Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN LÊ TH THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C HÀ N I - 2015 Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN LÊ TH THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Chuyên ngành : TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60 46 01 02 Ngư i hư ng d n khoa h c: TS NGUY N VĂN NG C HÀ N I, 2015 M cl c L i c m ơn M đu Phương trình tích phân Volterra lo i hai t ng quát phương pháp x p x liên ti p 1.1 Phương pháp x p x liên ti p 1.2 Các ví d 10 Phương trình tích phân Volterra d ng ch p 2.1 Tích phân Gamma tích phân Beta 2.2 Bi n đ i Laplace 2.3 Phương trình Volterra n a tr c bi n đ i Laplace Nghi m tư ng minh c a m t s phương trình tích phân d ng Volterra 3.1 Phương trình tích phân Abel 3.1.1 Phương trình tích phân Abel lo i m t 3.1.2 Phương trình tích phân Abel lo i hai 3.1.3 Phương trình tích phân d ng Abel 3.1.4 Phương trình tích phân Abel v i nhân t ng quát 3.2 Phương trình Volterra v i nhân đa th c hay phân th c h u t 3.2.1 Đ o hàm theo tham s tích phân xác đ nh 3.2.2 Nhân đa th c b c nh t 3.2.3 Nhân đa th c b c hai 3.2.4 Nhân đa th c b c ba 3.2.5 Nhân lũy th a b c cao 3.2.6 Nhân phân th c h u t 16 16 17 27 34 34 34 37 38 38 39 39 39 40 42 43 44 3.3 Phương trình Volterra v i nhân th c hay lũy th a phân 47 3.3.1 Nhân th c 47 3.3.2 Nhân lũy th a phân 49 K t lu n 52 Tài li u tham kh o 53 L i cám ơn L i đ u tiên, xin trân tr ng c m ơn Th y - TS Nguy n Văn Ng c t n tâm hư ng d n, đ ng viên su t trình th c hi n lu n văn Xin chân thành c m ơn Quý th y cô khoa Toán - Cơ - Tin, Trư ng Đ i h c Khoa H c T Nhiên, ĐHQG Hà N i t n tâm truy n đ t ki n th c kinh nghi m cho su t khóa h c Xin c m ơn Phòng Sau Đ i h c Trư ng Đ i h c Khoa H c T nhiên, ĐHQG Hà N i t o u ki n thu n l i đ hoàn thành khóa h c Cho g i l i c m ơn chân thành t i đ ng nghi p, b n h c viên cao h c Gi i Tích khóa 2013-2015 giúp đ th i gian h c t p th c hi n lu n văn Hà N i, tháng 11 năm 2015 Lê Th Thu Hà M đu Nhi u v n đ toán h c(phương trình vi phân v i u ki n biên hay u ki n ban đ u, phương trình đ o hàm riêng), h c, v t lí ngành kĩ thu t khác d n đ n nh ng phương trình hàm chưa bi t ch a dư i d u tích phân Nh ng lo i phương trình đư c g i phương trình tích phân Phương trình tích phân công c toán h c h u ích nhi u lĩnh v c nên đư c quan tâm nghiên c u theo nhi u khía c nh khác s t n t i nghi m, s x p x nghi m, tính ch nh hay không ch nh, nghi m ch nh hóa, Lý thuy t t ng quát c a phương trình tích phân n tính đư c xây d ng bu i giao th i c a th k XIX, XX, ch y u công trình c a Volterra, Fredholm Hilbert, v.v Phương trình tích phân n tính có d ng b αu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, (1) a u(x) hàm c n tìm ( n hàm), f(x) K(x, y) nh ng hàm cho trư c tương ng đư c g i v ph i nhân (h ch) c a phương trình cho, α h ng s cho Phương trình (1) đư