Header Page of 126 -1- -2- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐINH THỊ THÙY LINH DẠNG TOÀN PHƯƠNG VÀ LÝ THUYẾT GIỐNG TRONG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Phản biện 1: TS CAO VĂN NUÔI NGHIÊN CỨU CÁC SỐ NGUYÊN TỐ DẠNG x2 +ny2 Phản biện 2: TS NGUYỄN ĐẮC LIÊM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng bảo vệ chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, Năm 2012 tháng 12 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học Sư Phạm,Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 -3- -4- MỞ ĐẦU giống, sau ñó tính tương hỗ bậc ba trùng phương, ta xử lý nhiều trường hợp Để giải trọn vẹn toán, người ta cần Lý chọn ñề tài phải ñưa vào lý thuyết trường lớp lý thuyết hàm modular Tuy Hầu hết giáo trình ñầu tiên lý thuyết số nhiên, lời giải tổng quát tiêu chuẩn lý thuyết Các khía cạnh ñại số trừu tượng ñều có chứng minh ñịnh lý Fermat phát thuật toán cho ñến chưa ñầy ñủ Vấn ñề biểu ñối với số nguyên tố lẻ p, ñược mang tên Định lý Fermat ñược nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn David A Cox, Marios tổng hai số phương Magioladitis, p=x2+y2, x, y∈Z ⇔ p≡1 mod Xuất phát từ nhu cầu phát triển tính thời việc nghiên Đây ñịnh lý ñầu tiên nhiều kết liên quan cứu số nguyên tố dạng p=x2+ny2, ñịnh chọn ñề công trình Fermat Chẳng hạn, Fermat phát biểu p tài với tên gọi: Dạng toàn phương lý thuyết giống nghiên số nguyên tố lẻ cứu số nguyên tố dạng x2+ny2 ñể tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tạo ñược tài liệu tham khảo tốt cho người p=x2+2y2, x, y∈Z ⇔ p≡1, mod muốn tìm hiểu dạng toàn phương hai biến nguyên, lý thuyết hợp p=x2+3y2, x, y∈Z ⇔ p=3 p≡1 mod Các ñiều làm cho người ta mong muốn ñược biết ñiều xảy cho số nguyên tố dạng x2+4y2, x2+5y2, x2+6y2, Chúng dẫn ñến câu hỏi sau ñây Euler: lý thuyết số Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu ñề tài nhằm tổng quan kết tác Vấn ñề 0.1 Cho số nguyên dương n, số nguyên tố thành dạng toàn phương, lý thuyết giống ứng dụng chúng giả ñã nghiên cứu liên quan ñến dạng toàn phương lý thuyết giống p ñược biểu diễn dạng p=x +ny , ñó x y nghiên cứu số nguyên tố dạng x2+ny2 nhằm xây dựng số nguyên? tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu dạng toàn Bước ñầu tiên ñưa vào tính tương hỗ bậc hai lý thuyết sơ cấp dạng toàn phương theo hai biến Z Các phương pháp giải tốt ñẹp trường hợp ñặc biệt ñược xét Fermat Sử dụng lý thuyết hợp thành dạng toàn phương lý thuyết Footer Page of 126 phương hai biến nguyên, lý thuyết hợp thành dạng toàn phương, lý thuyết giống ứng dụng chúng lý thuyết số Header Page of 126 -5- Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh