18] Vinh, P C., Tung, D X (2010) "Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces" Mech Res Comm 37, pp 285-288 [19] Wang, Y.Z., Li, F.M., Kishimoto, K., Wang, Y.S., Huang, W.H (2009) "Elastic wave band gaps in magnetoelectroelastic phononic crystals" Wave Motion 46, pp 47-56 40 TÀI LI U THAM KH O [20] Wu, M.L., Wu, L.Y., Chen, L.W (2009) "Elastic wave band gaps of onedimensional phononic crystals with functionally graded materials" Smart Materials and Structures 18, 115013 [21] Xiaofei Chen (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space", Geophys J Int 115, pp 391-409 41 ... nhiên, phương pháp có m t c m c h u c a phương pháp ma tr n chuy n k t qu tính toán s có th không n đ nh đ i v i sóng t i có t n s cao đư c phân tích k báo c a Chen (1993) [21], phương pháp không... làm cho hình nh v t lý v tính ph n x khúc x c a sóng l p không đư c tư ng minh Trong báo c a Chen (1993) [21] v phương pháp ph n x khúc x t ng quát hóa, hai c m đ c p đư c kh c ph c Phương pháp. .. hư ng c a s ph n x khúc x m t m t phân cách gi a hai môi trư ng mà không quan tâm đ n nh hư ng c a s ph n x khúc x m t phân cách khác gây (Luco Apesel, 1983 15 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S QUÁT