c g i phương trình lo i hay lo i 2, tùy thu c vào α = 0, hay α = tương ng Thông thư ng, trư ng h p (a, b) kho ng h u h n K(x, y) hàm liên t c hay kh tích hình ch nhât (a, b) ⋅ (a, b) phương trình (1) đư c g i phương trình Predholm N u phương trình (1), c n a, hay c n dư i b đư c thay b i x, bi n thiên m t kho ng đó, phương trình đư c g i phương trình tích phân voltetrra Như v y, phương trình tích phân Volterra có d ng x λu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, , (2) K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b (3) a b λu(x) + x đây, có th x y trư ng h p b = +∞ N u K(x, y) có d ng K(x-y) phương trình tích phân đư c g i phương trình tích ch p M c đích c a lu n văn tìm hi u h c phương pháp gi i hình th c phương trình tích phân Volterra N i dung c a lu n văn đư c trình bày ba chương: Chương trình bày phương pháp x p x liên ti p gi i gi i phương trình Volterra lo i hai v i v ph i nhân nh ng hàm liên t c Chương trình bày phép bi n đ i tích phân Laplace v n d ng phép bi n đ i gi i phương trình tích phân Volterra d ng ch p n a tr c th c Chương trình bày v nghi m tư ng minh c a m t s phương trình tích phân d ng Volterra phương trình tích phân Abel m t s phương trình Volterra khác Chương Phương trình tích phân Volterra lo i hai t ng quát phương pháp x p x liên ti p Chương trình bày phương pháp x p x liên ti p gi i gi i phương trình Volterra lo i hai v i v ph i nhân nh ng hàm liên t c N i dung c a chương đư c hình thành ch y u t tài li u [3] 1.1 Phương pháp x p x liên ti p Xét phương trình tích phân x Φ(x) = f (x) + λ K(x, t)Φ(t)dt a s h ng t f(x) hàm bi n ph c liên t c [a, b] h ch K(x, t) có giá tr ph c liên t c tam giác T (a, b) = {(x, t) : a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ x} Ta gi thi t r ng h ch Volterra th a mãn u ki n K(x, t) ≡ n u x < t h ch bi n m t đư ng chéo c a hình vuông Q(a, b) N u λ = Φ(x) = f (x) nghi m nh t cu phương trình tích phân N u |λ| đ nh đ Φ(x) ≈ f(x) ph n t hàm x p x ban đ u Φ0(x) v i nghi m c a phương trình, đ m b o r ng m t nghi m t n t i N u hàm x p x th nh t Φ1(x) v i Φ(t) đư c cho bi t b ng vi c thay th Φ(t) b i Φ0(t) = f (t) tích phân ta đư c x Φ1(x) = f (x) + λ K(x, t)Φ0(t)dt a N u tích phân x K(x, t)Φ0(t)dt = a Φ1(x) = f(x) = Φ0(x) trình l p l p l i k t thúc r ng s ng u nhiên có th x y ra, xét phương trình Đi u ch x Φ(x) = x + λ (2x − 3t)Φ(t)dt N u ta ch n Φ0(x) = f(x) = x x x (2x − 3t) tdt = 2xt − 3t2 dt = xt2 − t3 x =0 0 Do Φ1(x) = f(x) = x = Φ(x) v i m i giá tr c a λ N u Φ1(x) = Φ0(x) = f(x) thay th Φ1(x) b i lư ng x p x th hai x Φ2(x) = f (x) + λ K(x, t)Φ1(t)dt a Ti p t c trình cho ta đư c lư ng x p x th n x Φn(x) = f (x) + λ K(x, t)Φn−1dt a gi s r ng tích phân không bi n m t m i bư c N u tích phân m t Φn(x) = f(x) = Φ0(x) trình l p sai M i x p x Φn(x)} có m t d ng thay th N u thay x p x th nh t vào x p x th hai ta đư c x Φ2(x) = f (x) + λ t  ) f K(x, t  (t) + λ a  ds dt K(t, s)f (s)  a x x t = f ( x) + λ K(x, t)f (t)dt + λ a K(x, t)K(t, s)f (s)dsdt a x K(x, t)f (t)dt + λ2 = f (x) + λ a x a K2(x, t)f (t)dt a Trong ta đ t x K2(x, t) = K(x, s)K(s, t)ds t Chú ý r ng h ch l p K2(x, t) ≡ n u x < t Đi u d n t i K(x, s) ≡ x < s K(s, t) ≡ s < t T nh ng s kho ng trùng lên x < t, ch r ng tích phân ch khác t ≤ s ≤ x Thêm vào vi c l p l i d n t i d ng t ng quát n Φn(x) = f (x) + x m=1  (1.1) dt m Km(x, t)f (t)  λ  a Trong v i m i m = 1, 2, , ta đ t x Km(x, t) = Km−1(x, s)K(s, t)ds t M đ u m i h ch l p th a mãn u ki n Km(x, t) ≡ n u x < t Dãy {Φn(x)} c a x p x liên t c h i t t đ i đ u [a, b] T ta gi s r ng K(x, t) liên t c tam giác đóng T (a, b) K(x, t) ≡ n u x < t, t n t i s M cho |K(x, t)| ≤ M hình vuông Q(a, b) Do x |K2(x, t)| ≤ ds = M 2(x − t) ≤ M 2(b − a) M t v i t ≤ x Ta đ ý r ng K2(x, t) ≡ n u x < t Ta d dàng có đư c b t đ ng th c |Km(x, t)| ≤ M m(x − t)m−1 ≤ M m(b − a)m−1 (m − 1)! (m − 1)! v i m i m ≥ x, t ∈ [a, b] M i c tính cho, m i s h ng t ng (1.4) th a mãn b t đ ng th c x m−1 m λm Km(x, t)f (t)dt ≤ |λ| Mm(−− a) m b ( 1)! f Do dãy l p {Φn(x)} h i t t đ i đ u t i m t nghi m liên t c n Φ(x) = f (x) + m=1 x dt Km(x, t)f (t)  λm  a  3.2.6 Nhân phân th c h u t x y(t) dt = f (x) x+t N 1o Cho f (x) = Anxn, nghi m c a phương trình có d ng: n =0 N n y(x) = n=0 n Bn = (−1) An xn, B ln + k=1 (−1)k k n 2o Cho f (x) = x (λ > −1), N λ Anxn, λ m t s arbitrary n =0 n N t Bn = y n=0 Cho f (x) = ln x n N o B λ n + dt + t Anxn , nghi m c a phương trình có d ng: n =0 N An xn + N y(x) = lnx AnIn xn n=0 n n Bn = (−1)n ln + N 4o Cho f (x) = d ng: =0 k=1 B (−1)k , k n=0 B n (−1)k k=1 k n In = (−1)n π2 + 2 An (ln x)n, nghi m c a phương trình có n N y ( x) = AnYn(x) n =0 t cho b i dn r Yn(x) = o n g λ=0 , I(λ) = + z N N o đ ó dλn I(λ) λ x λ z dz An cos (λn ln x) + Cho f (x) = phương Bn cos (λn ln x), nghi m c a n=0 n=0 c trình có d ng: N c N h m Y n = Y n ( x ) đ c Cn cos (λn ln x) + y(x) = (λn ln x) n=1 n=1 4 Dn cos h ng s Cn Dn đư c tìm b ng phương pháp h s b t đ nh 6o Cho arbitry f (x), bi n đ i −τ − τ y(t) = e w(τ ), f (x) = e zg(z) t = 1e2 , x = e2z, 2 đưa t i m t phương trình tích phân z w(τ )dτ = g(z) cosh(z − τ ) −∞ x y(t) ax+bt = f (x), a > 0, N o Cho f (x) = a+b>0 Anxn, nghi m c a phương trình có d ng: n=0 N n y ( x) = An x , Bn n=0 Bn = tndt a + bt N 2o Cho f (x) = x λ Anxn, λ m t s b t kì (λ > −1), nghi m n=0 c a phương trình có d ng: N y(x) = x λ n=0 An xn, Bn Bn = λ t +ndt a + bt N o Anxn , nghi m c a phương trình có d ng: Cho f (x) = ln x N y(x) = lnx n=0 n=0 An xn − N AnCn xn, Bn tndt , Bn = B2 n=0 a + bt n tn ln t dt Cn = a + bt 4o V ph i c a phương trình có m t vài d ng khác nghi m cu phương trình có th tìm b ng phương pháp h s b t đ nh x y(t) ax 2+bt2 = f (x), 1o Cho f (x) = N n=0 a > 0, a+b>0 Anxn, nghi m c a phương trình có d ng: y(x) = N