ñề, ñưa số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập Đối tượng, phạm vi nghiên cứu -6- CHƯƠNG TÍNH TƯƠNG HỖ BẬC HAI FERMAT VÀ EULER Trong phần này, bàn số nguyên tố có dạng x + ny , ñó n số nguyên dương cố ñịnh Điểm xuất Đề tài nhằm tổng quan kết Fermat, Euler, Lagrange, Legend, Gauss, … việc nghiên cứu Vấn ñề phát ba ñịnh lý Fermat: 0.1 Euler p = x2 + y2, x, y ∈ Z ⇔ p ≡ mod 4 Phương pháp nghiên cứu p = x2 + 2y2, x, y ∈ Z ⇔ p ≡ mod (1.1) p = x2 + 3y2, x, y ∈ Z ⇔ p = p ≡ mod Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan ñến dạng toàn phương hai biến nguyên, lý thuyết hợp thành ñược ñề cập phần Mở ñầu Các mục tiêu Chương dạng toàn phương, lý thuyết giống, lý thuyết số ñại số ứng chứng minh (1.1) quan trọng hơn, ñể có ñược hiểu biết dụng chúng ñể giải Vấn ñề 0.1 liên quan ñến việc nghiên cứu phương trình Tham gia buổi seminar tuần ñể trao ñổi kết ñang nghiên cứu p = x + ny2 , n > tùy ý Câu hỏi cuối ñã ñược trả lời tốt Euler, người ñã trải qua 40 năm chứng minh ñịnh lý Fermat Bố cục ñề tài suy nghĩ cách khái quát chúng Giải trình dựa vào Ngoài phần mở ñầu kết luận luận văn gồm chương: vài báo liên quan Euler, vừa ñịnh lý ñược Chương 1: Tính tương hỗ bậc hai Fermat Euler chứng minh vừa qua Chúng ta thấy chiến lược Euler cho Chương 2: Dạng toàn phương Lagrange Legend việc chứng minh minh họa (1.1) ñiều ñã Chương 3: Hợp thành lý thuyết giống Gauss dẫn ông ñến khám phá tính tương hỗ bậc hai bàn Chương 4: Tính tương hỗ bậc ba trùng phương số dự ñoán ông liên quan ñến p = x + ny2 cho n > Các dự ñoán ñáng ý liên quan ñến tính tương hỗ bậc hai, lý thuyết giống, tương hỗ bậc hai song bậc hai Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1 -8- FERMAT VÀ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ CÓ DẠNG x + y , x + 2y , VÀ x + 3y -7- 2 Bổ ñề 1.4 Giả sử N tổng hai bình phương số nguyên tố q = x + y ước số nguyên tố N Khi ñó N / q tổng hai bình phương nguyên tố Fermat phát biểu kết dạng ñịnh lý: Mỗi số nguyên tố lớn bội ñơn vị ñược phân 2 1.3 p = x + ny VÀ TƯƠNG HỖ BẬC HAI tích thành tổng hai bình phương Ví dụ 5, 13, 17, 29, 37, Bổ ñề 1.7 Cho n số nguyên khác không, với p số 41 nguyên Mỗi số nguyên tố lớn bội ñơn vị ñược phân tố lẻ không chia hết n Khi ñó:  −n  p| x + ny , UCLN ( x , y ) = ⇔   =1  p  tích thành tổng bình phương ba lần bình phương Dự ñoán 1.9 Nếu p q số nguyên tố lẻ phân biệt khác Ví dụ 7, 13, 19, 31, 37, 43, Mỗi số nguyên tố lớn bội ba ñơn vị ñược phân tích thành tổng bình phương hai lần bình  p   = ⇔ p = ± β mod 4q với β số nguyên lẻ ñó q   Mệnh ñề 1.10 Nếu p q số nguyên tố lẻ khác dự ñoán 1.9 phương khác Ví dụ 3, 