Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PH M NHƯ THÀNH V TÍNH CH T NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH TI N HÓA VÀ LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Hà N i - 2015 NG D NG Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PH M NHƯ THÀNH V TÍNH CH T NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH TI N HÓA VÀ Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60460102 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: PGS.TS Đ NG ĐÌNH CHÂU Hà N i - 2015 NG D NG M cl c N a nhóm liên t c m nh không gian Banach sinh c a chúng 1.1 N a nhóm liên t c m nh v toán t sinh m t s k t qu b tr toán t sinh c a n a nhóm 1.4 Khái ni m v tán x đ nh lý Lunner-Phillips 1.5 M t s ví d khác c a n a nhóm liên t c m nh 1.5.1 N a nhóm liên t c đ u 1.5.2 N a nhóm đ ng d ng 1.5.3 N a nhóm u ch nh 1.5.4 N a nhóm nhân 1.6 Bài toán Cauchy đ t ch nh toán t 51.2 Khái ni m 91.3 Đ nh lý v 12 15 17 17 19 19 20 22 Tính ch t nghi m c a phương trình ti n hóa tr u tư ng ng d ng 2.1 Nhi u b ch n c a n a nhóm liên t c m nh 2.2 Phương trình ti n hóa v i nhi u Lipschitz 2.3 Khái ni m h toán t ti n hóa liên t c m nh m t vài tính ch t nghi m c a phương trình vi phân n tính thu n nh t không gian Banach 2.4 Nhi u n tính c a phương trình ti n hoá h toán t ti n hóa liên t c m nh 2.5 S tương đương ti m c n c a h toán t ti n hóa 2.6 ng d ng c a phương pháp n a nhóm mô hình qu n th sinh h c 2.6.1 V tính ch t nghi m c a toán dân s ph thu c vào tu i 2.6.2 Tính ch t nghi m c a toán dân s có ph thu c vào tu i s phân b dân cư 26 26 30 37 44 47 53 53 55 M Đu Trong th i gian g n yêu c u đòi h i t mô hình ng d ng, lý thuy t đ nh tính c a phương trình vi phân không gian Banach đư c phát tri n m nh m Các k t qu nh n đư c v tính n đ nh c a phương trình vi phân không gian Banach có th ng d ng cho vi c nghiên c u tính ch t nghi m c a phương trình vi phân hàm Đ ng th i s d ng vi c nghiên c u c a mô hình ng d ng như: mô hình qu n th sinh h c, m ng nơron th n kinh, v t lý h c M t nh ng v n đ đ u tiên đư c nhi u ngư i quan tâm, nghiên c u áp d ng phương pháp n a nhóm cho phương trình ti n hóa tr u tư ng, t ng d ng vào mô hình dân s Trong nhi u mô hình ng d ng, ta thư ng g p toán phương trình đ o hàm riêng d ng: ∂v = A(D)v ∂t v m t hàm véc tơ v = (v1, , vm) ph thu c vào t x, (1) AαDα, A(D) = |α|≤r α = (α1, , αn) m t đa ch s , |α| = α1 + + αn, Dα = Dα1 Dαn, Dk = ∂i∂ (k = 1, 2, , n), x = (x1, , xn) m t m không gian R ma tr n h ng c p m ⋅ n S r đư c g i c p c a h n n xk h s Aα m t Bài toán tìm nghi m c a phương trình (1), v = v(t, x) th a mãn u ki n v(0, x) = φ(x) (2) đư c g i toán Cauchy, hàm vector φ(x) đư c cho toàn b không gian Rn Đôi ngư i ta có th g i toán v i giá tr ban đ u Bài toán v i giá tr