n=0 An x Bn n+1 , B n = t n + d t a + bt Ví d : Cho a = b = f(x) = Ax2 + Bx + C nghi m c a phương trình là: y(x) = −A 2x3 + 44− π x2 + lnC2x ln B N λ o n Cho f (x) = x Anx , λ m t s arbitrary (λ > −1), n=0 nghi m c a phương trình có d ng: N Bn n=0 N y(x) = lnx n=0 N x tn+1dt , B2 = f (x), N 1o Cho f (x) = Bn = a > 0, a + b > 0, tn+1 ln t dt Cn = a + bt2 n y(t) ax m +bt m a + bt2 An xn+1 − N AnCn xn+1, n=0 λ +1 +n dt Anxn , nghi m c a phương trình có d ng: n=0 Bn t Bn = An xn+1, y(x) = 3o Cho f (x) = ln x m = 1, 2, Anxn, nghi m c a phương trình có d ng: n=0 N y ( x) = n=0 An xm+n−1, Bn Bn = tm+n−1dt a + btm N 2o Cho f (x) = x λ n=0 Anxn, λ m t s b t kì (λ > −1), nghi m c a phương trình có d ng: N y(x) = x λ n=0 3o Cho f (x) = ln x N n=0 An xm+n−1, Bn Bn = y(x) = lnx n=0 dt a + btm +m+n− An xm+n−1 − N AnCn xm+n−1 Bn B2 n=0 λ Anxn , nghi m c a phương trình có d ng: N Bn = t tm+n−1dtm, a + bt Cn = 46 n tm+n−1 lnmtdt a + bt a + bt2 3.3 Phương trình Volterra v i nhân th c hay lũy th a phân 3.3.1 Nhân th c x √ x − ty(t)dt = f (x) a L y đ o hàm hai v theo bi n x, ta đư c phương trình Abel x √(t)dt = 2f (x) y x − t a Nghi m c a phương trình:y(x) d2 π dx2 x f√(t)dt x−t a = x √ √ ( x − t)y(t)dt = f (x) Nghi m c a phương trình: y(x) = 2dx [√xf x(x)] a d x √ (1 + b x − t)y(t)dt = f (x) a Đ o hàm theo x hai v c a phương trình cho, ta đư c phương trình tích phân x Abel: y(x) + b x y(t)dt √ x−t = f (x) a Nghi m c a phương trình: √(t)dt = f x(x) y 2a x −t y( √ dt = f (x) x a ( −t x Phương trình vi t l i dư i d ng: t ) d t = √ ( a ) + π f x − t π f t ( t ) d t x − √ x a − t π x b + √ y ( t ) x √(t)dt = f (x) − b y x−t x y(t)dt a a Gi s v ph i c a phương trình bi t, gi i phương trình gi ng phươ ngxtrì nh Abel Sau mts thao tác ta x có: y bπa y( t) = F (x), (x x ) + d t √ xF − t (x) = af d ( π t ) d d x t √ x − t 1 √ − √ y ( t ) d t = f ( x ) x > a b > phương = + trình f a t d t Nghi m ca c cho b = − x / f ( x ) t a x Ngh im ca phư ơng trìn h: y(x) = x y ( t ) d t a d ( x y + t b t ) d 2o Cho f (x) = x t n = t ca phương trình có d ng: − t > √ = λ Anxn, λ m t s b t kì (λ > −1), nghi m x x t π , d =0 2a d √ f a t nghi mca ph ng trình có d ng: − y ( x ) N0 ( A th c: √ =n Cho x i công B ( x ) cho đư n (x) = x λ N A n n = x n y , B n B √ n t = λ + n d t f x y ( t ) ( x ) , a a + b t2 48 N 3o Cho f (x) = ln x n=0 Anxn , nghi m c a phương trình có d ng: N y(x) = lnx An xn − N AnCn xn Bn B2 n=0 n t Bn = √ a + bt2 , Cn = √ N o Cho f (x) = n=0 An (ln x)n, nghi m c a phương trình có d ng: N y ( x) = n=0 AnYn(x) hàm Yn = Yn(x) đư c cho b i d Cho f (x) = N n=0 trình có d ng: x λ dλn I(λ) Yn(x) = o n λ=0 I(λ) = , N An cos (λn ln x) + n=0 Bn sin (λn ln x), nghi m c a phương N y(x) = n=1 √ z dz λ a + bz N Cn cos (λn ln x) + n=1 Dn sin (λn ln x) h ng s Cn Dn đư c tìm b ng phương pháp h s b t đ nh 3.3.2 Nhân lũy th a phân x λ (x − t) y(t)dt = f (x), f (a) = 0, < λ < a Gi s f(x) hàm kh vi liên t c Đ o hàm hai v c a phương trình cho thep x, ta đư c phương trình tích phân Abel: x a y(t)dt = f x(x) λ (x − t)1−λ 49 Nghi m c a phương trình đư c cho b i công th c : x y(x) = sin(πλ) dx2 d2 a πλ k = sin(πλ) πλ f (t)dt , λ (x − t) x (x − t)µy(t)dt = f (x) a V i µ = n − λ, n = 1, 2, ≤ λ < 1, f(a) = f x(a) = = f (n−1)x(a) = Đ o hàm hai v theo x n l n ta đư c phương trình x a y(t)dtλ= Γ (µ − n + 1) f (n)(x), (x − t) Γ (µ + 1) Γ(µ) hàm Gamma β Ví d : Đ t f(x) = Ax , β ≥ µ > −1, µ − β = 0, 1, 2, , trư ng h p nghi m c a phương trình có d ng: y(x) = Γ(µAΓ(β +β1) µ)x β −µ− + 1)Γ( − x (xµ − tµ) y(t)dt = f (x) a Nghi m c a phương trình đư c cho b i công th c: y(x) = x1−µf x(x) µ x x (Ax µ + Btµ ) y(t)dt = f (x) a Nghi m c a phương trình cho đư c cho b i công th c: x  Aµ  Bµ d y(x) = A + B dx  x − A+B v i A = −B 50 a dt t A+B f t(t)  x σ λ t (xµ − tµ) y(t)dt = f (x), σ > −1, λ > −1, µ > a Đt τ = tµ, z = xµ, w(τ ) = t σ +1 1/µ µ −µ y(t), A = a , F (z) = µ(z ) Khi phương trình (5) đư c đưa v phương trình d ng (2): x λ (z − τ ) w(τ )dτ = F (z) a T tìm đư c nghi m c a phương trình cho < λ < V i −1 < λ < nghi m c a phương trình cho x y(x) = µ sin(µλ) dx d πx a tµ−1(xµ − tµ) σ 51 − λ 1− f (t)dt K t lu n Lu n văn đ c p v n đ sau Trình bày phương pháp x p x liên ti p gi i phương trình gi i phương trình tích phân Volterra lo i hai v i nhân liên t c Trình bày phương pháp bi n đ i tích phân Laplace gi i phương trình Volterra d ng ch p n a tr c th c Trình bày nghi m tư ng minh c a m t s phương trình tích phân Volterra d c bi t, phương trình Abel phương trình v i nhân có d ng đơn gi n Qua lu n văn th c s làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c Nh ng ki n th c đ t đư c trình nghiên c u r t quý báu v i b n thân Tuy nhiên l c, ki n th c h n ch khó tránh kh i nh ng m khuy t Tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y-cô b n Xin chân thành c m ơn! 52 Tài li u tham kh o [1] Lokenath Debnath and Dambaru Batta (2007), Integral Transforms and their Applications, by Taylor and Francis Group [2] Andrei D Polyanin and Alexander V Manzhirov, Hanbook of Integral Equations, 1998 by CRC Press LLC [3] Stephen M Zemyan , The Classical Theory of Integral Equations, Springer Science + Business Media, LLC 2012 53 ... i phương trình tích phân Volterra d ng ch p n a tr c th c Chương trình bày v nghi m tư ng minh c a m t s phương trình tích phân d ng Volterra phương trình tích phân Abel m t s phương trình Volterra. .. minh c a m t s phương trình tích phân d ng Volterra 3.1 Phương trình tích phân Abel 3.1.1 Phương trình tích phân Abel lo i m t 3.1.2 Phương trình tích phân Abel lo... K(x-y) phương trình tích phân đư c g i phương trình tích ch p M c đích c a lu n văn tìm hi u h c phương pháp gi i hình th c phương trình tích phân Volterra N i dung c a lu n văn đư c trình bày