11, 17, 19, 41, 43, tương ñương với: Fermat phát biểu dự ñoán x + 5y2 : Nếu hai số nguyên tố, kết thúc lớn bội  p  q  ( p −1)( q −1) /     = ( −1) q p    ba ñơn vị, tích hai số ñó ñược phân tích thành tổng Bổ ñề 1.14 Nếu D ≡ 0,1 mod số nguyên khác không có bình phương năm lần bình phương khác 1.2 EULER VÀ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ CÓ DẠNG x + y , x + 2y , VÀ x + 3y 2 2 / p) ñối với p nguyên tố lẻ không chia D Hơn nữa, Định lý 1.2 Một số nguyên tố lẻ p phân tích thành x + y2 p ≡ mod Footer Page of 126 ñồng cấu χ : ( Z / DZ ) * → {± 1} cho χ ([P])=(D  D >0 -1 D < χ ( [ −1]) =  Header Page of 126 -9- - 10 - Hệ 1.19 Cho n số nguyên khác không cho CHƯƠNG χ : ( Z / 4nZ )* → {± 1} ñồng cấu từ Bổ ñề 1.14 D =-4n Nếu LAGRANGE, LEGENDRE VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG p nguyên tố lẻ, không chia hết n ñiều sau tương Việc nghiên cứu dạng toàn phương nguyên hai biến ñương: (i) p | x2 + ny2, ƯCLN (x, y) = (ii) (-n / p) = (iii) [ p ]∈ Ker ( χ ) ⊂ ( Z / 4nZ ) * 1.4 NGOÀI TƯƠNG HỖ BẬC HAI f (x, y) = ax2 + bxy + cy2 a, b, c ∈ Z Bắt ñầu với Lagrange, người ñã ñưa khái niệm biệt số, dạng tương ñương dạng thu gọn Khi ñịnh nghĩa với khái niệm Gauss tương ñương thực sự, ta có tất yếu tố cần thiết ñể phát triển lý thuyết dạng toàn phương Chúng ta quan tâm ñến trường hợp ñặc biệt dạng xác ñịnh dương Ở ñây, lý Phần bàn số dự ñoán Euler liên quan ñến số nguyên tố có dạng x2 + ny2 với n > thuyết Lagrange dạng thu gọn ñặc biệt hữu dụng, cụ thể ta có lời giải ñầy ñủ Bước Giãm Chương Lời giải với lời giải Bước Tương hỗ ñược cho tương hỗ bậc hai ta có chứng minh ñịnh lý Fermat (1.1) nhiều kết Khi ñó, mô tả dạng sơ cấp lý thuyết giống theo Lagrange, ñịnh lí cho phép ta chứng minh số dự ñoán Euler từ Chương 1, ñồng thời giúp ñưa lời giải cho vấn ñề p = x2 + ny2 Phần kết thúc với số nhận xét mang tính lịch sử liên quan ñến Lagrange Legendre 2.1 CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bổ ñề 2.3 Một dạng f (x, y) biểu diễn thực số nguyên m f ( x, y ) tương ñương thực với dạng mx2 + bxy + cy2 với b, c ∈ Z ñó Footer Page of 126 Header Page of 126 - 11 - Bổ ñề 2.5 Cho D ≡ 0,1 mod số nguyên m số nguyên lẻ nguyên tố với D Khi ñó m ñược biểu diễn thực dạng nguyên thủy biệt thức D D thặng dư bậc hai modulo m - 12 - 2.3.LÝ THUYẾT GIỐNG SƠ CẤP Bổ ñề 2.24 Cho số nguyên âm ker ( χ ) ⊂ D ≡ 0,1 mod với ( Z / DZ ) * Định lý 2.16 cho f (x, y) dạng có biệt thức D Hệ 2.6 Cho n số nguyên p số nguyên tố lẻ không chia hết n Khi ñó (-n / p) = p ñược biểu diễn (i) Các giá trị (Z / DZ)* ñược biểu diễn dạng có biệt dạng nguyên thủy có biệt thức (-4n) thức D tạo thành nhóm