ban đ u (1) thư ng đư c gi i b ng phương pháp Fourier Tuy nhiên nhi u trư ng h p, đ m r ng ph m vi ng d ng c a ngư i ta thư ng xét phương trình đ o hàm riêng d ng ∂v = A(D)v + g(t, v) ∂t (3) Nh áp d ng phương pháp n a nhóm vi c nghiên c u tính ch t nghi m c a phương trình (3) có th đưa v nghiên c u tính ch t nghi m c a phương trình vi phân du(t)  dt + Au(t) = f (t, u(t)), t > t u(t0) = u0 −A m t toán t sinh c a C0− n a nhóm T (t), t ≥ 0, không gian Banach X f : [t0, T ] ⋅ X → X ánh x liên t c theo t th a mãn u ki n Lipschitz theo u M c đích c a lu n văn c g ng tìm hi u phương pháp n a nhóm không gian hàm lý thuy t nhi u c a n a nhóm vào vi c nghiên c u tính ch t nghi m c a phương trình vi phân có nhi u không gian Banach, t đưa ng d ng vào mô hình dân s B c c lu n văn g m ph n m đ u, hai chương, ph n k t lu n danh m c tài li u tham kh o Chương m t trình bày đ nh nghĩa, tính ch t c a n a nhóm liên t c m nh m t s đ nh lý quan tr ng v toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh, v tán x m t s d ng khác c a n a nhóm liên t c m nh Trong chương này, s d ng ki n th c đư c trình bày tài li u [1], [4], [8], [9] chuyên đ cao h c c a TS Tr n Đ c Long Chương hai trình bày toán nhi u c a n a nhóm, tính ch t c a h toán t ti n hóa liên t c m nh, s tương đương ti m c n đ nh lý liên quan; t đưa toán mô hình dân s ph thu c vào tu i Đ hoàn thành n i dung đó, s d ng ki n th c b n tư li u đư c trình bày tài li u [2], [3], [5], [6], [7], [8] n i dung chuyên đ cao h c c a PGS.TS Hoàng Qu c Toàn PGS.TS Đ ng Đình Châu B n lu n văn đư c th c hi n dư i s hư ng d n c a PGS.TS Đ ng Đình Châu Nhân d p xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i Th y, ngư i dành nhi u công s c th i gian đ hư ng d n, ki m tra, giúp đ vi c hoàn thành b n lu n văn Tôi xin g i l i c m ơn đ n lãnh đ o th y cô khoa Toán - Cơ - Tin h c, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên Hà N i v ki n th c nh ng u t t đ p mang l i cho th i gian h c t p t i trư ng Tôi xin c m ơn t i phòng Sau đ i h c v nh ng u ki n thu n l i vi c hoàn thành th t c h c t p b o v lu n văn Cám ơn th y b n seminar Phương trình vi phân v nh ng s đ ng viên nh ng ý ki n trao đ i quí báu đ i v i b n thân th i gian qua Cu i mu n t lòng bi t ơn gia đình, ngư i thân ch d a v tinh th n v t ch t cho cu c s ng h c t p M c dù có nhi u c g ng th i gian b h n ch nên b n lu n văn đ l i nhi u thi u sót v l i n loát l i b qua m t s trình bày chi ti t vi c ch ng minh l i k t qu chương m t vài ví d ng d ng Vì v y, r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y, cô b n Hà N i, tháng 11 năm 2015 Ph m Như Thành Chương N a nhóm liên t c m nh không gian Banach toán t sinh c a chúng 1.1 N a nhóm liên t c m nh Đ nh nghĩa 1.1 M t h (T (t))t≥0 toán t n tính b ch n không gian Banach X đư c g i n a nhóm liên t c m nh (ho c C0− n a nhóm ) n u th a mãn u ki n sau: T (t + s) = T (t)T (s) v i m i t, s ≥ T (0) = I tlim0 T (t)x = T (t0)x v i m i x ∈ X, t ≥ →t Ví d 1.1 Xét n a nhóm (T (t))t≥0 không gian C0 = C0(R), xác đ nh b i C0(R) = {f ∈ C(R) : s →±∞ f (s) = 0} lim V i chu n ||f|| = sup |f(s)| Ta có (C0, ||.