Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG DƯƠNG THỊ THANH THỦY CÁC NGUYÊN LÝ VÀ KỸ THUẬT THƯỜNG DÙNG TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 40 Tóm tắt luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng – năm 2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học : Tiến Sĩ Nguyễn Duy Thái Sơn Phản biện 1:……………………………………… Phản biện 2:……………………………………… Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng, ngày 01-02 tháng 12 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài Trong năm qua, Tổ hợp ñã trở thành phần sách giáo khoa cho học sinh trường phổ thông giáo trình dành cho sinh viên trường ñại học Các nguyên lý kỹ thuật Tổ hợp ngày có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác, ñặc biệt khoa học máy tính lý thuyết toán tử Các toán Tổ hợp không thách thức nhà nghiên cứu mà xuất thường xuyên thi Toán học, kỳ thi Olympic Toán học quốc tế (IMO) Tuy nhiên, tài liệu tiếng Việt Tổ hợp chưa nhiều Sinh viên học sinh Việt Nam thường tỏ lúng túng trước toán Tổ hợp Trong luận văn này, cố gắng tìm hiểu nguyên lý kỹ thuật (từ ñến nâng cao) thường dùng toán Tổ hợp Bản thân giáo viên phổ thông, hi vọng khám phá ñược nhiều ñiều thú vị rèn luyện kỹ Tổ hợp Mong luận văn - sau ñược hoàn thành - cung cấp thêm tài liệu Tổ hợp ñáp ứng ñược phần lòng yêu thích Toán học học sinh, phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Đồng thời ñây tài liệu ñể người quan tâm ñến Tổ hợp tham khảo Với lý trên, chọn ñề tài “Các nguyên lý kỹ thuật thường dùng toán Tổ hợp” ñể nghiên cứu Mục ñích nhiệm vụ nghiên cứu Tôi mong muốn tìm kiếm ñược nhiều tài liệu từ nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ tài liệu ñó, cố gắng lĩnh hội ñầy ñủ kiến thức cũ Tổ hợp ñể trình bày lại kiến thức ñó Footer Page of 126 Header Page of 126 luận văn theo thể khép kín hy vọng luận văn ñược sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh giáo viên trường trung học phổ thông người quan tâm ñến Tổ hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Nguyên lý kỹ thuật lý thuyết Tổ hợp 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các toán Tổ hợp Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo tài liệu internet có liên quan ñến ñề tài luận văn) ñể thu thập thông tin nhằm tìm hiểu nguyên lý kỹ thuật Tổ hợp, nghiên cứu cách giải tập hợp toán phục vụ cho yêu cầu ñề tài Giả thuyết khoa học Xây dựng giáo trình có tính hệ thống, khép kín giảng dạy ñược cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông Xây dựng ñược hệ thống toán (cũ mới) với mức ñộ khó dễ khác ứng dụng nguyên lý kỹ thuật Tổ hợp Cấu trúc luận văn:Ngoài phần mở ñầu kết luận, luận văn có nội dung sau - Chương 1: Hoán vị tổ hợp - Chương 2: Hệ số nhị thức hệ số ña thức - Chương 3: Nguyên lý bù trừ Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP 1.1 Hai nguyên