H ⊂ ker ( χ ) Định lý 2.8 Mọi dạng xác ñịnh dương nguyên thủy ñều tương ñương (ii) Các giá trị (Z / DZ)* ñược biểu diễn f (x, y) tạo thành thực với dạng thu gọn lớp kề H ker ( χ ) Định lý 2.13 Giả sử D < ñược cố ñịnh Khi ñó số h(D) lớp Bổ ñề 2.25 Cho dạng f (x, y) số nguyên M Khi ñó f (x, y) dạng xác ñịnh dương nguyên thủy có biệt thức D hữu hạn, ñược biểu diễn thực cho số nguyên tố với M h(D) số dạng thu gọn có biệt thức D Định lý 2.26 Cho D ≡ 0,1 mod âm cho H ⊂ Ker(χ ) 2.2 p = x + ny VÀ CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bổ ñề 2.24 Nếu H’ lớp kề H Ker(χ ) p Mệnh ñề 2.15 Gọi n số nguyên dương p nguyên tố nguyên tố lẻ không chia hết D, [p] ∈ H p ñược lẻ không chia hết n Khi ñó (-n / p) = p ñược biểu biểu diễn dạng rút gọn có biệt thức D giống H' diễn h(-4n) dạng thu gọn có biệt thức -4n Hệ 2.27 Cho n số nguyên dương p nguyên tố lẻ Định lí 2.16 Giả sử D ≡ 0,1 mod âm χ: (Z / DZ) * → {± 1} không chia hết n Khi ñó p ñược biểu diễn dạng có biệt thức - ñồng cấu theo Bổ ñề 1.14 Khi ñó với số nguyên tố lẻ p không 4n giống với số nguyên β ñó 2 chia hết D, [ p ] ∈ Ker( χ ) p ñược biểu diễn h(D) dạng thu gọn có biệt thức D Định lý 2.18 Cho n số nguyên dương Khi ñó h (-4n) = ⇔ n = 1, 2, 3, Footer Page of 126 p ≡ β β + n mod 4n 2.4.DẠNG TOÀN PHƯƠNG LAGRANGE VÀ LEGENDRE Header Page of 126 - 13 - - 14 - B ≡ b mod 2a CHƯƠNG B ≡ b ' mod 2a ' PHÉP HỢP THÀNH VÀ LÝ THUYẾT GIỐNG GAUSS Trong lý thuyết giống phép hợp thành ẩn nghiên cứu Lagrange khái niệm liên quan chủ yếu ñến Gauss lý chính: ông người ñầu tiên B ≡ D mod 4aa’ Bổ ñề 3.5 kết Gauss phép hợp thành lý thuyết giống cho p1 , q1 , , p r , q r , m số mà UCLN ( p1 , , p r , m ) = Khi ñó, ñồng dư pi B ≡ qi mod m, sử dụng chúng, ông người ñầu tiên hiểu sâu xa mối liên hệ ñáng ngạc nhiên Trong phần này, chứng minh Cho i = 1, r có nghiệm modulop m ∀ i, j= 1, ,r , có trường hợp ñặc biệt dạng xác ñịnh dương Khi ñó, p j q j = p j q j mod m ứng dụng lý thuyết cho vấn ñề liên quan ñến nguyên tố dạng x2 + ny2, bàn ñến số thuận Mệnh ñề 3.8 Cho f(x,y) g(x,y) trên, phép hợp thành Dirichlet lợi Euler Những ñiều ñưa ñể ñược số n mà ñối với F(x,y) ñược ñịnh nghĩa (3.7) dạng xác ñịnh dương nguyên chúng giống chứa lớp ta chưa biết xác thủy có biệt thức D F(x,y) hợp thành trực tiếp f(x,y) có số n Cuối phần thảo luận nghiên g(x,y) theo nghĩa (3.1) cứu số học Gauss Định lý 3.9 Cho D ≡ 0,1 mod số âm C(D) tập hợp lớp 3.1.PHÉP HỢP THÀNH VÀ NHÓM lỚP Bổ ñề 3.2 g ( x, y ) = a’x + b’xy + c’y Giả có dạng xác ñịnh dương nguyên thủy có biệt thức D Khi ñó hợp sử f ( x, y ) = ax + bxy + cy biệt thức D thỏa UCLN ( a, a’, ( b + b’) / ) = (vì b b’ có tính