||) m t không gian Banach s∈R ∀t ≥ 0, ta đ nh nghĩa: (Tl(t)f )(s) = f (t + s) ∀f ∈ C0, ∀s ∈ R (Tr(t))f (s) = f (s − t) ∀f ∈ C0, ∀s ∈ R Khi (Tr(t))t≥0 (Tl(t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh C0, đư c g i tương ng n a nhóm d ch chuy n trái ph i c a C0 Ch ng minh Ta ch ng minh cho trư ng h p n a nhóm d ch chuy n trái, trư ng h p n a nhóm d ch chuy n ph i đư c ch ng minh tương t +) Ta ch ng minh (Tl(t)) m t n a nhóm Th t v y: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0, s ∈ R, ta có (Tl(t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl(t)f )(h + s) = (Tl(t)Tl(h))f (s) suy Tl(t + h) = Tl(t)Tl(h) +) Ta ch ng minh (Tl(t))t≥0 liên t c m nh Th t v y, ta c n ch r ng, ∀f ∈ C0 lim ||Tl(t)f − f || = lim+ sup |f (t + s) − f (s)| = t→0 s∈R t→0+ Vì f ∈ C0 suy f liên t c R t n t i gi i h n s →±∞ f(s) = 0, nên f lim liên t c đ u R Do ∀ > 0, ∃δ > cho: ∀s1, s2 : |s1 − s2| < δ ⇒ |f (s1) − f (s2)| < Khi v i m i t : ≤ t < δ |t + s − s| < δ, v i m i s ∈ R, ta có |f (t + s) − f (s)| < Suy h n ta có ∀s ∈ R v i m i t : ≤ t < δ V y theo đ nh nghĩa gi i sup |f (t + s) − f (s)| ≤ s∈R lim sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ s∈R V y (Tl(t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh B đ 1.1 Gi s X m t không gian Banach F m t hàm t m t t p compact K ⊂ R vào L(X) Khi kh ng đ nh sau tương đương (a) F toán t tôpô liên t c m nh; t c là, ánh x K t → F (t)x ∈ X liên t c ∀x ∈ X (b) F b ch n đ u K, ánh x K t → F (t)x ∈ X liên t c ∀x ∈ D ⊂ X, D trù m t X (c) F liên t c đ i v i tôpô h i t đ u t p compact c a X; t c là, ánh x K ⋅ C (t, x) → F (t)x ∈ X liên t c đ u đ i v i t p compact C X Đ nh lý 1.1 Cho m t n a nhóm (T (t))t≥0 m t không gian Banach X Khi tính ch t sau tương đương (a) (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh (b) tlim+ T (t)x = x ∀x ∈ X →0 (c) Có m t s δ > 0, M ≥ m t t p trù m t D ⊂ X th a mãn i) ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ], ii) tlim+ T (t)x = x ∀x ∈ D →0 Ch ng minh +) Ch ng minh (a) ⇒ (c.ii) Vì (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh m t không gian Banach, nên lim T (t)x = T (0)x = x ∀x ∈ D (Do D trù m t X) t→0+ +) Ch ng minh (a) ⇒ (c.i) Gi s ngư c l i, t c t n t i m t dãy (δn)n∈N ⊂ R+ h i t đ n th a mãn ||T (δn)|| → ∞ n → ∞ Theo nguyên lý b ch n đ u, t n t i x ∈ X th a mãn (||T (δn)x||)n∈N không b ch n Đi u mâu thu n v i T (.)x liên t c t i t = (do (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh) +) Ch ng minh (c) ⇒ (b) Đ t K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} v i m i dãy b t kì (tn)n∈N ⊂ [0, ∞) h i t đ n Khi K ⊂ [0, ∞) compact, T (.)