lý ñếm Trong sống ngày, thường phải liệt kê “các kiện” như: Sắp xếp ñối tượng theo cách ñó, phân chia vật theo ñiều kiện ñịnh, phân phối sản phẩm theo ñặc ñiểm kỹ thuật ñịnh, v.v… Chẳng hạn, ta ñối mặt với toán ñếm có dạng: “Có cách xếp người nam người nữ hàng cho hai người nữ ñứng kề nhau?” “Có cách chia nhóm gồm 10 người thành nhóm bao gồm nhóm người, nhóm người, nhóm người giữ lại người.” Đó hai ví dụ ñơn giản toán ñếm liên quan ñến gọi là: “hoán vị” “tổ hợp” Trước giới thiệu phần hoán vị tổ hợp, ta phát biểu hai nguyên lý ñếm bản: Nguyên lý cộng (AP-Addition principle) Giả sử có: n1 cách ñể kiện n2 E1 xảy ra, cách ñể kiện E2 xảy ra, nk cách ñể kiện Ek xảy ra, ñó k > Nếu cách ñể xảy kiện khác nói ñôi rời số cách ñể kiện E1 ,E2, , Ek xảy : n1 + n2 + + nk = ∑i=1 ni k Footer Page of 126 Header Page of 126 Một dạng tương ñương nguyên lý cộng, sử dụng thuật ngữ lý thuyết tập hợp ñược phát biểu sau: Cho A1 , A , , A k k tập hợp hữu hạn, ñó k ≥ Nếu tập hợp ñã cho rời ñôi một, nghĩa là: Ai I Aj = ∅ i, j = 1, 2, , k ; i ≠ j; k UA i k = A1 U A2 U U Ak = ∑ Ai i =1 i =1 Nguyên lý nhân (MP-Multiplication Principle) Giả sử kiện E ñược phân tích thành r kiện, theo trình tự E1 , E2 , , Er giả sử có: n1 cách ñể kiện E1 xảy ra, n2 cách ñể kiện E2 xảy ra, nr cách ñể kiện Er xảy Khi ñó, số cách ñể kiện E xảy là: r n1 × n2 × × nr = ∏ ni i =1 Một dạng tương ñương (MP), sử dụng thuật ngữ lý thuyết tổ hợp, ñược phát biểu sau: Footer Page of 126 Header Page of 126 Giả sử r ∏ A = A × A × × A = {( a , a , a ) | a ∈ A , i = 1, 2, r} i =1 i r r i i biểu thị tích Đề-các tập hợp hữu hạn A1 , A2 , , Ar Khi ñó, r ∏A i =1 i r = A1 × A2 × × Ar = ∏ A i i =1 Với tư cách mệnh ñề Toán học, nguyên lý cộng nguyên lý nhân ñều coa vẻ “hiển nhiên” Đây lý làm cho sinh viên thường xem nhẹ hai nguyên lý Có thể nói nguyên lý cộng nguyên lý nhân thực hai nguyên lý toán ñếm Tuy nhiên, suốt luận văn này, ta thấy: Một toán ñếm - dù phức tạp ñến ñâu - ñược phân nhỏ thành toán ñơn giản ñể ñộ cần dùng nguyên lý cộng nguyên lý nhân ñể giải 1.2 Hoán vị Cho A = {a1 , a2 , , an } tập hợp gồm n ñối tượng phân biệt Với ≤ r ≤ n , r -hoán vị tập A (Có nơi gọi chỉnh hợp chập r n phần tử tập A) cách xếp r ñối tượng A thành hàng Khi r = n , n − hoán vị A ñược gọi vắn tắt hoán vị A 1.3 Hoán vị vòng quanh Hoán vị ñược thảo luận tiết 1.2 ñã giải ñược toán xếp ñối tượng hàng Có hoán vị mà yêu cầu xếp ñối tượng vòng tròn khép kín Đó gọi hoán vị vòng quanh Xét toán xếp ñối tượng phân biệt a, b, c vào vị trí quanh vòng tròn Giả sử vị trí ñược ñánh số thứ tự (1), (2), (3) hình Footer Page of 126 Header Page of 126 1.5 Khi ñó ta có cách xếp a, b, c ñược hình 1.5 xem tương ứng hoán vị: abc, cab, bca b a c (1) (1) X X c (1) Xb X (2) (3) X X b X (3) X a a (2) (3) Xc (2) Hình 1.5 Trong trường hợp này, “hoán vị vòng quanh” ñược ñồng với hoán