chẵn lẻ, (b + b’)/2 số nguyên) Khi ñó có số nguyên B modulo 2aa’ cho Footer Page of 126 thành Dirichlet cảm sinh phép toán hai xác ñịnh tốt C(D) mà làm cho C(D) thành nhóm Abelian hữu hạn mà cấp số lớp h(D) Bổ ñề 3.10 Một dạng thu gọn f(x,y) = ax2 + bxy+ cy2 có biệt thức D có cấp ≤ nhóm lớp C(D) b = 0, a = b a = c Header Page of 126 - 15 - - 16 - (i) Có 2µ-1 giống dạng có biệt thức D, với µ số Mệnh ñề 3.11 Cho D ≡ 0, mod số âm r số số nguyên tố lẻ chia hết D Định nghĩa số µ sau: D ≡ mod µ = r ñược xác ñịnh Mệnh ñề 3.11 D ≡ mod D = -4n với n > µ ñược xác ñịnh theo bảng sau: (ii) Giống (giống chứa dạng chính) chứa lớp C(D) , nhóm bình phương nhóm lớp C(D) Vì n µ dạng giống xuất lặp lại Bổ ñề 3.17 Đồng cấu Ψ : ( Z / DZ ) * → {±1} (3.16) toàn ánh µ n ≡ mod r hạt nhân nhóm H giá trị ñược biểu diễn n ≡ 1,2 mod r+1 n ≡ mod r+1 n ≡ mod r+2 dạng Vì Ψ cảm sinh ñẳng cấu: (Z/DZ)*/H → {±1}µ Bổ ñề 3.20 Đặc trưng ñầy ñủ phụ thuộc vào dạng f(x,y) hai dạng có biệt thức D nằm giống (như ñịnh nghĩa Khi ñó nhóm lớp C(D) có ñúng 2µ-1 phần tử cấp ≤ Chương 2) chúng có ñặc trưng ñầy ñủ 3.2.LÝ THUYẾT GIỐNG Định lí 3.21 Cho f(x,y) g(x,y) dạng nguyên thủy có biệt Bổ ñề 3.13 Ánh xạ Φ biến lớp C(D) thành lớp kề giá trị ñược biểu diễn ker(χ)/H ñồng cấu nhóm Hệ 3.14 Cho D≡ 0,1 mod số âm Khi ñó : thức D ≠ 0, xác ñịnh dương D < Khi ñó, phát biểu sau tương ñương: (i) f(x,y) g(x,y) thuộc giống, tức chúng biểu diễn giá trị (Z/DZ)* (i) Tất giống dạng có biệt thức D chứa số lớp (ii) f(x,y) g(x,y) biểu diễn giá trị (Z/mZ)* với số nguyên khác không m (ii) Số giống dạng có biệt thức D lũy thừa (iii) Định lí 3.15 Cho D ≡ 0,1 mod số âm, ñó: Footer Page of 126 f(x,y) g(x,y) tương ñương modulo m với số nguyên khác không m Header Page of 126 (iv) - 17 - f(x,y) g(x,y) tương ñương số nguyên p- adic Zp với số nguyên tố p (v) - 18 - f(x,y) g(x,y) tương ñương Q qua ma trân GL (2, Q) mà phần tử có mẫu nguyên tố với 2D Mệnh ñề 3.24 Một số nguyên dương n số thuận lợi với dạng có biệt thức -4n, giống ñều chứa lớp ñơn Bổ ñề 3.25 Cho m số dương lẻ nguyên tố với n > Khi ñó, số cách mà m ñược biểu diễn thực dạng thu gọn (vi) f(x,y) g(x,y) tương ñương Q không cần tính chất mẫu số, tức số m khác không cho trước, ma trận GL (2,Q) ñược tìm thấy cách biến dạng thành có biệt thức -4n là:   −n   2∏ 1 +    p/ m   p  dạng khác phần tử có mẫu số nguyên tố với m 3.3 p = x + ny Hệ 3.26 Cho m ñược biểu diễn thực dạng xác ñịnh VÀ CÁC SỐ THUẬN LỢI EULER dương nguyên thủy f(x,y) có biệt thức -4n, n>1, giả sử m số Định lý 3.22 Cho n số nguyên dương Khi ñó phát biểu lẻ, nguyên tố với n Nếu r ký hiệu cho số ước nguyên sau tương ñương: tố m m ñược biểu