|Kx liên t c ∀x ∈ D Do áp d ng b đ 1.1 (b) ta đư c T (.)|Kx liên t c ∀x ∈ X, t c là: lim T (tn)x = x n→∞ ∀x ∈ X Vì (tn)n∈N đư c ch n tùy ý nên (b) đư c ch ng minh +) Ch ng minh (b) ⇒ (a) Gi s t0 > 0, x ∈ X Khi lim ||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0)||.|| lim+ ||T (h)x − x|| = 0, h→0+ h→0 suy (T (t))t≥0 liên t c ph i N u h < ||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x|| d n đ n tính liên t c trái, ||T (t)|| b ch n đ u ∀t ∈ [0, t0] V y (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh Đ nh lý 1.2 Cho m t n a nhóm liên t c m nh (T (t))t≥0 Khi có m t h ng s w ∈ R M ≥ th a mãn ||T (t)|| ≤ M ewt ∀t > (1.1) |||T+(t)||| ≤ |||T+(t0)|||n|||T+(s)||| ≤ M1 Suy sup |||T+(t)||| ≤ M1 t≥0 L p lu n tương t ta có sup |||T−(t)||| ≤ M2 t≥0 Đ t M3 = max{M1, M2}, sup |||T (t)||| ≤ M3 t∈R Đi u có nghĩa (T (t))t∈R nhóm gi i n i (X, |||.|||) Vì |||.||| tương đương v i chu n xu t phát (||.||) nên (T (t))t∈R nhóm gi i n i (X, ||.||) Ch ng minh b) ⇒ c) có th nh n đư c b ng cách đ t ||x||1 := sup ||T (t)x|| t∈R Ti p theo ch ng minh c) ⇒ d) T gi thi t c a c) suy (T (t))t≥0 có th thác tri n thành nhóm gi i n i (X, ||.||), t c t n t i M4 ≥ cho v i m i t ∈ R ta có ||T (t)|| ≤ M4 V i λ > 0, theo đ nh lý 1.5 chương ta có ∞ R(λ, A)x = e−λsT (s)xds Lý lu n tương t h qu 1.1 chương ta có R(λ, A)nx (−1)n−1 dn−1 R(λ, A)x = (n − 1)! dλn−1 ∞ sn−1e−λsT (s)xds = (n − 1)! nên ta có ||[λR(λ, A)]n|| ≤ M4, ∀n ∈ N, λ > Chú ý r ng R(−λ, A) = −R(λ, −A) v i m i λ ∈ −ρ(A) = ρ(−A), có th nh n đư c đánh giá tương t cho trư ng h p λ < Ch n M = M4 ta có u ph i ch ng minh Cu i ta ch ng minh d) ⇒ a).T gi thi t c a d) ta có ||[λR(λ, A)]n|| ≤ M, 49 n ∈ N Tương t ch ng minh c a đ nh lý 3.8 (xem [8], trang 77), xây d ng chu n m i X sau: |||x||| := sup{sup ||µnR(µ, A)nx||}, µ>0 n≥0 ∀n ∈ N L p l i k thu t ch ng minh c a đ nh lý 3.8 (xem [8], trang 77) ta có |||λR(λ, A)||| ≤ 1, ∀λ > Đi u d n đ n (A, D(A)) toán t sinh c a n a nhóm co (T+(t))t≥0 (xem [8] trang 73) Tương t đ i v i trư ng h p λ < ta có th ch (−A, D(A)) toán t sinh c a n a nhóm co (T−(t))t≥0 T ta có nhóm co (T (t))t∈R th a mãn u ki n sup |||T (t)||| ≤ t∈R theo đ nh nghĩa 2.4 suy (T (t))t≥0 song n đ nh Như v y ta có d) ⇒ a), đ nh lý đư c ch ng minh B đ 2.4 Gi s B(.) : X → X th a mãn u ki n (2.44), (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh không gian Hilbert X P : X → X phép chi u tr c giao X, giao hoán v i T (t) th a mãn u ki n a) (T (t))t≥0 n a nhóm n đ nh mũ b) (T (t)(I − P ))t≥0 n a nhóm song n đ nh Khi t n t i t0 ∈ R+ cho ánh x F : X → X xác đ nh b i ∞ T (t0 − τ )(I − P )B(τ )U (τ, t0)xdτ F :x→ t0 ánh x n tính gi i n i th a mãn u ki n ||F || ≤ α < Ch ng minh Đ t S(t) = T (t)P, V (t) = T (t)(I − P ), suy T (t) = S(t) + V (t), V (t − s) = T (t − t0)V (t0 − s) Áp d ng k t qu [8] (trang 43), ta có th suy r ng S(t) V(t) n a nhóm h n ch Y1 = XP Y2 = X(I − P ) 50 (2.45) T u ki n b) c a b đ suy t n t i h ng s dương M5 cho v i m i t ∈ R ta có ||T (t)(I − P )|| ≤ M5 T công th c (2.45) áp d ng b đ Gronwall-Bellman ta có th suy t n t i h ng s dương M6 cho ∀t ≥ t0 ≥ ta có ||U (t, t0)|| ≤ M6 T u ki n cho ∞ ||B(τ )|| < +∞, v i α < b t kì ta có th tìm m t s ∆ > ||B(τ )||dτ ≤ M αM , 56 t t0 ≥ ∆ > 0 Khi ∞ ||F || ≤ ||V (t0 − τ )||.||B(τ )||.||U (τ, t0)||dτ t0 (2.46) ∞ ||B(τ )dτ ≤ α < ≤ M5M6 t0 Đ nh lý 2.10 Gi s (T (t))t≥0 m t n a nhóm gi i n i đ u sinh b i A ∈ Λ(X) th a mãn u ki n a) b) c a b đ (2.4) Khi (T (t))t≥0 (U(t, s))t≥s tương đương ti m c n Ch ng minh Gi s (S(t))t≥0, (V (t))t≥0 n a nhóm đư c xây d ng ch ng minh b đ 2.4 Chú ý r ng t u ki n a) c a b đ suy t n t i h ng s dương ω, M7 cho ||S(t)|| ≤ M7e−ωt, ∀t ≥ Cho y0 ∈ X x0 = (I + F )y0 (F đư c xác đ nh b đ (2.4) ) v i t ≥ t0, ta xét ∞ y(t) = T (t − t0)y0 + T (t − τ )B(τ )U (τ, t0)y0dτ t0 x(t) = T (t − t0)x0 = T (t − t0)y0 + ∞ t0 V (t − τ )B(τ )U (τ, t0)y0dτ Ta có ∞ t T (t − τ )B(τ )U (τ, t0)y0dτ − y(t) − x(t) = t0 V (t − τ )B(τ )U (τ, t0)y0dτ t0 51 (2.47) ∞ t S(t − τ )B(τ )U (τ, t0)y0dτ − y(t) − x(t) = V (t − τ )B(τ )U (τ, t0)dτ t0 t Do ∞ t e−ω(t−τ)||B(τ )||dτ + M ||y(t) − x(t)|| ≤ M6M7||y0|| t e−ω(t−τ)||B(τ )||dτ + M9 ≤ M8 t  −ω t ||B(τ )||dτ 5M7||y0|| t0 t ∞ ||B(τ )||dτ t  t t0 ≤ M8   (e ) ∞ ||B(τ )||dτ + t ||B(τ )||dτ  + M9  t ||B(τ )||dτ t (2.48) Trong M8 = M6.M7||y0||, M9 = M5.M7||y0|| M t khác v i m i h ng s dương > t n t i t∗ > 2t0 cho v i t ≥ t∗ b t đ ng th c sau x y t −ω ||B(τ )||dτ < e2 3M8 , t0 t t ||B(τ )||dτ < 3M8 , ∞ t ||B(τ )||dτ < 3M Do   t t ||y(t) − x(t)|| ≤ M8  e−ω(t−τ)||B(τ )dτ + t e−ω(t−τ)||B(τ )||dτ   t0  ∞ + M9 ||M (τ )||dτ t < + + = Suy lim ||y(t) − x(t)|| = t→∞ Chú ý r ng I + F : X → X kh ngh ch, t n t i m t song ánh gi a t p nghi m {x(t)} {y(t)} th a mãn đ nh nghĩa v s tương đương ti m c n c a (T (t))t≥0 (U(t, s))t≥s Đ nh lý đư c ch ng minh 52 (2.49) 2.6 ng d ng c a phương pháp n a nhóm mô hình qu n th sinh h c 2.6.1 V tính ch t nghi m c a toán dân s ph thu c vào tu i Xét mô hình dân s ph thu c vào tu i đư c xác đ nh b i toán Cauchy: (APE)  ∂f  (a, t) + ∂f (a, t) + µ(a)f(a, t) = 0, a, t ≥  ∂t ∂a   (2.50) ∞ = β(a)f (a, t)da, t ≥   f ( 0, t)  f (a, 0)  = f0(a), a ≥ Trong t a bi n th c không âm tương ng v i đ i lư ng th i gian tu i c a cá th ; f(., t) mô t c u trúc tu i c a qu n th th i m t f0 giá tr ban đ u c a c u trúc tu i th i m t = Ngoài β µ hàm gi i n i, đo