vị thông thường, vậy, ñáng bàn Để có ñược kết ñáng quan tâm hơn, ta ñừng ñể ý ñến việc ñánh số thứ tự vị trí (nghĩa quan tâm ñến “vị trí tương ñối”) Như ñã thấy hình 1.6 Mỗi cách xếp cách xếp thu ñược từ cách xếp lại qua phép quay; nghĩa là, vị trí tương ñối ñối tượng không thay ñổi qua phép quay Trong trường hợp vậy, xem xếp hình 1.6 không khác Một cách tổng quát, hoán vị vòng quanh ñối tượng giống ñược xem trùng số chúng thu ñược phép quay c a c X Xb X abc b X X X b X a cab Hình 1.6 Footer Page of 126 a Xc X bca Header Page of 126 Cho A tập hợp n ñối tượng phân biệt Cho ≤ r ≤ n , r -hoán vị vòng quanh A hoán vị vòng quanh r ñối tượng phân biệt A Đặt Qrn biểu diễn số r -hoán vị vòng quanh A Chúng ta suy công thức cho Qrn 1.4 Tổ hợp Cho A tập gồm n ñối tượng phân biệt Một tổ hợp A ñơn giản tập A Một cách xác hơn, với ≤ r ≤ n, r -tổ hợp (còn ñược gọi tổ hợp chập r) A tập hợp gồm r phần tử A n Đặt Crn   (ñọc n chập r ) biểu thị số r -tổ hợp n phần r tử tập A Chúng ta suy công thức cho Crn Điều khác hoán vị tổ hợp tập hợp ñối tượng gì? Một hoán vị cách xếp ñối tượng ñịnh ñó thứ tự ñối tượng quan trọng, tổ hợp tập hợp ñối tượng ñó trật tự ñối tượng không cần thiết 1.5 Nguyên lý ñơn ánh song ánh Cho A, B tập hữu hạn Một ánh xạ f : A → B từ A ñến B ñơn (hay 1-1) f ( a1 ) ≠ f ( a2 ) B a1 ≠ a2 A f lên với b ∈ B , tồn a ∈ A cho f (a ) = b Mỗi ánh xạ ñơn (tương ứng, lên) ñược gọi ñơn ánh (tương ứng, toàn ánh) Một ánh xạ vừa ñơn ánh, vừa toàn ánh ñược gọi song ánh Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 10 Nguyên lý ñơn ánh (IP-Injection Principle) Cho A B hai tập hợp hữu hạn Nếu có phép ñơn ánh từ A ñến B, A ≤ B Nguyên lý song ánh (BP- Bijection Principle) Cho A B hai tập hợp hữu hạn Nếu có song ánh từ A ñến B, |A|=|B| 1.6 Chỉnh hợp Trong phần trước ñã xếp chọn lựa phần tử từ tập hợp mà ñó lặp lại Trong phần xét ñến xếp chọn lựa mà ñó phần tử ñược phép lặp lại Tổng quát, có : (I) Số hoán vị r phần tử (r-hoán vị) tập hợp A = {a1 , a2 , , an } , ñó r , n ∈ N * , với lặp lại ñược phép, n r (II) Xét tập hợp gồm r ñối tượng, ñó r1 ñối tượng loại 1, r2 ñối tượng loại 2, , rn ñối tượng loại n , ñó r1 + r2 + L + rn = r Số hoán vị khác tập ñối tượng trên, kí hiệu P(r ; r1 , r2 , , rn ) ñược cho : P(r , r1 , r2 , , rn ) = r! r1 !r2 ! rn ! Ta phát biểu lại kết (I) (II) sau: (I) Số r-hoán vị ña tập {∞ ⋅ a1 , ∞ ⋅ a2 , , ∞ ⋅ an } nr Footer Page 10 of 126 Header Page 11 of 126 11 (II) Cho M = {r1 ⋅ a1 , r2 ⋅ a2 , , rn ⋅ an } , r = r1 + r2 + + rn Khi ñó số P(r; r1, r2, , rn) hoán vị M ñược ñưa P(r ; r1 , r2 , , rn ) = r! r1 !r2 ! rn ! Chương HỆ SỐ NHỊ THỨC VÀ HỆ SỐ ĐA THỨC 2.1 Định lí nhị thức Ta bắt ñầu với hình thức ñơn giản sau ñây ñịnh lí nhị thức ñược tìm Issac Newton (1646-1727) vào năm 1676 Định lí 2.1 Cho số nguyên n ≥ 0, ( x + y) n n n  n  n−1  n  n =   x n +   x n−1 y + +   xy +  n  y 1 n −          n  n−r r ∑ rx y r =0   n = 2.2 Các ñồng thức tổ hợp Định lí nhị thức kết toán học có nhiều ứng dụng Trong tiết ta ñưa ví dụ cho thấy ñịnh lí nhị thức 2.1 ñược sử dụng ñể phát hàng loạt ñồng thức hay liên quan ñến hệ số nhị thức : 2.3 Tam giác Pascal n Tập hợp hệ số nhị thức   ñược xếp hình r tam giác từ ñỉnh xuống từ trái sang phải theo thứ tự tăng dần Footer Page 11 of 126 Header Page 12 of 126 12 giá trị n r, hình 2.1 Biểu ñồ này, biểu ñồ ñược nhiều người biết ñến lịch sử toán học, ñược gọi tam giác Pascal, theo tên gọi nhà Toán học tiếng người Pháp Blaise Pascal (16231662), người ñã khám phá truyền bá vào năm 1653 ñược nhiều người biết ñến Ta thu ñược số kết tham khảo từ tam giác Pascal n (1) Hệ số nhị thức   , vị trí mà tính từ thứ n từ ñỉnh xuống thứ r từ r 0 bên trái sang, số ñường ñi ngắn từ ñỉnh ñầu biểu diễn   ñến ñỉnh 0 n biểu diễn   Đây ñịnh thức ta thu ñược ví dụ 1.5.1 r n  n  (2) Vì   =   , nên vị trí tam giác ñối xứng với ñường r n − r     0 thẳng ñi qua ñỉnh   0 (3) Định thức (2.1) nói tổng hệ số nhị thức cấp n 2n , theo ñịnh thức (2.6) tổng hình vuông hệ số nhị thức cấp n  2n    n  n   n − 1  n −  (4) Định thức   =   +  r  , cho thấy ñơn giản hệ số nhị r r −       thức tam giác tổng hai nhị thức trực tiếp bên “vai” trái phải Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 13 2.4 Đường ñi ngắn lưới hình chữ nhật Một ñiểm ( a, b ) mặt phẳng x − y ñược gọi ñiểm nút a b số nguyên Hình 2.3 cho thấy lưới hình chữ nhật mặt phẳng x − y gồm ( m + 1) × ( n + 1) ñiểm nút, ñường ñi ngắn từ ñiểm nút ( 0,0 ) ñến ñiểm nút ( m, n ) , ñó m, n ∈ N * Theo ví dụ 1.5.1 m + n m + n số ñường ñi ngắn từ ( 0,0 ) ñến ( m, n )  ho ặ c   n  m     Trong tiết này, ta thấy kĩ thuật ñếm số ñường ñi ngắn hai ñiểm nút lưới hình chữ nhật ñược sử dụng cách ñể suy ñồng thức liên quan ñến hệ số nhị thức Để bắt ñầu, ta phát biểu hai nhận xét sau : 10 Trong hình 2.4, số ñường ñi ngắn từ O(0,0) ñến A ( x, y )  x + y  x  , số ñường ñi ngắn từ A ( x, y ) ñến P(m,n)    (m − x) + (n − y)   Do ñó số ñường ñi ngắn từ O(0,0) ñến P(m,n) ñi m − x    x + y  (m − x) + (n − y)  qua A ( x, y ) :    m−x  x   Footer Page 13 of 126 Header Page 14 of 126 14 20 Trong hình 2.4, số ñường ñi ngắn từ O(0,0) ñến A ( x, y )  x + y  x  số ñường ñi ngắn từ B ( x + 1, y ) ñến P ( m, n )    ( m − x − 1) + ( n − y )    Do ñó số ñường ñi ngắn từ O(0,0) ñến m − x −   P ( m, n ) qua ñoạn thẳng AB  x + y   ( m − x − 1) + ( n − y )    x  m − x −1    Ta thành lập nguyên lý hữu dụng ñường ñi ngắn lưới, gọi nguyên lý phản xạ Cho L : y = x + k (k ∈ Z ) ñường dốc mặt phẳng x-y Giả sử P Q hai ñiểm lưới bên L P’ phản xạ P ñối với L hình 2.9 Khi ñó, ta có : Nguyên lý phản xạ (RP-Reflection Principle) Số ñường ñi ngắn từ P ñến Q mà ñiểm tiếp xúc ñoạn thẳng L số ñường ñi ngắn từ P’ ñến