diễn thực ñúng 2r+1 cách Mỗi giống dạng có biệt thức -4n chứa môt lớp ñơn Nếu ax2+ bxy+ cy2 dạng thu gọn có biệt thức -4n b = 0, a = b a = c (i) Hai dạng có biệt thức -4n tương ñương chúng tương ñương thực (ii) Nhóm lớp C (-4n) ñẳng cấu với (Z/DZ)m với số nguyên m ñó (iii) Số lớp h (-4n) 2µ-1 , với µ ñược xác ñịnh Mệnh ñề 3.11 Footer Page of 126 dạng thu gọn giống f(x,y) Header Page 10 of 126 - 19 - - 20 - CHƯƠNG Hệ 4.4 Z[ω] PID (miền ideal chính) ñồng thời TƯƠNG HỖ BẬC BA VÀ TRÙNG PHƯƠNG Trong chương nghiên cứu tương hỗ bậc ba trùng phương dùng chúng ñể chứng minh dự ñoán Euler cho p = x + 27y p = x2 +64y2 (xem (1.22) (1.23) Một ñiều thú vị lý thuyết tương hỗ tương hỗ ñòi hỏi mở rộng khái niệm số nguyên: ñối với tương hỗ bậc (i) Một phần tử α ∈ Z[ω] phần tử khả nghịch N (α ) = (ii) Các phần tử khả nghịch Z[ω] Z [ω ]* = {±1, ±ω , ±ω } ứng dụng hiệu (4.1) ñối với tương hỗ trùng phương dùng số nguyên Gauss: Z[i] = {a + bi: a,b∈ Z}, i = −1 Bổ ñề 4.5 Bước mô tả nguyên tố Z[ω] Bổ ñề sau ñược dùng vành: Z[ω] = {a + bω: a,b ∈ Z }, ω = e 2πi/3 = (-1+ −3 )/ UFD (miền nhân tử hóa nhất) (4.2) Cả Z[ω] Z[i] ñều vành vành số phức Việc ñầu tiên mô tả tính chất số học vành Bổ ñề 4.6 Nếu α ∈ Z [ω ] N (α ) nguyên tố Z α nguyên tố Z (ω ) Mệnh ñề 4.7 Cho p số nguyên tố Z Khi ñó: Nếu p = = ω nguyên tố Z[ω] (i) = −ω (1− ω ) xác ñịnh ñơn vị nguyên tố vành Khi ñó ñịnh nghĩa kí hiệu Legendre suy rộng (α/π)3 (α/π)4 phát biểu luật tương hỗ bậc ba trùng phương Cuối chương ta bàn thành Gauss tương hỗ ñưa nhận xét (ii) Nếu p ≡ mod tồn số nguyên tố π ∈ Z [ω ] cho p = π π , nguyên tố π π không kết hợp Z[ω] (iii) Nếu p ≡ mod p nguyên tố Z[ω] nguồn gốc lý thuyết trường lớp 4.1 Z [ω ] VÀ TƯƠNG HỖ BẬC BA Mệnh ñề 4.3 Cho α, β∈ Z[ω], β ≠ tồn γ, δ∈ Z[ω] cho α = γ β + δ N(δ) < N(β) Khi ñó Z[ω] vành Euclide Footer Page 10 of 126 Hơn nữa, nguyên tố Z[ω] kết hợp với số nguyên tố ñược ñưa (i)-(iii) Header Page 11 of 126 - 21 - - 22 - Bổ ñề 4.8 Nếu π nguyên tố Z[ω], ñó trường thương (ii) Z[ω]/πZ[ω] trường hữu hạn với N(π) phần tử Hơn nữa, N(π) Nếu p ≡ mod có nguyên tố π ∈ Z[i] cho p = π π nguyên tố π = p p2 với p nguyên tố nguyên ñó và: π không liên kết Z[i] (i) Nếu p = p ≡1 mod N(π)= p (iii) Z / pZ Z [ω ] / π Z [ω ] (ii) Nếu p ≡ mod N(π) = p2 Z/pZ trường Nếu p ≡ mod p nguyên tố Z[i] Hơn nguyên tố Z[i] liên kết với nguyên tố ñã (i)-(iii) cấp p trường Z[ω]/πZ[ω] có p2 phần tử Chúng ta có phiên sau ñịnh lý Fermat Nhỏ: Nếu π Hệ 4.9 Nếu π nguyên tố Z[ω] không chia hết α ∈ Z [ω ] nguyên tố Z[i] không chia hết α ∈ Z[i] thì: αN(π)-1 ≡ mod π α N (π ) −1 ≡ 1mod π Định lý 4.21 Nếu π θ nguyên tố nguyên sơ phân biệt Định lý 4.12 Nếu π θ nguyên sơ Z[ω] chuẩn Z[i], thì:  θ  π    =   π 3  θ 3 không thì: (4.19) ( N(θ ) −1)( N(π ) −1) /16 θ  π    =   ( −1)  π   θ 4 Định lí 4.15 Cho p nguyên tố Khi ñó p= x2 +27y2 p ≡1 mod thặng dư bậc ba modulo p Định lí 4.23 (i) Nếu π = a+bi nguyên tố nguyên sơ Z[i] 4.2 Z [ i ] VÀ TƯƠNG HỖ TRÙNG PHƯƠNG 2 ab /   = i  π 4 Mệnh ñề 4.18 Cho p nguyên tố Z Khi ñó: (ii) (i) Nếu p = + i nguyên tố = i (1 + i ) Z[i] Nếu p nguyên tố p=x2+64y2 p ≡ mod thặng dư trùng phương modulo p 4.3.TƯƠNG HỖ GAUSS VÀ BẬC CAO Footer Page 11 of 126 Header Page 12 of 126 - 23 - KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu dạng toàn phương lý thuyết giống nghiên cứu số nguyên tố dạng x2 + ny2, luận văn ñã hoàn thành ñạt ñược mục tiêu nghiên cứu ñề tài với kết cụ thể sau: - 24 - Trong ñiều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa ñi sâu nghiên cứu ứng dụng lý thuyết trường lớp việc tìm hiểu số nguyên tố dạng x2 + ny2 Đó hướng phát triễn luận văn Trong trình làm luận văn, ñã có nhiều cố gắng song ñiều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả Tổng quan hệ thống cách ñầy ñủ khái niệm mong nhận ñược góp ý chân thành quý thầy cô bạn ñọc kết tương hỗ bậc hai Fermat Lagrange liên quan ñến số ñể tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triễn luận văn sau nguyên tố dạng x + ny 2 Trình bày cách ñầy ñủ chi tiết khái niệm kết quan trọng dạng toàn phương Lagrange, Legendre lý thuyết giống sơ cấp liên quan ñến số nguyên tố dạng x2 + ny2 Tìm hiểu nghiên cứu luật hợp thành lý thuyết giống mở rộng Gauss liên quan ñến số nguyên tố dạng x2 + ny2 số thuận lợi Euler Tổng quan tương hỗ bậc ba tương hỗ trùng phương xét miền Euclid Ζ(i ) Ζ(ω ) , ñồng thời tìm hiểu tương hỗ Gauss tương hỗ bậc cao Với ñã khảo sát ñược, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục ñi sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu dạng toàn phương, lý thuyết giống số nguyên tố dạng x2 + ny2 Footer Page 12 of 126  ... quan ñến dạng toàn phương lý thuyết giống p ñược biểu diễn dạng p=x +ny , ñó x y nghiên cứu số nguyên tố dạng x 2+ ny2 nhằm xây dựng số nguyên? tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu dạng toàn... FERMAT VÀ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ CÓ DẠNG x + y , x + 2y , VÀ x + 3y -7- 2 Bổ ñề 1.4 Giả sử N tổng hai bình phương số nguyên tố q = x + y ước số nguyên tố N Khi ñó N / q tổng hai bình phương nguyên tố Fermat... giống nghiên số nguyên tố lẻ cứu số nguyên tố dạng x 2+ ny2 ñể tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tạo ñược tài liệu tham khảo tốt cho người p =x 2+ 2y2, x, y∈Z ⇔ p≡1, mod muốn tìm hiểu dạng toàn phương