đư c, nh n giá tr dương mô t t l sinh t l ch t Đ đưa toán (APE) v toán Cauchy tr u tư ng xét không gian Banach X = L1(R+) toán t đóng trù m t A0 đư c xác đ nh b i: A0f = −∂f − µf, f ∈ D(A0) := W 1,1(R+) ∂a đó: µ:X→X xác đ nh b i µ : f (a, t) → µ(a)f (a, t) Chú ý r ng, µ = µ(a) gi i n i, đo đư c R+ nên µ : X → X toán t liên t c, t c µ ∈ Λ(X) Đ ti p t c nghiên c u toán (APE), ta xét toán t h n ch c a A0 sau: ∞ Af = A0f, D(A) = {f : f ∈ D(A0), f (0) = β(a)f (a)da} B ng phương pháp tương t ví d 1.3 ta có th ch toán t n tính (A, D(A)) toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh (T (t))t≥0 Đ ng th i tương t [8] (trang 16-17) ch r ng toán (APE) tương đương v i toán Cauchy tr u tư ng (CE)  u(t) = Au(t), t ≥ ˙ (2.51)  u(0) = f0 53 v i u(t) := f(., t) Áp d ng đ nh lý toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh ta có th ch r ng (A, D(A)) toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh (T (t))t≥0 X (ta s g i n a nhóm dân s ) Trong trư ng h p này, nghi m nh t c a (APE) đư c cho b i f(a, t) := (T (t)f0(a) Hoàn toàn tương t , xét toán dân s có nhi u n tính sau đây: (APE(p))  ∂f  (a, t) + ∂f (a, t) + µ(a)f(a, t) = α(t)f(a, t), a, t ≥  ∂t  ∂a  f (0, t) ∞ = β(a)f (a, t)da, t ≥    f (a, 0)  (2.52) a ≥ = f0(a), Kí hi u X = L1(R+) Khi v i t ∈ R+ thì: Af = −∂f − µf, Bα = α(t)I ∂a toán t n tính t X vào X Như xét Af = −∂f − µf ∂a ∞ D(A) = {f | f ∈ W 1,1(R+), f (0) = β(a)f (a)da} toán t sinh c a n a nhóm (T (t))t≥0 Bα : X → X toán t n tính liên t c th a mãn u ki n ∞ α(t)dt < +∞, Khi t toán (APE(p)) có th đưa v xét phương trình: (CE(p))  = [A + α(t)]u(t), t ≥ u(t) ˙ (2.53) u(0) = f0 v i u(t) = f(., t) Tương ng v i toán (CE(p)) xét phương trình ti n hóa t u(t) = T (t − s)f + s T (t − τ )Bα(τ )u(τ )dτ ≤ s ≤ t, f ∈ L1(R+) H toán t ti n hóa (U(t, s))t≥s≥0 đư c xác đ nh b i U : (t, s) → u(t) 54 (2.54) ≤ s ≤ t u(t) đư c xác đ nh b i (2.54) h toán t ti n hóa liên t c m nh Đ nh lý 2.11 N u (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh b ch n đ u R+ (U(t, s))t≥s≥0 đư c xác đ nh b i phương trình (2.54) b ch n đ u R+ Ch ng minh Trư c h t b ng cách áp d ng lý lu n tương t ph n nhi u Lipchitz c a n a nhóm có th ch r ng phương trình 2.54 có nghi m nh t, đ ng th i h toán t ti n hóa (U(t, s))t≥s≥0 liên t c m nh X Bây gi không gian Λ(X) ta xét phương trình ti n hóa d ng: t U (t, s) = T (t − s) + s T (t − τ )Bα(τ )U (τ, s)dτ (2.55) Do (T (t))t≥0 b ch n đ u nên t n t i s M > cho: t ||U (t, s)|| ≤ M + s M ||Bα(τ )||||U (τ, s)||dτ S d ng b t đ ng th c Gronwall-Bellman ta có ||U (t, s)|| ≤ M e t s ||Bα(τ )||dτ ≤ Me t ||Bα(τ )||dτ < +∞ T đ nh lý áp d ng k t qu đ nh lý 2.10 v s tương đương ti m c n c a h toán t ti n hóa ta suy đ nh lý sau: Đ nh lý 2.12 a)N u (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh n đ nh mũ h toán t ti n hóa U(t, s)t≥s≥0 xác đ nh b i phương trình (2.54) n đ nh mũ b)N u (T (t))t≥0 n a nhóm liên t c m nh song n đ nh n a nhóm (T (t))t≥0 h toán t ti n hóa U (t, s)t≥0 tương đương ti m c n, t c là: ||U (t, t0)x − T (t, t0)y|| = 0(1), t → ∞ Nh n xét 2.2 K t qu c a đ nh lý 2.12 cho ta m t b c tranh v dáng u ti m c n c a mô hình dân s b nhi u 2.6.2 Tính ch t nghi m c a toán dân s có ph thu c vào tu i s phân b dân cư Gi s Ω ⊂ Rn m t mi n gi i n i có biên trơn, ký hi u p = p(r, t, x) m t đ dân s t i th i m t ≥ v i đ tu i r ≥ vùng đ a phương x ∈ Ω V i 55 < r < rm , rm tu i th cao nh t c a loài, xét phương trình vi phân sau:  ∂p(r, t, x) ∂p(r, t, x)    + = −µ(r)p(r, t, x) + K∆p(r, t, x),   ∂t ∂r   p(r, 0, x) = p0(r, x),  p(r, t, x) = rm β(r)p(r, t, x)dr,      p(r, t, x)|∂ = Ω  (2.56) µ(r) hàm t l ch t tho mãn r rm µ(ρ)dρ < ∞, µ(ρ)dρ = ∞; β(r) hàm sinh s n (fertility), không âm, gi i n i, đo đư c [0, rm]; p0(r, x) phân b m t đ ban đ u, p0(r, x) ≥ 0; K h ng s dương ∆ ký hi u toán t Lapplace Rn Bây gi đưa toán Cauchy xét v phương trình vi phân tr u tư ng không gian Banach X = L2((0, rm)) v i chu n thông thư ng xác đ nh toán t A : X → X sau:  Aφ(r, x) = −∂φ(r, x) − µ(r)φ(r, x) + K∆φ(r, x), ∀φ ∈ D(A),  ∂r  D(A) = {φ(r, x)|φ, Aφ ∈ X, φ|∂Ω = 0, φ(0, x) = rm β(r)φ(r, x)dr, } (2.57) Trong tài li u ([5], trang 164-165) ch r ng (A, D(A)) toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh (T (t))t≥0 không gian X := L2((0, rm)) Đ có th m r ng k t qu ng d ng vào mô hình th c t , sau s xét toán dân s d ng (2.56) có nhi u phi n Trư c h t s b sung m t s gi thi t cho hàm α(t) g(t, p) toán nhi u sau a) Cho α : R+ → R m t hàm liên t c b ch n th a mãn u ki n ∞ α(t)dt < +∞ b) Cho g : R+ ⋅ Rn → X m t hàm liên t c th a mãn u ki n ||g(t, p1) − g(t, p2)|| ≤ α(t)||p1 − p2|| v i m i p1, p2 ∈ Rn, t ∈ R+ 56 Khi tương ng v i phương trình đ o hàm riêng (2.56) ta có th xét phương trình đ o hàm riêng có nhi u sau đây:  ∂p(r, t, x) ∂p(r, t, x)    +    ∂t ∂r  p(r, 0, x) = p0(r, x),  p(r, t, x) = rm β(r)p(r, t, x)dr,       p(r, t, x)|∂Ω = = −µ(r)p(r, t, x) + K∆p(r, t, x) + g(t, p(r, t, p)) (2.58) Lý lu n tương t toán đư c xét m c 2.5.1, tương ng v i phương trình (2.58) ta có th xét phương trình ti n hóa t T (t − τ )g(t, u(τ ))dτ u(t) = T (t − t0)u0 + (2.59) t0 S d ng k t qu nh n đư c đ nh lý 2.2 đ nh lý 2.3 ta có th ch r ng nghi m c a (2.59) t n t i nh t tương t đ nh lý 2.5 B ng cách s d ng b đ Gronwall-Bellman s ch ng m nh đư c k t qu sau M nh đ 2.1 a) N u (T (t))t≥0 b ch n đ u m i nghi m c a (2.59) b ch n b) N u (T (t))t≥0 n đ nh ti m c n m i nghi m c a (2.59) đ u d n t i không t → +∞, t c là: lim ||u(t)|| = t→+∞ Đ k t thúc toán xin nh c l i r ng u ki n đ đ n a nhóm (T (t))t≥0 n đ nh theo nghĩa