Q Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 15 2.5 Một số thuộc tính hệ số nhị thức Trong phần trước, ta ñã tìm hiểu số ñồng thức liên quan ñến hệ số nhị thức giới thiệu kĩ thuật khác ñể thường sử dụng ñể suy chúng Trong phần này, ta phát biểu số tính chất hữu ích bật hệ số nhị thức Đầu tiên, có mốt tính chất sau ñây : 10 với n ∈ N * , n n n  n  >L >  n  > n < < L < 0 1            n − 1  n  2 (2.8) Và cho n lẻ, n ∈ N * ,  n   n  n n  n −  =  n +  > >  n  >  n  < < 0 1  n − 1  n                  (2.9) 20 Lấy n ≥ số nguyên Mann Shanks [7] chứng minh n n số nguyên tố n |   cho r = 1, 2, , n-1 r Gần ñây, kết ñã ñược phát triển Z.Hao người ñã chứng minh số nguyên n > số nguyên tố  n  n , k ±    n cho tất số k với ≤ k ≤   ,  x  biểu thị số nguyên lớn   không vượt số thực x Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 16 30 Cho a, b, c ∈ Z , ta viết a ≡ b (ñồng dư c) c ( a − b ) Các kết nhà toán học người Pháp kỉ 19, E.Lucas (18421891) Lấy p số nguyên tố n n ≡   (mod p), n ∈ N *   p  p (i )   p ii ( )   ≡ (mod p), ≤ r ≤ p − r  p + 1  ≡ (mod p ), ≤ r ≤ p − , r   ( iii )   p − 1 r (iv)  ≡ ( −1) (mod p ),0 ≤ r ≤ p − ,   r   p − 2 r v ≡ ( −1) (r + 1) (mod p ), ≤ r ≤ p − , ( )   r   p − 3 r  r + 2 ≡ − ( )    (mod p ), ≤ r ≤ p − r     ( vi )  40 Cho số nguyên tố p, ta tìm ñược số n ∈ N = N * U {0} n Sao cho p χ   cho r = 0,1, , n r Chẳng hạn, lấy n = 0,1, 2, , p − (xem thuộc tính (iv)-(vi) trên) Bên cạnh ñó, có số n khác, vấn ñề là: Cho số nguyên tố, xác ñịnh tập hợp   n * A = n ∈ N p χ   , r = 0,1, , n  r   Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 17 Theo Honsberger [6], vấn ñề ñược ñặt ñược giải nhà toán học Ấn Độ M.R Railkar M.R Modak [9] vào năm 1976 Họ chứng minh n∈ A ñó m số nguyên không âm n = k pm − k = 1,2, , p − 50 lấy n, r ∈ N * p số nguyên tố Viết n r theo p sau: n = n0 + n1 p + n2 p + + nk p k , r = r0 + r1 p + r2 p + + rk p k , k số nguyên không âm ni , ri ∈ {0,1, , p − 1} , với i = 0, 1, , k Vào năm 1878, Lucas chứng minh kết quan trọng:  n   n0   n1   nk   r  ≡  r   r   r  ( mod p )       k  Trong trường hợp riêng, lấy p = viết n r dãy nhị phân: n = ( nk nk −1 n1n0 )2 r = ( rk rk −1 r1r0 )2 ñó ni , ri ∈ {0,1} , với i = 0,1, , k , ta có kết thú vị sau: n  r  lẻ ni ≥ ri , với i = 0, 1, , k   (2.10) 60 Theo Honsberger [6], toán sau ñây ñã ñược giải n Fine [5] : n ∈ N * , có hệ số nhị phân lẻ   có vị trí thứ n r tam giác Pascal? Chúng ta vận dụng (2.10) ñể trả lời câu hỏi Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 n = ( nk nk −1, , n1n0 )2 Viết 18 dãy nhị phân lấy ω ( n ) = ∑ i=0 ni , số chữ số ña tập {n0 , n1 , , nk } Cho r ∈ Z , k n cho ≤ r ≤ n, viết r = ( rk rk −1 r1r0 )2 , theo kết (2.10) ,   lẻ r ri ≤ ni Theo thứ tự ñó ri ≤ ni , ta ri = ni = , ri ∈ {0,1} ni = Do ñó, số lựa chọn cho r 2ω ( n ) Từ ñó, ta kết luận n n ∈ N * , số hệ số nhị phân lẻ   vị trí n 2ω ( n ) Chẳng hạn, r n = 11 = (1011)2 ω (11) = , số 12 hệ số nhị phân 1111 11    , , 11 vị trí 11, theo ñó ta có 8(=2 ) lẻ:      11 11   = 11 = 1,     11 11   =   = 55,     11  11    = 10  = 11,     11 11   =   = 165     Chương NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 3.1 Nguyên lý bù trừ Nguyên lý cộng (AP) ñã ñược trình bày ñầu chương Dạng ñơn giản là: Nếu A B tập hữu hạn cho A I B = φ , |A U B| = |A| + |B| Vậy ñẳng thức tương ứng cho |A U B| A I B ≠ φ , Footer Page 18 of 126 Header Page 19 of 126 19 A I B ≠ φ , ñếm A B , phần tử A I B ñã ñược ñếm ñúng lần Vì có (xem hình 3.1): AU B = A + B − AI B A (3.1) B Hình 3.1.1 Như ñã thấy chương trước, giải số toán ñếm tương ñối phức tạp, tập mà ta cần ñếm số phần tử thường ñược chia thành tập thích hợp rời ñể trực tiếp áp nguyên lý cộng Tuy nhiên, việc chia tập hợp thành tập rời thích hợp lúc dễ Công thức (3.1) cung cấp cho phương pháp linh hoạt hơn: Biểu diễn tập hợp ñã cho dạng A U B, mà A B không cần rời nhau, ñếm |A|, |B|, |A I B| cách ñộc lập Cộng |A| |B| trừ ñi |A I B|, kết thu ñược |A U B| Giai ñoạn “cộng” (|A| |B| với nhau) ñược gọi “bù”, công thức thu ñược có tên gọi nguyên lý bù trừ Công thức (3.1) dạng ñơn giản nguyên lý bù trừ (PIE- the Principle of Inclusion and Exclusion) Tiếp theo, mở rộng công thức (3.1) cho hai tập thành công thức cho n tập, n ≥ Các công thức ñó ñược mở rộng tiết 3.2 Trong tiết 3.3 ta khảo sát số ứng dụng nguyên lý bù trừ Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 20 Định lí 3.1 (PIE) Với q tập hữu hạn A1 , A2 , , Aq , q ≥ 2, ta có: A1 U A2 U U Aq q = ∑ Ai − ∑ Ai I Aj + ∑ Ai I Aj I Ak i =1 i< j i< j (3.3) − + (−1) q +1 A1 I A2 I I Aq 3.2 Tổng quát hóa Trong ví dụ 3.1, ñã ñếm số số nguyên S = {1, 2, , 500} chia hết cho số nguyên 2, 3, Chúng ta ñặt câu hỏi kiểu khác Chẳng hạn, có số nguyên S mà (1) không chia hết cho số số 2, 3, 5? (2) chia hết cho ba số 2, 3, 5? (3) chia hết cho ñúng hai ba số 2, 3, 5? (4) chia hết cho ba số 2, 3, 5? Trong hình 3.2 ta biểu diễn tập hợp thỏa mãn yêu cầu câu hỏi Hình 3.2 Định lí 3.1 chưa ñủ ñể giải trực tiếp câu hỏi Trong phần thiết lập kết tổng quát, cho phép ñưa lời giải trực tiếp cho câu hỏi loại Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 21 Ta thiết lập ñây ñược gọi nguyên lý bù trừ tổng quát (GPIE- the Generalized Principle of Inclusion and Exclusion) Định lí 3.2 (GPIE) Cho S tập gồm n phần tử giả sử { P1 , P2 , , Pq } tập gồm q tính chất phần tử S Khi ñó, với m = ,1, 2, , q, ta có:  m + 1 m + 2 E (m) = ω (m) −  ω m + + )   ( ω (m + 2) m m     q −m  q  − + ( −1)   ω ( q ) m q = ∑ ( − 1) k =m k −m k   m  ω ( k )   Hệ E ( ) = ω ( ) − ω (1) + ω ( ) − + ( −1) ω ( q ) q q = ∑ ( −1) ω ( k ) k k =0 Hệ Cho A1 , A2 , , Aq số q tập hữu hạn tập S Khi ñó: A1 I A2 I Aq q = S − ∑ Ai + ∑ Ai I Aj − i =1 i< j ∑ i< j