Lyapunov đư c xét đ n tài li u [5] 57 K t lu n Lu n văn dành cho vi c tìm hi u ki n th c b n v h toán t ti n hóa liên t c m nh không gian Banach liên quan t i phương trình ti n hóa có nhi u Trong lu n văn trình bày n i dung sau đây: Tìm hi u trình bày l i n i dung c a lý thuy t n a nhóm liên t c m nh toán t sinh c a không gian Banach Trình bày l i khái ni m v h toán t ti n hóa liên t c m nh m t s đ nh lý v nhi u c a n a nhóm liên t c m nh Tìm hi u trình bày ví d v mô hình dân s có ph thu c vào tu i ho c ph thu c vào s phân b dân cư theo y u t đ a lý Đóng góp c a lu n văn trình bày l i m t cách h th ng toán nhi u c a n a nhóm liên t c m nh xây d ng ví d chương 58 Tài li u tham kh o [1] Ph m Kỳ Anh, Tr n Đ c Long, Giáo trình hàm th c gi i tích hàm, NXB ĐHQG Hà N i (2001) [2] Nguy n Văn Minh, M đ u v dáng u c a phương trình vi phân không gian Banach(2002) [3] Nguy n Th Hoàn - Ph m Phu, Cơ s phương trình vi phân lý thuy t n đ nh, NXB Đ i h c Qu c gia Hà n i (2000) [4] D.D Chau; K.T.Linh(2005), On the asymptotic equivalence of solutions of the linear evolution equations in Banach spaces, International Journal of Evolution Equations Vol.1, Number 2, April 2005 [5] W.L Chan and B.Z Guo, On the semigroups for age-size dependent population dynamics with spatial diffusion, Manuscripta Math 66 (1990), 161-181 [6] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, (1974) [7] S.G.Krein, Linear differential equations in Banach space, American Mathematical society, Providence, Rhode Island 02904,(1971) [8] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer Verlog NewYork(2000) Tài li u tham kh o [9] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, A short course on operator Semigroups , Springer-Verlag NewYork Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona Heidelberg Milan Singapore, (2005) [10] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations,Springer-Verlag, Beclin-NewYork (1983) [11] G.F.Webb, Theory of No-linear Age-Dependent Population Dynamics,Marcel Dekker, Ann of Math, (1985) [12] Dajun Guo, V.Lakshmikantham and Xinzhi Liu, Nonlinear Integral Equations in Abstract Spaces, Mathematics and Its Applications (Kluwer Academic Pubishers Group) (1996) 60 ... n hóa liên t c m nh m t vài tính ch t nghi m c a phương trình vi phân n tính thu n nh t không gian Banach 2.4 Nhi u n tính c a phương trình ti n hoá h toán t ti n hóa. .. 19 20 22 Tính ch t nghi m c a phương trình ti n hóa tr u tư ng ng d ng 2.1 Nhi u b ch n c a n a nhóm liên t c m nh 2.2 Phương trình ti n hóa v i nhi u Lipschitz ... tâm, nghiên c u áp d ng phương pháp n a nhóm cho phương trình ti n hóa tr u tư ng, t ng d ng vào mô hình dân s Trong nhi u mô hình ng d ng, ta thư ng g p toán phương trình đ o hàm riêng d ng: